Отрезки —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика БУ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49372

На числовой прямой даны два отрезка: $P$ = [55;100], $Q$ = [66;129]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P ) → (((x ∈ Q )∧¬ (x ∈ A)) → ¬(x ∈ P ))

истинна, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

В начале для удобства заменим некоторые выражения:

$x ∈ Q = Q$
$x ∈ P = P$
$x ∈ A = A$

Тогда выражение примет такой вид:

$P =⇒ ((Q ∧ ¬A ) =⇒ ¬P)$

Заменим импликацию на отрицание первого или второе. Выражение будет выглядеть следующим образом:

$¬P ∨ (¬(Q ∧¬A )∨ ¬P )$

Раскроем отрицание в скобке. Теперь выражение имеет такой вид:

$¬P ∨ (¬Q ∨ A ∨¬P )$

Избавимся от повторяющейся Р под отрицанием и получим окончательное упрощенное выражение:

$¬P ∨ ¬Q ∨ A$

Как можем заметить, нам нужно найти значения x когда выражение равно истине, при этом только А должна равняться единице, а все остальные – 0. Не P и Не Q будут равны 0, когда х будут находиться в пределах отрезков P и Q. Получается, нас интересует отрезок, который находится как в отрезке P,так и в отрезке Q. Это отрезок: $[66;100]$ . Ответ:34.

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#6012

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15;50]$ и $Q = [35; 60]$ . Укажите наибольшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

(¬ (x ∈ A ) → (x ∈ P )) → ((x ∈ A ) → (x ∈ Q ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(¬ (x ∈ A ) → (x ∈ P )) → ((x ∈ A ) → (x ∈ Q ))

((x ∈ A) ∨ (x ∈ P)) → ((x∈∕ A) ∨ (x ∈ Q))

¬((x ∈ A ) ∨ (x ∈ P )) ∨ ((x ∕∈ A ) ∨ (x ∈ Q ))

(x ∕∈ A ) ∧ (x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ A ) ∨ (x ∈ Q )

Воспользуемся правилом:

A ∧ B ∨ A = A ∧ (B ∨ 1) = A

Получим:

(x ∕∈ A ) ∨ (x ∈ Q )

Получается, что $x$ должен принадлежать $Q$ , либо не принадлежать $A$ . Так как мы ищем наибольшую возможную длину $A$ , необходимо, чтобы он полностью содержался в $Q$ , т.е. максимальная длина отрезка $A = 60 − 35 = 25$ .

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#6743

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10;17]$ и $Q = [15; 25]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P ) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана и закону раскрытия импликации:

¬ (x ∈ P ) ∨ (¬((x ∈ Q ) ∧ ¬ (x ∈ A)) ∧ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A )

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ (x ∈ A )

Первая и вторая скобка будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 17 − 15 = 2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#6744

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [5;35]$ и $Q = [20; 51]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P ) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬ (x ∈ P ) ∨ (¬((x ∈ Q ) ∧ ¬ (x ∈ A)) ∧ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A )

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ (x ∈ A )

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 35 − 20 = 15$ .

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#6745

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10;50]$ и $Q = [30; 65]$ .Отрезок $A$ таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной $x$ :

¬(x ∈ A ) → (((x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q )) → (x ∈ A ))

Какова наименьшая возможная длина отрезка $A$ ?

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(x ∈ A ) ∨ (¬(x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q )) ∨ A )

¬(x ∈ A ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A)

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ A

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 50 − 30 = 20$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#6746

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15;50]$ и $Q = [35; 60]$ . Укажите наибольшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

(¬ (x ∈ A ) → (x ∈ P )) → ((x ∈ A ) → (x ∈ Q ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(¬ (x ∈ A ) → (x ∈ P )) → ((x ∈ A ) → (x ∈ Q ))

((x ∈ A) ∨ (x ∈ P)) → ((x∈∕ A) ∨ (x ∈ Q))

¬((x ∈ A ) ∨ (x ∈ P )) ∨ ((x ∕∈ A ) ∨ (x ∈ Q ))

(x ∕∈ A ) ∧ (x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ A ) ∨ (x ∈ Q )

(x ∕∈ A ) ∨ (x ∈ Q )

Получается, что $x$ должен принадлежать $Q$ , либо не принадлежать $A$ . Так как мы ищем наибольшую возможную длину $A$ , необходимо, чтобы он полностью содержался в $Q$ , т.е. максимальная длина отрезка $A = 60 − 35 = 25$ .

