Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Последовательности и прогрессии на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79596

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.

Подсказка 2

По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.

Подсказка 3

Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?

Подсказка 4

По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79608

Последовательность ( $a n$ ) удовлетворяет условиям

∘ -------- a1 = 1, an+1− an = an+ an+1 при всех n≥ 1.

Какие значения может принимать $a 2023$ ?

Источники: ОММО - 2024, задача 10 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала возведём в квадрат и посмотрим, что же у нас получается после приведения подобных. Во-первых, у нас получается симметричное уравнение относительно a_(n + 1) и a_n. А это значит, что то, что верно для a_(n - 1) верно и для a_(n + 1) относительно a_n. Что можно тогда заметить?

Подсказка 2

Мы можем заметить, что уравнению t^2 - (2a_n + 1)*t + a^2_n - a_n = 0 удовлетворяют и а_(n - 1), и a_(n + 1). Значит, по теореме Виета, a_(n - 1) + a_(n + 1) = 2a_n + 1. Теперь попробуйте найти первые несколько членов!

Подсказка 3

У нас получается такая прогрессия - 1,3,6,10….- это же значения суммы первых n натуральных чисел. Попробуйте это доказать, и тогда задача сведётся к тому, чтобы записать ответ.

Показать ответ и решение

Выписав условие $a − a ≥ 0 n+1 n$ , возведем равенство в квадрат и запишем его для двух соседних членов последовательности

2 2 an+1− 2an+1 ⋅an +an =an+ an+1

2 2 an− 2an⋅an−1+an−1 =an−1+ an

То есть получаем, что $a n+1$ и $a n−1$ — два корня уравнения

2 2 t − (2an+ 1)⋅t+ an− an = 0

По теореме Виета получаем

an−1+ an+1 =2an+ 1

an+1 = an+ (an− an−1)+1

Первые члены последовательности равны $1,3,6,10,...$ Это очень похоже на суммы первых $n$ натуральных чисел. Давайте по индукции докажем формулу:

an+1 = n(n+-1) 2

База очевидна: $a1 = 1= 1⋅22$

Переход ясен:

an+1 = n(n+-1)+n +1 = (n+-1)(n-+2) 2 2

Поэтому

2022⋅2023 a2023 = 2 = 2047276

Ответ: 2047276

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#97896

Последовательность $(a ) n$ удовлетворяет условиям

∘ -------- a0 =0, a1 ⁄=0, an+1− an = an+an+1 при всех n ≥0.

Какие значения может принимать $a 2024$ ?

Источники: ОММО - 2024, задача 10 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

2 2 an+1− 2an+1 ⋅an +an =an+ an+1

2 2 an− 2an⋅an−1+an−1 =an−1+ an

То есть получаем, что $a n+1$ и $a n−1$ — два корня уравнения

2 2 t − (2an+ 1)⋅t+ an− an = 0

По теореме Виета получаем

an−1+ an+1 =2an+ 1

an+1 = an+ (an− an−1)+1

Первые члены последовательности равны $0,1,3,6,10,...$ Это очень похоже на суммы первых $n$ натуральных чисел. Давайте по индукции докажем формулу:

an+1 = n(n+-1) 2

База очевидна: $a0 = 0= 0⋅12$

Переход ясен:

an+1 = n(n+-1)+n +1 = (n+-1)(n-+2) 2 2

Поэтому

2023⋅2024- a2024 = 2

Ответ:

$2023⋅2024 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92138

Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии, а также сумма первых шести её членов — натуральные числа. Кроме того, её первый член $d1$ удовлетворяет неравенству $1 d1 ≥ 2$ . Какое наименшшее значение может принимать $d1$ ?

Источники: ОММО - 2021, номер 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два параметра, через которые выражается все члены в арифметической прогрессии — это первый член и разность прогрессии. В том числе суммы первых скольких-то членов. При этом, про разность прогрессии нам ничего не известно, а вот про суммы первых трех и шести, а также про первый член есть информация. При этом, в задаче требуют улучшить оценку на первый член, с помощью информации про суммы.

Подсказка 2

Хотелось бы как-то совместить натуральность сумм и оценку на первый член. Это можно сделать, к примеру, выразив первый член через сумму первых трех и первых шести. Что нам это даст?

