Тема Газпром

Планиметрия на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98164

Меньшая сторона параллелограмма и меньшая его диагональ, соответственно равные $4$ и $2+√37,$ образуют угол в $60∘.$ Найдите радиус описанной окружности около четырёхугольника, образованного пересечениями биссектрис внешних углов заданного параллелограмма.

Источники: Газпром - 2024, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Тогда $AB = 4,$ $BD = 2+√37,∠ABD =60∘.$

$PIC$

По теореме косинусов в $△ABD :$

AD2 =AB2 + BD2 − 2⋅AB ⋅BD ⋅cos∠ABD

2 2 √-- 2 √-- ∘ AD = 4 + (2+ 37) − 2 ⋅4 ⋅(2+ 37)⋅cos60

AD2 = 16 +4+ 4√37+ 37− 2 ⋅4 ⋅(2+ √37)⋅ 1 2

2 √-- √ -- 2 AD =57+ 4 37− 8− 4 37,AD = 49

AD =7

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ — в точке $N,$ углов при вершинах $C$ и $D$ — в точке $P,$ а углов при вершинах $D$ и $A$ — в точке $Q.$ Четырехугольник, образованный биссектрисами внешних углов параллелограмма, есть $MNP Q.$

Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом, а значит, $MNP Q$ — прямоугольник $(∠M = ∠N =∠P = ∠Q =90∘).$

Пусть биссектриса внешнего угла $B$ пересекает продолжение стороны $AD$ в точке $L.$ Рассмотрим $△LBA$ — равнобедренный (так как $BM$ — биссектриса и накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BL$ равны), то $LA =AB = 4$ и биссектриса $AM$ является и медианой, то есть $M$ — середина $BL.$

Аналогично, в равнобедренном $△CDF :CD = DF =4$ и $P$ — середина $CF.$ Рассмотрим трапецию $LBCF$ $(AD ∥BC ),$ в которой MP является средней линией, а значит, она параллельна основаниям и равна:

MP = 1(LF + BC) = 1(LA +AD + DF + BC)= 1(2AB +2BC )=AB + BC 2 2 2

По заданным числовым значениям задачи получаем: $MP = AB +BC = 4+ 7= 11.$ Итак, $MNP Q$ — прямоугольник, где диагонали $MP =QN =11$ и радиус описанной около прямоугольника окружности равен $R = OM = 11= 5,5. 2$

Ответ: 5,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99219

Окружность касается продолжений двух сторон $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $∘2-+-√2$ см. Из точки $C$ к этой окружности проведены две касательные. Найти радиус окружности, если угол между касательными равен $∘ 45,$ и известно, что $∘ √2−√2 sin22,5 = 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что думать в таких задачах не особо приходится — только думать, как бы побыстрее посчитать. Почему задача сводится к счёту? Потому что самыми школьными методами мы можем вычислить абсолютно всё на картинке, так как понятно вычисляются углы и есть сторона. Что можно сказать про отрезок OC, где O — центр окружности, если мы знаем, что она вписана в прямой угол?

Подсказка 2

Получаем, что расстояние от точки касания продолжения стороны до вершины A равно радиусу. Это значит, что нам известен отрезок OC, если мы обозначили радиус за R. Какое тогда уравнение можно составить на OC, чтобы выразить его по-другому, если мы ещё не использовали вторую точку касания?

Подсказка 3

Можно сказать, что OC * sin(45/2) = OK, где K — точка касания касательной из точки C. При этом OK = R. Значит, мы составили уравнение на R, а потому получили ответ. Осталось понять, что наша картинка, по данному условию была единственной. А вообще так ли это? Правда ли, что то, как мы нарисовали касание окружности продолжений AB и AD — это единственный возможный случай?

Показать ответ и решение

Отрезок, который отсекается от вершины $A$ точкой касания окружности, равен радиусу этой окружности. Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ равна $∘----√- 4 +2 2.$ Если провести радиусы окружности в точки касания, то получится квадрат, со стороной $R.$ Тогда

√ - OA = R 2

OC = --OK-- = ∘-2R--- sin 22,5∘ 2 − √2

В результате получаем

2R √- ∘----√- ∘---√--=R 2+ 4 +2 2, 2− 2

откуда

∘4-+2√2⋅∘2-−-√2 R = --2− √2-∘2−-√2--=

∘---√--∘ ---√- ∘----- = -2√+--2∘⋅-2−√--2-=√2-+ 2− √2 2− 2− 2

Ответ:

$√2-+∘2-−-√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99229

Для охраны нефтяной платформы, расположенной в море, необходимо распределить вокруг неё $5$ радаров, покрытие каждого из которых составляет круг радиуса $r= 13$ км. Определить, на каком максимальном расстоянии от центра платформы их нужно расположить, чтобы обеспечить вокруг платформы покрытие радарами кольца шириной $10$ км. Вычислить площадь этого кольца покрытия.