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#6747

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10;17]$ и $Q = [15; 25]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P ) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬ (x ∈ P ) ∨ (¬((x ∈ Q ) ∧ ¬ (x ∈ A)) ∧ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A )

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ (x ∈ A )

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 17 − 15 = 2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#6748

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [5;35]$ и $Q = [20; 51]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P ) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬ (x ∈ P ) ∨ (¬((x ∈ Q ) ∧ ¬ (x ∈ A)) ∧ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A )

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ (x ∈ A )

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 35 − 20 = 15$ .

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#6749

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10;50]$ и $Q = [30; 65]$ .Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной $x$ :

¬(x ∈ A ) → (((x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q )) → (x ∈ A ))

Какова наименьшая возможная длина отрезка $A$ ?

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(x ∈ A ) ∨ (¬(x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q )) ∨ A )

¬(x ∈ A ) ∨ ¬ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ A)

(x ∕∈ P ) ∨ (x ∕∈ Q ) ∨ A

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . Значит, наша задача подобрать такое $A$ , чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина $A = 50 − 30 = 20$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16312

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [25;36]$ и $Q = [28;55].$ Укажите минимальную длину промежутка $A,$ что формула

(x ∈ A)∨ (x ∈ Q )∨(x ∕∈ P)

истинна при любом значении переменной $x,$ т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Составим систему для врагов:

$( ||| x ∕∈ A { || x ∕∈ Q |( x ∈ P$

Враги хотят, чтобы $x$ был одновременно не в $Q$ и в $P$ . Такой промежуток — $[25;28)$ . Тогда мечты врагов такие: «Вот бы промежуток $[25;28)$ был не в $A$ ».

Чтобы победить, друзья подберут такой $A$ , который гарантированно будет содержать промежуток $[25;28)$ и будет как можно меньше. Наименьшая длина такого промежутка равна $28− 25 = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#18041

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [20,50]$ и $Q = [30,40]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

------- ----------------- (x ∈ A ) → ((x ∈ P)∨ (x ∈ Q ))

тождественно истинна, то есть принимает значение $1$ при любых $x$ .

Показать ответ и решение

Составим систему для врагов:

$( ||| x ∕∈ A { ⌊ || ⌈x ∈ P |( x ∈ Q$

Мечты врагов такие: «Вот бы любой $x$ принадлежал $P$ или $Q$ и не принадлежал $A$ ». То есть, враги хотят, чтобы $x$ был в $[20;50]$ и не был в $A$ . Тогда друзья хотят, чтобы этот отрезок был в $A$ , и сам $A$ был минимальной длины. Значит, $A = [20;50]$ и $|A | = 50− 20 = 30$ .

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18042

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [11,28]$ и $Q = [15,35]$ . Найдите наибольшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

------------------ (x ∈ A )∧ ((x ∕∈ P) → (x ∈ Q ))

тождественно ложна, то есть принимает значение $0$ при любых $x$ .

Показать ответ и решение

Составим систему для врагов:

$( ||| x ∈ A { || x ∕∈ P |( x ∕∈ Q$

Мечты врагов такие: «Вот бы любой $x$ из отрезка $A$ не принадлежал отрезкам $P$ и $Q$ ». Тогда друзья, наоборот, хотят, чтобы любой $x$ из отрезка $A$ принадлежал отрезкам $P$ и $Q$ . Наибольшая возможная длина отрезка $A$ — объединение отрезков $P$ и $Q$ . Она равна $35− 11 = 24$ .

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#18043

На числовой прямой даны три отрезка: $P = [20,30]$ , $Q = [5,15]$ и $C = [35,50]$ . Какова наименьшая длина отрезка $A$ , при котором формула

------- ((x ∈ P) → (x ∈ Q )) ∨((x ∈ A ) → (x ∈ C ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ ?

Показать ответ и решение

Враги мечтают чтобы $x$ был одновременно в $P$ , не в $Q$ , не в $C$ и при этом не в $A$ . Это отрезок $[20;30]$ .

Друзья хотят чтобы этот отрезок был в $A$ и длина $A$ была как можно меньше. Тогда $A = [20;30]$ и $|A| = 30 − 20 = 10$ .

