Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 11 класс → .06 Регион 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 11 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75447Максимум баллов за задание: 7

Известно, что каждый из трёхчленов $x2 +ax+ b$ и $x2+ax+ b+ 1$ имеет хотя бы по одному корню, и все корни этих трёхчленов целые. Докажите, что трёхчлен $2 x + ax+ b+2$ корней не имеет.

Источники: Всеросс., 2019, РЭ, 11.2(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если корни целые, то что можно сказать по теореме Виета? Верно, что коэффициенты также целые. А что можно сказать про дискриминант, если корни являются целыми?

Подсказка 2

Что он точный квадрат! Ну тогда пусть дискриминант первого - n^2, тогда, если дискриминант второго - m^2, то m^2 - n^2 = 4. А при каких натуральных m и n такое может быть?
(то, что они целые - понятно, а натуральными мы их можем взять, так как даже если целые, то мы их в формуле корней отберем)

Подсказка 3

Верно, только при n = 0, m = 2. Теперь явно запишем первый дискриминант через a и b. a^2 - 4b = 4. А чему равен тогда дискриминант третьего трехчлена?

Показать доказательство

Понятно, что $a$ и $b$ целые, так как выражаются через целые корни по теореме Виета. Для того, чтобы квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами имел целые корни, необходимо, чтобы его дискриминант был точным квадратом. Таким образом, $2 2 2 2 a − 4b= m ,a − 4b− 4= n,$ откуда $2 2 m − n = 4,$ то есть $(m − n)(m +n) =4.$ Последнее равенство равносильно двум случаям $m − n= 1$ и $m+ n= 4,m − n =2$ и $m + n= 2.$ Первый случай целых решений не даёт, а второй — $n = 0,m = 2.$ Таким образом, $2 a − 4b= 4.$ Заметим, что дискриминант трёхчлена $2 x + ax+b+ 2$ равен $2 a − 4b− 8 =− 4<0,$ а значит он действительно не имеет корней, что и требовалось.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79860Максимум баллов за задание: 7

Назовём расстоянием между двумя клетками клетчатой доски наименьшее количество ходов, за которое шахматный король может добраться от одной из них до другой. Найдите наибольшее количество клеток, которое можно отметить на доске $100× 100$ так, чтобы среди них не нашлось двух клеток, расстояние между которыми равно $15.$

Источники: Всеросс., 2019, РЭ, 11.3(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Разобьём доску на $9$ квадратов $30× 30,6$ прямоугольников $10×30$ и один квадрат $10× 10$ (см. рис. слева). В каждом квадрате $30× 30$ клетки разбиваются на $2 15$ четвёрок так, что расстояние между любыми клетками в одной четвёрке равно $15$ (каждая четвёрка состоит из клеток с координатами $(a,b),(a,b+ 15),(a +15,b),(a +15,b+15)$ ). Тогда в любой четвёрке может быть отмечено не более одной клетки, то есть общее число отмеченных клеток в таком квадрате не превосходит $2 15.$

$PIC$

Аналогично, каждый прямоугольник $10×30$ (скажем, с длинной горизонтальной стороной) разбивается на пары клеток, отстоящих друг от друга на $15$ (с координатами $(a,b)$ и $(a+15,b)$ ) — поэтому в нём не более $15⋅10$ отмеченных клеток. Наконец, в квадрате $10× 10$ всего $102$ клеток. Итого, отмеченных клеток не больше, чем $9⋅152+ 6⋅15⋅10+102 = (3 ⋅15+ 10)2 =552.$