Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.15 Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#224

$AB$ — диаметр окружности, который пересекает хорду $CD$ в точке $E.$ Градусная мера дуги $AC$ равна $90∘,$ а градусная мера дуги $CBD$ равна $150∘.$ Найдите $∠CEA.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Построим диаметр $CF.$ Пусть $O$ — центр окружности, тогда $∠COA = 90∘.$

$PIC$

∠CEA = 90∘ − ∠DCF

Так как градусная мера дуги $CBD$ равна $150∘,$ а $CF$ — диаметр, то градусная мера дуги $DF$ равна

180∘− 150∘ = 30∘

Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда

∠DCF = 0,5⋅30∘ = 15∘

Следовательно,

∠CEA = 90∘ − 15∘ = 75∘

Ответ: 75

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#225

Точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ угла $AOB$ лежат на окружности. Дуга $AB,$ заключённая внутри этого угла, равна $65∘,$ а дуга $CD,$ заключённая внутри этого угла, равна $22∘.$ Найдите величину угла $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $∠AOB$ равен полуразности дуг $AB$ и $CD,$ заключённых внутри него, то имеем:

( ⌣ ⌣ ) ∠AOB = 0,5 AB − CD = ∘ ∘ ∘ = 0,5 (65 − 22 )= 21,5

Ответ: 21,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#226

Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O′.$ Дуга $AB,$ заключённая внутри угла $AO ′B,$ равна $60∘,$ а дуга $CD,$ заключённая внутри угла $CO′D,$ равна $16∘.$ Найдите $∠AO ′B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между хордами окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключённых между ними. Покажем это подробнее. Соединим точки $A$ и $D.$

$PIC$

Так как $∠AO ′B$ — внешний в треугольнике $AO ′D,$ то

∠AO ′B = ∠CAD + ∠ADB = ( ) = 0,5 ⋅ ⌣CD + 0,5⋅A⌣B = 0,5 C⌣D + ⌣AB

Тогда имеем:

′ ( ⌣ ⌣ ) ∠AO B = 0,5 CD +AB = = 0,5(16∘+ 60∘)= 38∘

Ответ: 38

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#227

$AC$ и $BC$ касаются окружности с центром $O.$ $∠OCB = 40∘.$ Найдите $∠ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$OC$ — биссектриса $∠ACB.$ Покажем это. Построим радиусы $OA$ и $OB.$

$PIC$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно $O$ — точка внутри угла $ACB,$ равноудалённая от его сторон. Тогда $O$ лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников $AOC$ и $BOC$ ).

В данной задаче $∘ ∠OCB = 40,$ тогда

∠ACB = 2⋅∠OCB = 2⋅40∘ = 80∘

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#230

Точки $B$ и $D$ треугольника $QBD$ лежат на окружности с центром в точке $O,$ $C$ — вторая точка пересечения $QD$ с окружностью, $A$ — вторая точка пересечения $QB$ с окружностью. Известно, что $QA = QC,$ дуги $CD$ и $AB$ равны, $∠QBD = 63∘.$ Найдите $∠BQD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Равные дуги стягивают равные хорды: $DC = AB.$ Покажем это.

Построим радиусы $OC$ и $OA.$

$PIC$

Так как дуги $CD$ и $AB$ равны, то их градусные меры совпадают, тогда $∠COD = ∠AOB,$ как центральные углы, опирающиеся на равные дуги. $CO = OD = AO = OB,$ как радиусы, тогда треугольники $AOB$ и $DOC$ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, $DC =AB.$

$QD = QC + CD = QA + AB,$ тогда треугольник $QBD$ — равнобедренный и $∘ 63 = ∠QBD = ∠QDB,$ значит

∠BQD = 180∘− 63∘− 63∘ = 54∘.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#699

Прямая $AB$ касается окружности в точке $A.$ На окружности отмечена точка $C$ так, что $CB ⊥ AB$ и $CB = AB.$ Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $∠BAC = 45∘.$ Т.к. угол между касательной $AB$ и хордой $AC$ равен половине дуги $⌣ AC,$ заключенной между ними, то $⌣ ∘ AC= 90 .$ Тогда центральный угол