Источники: Газпром - 2023, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы обеспечить покрытие радарами кольца вокруг платформы необходимо расположить их в вершинах правильного многоугольника, центр которого совпадает с центром платформы.

Точка $O$ — центр нефтяной платформы, а точки $A$ и $B$ — точки расположения радаров. Круги — это покрытие радаров. Рассмотрим фрагмент — треугольник $AOB$ . В прямоугольном треугольнике $BCD$ по теореме Пифагора найдем $BD$ :

∘ ------ BD = 132 − 52 = 12

Тогда $AB = 24$ , следовательно, расстояние от центра платформы до радаров равно радиусу описанной около правильного пятиугольника окружности:

AB 24 12 OB = 2sin-(1850) = 2sin-36∘ = sin36∘

Чтобы найти площадь кольца покрытия, нужно из площади круга с радиусом $OE$ вычесть площадь круга с радиусом $OC$ , то есть $Sкольца =π (OE2 − OC2)$ . Отрезок $OD$ равен: $OD = tgD3B6∘ = t1g236∘$ . Найдём радиусы:

OC = OD − 5= -12--− 5;OE = OD +5=--12--+ 5 tg36∘ tg36∘

откуда:

(( 12 )2 ( 12 )2) 240π Sкольца =π tg36∘ + 5 − tg36∘-− 5 = tg-36∘.

Ответ:

$--12-;-240π- sin36∘ tg36∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71674

Две окружности касаются внешним образом в точке $A.$ Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку $A$ с точками касания одной из общих внешних касательных, равны $6$ см и $8$ см.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберемся, что мы можем найти на картинке. Например, можем ли мы найти BC?

Подсказка 2

Да, можем. Так как, △BAC - прямоугольный, то BC = 10. Дальше воспользуемся свойством высот в прямоугольном треугольнике! Какие подобные треугольники есть на рисунке?

Подсказка 3

Верно, △BAC ∼ △O₂MC и △BAC ∼ △O₁NB (по 2 углам). Тогда, через подобие мы можем выразить радиус каждой из окружностей(и да, не забудьте, что если радиус перпендикулярен хорде, то он делит её пополам)

Показать ответ и решение

Пусть $O 1$ и $O 2$ — центры окружностей, $B$ и $C$ — указанные точки касания ( $AB =6,AC =8$ ). Поскольку треугольник $BAC$ прямоугольный (угол $A$ — прямой), то $BC =10.$

Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O2$ на $AC.$

$PIC$

Из подобия треугольников $O2MC$ и $CAB$ находим, что

O2C =BC ⋅ CM = 10⋅ 4= 20 AB 6 3

Аналогично находим, что $O1B = 15. 4$

Ответ:

$15;20 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76409

Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны 65 и 31 соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $−−→ AD$ и $−−→ BC.$

Источники: ОММО - 2015, задача 4, и Газпром - 2022, задача 3 (9-11 классы)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами трапеция, у которой мы знаем соотношение оснований, а посчитать нам хочется модули векторов- значит, попробуем посчитать всевозможные отрезки на чертеже!

Подсказка 2

Нам известно, как выглядит скалярное произведение векторов, которые мы можем выразить как сумму векторов, выраженных через друг друга. Теперь нужно его записать и использовать угол!

Подсказка 3

Нужное скалярное произведение есть 31/65 от суммы квадратов длин векторов AO и BO. А как учесть угол?)

Показать ответ и решение

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ . Из подобия треугольников $AOB$ и $COD$ следует, что $−O−→C = 31−→AO 65$ , а $−−→ 31−−→ OD = 65BO$ . Обозначим вектор $−→ AO$ через $⃗a$ , а вектор $−−→ BO$ через $⃗b$ . Тогда, из условия следует, что $(⃗a,⃗b)= 0$ и