Ортологичные треугольники: теоремы Карно и Штейнера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник Обозначим через центры вневписанных окружностей, касающихся сторон и соответственно. Докажите, что треугольники и ортологичны.
Т.к. и лежат на внешней биссектрисе угла а — на внутренней, то Аналогично, Получается, что — ортотреугольник треугольника А значит, и ортологичны.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольник вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Пусть — точки касания вписанной окружности со сторонами и соответственно, a — середины соответственно.
Очевидно, что а Получается, что Аналогично получается, что и Но пересекаются в одной точке как биссектрисы Получается, что перпендикуляры из вершин на соответствующие стороны пересекаются в одной точке. Значит, по теореме Штейнера перпендикуляры из вершин на стороны тоже пересекаются в одной точке.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике на высоте выбрана произвольная точка Точки и — середины сторон и соответственно. Перпендикуляр, опущенный из на пересекается с перпендикуляром, опущенным из на в точке Докажите, что точка равноудалена от точек и
Пусть — середина Рассмотрим треугольники и Докажем их ортологичность. Проведем перпендикуляры из вершин второго треугольника на стороны первого. Соответствующими перпендикулярами будут и (). Они все пересекаются в одной точке Значит, треугольники ортологичны.
Тогда опустим перпендикуляры из вершин первого треугольника на стороны второго. Этими перпендикулярами будут и серединный перпендикуляр к По т. Штейнера они пересекутся в одной точке, т.е. в точке Значит, лежит на серединном перпендикуляре к что доказывает утверждение задачи.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне прямоугольника вне его построен треугольник Через точки и проведены перпендикуляры и соответственно к прямым и Доказать, что точка пересечения прямых и принадлежит прямой, содержащей высоту треугольника
Опустим из перпендикуляр на А из точки на прямую — перпендикуляр Тогда и пересекаются в одной точке, ортополе относительно треугольника (по определению ортопола). Но т.к. — прямоугольник, то прямые и совпадают. Тогда получается, что высота и пересекаются в одной точке.
Замечание. Опустим из вершин и треугольника соответственно перпендикуляры и на произвольную прямую Тогда перпендикуляр из точки на прямую перпендикуляр из точки на прямую и перпендикуляр из точки на прямую пересекаются в одной точке называемой ортополом прямой относительно треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан шестиугольник в котором а углы и — прямые. Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Т.к. треугольники и прямоугольные, то
Из равенств сторон шестиугольника следует, что
В итоге получаем, что Тогда по принципу Карно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан выпуклый четырёхугольник такой, что и Точки — середины отрезков и соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки к прямой в точке Докажите, что прямые и перпендикулярны.
— средняя линия в треугольнике а — в треугольнике Тогда и Т.к. и то и
Применим принцип Карно для четверок точек и
Вычтем из первого второе. Учитывая, что — середина получим:
Поскольку и то и Подставив в предыдущее выражение, получим: Что по принципу Карно доказывает перпендикулярность и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан равнобедренный треугольник (). Точка — точка пересечения биссектрисы угла и описанной окружности треугольника На продолжении стороны за точку отметили точку На продолжении за точку и за точку отметили точки и так, что — параллелограмм. Доказать, что перпендикулярно
Т.к. треугольник равнобедренный, то — диаметр описанной окружности, а значит,
Поскольку a равнобедренный, то Получаем
Поскольку a равнобедренный, то Получаем
Т.к. то получим, что По принципу Карно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и – середины боковых сторон и трапеции Перпендикуляр, опущенный из точки на диагональ и перпендикуляр, опущенный из точки на диагональ пересекаются в точке Докажите, что
Если покажем, что точка лежит на серединном перпендикуляре отрезка то получим требуемое. Обозначим через середину через и — основания перпендикуляров, через — точку пересечения диагоналей трапеции, проведённых к и Заметим, что для этого достаточно посчитать теорему Карно для Сделаем это:
Отрезки и равны, а значит:
Распишем квадраты с помощью теоремы Пифагора для треугольников и и приведём подобные:
Если расписать квадраты и через формулу медианы (для треугольников и ) и записать как а как то равенство сведётся к следующему:
По теореме косинусов для треугольников и имеем:
То есть достаточно показать, что:
Углы вертикальные, поэтому можно сократить на удвоенный косинус и привести равенство к следующему виду:
А это незамедлительно следует из подобия треугольников и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный треугольник и произвольная точка Точки и – центры окружностей, вписанных в треугольники и соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин и на прямые соответственно и пересекаются в одной точке.
Пусть вписанные окружности треугольников и касаются сторон и в точках и соответственно. Тогда прямые, проходящие через точки и перпендикулярно прямым соответственно и совпадают с прямыми и
Обозначим Тогда
Осталось с помощью этих вычислений проверить, что выполняется теорема Карно. Пусть перпендикуляр, опущенный из на пересекает эту прямую в точке Аналогично определим точки и С помощью теоремы Пифагора нетрудно убедиться, что:
Теперь подставим выражения, полученные выше и распишем разности квадратов:
получили требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около треугольника описали окружность. – точка пересечения с нею прямой, параллельной и проходящей через Точки и определяются аналогично. Из точек опустили перпендикуляры на соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.
Достаточно показать, что выполняется равенство
Обозначим углы и через и через точки и — основания перпендикуляров, опущенных из и а радиус описанной окружности — через
Рассмотрим четырёхугольник Нетрудно понять, что это равнобокая трапеция, поскольку параллельные прямые и высекают в окружности равные дуги, которые, в свою очередь, стягиваются равными хордами. По теореме синусов а значит Угол равен углу то есть так как трапеция равнобокая.
Следовательно, Отсюда получаем, что
Таким образом,
Аналогично имеем:
Подставим полученные выражения в равенства, сократим на и покажем, что:
Заменим на и применим формулы приведения:
Домножим равенство на и преобразуем произведения синусов в разности косинусов:
Получили требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике на высоте выбрана произвольная точка Точки и – середины сторон и соответственно. Перпендикуляр, опущенный из на пересекается с перпендикуляром, опущенным из на в точке Докажите, что точка равноудалена от точек и
Обозначим через и основания перпендикуляров, опущенных из и Достаточно показать, что тогда по теореме Карно для треугольника точка будет лежать на серединном перпендикуляре к что равносильно требуемому. Выразим квадраты из равенства с помощью теоремы Пифагора для треугольников и :
Приведём подобные:
Домножим равенство на запишем как как а квадраты и распишем с помощью формулы медианы для треугольников и
Приведём подобные и поделим на
Это равенство верно, поскольку
получили требуемое.