Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.01 Задачи №8 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#118820

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−22;2).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−18; 1].$

$yxy110−2 =22f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

В точке минимума функции её производная обнуляется и меняет знак с «–» на «+» при движении слева направо, так как до точки минимума функция убывала, а после — начала возрастать.

На отрезке $[−18;1]$ производная обнуляется пять раз — в точках

x1 = − 16, x2 = −13, x3 = −9, x4 =− 3, x5 = −1

В точке $x1 = −16$ производная поменяла знак с «–» на «+».

В точке $x2 = −13$ производная поменяла знак с «+» на «–».

В точке $x3 = −9$ производная поменяла знак с «–» на «+».

В точке $x4 = −3$ производная поменяла знак с «+» на «–».

В точке $x = −1 5$ производная поменяла знак с «–» на «+».

Значит, $x1 = −16,$ $x3 = − 9,$ $x5 = −1$ — точки минимума на отрезке $[−18;1].$

Таким образом, функция $f(x)$ имеет 3 точки минимума, принадлежащих отрезку $[−18; 1].$

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#118821

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−5; 12).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−4; 9].$

$yxy110−12 =5 f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

На отрезке $[−4;9]$ производная обнуляется три раза — в точках

x1 = −2, x2 =2, x3 = 5

В точке $x1 = −2$ производная поменяла знак с «–» на «+».

В точке $x2 = 2$ производная поменяла знак с «+» на «–».

В точке $x3 = 5$ производная поменяла знак с «–» на «+».

Значит, $x1 = −2,$ $x3 =5$ — точки минимума на отрезке $[− 4;9].$

Таким образом, функция $f(x)$ имеет 2 точки минимума, принадлежащих отрезку $[−4; 9].$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#118823

Прямая $y =7x +11$ параллельна касательной к графику функции $y = x2+ 8x+ 6.$ Найдите абсциссу точки касания.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Пусть $x0$ — абcцисса точки касания. Тогда угловой коэффициент касательной в точке $x0$ равен значению производной в этой точке. Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x0 :$

f′(x)= (x2+ 8x+ 6)′ = 2x + 8 f′(x )= 2x + 8 0 0

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, значит,

7= 2x0+ 8 ⇔ x0 = −0,5

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#118824

Прямая $y =9x − 5$ является касательной к графику функции $y = x2 +7x +c.$ Найдите $c.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

В точке $x0$ касания графиков двух функций значения этих функций, а также значения их производных равны. Исходя из этого, можем составить систему:

$pict$

Тогда $c =− 4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#118827

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ , определённой на интервале $(−8; 6).$ Определите количество целых точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

$yxy110−6 =8 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

В целых точках экстремума $− 7, 1, 4, 5$ производная равна нулю, тогда эти точки точно учитывать не будем.

Среди других целых точек на интервале $(− 8;6)$ промежуткам убывания функции $f(x)$ принадлежат точки $− 6,−5, 2, 3.$

Таким образом, производная функции $y = f(x)$ отрицательна в четырех целых точках.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#118828

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−1;10).$ Определите количество целых точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

$yxy110−10=1 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

В целых точках экстремума $0, 2, 5$ производная равна нулю, тогда эти точки точно учитывать не будем.

Среди других целых точек на интервале $(−1;10)$ промежуткам убывания функции $f(x)$ принадлежат точки $3, 4.$

Таким образом, производная функции $y = f(x)$ отрицательна в двух целых точках.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#118830

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку $[− 8;1],$ в которой касательная к графику $y = f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

$′ yxy1101 = f (x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней) только в тех точках, где её угловой коэффициент равен нулю. При этом угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x0$ определяется значением производной функции в этой точке, то есть $′ f (x0).$

Следовательно, условие параллельности касательной и оси абсцисс эквивалентно равенству $′ f (x0)= 0$ .

Из графика видно, что на отрезке $[−8;1]$ производная $f′(x)$ равна нулю только в точке $x= − 7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#118831

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку $[− 4;2],$ в которой касательная к графику $y = f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

$′ yxy110 = f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Следовательно, условие параллельности касательной и оси абсцисс эквивалентно равенству $′ f (x0)= 0$ .

Из графика видно, что на отрезке $[−4;2]$ производная $f′(x)$ равна нулю только в точке $x= − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#118832

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−4;7).$ Определите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

$yxy110−7 =4 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Из рисунка видно, что на интервале $(−4;7)$ функция $f(x)$ достигает локально минимальных значений в точках $0, 2$ и 6, а локально максимальных значений в точках $− 1, 1$ и 3.

Таким образом, функция $f(x)$ имеет шесть точек экстремума на интервале $(−4;7).$

Тогда производная функции $f(x)$ равна 0 в шести точках.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#118833

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−5;9).$ Найдите количество решений уравнения $f′(x)= 0$ на отрезке $[4;9].$

$yxy110−9 =5 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Из рисунка видно, что на отрезке $[4;9]$ функция $f(x)$ достигает локально минимального значения в точке 6, а локально максимальных значений в точках 5 и 7.

