Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Алгебраические текстовые задачи на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79599

Партию новогодних шаров необходимо сложить в коробки так, чтобы в каждой коробке лежали шарики. Если использовать коробки вместимостью 100 шаров, то ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если взять на 11 коробок больше, но в которые помещается по 70 шаров, то вновь ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если же взять ещё на 5 коробок больше, но вместимостью 60 шаров, то все коробки будут полными. Сколько шаров могло быть в партии?

Источники: ОММО - 2024, задача 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что вообще значит, что останется сколько-то коробок? Это значит, что если у нас было N коробок, то N = 100n + r_1, 0 < r_1 < 100, во втором случае - N = 70(n + 11) + r_2, а в третьем N = 60(n + 17). Подумайте, почему именно n + 17 а также, что делать с такой системой.

Подсказка 2

100n + r_1 = 70n + 770 + r_2 = 60n + 1020. Тогда, r_1 = 10k, r_2 = 10t, а значит, 4n + k = n + 77 + t = 102. Значит, n + t = 25, 4n = 102 - k. Как теперь найти n с учетом того, что все переменные должны быть больше 0?

Подсказка 3

Заметим, что 0 < k < 10, так как это кратный 10 остаток по модулю 100, но не равный 0. Значит, 4n = 102 - k > 92 => n >= 24. При этом, n = 25 - t <= 24. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — число шаров, а $n$ — число заполненных коробок в первом случае. Тогда коробок всего $n+ 1$ . По условию получаем

S = 100n+ r1

где $0 <r1 < 100$

Во втором случае получаем

S = 70(n+ 11)+ r2

где $0 <r2 < 100$

И наконец, в третьем случае получаем

S =60(n+ 17)

так как во втором случае имеем на самом деле $n +12$ коробок — $n +11$ заполненных и одну не полностью заполненную.

100n+ r = 70n +770+ r =60n+ 1020 1 2

40n+ r1 = 10n +770+ r2 =1020

Заметим, что $r1, r2$ делятся на $10$ , то есть

r = 10k, r = 10t 1 2

где $0 <k <10, 0< t< 10.$

4n+ k= n+ 77+ t=102

Из $n+ t= 25$ получаем $n≤ 24.$

Из $4n= 102− k >92$ получаем $n >23$

То есть $n= 24.$ И тогда $S = 61⋅40= 2460.$

Ответ: 2460

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63737

Точка $R 1$ — середина отрезка $ST$ ; точка $R 2$ — середина отрезка $SR 1$ ; для каждого $n ≥3$ точка $R n$ — середина отрезка $R R n−2 n−1$ . Пусть $R$ — предельное положение точки $Rn$ при $n→ ∞$ . Найдите длину отрезка $RT$ , если длина отрезка $ST$ равна $15.$

Источники: ОММО-2023, номер 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Порисуйте эти точки на отрезке. В каком порядке они будут располагаться?

Подсказка 2

Они будут идти как-то так: S, R_2, R_4..., R,...R_3, R_1, T. Еще осталось понять, чему равна длина отрезка вида R_{n+2}R_n и дело в шляпе!

Показать ответ и решение

Обозначим $T =R ,S =R − 1 0$ , тогда $R n$ - середина отрезка $R R n−2 n−1$ для каждого $n≥ 1$ . Легко видеть, что на отрезке точки будут расположены в следующем порядке:

S = R0,R2,R4,...,R,...,R3,R1,R−1 = T

Поэтому

RT =R− 1R1 +R1R3 +R3R5 +...

Далее, длина отрезка $Rn+1Rn$ в два раза меньше длины отрезка $RnRn −1$ , откуда длина отрезка $Rn+2Rn+1$ в четыре раза меньше длины отрезка $RnRn−1$ . Значит,

( 1 -1 ) ST---1- 15 4 RT =R −1R1 1+ 4 + 42 + ... = 2 ⋅1 − 14 = 2 ⋅3 =10

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63739

На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями. Процентное содержание компонентов в этих сплавах приведено в таблице.


	1	2	3

Молибден	$8%$	$3%$	$8%$

Титан	$36%$	$21%$	$6%$

Алюминий	$55%$	$76%$	$15%$

Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше $38%$ , а молибдена - не меньше $5%$ . Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?

Источники: ОММО-2023, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала просто посчитаем. Пусть мы взяли x,y и 1-x-y первого, второго и третьего сплавов соответственно. Тогда как выглядят наши условия на нужный сплав и что мы хотим максимизировать/минимизировать?

Подсказка 2

Вы получили условия в виде неравенства для x и y, и выражение, которое надо максимизировать/минимизировать. Может быть, на плоскости эти неравенства будут нагляднее?)

Подсказка 3

Нам по факту надо найти макс/мин выражения 6+30x+15y. Понятно, что минимум будет в точке (0, 0). А чтобы найти максимум, можно заметить, что коэф при x больше, чем коэф при y....)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что как бы ни изготавливали новый сплав, содержание титана в нём будет не меньше минимального из содержаний титана в имеющихся сплавах. Поэтому содержание титана в любом изготовленном сплаве будет не менее $6%$ . С другой стороны, сплав 3 подходит под условия на содержание алюминия и молибдена. Значит, наименьшее содержание титана $− 6%$ .

Теперь найдём наибольшее содержание титана в таком сплаве. Заметим, что если при изготовлении нового сплава мы использовали сплав 2, то можно его заменить на сплав 1: от этого содержание алюминия уменьшится, а молибдена и титана - увеличится. Поэтому в сплаве с наибольшим содержанием титана не участвует сплав 2.

Сразу отметим, что тогда в таком сплаве будет $8%$ молибдена, т.е. он подходит под условие на молибден. В сплаве 1 титана больше, чем в сплаве 3 , но сплав 1 не подходит под условие на алюминий. Понятно, что чем меньше мы возьмём сплава 3, тем больше будет титана в изготовленном сплаве. Возьмём ровно столько, чтобы выполнилось условие на алюминий: $55x+15y = 38(x +y)(x$ и $y−$ масса сплава 1 и 3 соответственно), откуда $17x =23y$ , т.е. можно взять 23 части сплава 1 и 17 частей сплава 3. Тогда содержание титана в процентах будет

36⋅23+-6⋅17= 23,25 23+17

Второе решение.

Пусть взято $x,y$ и $1− x − y$ первого, второго и третьего сплава соответственно, причём $x ≥0,y ≥ 0,1− x− y ≥ 0$ . Тогда условия задачи можно записать так:

55x+ 76y+ 15(1− x− y)= 40x+ 61y+ 15 ≤38 8x+ 3y+8(1− x− y) =−5y +8≥ 5

Изобразим на координатной плоскости область (см. рисунок), удовлетворяющую системе неравенств

(|{ 40x+ 61y− 23≤ 0 −5y+ 3≥ 0 |( x≥ 0, y ≥ 0, x +y− 1≤ 0.

$PIC$

Процентное содержание титана $36x+ 21y+ 6(1− x− y) =6+ 30x+ 15y(∗)$ . Легко видеть, что минимум этого числа достигается в точке $A$ и равен 6 . Чтобы найти максимум, заметим, что абсцисса точки $B$ равна $23 1 40 > 2$ , а ордината точки $23 1 C− 61 < 2$ . При этом коэффициент при $x$ в $(∗)$ больше. Значит, значение в точке $B$ точно больше (мы большее число умножаем на большее число), и равно $23 6+ 30⋅40 = 23,25.$

Ответ:

наименьшее $6%$

наибольшее $23,25%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71524

Бригада рабочих трудилась на заливке катка на большом и малом полях, причем площадь большого поля в 2 раза больше площади малого поля. В той части бригады, которая работала на большом поле, было на 4 рабочих больше, чем в той части, которая работала на малом поле. Когда заливка большого катка закончилась, часть бригады, которая была на малом поле, еще работала. Какое наибольшее число рабочих могло быть в бригаде?

Источники: ОММО-2022, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Исходя из условия сразу можно с помощью переменных выразить, сколько человек в каждой части бригады(через n), какова производительность групп, площадь катка и время работы.

Подсказка 2

Запишем неравенство по условию: S/an > 2S/(a(n+4)). Осталось лишь его решить и оценить n.