⌣ ∠AOC =AC= 90∘

Ответ: 90

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#700

Прямая $AB$ касается окружности в точке $A$ . На окружности отмечена точка $C$ так, что $CB ⊥ AB$ и $CB = AB √3.$ Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $ABC$ — прямоугольный, причем, т.к. $CB = √3-⋅AB,$ то

√- tg∠BAC = CB-= 3 ⇒ ∠BAC = 60∘ AB

Т.к. угол между касательной $AB$ и хордой $AC$ равен половине дуги $⌣ AC,$ заключенной между ними, то $⌣ AC= 120∘.$ Тогда центральный угол

⌣ ∘ ∠AOC =AC= 120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#701

Из точки $A$ вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен $11∘.$ Первая секущая пересекла окружность в точках $K1$ и $L1,$ вторая — в точках $K2$ и $L2,$ причем $K1L1 = K2L2$ и дуга $⌣ K1L1,$ меньшая полуокружности, равна $95∘.$

Найдите меньшую из дуг, заключенных между данными секущими.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∠A = 0,5 (α − β )= 11∘ (1)

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга $⌣ K2L2= 95∘.$ Вся окружность равна $360∘,$ следовательно,

α + β+ 2⋅95∘ = 360∘ ⇒ α+ β = 170∘ (2)

Решая систему из уравнений $(1)$ и $(2),$ получим, что $β = 74∘.$

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1142

Угол $ACB$ равен $42∘.$ Градусная мера дуги $AB$ окружности, не содержащей точек $D$ и $E,$ равна $124∘.$ Найдите угол $DAE.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

⌣ ⌣ ∠ACB = 0,5(AKB −DNE )= 42∘

$PIC$

Так как $⌣ ∘ AKB= 124,$ то имеем:

⌣ DNE= 124∘− 2⋅42∘ = 40∘

Тогда $∠DAE$ вписанный и опирается на дугу $⌣ DNE,$ то есть

∠DAE =0,5 ⋅DN⌣E= 20∘

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1551

Прямая $b$ касается окружности в точке $B$ и образует с хордой $AB$ угол, равный $55∘.$ Найдите градусную меру дуги $AB,$ которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно градусная мера искомой дуги равна $2⋅55∘ = 110∘.$

Ответ: 110

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1553

$AB$ — диаметр окружности с центром в точке $O,$ $CD$ — хорда, пересекающая $AB$ в точке $E,$ причём $CE = ED.$ Найдите $∠CEB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Хорда, делящаяся диаметром пополам, перпендикулярна ему. Покажем это . Построим радиусы $OC$ и $OD.$

$PIC$

Треугольники $COE$ и $DOE$ равны по трём сторонам, тогда $∠CEO = ∠DEO,$ но $∠CEO + ∠DEO = 180∘,$ откуда $∠CEO = 90∘.$

∠CEB = 180∘ − ∠CEO = 90∘

Ответ: 90

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1556

$AC$ касается окружности в точке $C,$ $AB$ касается окружности в точке $B,$ $∠CAB = 58∘.$ Найдите $∠ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $AB = AC.$ Покажем это: Построим радиусы $OB$ и $OC$ и соединим $OA.$

$PIC$

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $∠ACO =90∘ =∠ABO.$ $OC = OB,$ как радиусы, тогда в прямоугольных треугольниках $AOC$ и $AOB$ катеты $OC$ и $OB$ равны, а гипотенуза $AO$ — общая, следовательно, треугольники $AOC$ и $AOB$ равны по катету и гипотенузе, откуда получаем $AB = AC.$

Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный и

∠ACB = ∠ABC = 0,5(180∘− ∠CAB )= 61∘

Ответ: 61

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1991

Секущая $AB$ пересекает окружность и диаметр $CD$ так, как показано на рисунке.

$PIC$

Меньшая дуга $⌣ KD$ равна $40∘,$ $∠CBA = 30∘,$ прямая $BC$ параллельна прямой $AD.$ Найдите угол $BT D.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. $BC ∥AD,$ то

∠CBT = ∠DAT = 30∘

$∠DCK,$ как вписанный и опирающийся на дугу $KD,$ равен ее половине, то есть $20∘.$ $∠CKD$ опирается на диаметр $CD,$ следовательно, равен половине от половины окружности, то есть $∘ 90.$ Значит,

∠CDK = 180∘− 90∘ − 20∘ = 70∘

$∠BT D$ — внешний угол для треугольника $ATD,$ следовательно, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

∠BT D = ∠TDA + ∠T AD = 30∘+ 70∘ =100∘

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1993

Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки $O$ вне окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны $103∘$ и $47∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

1 ∠O = 2 (103∘− 47∘)= 28∘

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1994

Из точки $O$ вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность. Большая дуга, образованная этими прямыми, равна $44∘,$ а угол между прямыми равен $15∘.$ Найдите другую дугу, образованную этими прямыми. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∠O =15∘ = 1(44∘ − x) ⇒ x = 14∘ 2

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1995

Угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки $O$ вне окружности, равен $20∘.$ Найдите большую дугу, заключенную между секущими, если сумма градусных мер обеих дуг, заключенных между секущими, равна $100∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∘ ∠O = 0,5(α − β) = 20

$PIC$

С другой стороны, по условию имеем:

α+ β =100∘

Решая систему из двух уравнений, находим $α = 70∘.$

Ответ: 70

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1996

На рисунке диаметр $AB$ пересекает хорду $P T$ и делит ее пополам, а также пересекает хорду $KT.$ Дуга $P B,$ меньшая полуокружности, равна $75∘.$ Дуга $AK,$ меньшая полуокружности, равна $15∘.$

$PIC$

Найдите угол между прямыми $AB$ и $KT.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Так как диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то $AB ⊥ P T.$ Следовательно, $△P NB = △T NB$ как прямоугольные по двум катетам ( $PN = T N,$ $NB$ — общий). Отсюда получаем $P B = TB.$

Так как равные хорды стягивают равные дуги, то

⌣ ⌣ TB= PB= 75∘

Тогда угол между хордами $AB$ и $KT$ равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть

∘ ∘ ∘ 0,5 (15 + 75 )= 45

Так как нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно нетупой угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2000

Из точки $A$ вне окружности проведены две касательные $AB$ и $AC.$ Через произвольную точку $X$ на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $MON,$ если $∠BAC = 32∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку (пусть $B, C$ — точки касания):

$PIC$

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то $MB = MX$ и $NC = NX.$ Т.к. радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, то

∠OCN = ∠OXN = ∠OXM = ∠OBM = 90∘

Таким образом, по двум катетам равны треугольники: $△OBM = △OXM$ и $△OXN = △OCN.$

Значит, $∠BOM = ∠XOM$ и $∠XON =∠CON.$ Следовательно, $1 ∠MON = 2∠BOC.$

Т.к. в четырехугольнике сумма углов равна $360∘,$ то в четырехугольнике $ABOC :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BOC =360 − 90 − 90 − ∠A =180 − ∠A.

Следовательно,

1 ∘ ∘ 1 ∘ 1 ∘ ∘ ∠MON = 2 (180 − ∠A )= 90 − 2∠A = 90 − 2 ⋅32 = 74

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2311

$AB$ – касательная к окружности, причем $A$ – точка касания. На окружности на одинаковом расстоянии от точки $A$ отмечены точки $C$ и $D$ , причем дуга $C⌣D$ , не проходящая через точку $A$ , равна $∘ 110$ . Найдите угол $BAD$ , если $∠BAD < ∠BAC$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. дуги, стягиваемые равными хордами, равны, то $⌣ ⌣ AC= AD= x.$ Т.к. вся окружность равна $360∘$ , то

∘ ∘ ∘ x+ x+ 110 = 360 ⇒ x = 125

Угол $BAD,$ образованный касательной $AB$ и хордой $AD,$ равен половине дуги, заключенной между ними, то есть

∠BAD = 0,5 A⌣D= 62,5∘

Ответ: 62,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2376

Касательные $CA$ и $CB$ к окружности образуют угол $ACB,$ равный $112∘.$ Найдите величину меньшей дуги $AB,$ стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведем радиусы $OA$ и $OB.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC, OB ⊥ BC.$ Заметим, что $OACB$ — четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника равна $360∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = 360 − 112 − 90 − 90 = 68

$∠AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB,$ следовательно, $A⌣B= ∠AOB = 68∘.$

Ответ: 68