Таким образом, функция $f(x)$ имеет три точки экстремума на интервале $[4;9].$

Тогда производная функции $f(x)$ равна 0 в трех точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#118834

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−8;3).$ Найдите промежутки возрастания функции $f(x).$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

$yxy110−3 =8 f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

На интервале $(− 8;3)$ целыми являются точки $− 7,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2.$ Среди этих точек $f′(x)$ положительна только в точках $− 4,− 3,− 2,− 1, 0, 1, 2.$ Тогда эти точки принадлежат промежуткам возрастания функции $f(x).$

Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна

− 4+ (− 3)+(− 2)+ (−1)+ 0+ 1+ 2= − 7.

Ответ: -7

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#118836

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−7;5).$ Найдите промежутки убывания функции $f(x).$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

$′ yxy110−57=f (x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

На интервале $(− 7;5)$ целыми являются точки $− 6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4.$ Среди этих точек $f′(x)$ отрицательна только в точках $− 6,−5,−4,−1, 0, 1, 2.$ Тогда эти точки принадлежат промежуткам убывания функции $f(x).$

Таким образом, сумма целых точек, в которых функция убывает, равна

−6+ (−5)+ (−4)+ (− 1)+ 0+ 1+ 2= −13.

Ответ: -13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#118837

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ На оси абсцисс отмечено девять точек: $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x5,$ $x6,$ $x7,$ $x8,$ $x9.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)?$

$yxy0xxxxxxxxx123456789= f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Производная функции отрицательна в точках, которые лежат ниже оси $Ox:$ $x1, x5, x6, x7, x8, x9.$

Следовательно, эти точки принадлежат промежуткам убывания функции $f(x).$ Таких точек всего шесть.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#118838

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ На оси абсцисс отмечено десять точек: $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x5,$ $x6,$ $x7,$ $x8,$ $x9,$ $x10.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)?$

$yxy0xxxxxxxxxx1123456789=0 f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Производная функции положительна в точках, которые лежат выше оси $Ox :$ $x2, x3, x6, x7, x8, x9, x10.$

Следовательно, эти точки принадлежат промежуткам возрастания функции $f(x).$ Таких точек всего семь.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#118839

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−8;6).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f (x)$ параллельна прямой $y = − 2x − 14$ или совпадает с ней.

$yxy110−6 =8 f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть $y = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x).$ Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Значит, касательная параллельна прямой $y = −2x− 14$ тогда и только тогда, когда $k = −2.$

Производная функции $f(x)$ в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Получаем, что касательная в точке параллельна прямой $y = −2x − 14$ тогда и только тогда, когда значение производной функции $f(x)$ в этой точке равно $− 2.$

На рисунке изображен график производной, то есть достаточно посмотреть количество точек, ордината которых равна $− 2.$ Таких точек всего семь.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#118841

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y =f(x)$ параллельна прямой $y = 3x+ 1$ или совпадает с ней.

$′ yxy110 =f (x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

Пусть $y = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x).$ Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Значит, касательная параллельна прямой $y = 3x + 1$ тогда и только тогда, когда $k = 3.$

Производная функции $f(x)$ в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Получаем, что касательная в точке параллельна прямой $y = 3x +1$ тогда и только тогда, когда значение производной функции $f(x)$ в этой точке равно 3.

На рисунке изображен график производной, то есть достаточно найти абсциссу точки, в которой производная равна 3. График производной пересекает прямую $y = 3$ при $x= −6.$

Ответ: -6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#118842

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−3;10).$ В какой точке отрезка $[4;9]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

$′ yxy110−1 =30 f (x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

На отрезке $[4;9]$ все значения производной положительны. Это означает, что на всем отрезке $[4;9]$ функция возрастает.

Значит, своего наибольшего значения на этом отрезке функция достигает в его правой границе — точке $x= 9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#118843

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−2;11).$ В какой точке отрезка $[−1;5]$ функции $f(x)$ принимает наименьшее значение?

$′ yxy110−11=2f (x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

На отрезке $[− 1;5]$ производная $y = f′(x)$ отрицательна, следовательно, функция $y = f(x)$ убывает.

Значит, наименьшее значение функция принимает в правом конце этого отрезка, то есть в точке $x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#118844

Материальная точка движется прямолинейно по закону

2 x(t)= t + 7t+13,

где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 25 м/с ?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x(t),$ в момент времени $t0$ равна $x′(t0).$

Найдем производную:

x′(t)= 2t+7

Тогда для момента $t,$ когда скорость материальной точки была равна 25 м/с, выполнено:

2t+7 = 25 ⇒ t= 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#118845

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t) =− t3 +6t+ 10,

где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/c?