Показать ответ и решение

Обозначим число рабочих на меньшем поле как $n,$ тогда их количество на большем поле равно $n+ 4,$ а всего в бригаде $2n+ 4$ человека. В условии задачи предполагается, что производительность каждого рабочего одинаковая, обозначим ее $a.$ Соответственно, производительности каждой части бригад равны $an$ и $a(n+ 4).$ Если площадь малого поля $S,$ то площадь большого равна $2S.$ Время, затраченное на выполнение всей работы каждой из бригад, соответственно равно

S 2S an и a(n-+4)

По условию задачи

-S > --2S-- an a(n +4)

В силу положительности всех переменных, это неравенство равносильно неравенству

n +4 >2n ⇔ n< 4

Поэтому $n ≤3,$ следовательно, $2n+ 4≤ 10.$ Ситуация равенства, очевидно, возможна: достаточно взять любые положительные $S$ и $a.$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92139

В хирургическом отделениии 4 операционных: I, II, III и IV. Утром они все были пусты. В какой-то момент началась операция в операционной I , через некоторое время — в операционной II, ещё через некоторое время — в III, а потом и в IV.

Закончились все четыре операции одновременно, и суммарная их продолжительность составила 2 часа 32 минуты. За 30 минут до момента завершения всех операций суммарная продолжительность уже идущих составляла 52 минуты, а ещё за 10 минут до этого — 30 минут. Продолжительности операций в каких операционных можно определить по этим данным, а в каких — нельзя?

Источники: ОММО - 2021, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте, для начал, составим понятную систему уравнений, в которой мы бы ввели переменные - время проведения i-ой операции и попытались бы записать все, что написано в условии через эти переменные. Ну с первым уравнением на сумму всех - все совсем понятно. А что делать с уравнением для точки «30 минут до окончания»? У нас может быть множественный выбор, но быть может мы можем единственным образом определить второе уравнение используя информацию из третьего?

Подсказка 2

Время работы с 40 до 30 минут увеличилось на 22 минуты? Что это значит для каждой из точек? А что тогда следует из первых двух уравнений?

Подсказка 3

Так как увеличение произошло больше чем на 20 минут, то на момент 30 минут первые три операции уже шли, а это значит, что уравнение для 30 минут задается единственным образом, откуда мы находим четвертую переменную. Значит, она точно определяется единственным образом. А что насчет третьего уравнения? Два варианта там отметаются в силу первых двух уравнений, а может ли быть так, что система при каждом из вариантов имеет решение? А чтобы еще все кроме 4-ого были различные?

Показать ответ и решение

Для начала докажем, что продолжителыности операций в операционных I, II и III нельзя определить однозначно. Действительно, несложно проверить, что если продолжительности операций равны $70,39,33,10$ или $56,54,32,10$ минут, то все условия задачи выполняются. Однако в этих двух вариантах продолжительности операций в операционных I, II и III различны.

Теперь докажем, что продолжительность операции в операционной IV можно однозначно восстановить. Для этого давайте заметим, что суммарная продолжительность операций за 40 и за 30 минут до конца операций выросла на 22 минуты. Это значит, что за 30 минут до конца операции в операционных I, II и III уже шли, иначе суммарная продолжительность увеличилась бы не более чем на 20 минут. Тогда к концу всех операций их суммарная продолжительность составляет $52+30⋅3 =142$ минуты. Значит, операция в операционной IV длилась $152− 142 =10$ минут.

Ответ: Можно определить только продолжительность операции в операционной IV.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77818

Пункты $A$ и $B$ , находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта $A$ из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, на аллее – 20 км/ч, а скорость пешехода – 6 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.

Источники: ОММО - 2020, 11.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймем, какие у нас в принципе есть возможности для велосипедиста: он может поехать в разные направления по окружности, либо просто по шоссе. Какой случай точно можно убрать?

Подсказка 2

Будем считать, что пешеход пошел против часовой стрелки. Тогда он прошел только 6км, что меньше чем длина дуги полуокружности! Значит, как минимум велосипедисту выгоднее поехать тоже против часовой стрелки, нежели по часовой. А дальше какие есть варианты?

Подсказка 3

Теперь либо пешеход идет навстречу велосипедисту по аллее, либо до пункта B, и велосипедист туда же. Посчитайте, когда это произойдет, и просто сравните числа)

Показать ответ и решение

Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. В пункте $A$ у велосипедиста есть три возможности:

1. Поехать по аллее против часовой стрелки

2. Поехать по шоссе

3. Поехать по аллее по часовой стрелке

За 1 час прогулки пешеход прошел 6 километров и не дошел до пункта $B$ $(2π− 6$ км $),$ поэтому третий вариант точно дольше первого и его можно исключить.