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#20058

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [8;12]$ и $Q = [4;30]$ . Укажите наибольшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

------- ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любых значениях переменной $x$ ).

Показать ответ и решение

def f(x, P, Q, A):
    return (inn(x, P) == inn(x, Q)) <= (not inn(x, A))

def inn(x, F):
    return (F[0] <= x <= F[1])

P = [8, 12]
Q = [4, 30]
k = 3
ans = []
ans_len = 0
for start in range(32 * k):
    for finish in range(start, 32 * k):
        met_false = False
        A = [start / k, finish / k]
        for x in range(50 * k):
            if not f(x / k, P, Q, A):
                met_false = True
                break
        if not met_false:
            A[0] = int(A[0])
            if int(A[1]) != A[1]:
                A[1] += 1
            A[1] = int(A[1])

            if ans_len < A[1] - A[0]:
                ans_len = A[1] - A[0]
                ans = A.copy()
print(ans_len, ans)

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20059

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [0;10]$ и $Q = [25;50]$ . Укажите наименьшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

(x ∕∈ A ) → ((x ∕∈ P)∧ (x ∕∈ Q ))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любых значениях переменной $x$ ).

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Формула имеет вид импликации, которая будет истинной в следующих случаях:

1. Если $x ∕∈ A$ ложно (то есть $x ∈ A$ ), тогда формула истинна независимо от значений в $P$ и $Q$ .

2. Если $x ∕∈ A$ истинно (то есть $x ∕∈ A$ ), то необходимо, чтобы $(x ∕∈ P) ∧(x ∕∈ Q )$ было истинным.

Таким образом, для того чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы все значения, которые не принадлежат промежутку $A$ , также не принадлежали ни одному из отрезков $P$ и $Q$ .

Даны два отрезка:

- $P = [0,10]$

- $Q = [25,50]$

Чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы промежуток $A$ содержал все значения из обоих отрезков $P$ и $Q$ . Это значит, что:

A = [0,10]∪[25,50].

Теперь найдем наименьшую длину промежутка $A$ . Длина каждого из отрезков:

1. Длина отрезка $[0,10] = 10− 0 = 10.$

2. Длина отрезка $[25,50] = 50− 25 = 25.$

Общая длина промежутка:

LA = L [0,10] + L[25,50] = 10+ 25 = 35.

Однако для того чтобы формула была тождественно истинной при любых значениях переменной $x$ , нам нужно выбрать такой промежуток, который будет минимально перекрывать оба отрезка.

Наименьшая длина промежутка может быть достигнута путем выбора:

A = [0,50].

Длина этого промежутка:

LA = 50− 0 = 50.

Решение программой

def f(x, P, Q, A):
    return ((not inn(x, A)) <= ((not inn(x, P)) and (not inn(x, Q))))

def inn(x, F):
    return (F[0] <= x <= F[1])

P = [0, 10]
Q = [25, 50]
k = 3
ans = []
ans_len = 100000000000000000000000
for start in range(60 * k):
    for finish in range(start, 60 * k):
        met_false = False
        A = [start / k, finish / k]
        for x in range(60 * k):
            if not f(x / k, P, Q, A):
                met_false = True
                break
        if not met_false:
            A[0] = int(A[0])
            if int(A[1]) != A[1]:
                A[1] += 1
            A[1] = int(A[1])

            if ans_len > A[1] - A[0]:
                ans_len = A[1] - A[0]
                ans = A.copy()
print(ans_len, ans)

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#21467

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [8;12]$ и $Q = [4;30]$ . Укажите наибольшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

------- ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)

тождественно истинна (т.е. принимает значение $1$ при любых значениях переменной $x$ ).

Показать ответ и решение

Напишем, чего хотят враги:

( |||| x⌊ ∈( A |||| { x ∈ P ||{ || ||( x ∈ Q |||| ||({ |||| |⌈ x∈∕P ||( ( x∈∕Q

Отсюда следует, что врагам нужно, чтобы или $x$ был и в $P$ , и в $Q$ , или же $x$ не был ни в $P$ , ни в $Q$ , при этом всём $x$ должен находиться в промежутке $A$ .

Обратим внимание, что отрезок $P$ ( $[8;12]$ ) находится в отрезке $Q$ ( $[4;30]$ ). Таким образом, получается, что система врагов ломается, если $x$ принадлежит отрезку $[4;30]$ , но при этом не принадлежит отрезку $[8;12]$ , или же, если $x$ не принадлежит промежутку $A$ .

Следовательно, друзьям необходимо сделать такой $A$ , что если $x$ попадает в данный промежуток, то при этом $x$ также будет входить в $Q$ , но не входить в $P$ . Под ответ подходят два промежутка — $[4;8)$ (длина — $4$ ) и $(12;30]$ (длина — $18$ ), но, так как в условии задачи просят найти наибольшую возможную длину промежутка $A$ , то ответ - $18$ .

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22653

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [25;36]$ и $Q = [28;55].$ Укажите минимальное количество целых точек на промежутке $A,$ что формула

(x ∈ A)∨ (x ∈ Q )∨(x ∕∈ P)

истинна при любом значении переменной $x,$ т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x.$

Показать ответ и решение

def f(x, A):
    P = [25, 36]
    Q = [28, 55]
    return inn(x, A) or inn(x, Q) or not (inn(x, P))
def inn(x, T):
    return T[0] <= x <= T[1]
def podh(A):
    for x in range(100 * k):
        if not f(x / k, A):
            return False
    return True
k = 4
minim = 1000
for a in range(100 * k):
    for b in range(a, 100 * k):
        A = [a / k, b / k]
        if podh(A):
            minim = min(minim, A[1] - A[0])
print(round(minim))

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#23191

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15;33]$ и $Q = [45;68]$ . Укажите наибольшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

------- ((x ∈ A )∧(x ∈ Q)) → ((x ∈ P)∨ (x ∈ Q ))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любых значениях переменной $x$ ).

Показать ответ и решение

def ins(x, a):
    if a[0] <= x <= a[1]:
        return True
    return False
def f(x, a):
    q = [45, 68]
    p = [15, 33]
    if ((ins(x, a)) and not(ins(x, q))) <= ((ins(x, p)) or (ins(x, q))):
        return True
    return False

ar = [0, 0]
len_ar = 0
k = 4
for a in range(70 * k):
    for b in range(a, 70 * k):
        podh = True
        ar[0] = a/k
        ar[1] = b/k
        for x in range(100 * k):
            if not(f(x/k, ar)):
                podh = False
                break
        if podh:
  #следующие три строки - выравнивание длины, чтобы ответ был целым
            ar[0] = int(ar[0])
            if ar[1] != int(ar[1]):
                ar[1] = int(ar[1]) + 1
            if len_ar < ar[1] - ar[0]:
                len_ar = ar[1] - ar[0]
print(len_ar)

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#25100

На числовой прямой даны отрезки $A = [70;90],B = [40;60]$ и $C = [0;N]$ и функция

F (x) = (¬(x ∈ A ) → (x ∈ B ))∧ (¬ (x ∈ C) → (x ∈ A))

При каком наименьшем числе $N$ функция $F (x)$ истинна более чем для $30$ целых чисел $x$ ?

Показать ответ и решение

def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

for i in range(10000):
    A = [70, 90]
    B = [40, 60]
    C = [0, i]
    counter = 0
    for x in range(1000):
        f = ((not(inn(x, A))) <= (inn(x, B))) and (
            (not(inn(x, C))) <= (inn(x, A)))
        counter += f
    if counter > 30:
        print(i)
        break

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#25961

На числовой прямой даны отрезки $A = [30;50],B = [40;46] и C = [N;61]$ и функция

F(x) = (¬(x ∈ B ) → ¬(x ∈ A ))∧ (¬(x ∈ C ) → (x ∈ B))

При каком наибольшем числе $N$ функция $F (x)$ истинна более чем для $25$ целых чисел $x$ ?

Показать ответ и решение

def ins(x, A):
    return (x >= A[0]) and (x <= A[1])

def f(x, N):
    A = [30, 50]
    B = [40, 46]
    C = [N, 61]
    return ((not ins(x, B)) <= (not ins(x, A))) and ((not ins(x, C)) <= ins(x, B))

for N in range(1, 100):
    k = 0
    for x in range(1, 100):
        k += f(x, N)
    if k > 25:
        maxim = N
print(maxim)

Ответ: 22

15.05 Отрезки