Подсказка 3

Мы получим, что некоторое выражение зависящее только от описанных сумм, деленное на натуральное число будет >= 1/2. Но тогда выражение от сумм >= 9/2, а так как они натуральные, то минимальное значение этого выражения равно 5. Значит, d_1 >= 5/9. Осталось привести пример и еще одна задача вами покорена!

Показать ответ и решение

Пусть $d n$ — $n$ -й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $S =d + d +...+d n 1 2 n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии.

Выразим $d1$ через $S3$ и $S6$ . Заметим, что $S3 =3d1+ 3d,S6 = 6d1+ 15d$ , откуда $5S3−S6- d1 = 9$ . По условию $5S3−S6- 1 9 ≥ 2$ . Отсюда $9 5S3− S6 ≥ 2$ . Так как $S3$ и $S6$ по условию — натуральные числа, то наименьшее значение величины $5S3− S6$ равно 5 (оно достигается, например, при $S3 = 2,S6 = 5$ ). Поэтому $5 mind1 = 9$ .

Ответ:

$5 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49597

Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх относится к сумме всех членов без последних трёх как $4 :3.$ Найти количество членов этой прогрессии.

Источники: ОММО-2015, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах с прогрессиями и большим количеством неизвестных полезно представить прогрессию как a+d; ...; a+nd. Попробуйте записать данные из условия в таком виде

Подсказка 2

Верно, получилось 2 уравнения с неизвестными a, n и d. Как бы найти n, когда в двух равенствах 3 переменные?

Подсказка 3

Конечно! Попробуйте "выразить" в каждом уравнении а, а потом приравнять эти уравнения. Получится, что в каждом слагаемом есть множитель d, который можно сократить. Остаётся только аккуратно посчитать и найти n

Показать ответ и решение

Пусть это прогрессия $a+ d,...a +nd,$ в которой всего $n$ членов. Из первого условия

1 (a+ d)+...(a+ 13d)= 2[(a +(n− 12)d)+...+(a+ nd)]

26a+ 182d= 13a+ 13nd− 78d ⇐ ⇒ a = nd − 20d

Запишем второе условие

4[(a +d)+ ...+(a+ (n− 3)d)]= 3[(a+ 4d)+ ...(a+ nd)]

[ (n−-3)(n−-2)-] [ (n−-4)(n−-3)-] 4 (n− 3)a+ 2 d = 3 (n− 3)a+ (n− 3)nd− 2 d

4a+2(n− 2)d= 3a+ 3nd− 3 ⋅ n−-4 ⇐⇒ a= nd+ 4d − 3⋅ n-− 4d 2 2

Из полученных равенств имеем

n− 20= n+ 4− 3⋅ n−-4 ⇐⇒ n−-4 =8 ⇐⇒ n =20 2 2

Ответ:

$20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63703

В бесконечной числовой последовательности $x ,x,...,x ,... 1 2 n$ не все члены равны между собой. Для всех $n≥ 2$ выполняется равенство

xn−1+ xn +xn+1 xn =------3-------

Найдите отношение

x − x x20110026−-1x050063-

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что это за странное равенство в условии - перепишем его в удобном виде, пусть x_n выражается только через x_n+1 и x_n-1!

Подсказка 2

Получаем, что x_n = (x_n-1 + x_n+1)/2, а это значит, что каждый член нашей последовательности - среднее арифметическое двух соседних! (Вспоминаем, что это значит!)

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в более удобном виде

xn−1+-xn+1 3xn = xn−1+ xn +xn+1 ⇐⇒ xn = 2

Получается, что последовательность ${xn}$ является арифметической прогрессией, ведь каждый член этой последовательности равен среднему арифметическому соседних членов. При этом по условию не все члены равны друг другу, поэтому разность этой прогрессии $d⁄= 0.$ Тогда сразу же получаем

x − x 1006d x2012−-x1006= 503d-= 2 1006 503

Ответ:

$2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88527

Третий, четвёртый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a n$ — $n$ -ый член арифметической прогрессии, $q$ — знаменатель геометрической прогрессии. По условию