В первом случае двигаясь по аллее они должны будут преодолеть расстояние 6 км и в случае, если они будут двигаться навстречу друг другу, необходимое время равно $6 6+20$ ч.

Во втором случае при движении навстречу друг другу через $2π−6 -6--$ ч пешеход достигнет пункта $B,$ а велосипедист ещё будет ехать по шоссе $($ поскольку $415-> 2π−66).$ Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять $15+ 6= 21$ км/ч. Значит, они встретятся через $2π2−12$ ч.

Сравним числа, полученные в 1 и 2 случаях:

3-> 0,23> 0,21> 2⋅3,15−-2 > 2π-− 2 13 21 21

Следовательно, ответ достигается во 2-м случае.

Ответ:

через $2π−-2 21$ часа

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77821

В школе имеется три кружка: по математике, по физике и по информатике. Директор как-то заметил, что среди участников кружка по математике ровно $1 6$ часть ходит ещё и на кружок по физике, а $1 8$ часть – на кружок по информатике; среди участников кружка по физике ровно $1 3$ часть ходит ещё и на кружок по математике, а ровно $1 5$ – на кружок по информатике; наконец, среди участников кружка по информатике ровно $1 7$ часть ходит на кружок по математике. А какая часть участников кружка по информатике ходит на кружок по физике?

Источники: ОММО - 2019, 11.9

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут самое важное не запутаться в вычислениях. Для этого удобно будет обозначить кол-во информатиков за x. Как можно теперь выразить кол-во человек например в кружке по математике?

Подсказка 2

Из кол-ва людей, которые ходят в два кружка, мы умеем получать кол-во людей в самом кружке! Вот как здесь поступим: раз x на информатике, то x/7 на инфе и на математике. А тогда, 8x/7 - кол-во человек на математике, потому что x/7 должно быть 1/8 от этого кол-ва! Проделайте аналогичные действия со всеми кружками и получите нужную долю)

Показать ответ и решение

Пусть участников кружка по информатике $x;$ тогда детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и информатике $x; 7$ тогда участников кружка по математике $8x- 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и по физике $−$ $4x 21;$ тогда участников кружка по физике $4x 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по информатике и по физике $−$ $4x 35.$

Ответ:

$-4 35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#69858

На первом складе в каждом ящике в среднем по 3 бракованных изделия, а на втором складе — по 6. С первого склада на второй перевезли 50 ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на 1. Сколько всего ящиков на двух складах?

Источники: ОММО-2012, номер 2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы понимаем, что количество бракованных деталей от перевозки ящиков не поменялось, а значит, данная задача подразумевает подсчет двумя способами количества наших бракованных деталей. Подумайте, как его тут можно реализовать и использовать?

Подсказка 2

Если мы обозначим количество ящиков за m для первого завода и за n для второго, то в первоначальном состоянии у нас было 3m и 6n бракованных деталей. После перевоза ящиков на первом заводе их стало m-50, а на втором n+50, при этом количество бракованных деталей на каждый ящик стало 2 и 5 соответственно. Зная всё это, составьте и решите уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть на первом складе было $m$ ящиков, а на втором $n$ . Бракованных деталей при этом имелось в общей сложности $3m$ на первом складе и $6n$ на втором. После того, как ящики перенесли, средние значения стали равны $2$ и $5$ , а ящиков стало $m − 50$ и $n+ 50$ соответственно. Общее число бракованных деталей теперь равно $2(m − 50)+5(n+ 50)$ , но оно осталось прежним, то есть равным $3m + 6n$ . Приравнивая обе величины, получаем $m +n =150$ и это есть общее число ящиков на двух складах вместе.

Ответ: 150

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91933

Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперек.

$PIC$

Можно ли отправить посылку объема 37 $дм3$ , имея 3,6 м веревки? (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы веревкой пренебречь)

Показать ответ и решение

Пусть ящик имеет размеры $x ×y× z$ . Тогда веревка имеет длину $2x+ 6y +4z$ . Но по неравенству о средних

3∘-------- 3√---- 2x+6y +4z ≥ 3 2x ⋅6y⋅4z = 6 6 ⋅37> 36.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69857

Одна тетрадь, 3 блокнота и 2 ручки стоят 98 рублей, а 3 тетради и блокнот — на 36 рублей дешевле 5 ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит натуральное число рублей.)

Внесите в ответ через пробелов без знаков препинания, сколько стоят тетрадь, блокнот и ручка (именно в таком порядке).

Источники: ОММО-2011, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым и самым очевидным шагов будет составление системы уравнений. Пусть тетрадь стоит z рублей, блокнот — y рублей, а ручка — z рублей. Подумайте, как в данную систему привести к уравнению, которое можно будет использовать в дальнейшем решении. Не забудьте про дополнительное условие на стоимость тетради, его дали нам не просто так.

Подсказка 2

Достаточно очевидно, что y стоит сохранить, чтобы воспользоваться в дальнейшем его четностью, от z будет сложнее избавиться из-за неудобных коэффициентов. Поэтому избавляемся от x путем домножения на 3 одного из уравнений и сложения его со вторым. И получаем 8y+11z=330. Подумайте, на что должен делиться y и какие значения может принимать.

Подсказка 3

Из уравнения 8y+11z=330 следует, что y обязан делиться на 11. Но при этом стоит отметить, что y > 22 нам не подойдет. Докажите, почему это так, а после найдите остальные переменные.

Показать ответ и решение

Пусть тетрадь стоит $x$ рублей, блокнот — $y$ рублей, а ручка — $z$ рублей. $x, y, z ∈ℕ$ . Составим систему уравнений:

{ x +3y+ 2z = 98 5z− (3x +y)= 36

Домножим первое уравнение на $3$ и сложим со вторым, получим

8y+ 11z =330

Так как $11z и 330$ делятся на $11$ , то $y$ должно делиться на $11$ .

Рассмотрим первое уравнение. Так как $x$ четное по условию и $2z, 98$ — четные, то $3y$ — тоже четное, следовательно $y$ — четное.

Единственным возможным значением $y$ , кратным $22$ , является $22$ (если $y ≥44$ , то первое уравнение не имеет решений, так как переменные натуральные).

Находим остальные переменные: $z = 14, x = 4.$

Ответ: 4 24 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#83953

Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый выполнил работу за 8 часов. Второй потратил больше 2 часов на наладку оборудования и с его помощью закончил работу на 3 часа раньше первого. Известно, что второй рабочий через 1 час после начала работы оборудования обработал столько же деталей, сколько к этому времени первый. Во сколько раз оборудование увеличивает производительность труда?

Источники: ОММО-2011, номер 4 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать, это что-то в задаче неизвестное обозначить за переменную. Что в этой задаче идеально подходит на эту роль?

Подсказка 2

Верно, давайте обозначим за x время наладки оборудования. Значит, нам нужно получить какое-то соотношение, чтобы найти это время. Мы понимаем, что второй работал 8 - 3 - x = 5 - x часов. Теперь осталось воспользоваться вторым условием задачи. Если обозначить объём работы за единицу (как обычно в задачах такого рода), то сколько сделает за час второй?

Подсказка 3

Да, он выполнит 1/(5 - x) часть работы. Получается, что для уравнения нам только не хватает понять, сколько к тому времени сделал первый. Но мы ведь знаем, что он уже работал x+1 часов к тому моменту. Тогда как можно найти количество сделанной работы за это время?

Подсказка 4

Верно, давайте просто составим пропорцию. Мы знаем, что за 8 часов первый сделал всю работу, а за x+1 часов неизвестно. Отсюда найти неизвестное количество работы легко. Теперь из условия получается уравнение на x. Какие значения у вас получились? А все ли из них удовлетворяют условию?

Подсказка 5

Ага, по условию сказано, что второй чинил оборудование больше двух часов, поэтому остаётся только один вариант. Теперь мы знаем производительность первого и второго, осталось только посчитать отношение. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — время, потраченное на наладку оборудования. Тогда второй рабочий работал (на оборудовании) $8− 3− x= 5− x$ часов, делая за час столько же, сколько первый за $x+ 1$ час. Следовательно,