Алгебраические текстовые задачи на ОММО

Запишем как меняется масса кислоты при одной операции

где — начальная масса кислоты

Сделаем таких операций

По формуле геометрической прогрессии получаем

Подставим начальную и конечную массу кислоты и найдем

Сделаем замену

Откуда получаем

Следовательно,

Пусть — число шаров, а — число заполненных коробок в первом случае. Тогда коробок всего . По условию получаем

где

Во втором случае получаем

где

И наконец, в третьем случае получаем

так как во втором случае имеем на самом деле коробок — заполненных и одну не полностью заполненную.

Заметим, что делятся на , то есть

где

Из получаем

Из получаем

То есть И тогда

Обозначим , тогда - середина отрезка для каждого . Легко видеть, что на отрезке точки будут расположены в следующем порядке:

Поэтому

Далее, длина отрезка в два раза меньше длины отрезка , откуда длина отрезка в четыре раза меньше длины отрезка . Значит,

Первое решение.

Заметим, что как бы ни изготавливали новый сплав, содержание титана в нём будет не меньше минимального из содержаний титана в имеющихся сплавах. Поэтому содержание титана в любом изготовленном сплаве будет не менее . С другой стороны, сплав 3 подходит под условия на содержание алюминия и молибдена. Значит, наименьшее содержание титана .

Теперь найдём наибольшее содержание титана в таком сплаве. Заметим, что если при изготовлении нового сплава мы использовали сплав 2, то можно его заменить на сплав 1: от этого содержание алюминия уменьшится, а молибдена и титана - увеличится. Поэтому в сплаве с наибольшим содержанием титана не участвует сплав 2.

Сразу отметим, что тогда в таком сплаве будет молибдена, т.е. он подходит под условие на молибден. В сплаве 1 титана больше, чем в сплаве 3 , но сплав 1 не подходит под условие на алюминий. Понятно, что чем меньше мы возьмём сплава 3, тем больше будет титана в изготовленном сплаве. Возьмём ровно столько, чтобы выполнилось условие на алюминий: и масса сплава 1 и 3 соответственно), откуда , т.е. можно взять 23 части сплава 1 и 17 частей сплава 3. Тогда содержание титана в процентах будет

Второе решение.

Пусть взято и первого, второго и третьего сплава соответственно, причём . Тогда условия задачи можно записать так:

Изобразим на координатной плоскости область (см. рисунок), удовлетворяющую системе неравенств

Процентное содержание титана . Легко видеть, что минимум этого числа достигается в точке и равен 6 . Чтобы найти максимум, заметим, что абсцисса точки равна , а ордината точки . При этом коэффициент при в больше. Значит, значение в точке точно больше (мы большее число умножаем на большее число), и равно

Обозначим число рабочих на меньшем поле как тогда их количество на большем поле равно а всего в бригаде человека. В условии задачи предполагается, что производительность каждого рабочего одинаковая, обозначим ее Соответственно, производительности каждой части бригад равны и Если площадь малого поля то площадь большого равна Время, затраченное на выполнение всей работы каждой из бригад, соответственно равно

По условию задачи

В силу положительности всех переменных, это неравенство равносильно неравенству

Поэтому следовательно, Ситуация равенства, очевидно, возможна: достаточно взять любые положительные и

Для начала докажем, что продолжителыности операций в операционных I, II и III нельзя определить однозначно. Действительно, несложно проверить, что если продолжительности операций равны или минут, то все условия задачи выполняются. Однако в этих двух вариантах продолжительности операций в операционных I, II и III различны.

Теперь докажем, что продолжительность операции в операционной IV можно однозначно восстановить. Для этого давайте заметим, что суммарная продолжительность операций за 40 и за 30 минут до конца операций выросла на 22 минуты. Это значит, что за 30 минут до конца операции в операционных I, II и III уже шли, иначе суммарная продолжительность увеличилась бы не более чем на 20 минут. Тогда к концу всех операций их суммарная продолжительность составляет минуты. Значит, операция в операционной IV длилась минут.

Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. В пункте у велосипедиста есть три возможности:

1. Поехать по аллее против часовой стрелки

2. Поехать по шоссе

3. Поехать по аллее по часовой стрелке

За 1 час прогулки пешеход прошел 6 километров и не дошел до пункта км поэтому третий вариант точно дольше первого и его можно исключить.

В первом случае двигаясь по аллее они должны будут преодолеть расстояние 6 км и в случае, если они будут двигаться навстречу друг другу, необходимое время равно ч.

Во втором случае при движении навстречу друг другу через ч пешеход достигнет пункта а велосипедист ещё будет ехать по шоссе поскольку Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять км/ч. Значит, они встретятся через ч.

Сравним числа, полученные в 1 и 2 случаях:

Следовательно, ответ достигается во 2-м случае.

Пусть участников кружка по информатике тогда детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и информатике тогда участников кружка по математике а детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и по физике тогда участников кружка по физике а детей, которые ходят одновременно на кружок по информатике и по физике

Пусть на первом складе было ящиков, а на втором . Бракованных деталей при этом имелось в общей сложности на первом складе и на втором. После того, как ящики перенесли, средние значения стали равны и , а ящиков стало и соответственно. Общее число бракованных деталей теперь равно , но оно осталось прежним, то есть равным . Приравнивая обе величины, получаем и это есть общее число ящиков на двух складах вместе.

Пусть ящик имеет размеры . Тогда веревка имеет длину . Но по неравенству о средних

Пусть тетрадь стоит рублей, блокнот — рублей, а ручка — рублей. . Составим систему уравнений:

Домножим первое уравнение на и сложим со вторым, получим

Так как делятся на , то должно делиться на .

Рассмотрим первое уравнение. Так как четное по условию и — четные, то — тоже четное, следовательно — четное.

Единственным возможным значением , кратным , является (если , то первое уравнение не имеет решений, так как переменные натуральные).

Находим остальные переменные:

Пусть — время, потраченное на наладку оборудования. Тогда второй рабочий работал (на оборудовании) часов, делая за час столько же, сколько первый за час. Следовательно,

Получаем, что . Но по условию , значит, , а искомое отношение равно

Пусть в диване живут клопов и блох. Через обозначим количество, в которое будем увеличивать. Тогда по условию имеем Если вычесть из второго равенства первое, мы получим То есть делит а значит равно либо либо Второй вариант нам не подходит, потому что тогда Следовательно, Если сложить равенства, полученные выше, и поделить на получим: