Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.06 Комбинации прямой и графика другой функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#19984

На рисунке изображены графики функций $2 f(x) =ax +bx+ c$ и $g(x)= kx+ d,$ которые пересекаются в точках $A (− 1;0)$ и $B (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$11xy0A$

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты вершины параболы. По графику видно, что $x0 = −2,$ $y0 =1.$

Найдём $a,$ подставив точку $(− 1;0)$ в уравнение параболы:

0 = a(− 1+ 2)2+ 1 ⇔ a =− 1

Получим уравнение параболы

f(x)= −(x +2)2+ 1

Найдём уравнение линейной функции

g(x)= kx+ d

Ее график проходит через точки $(−1;0)$ и $(0;3).$ Найдём значение углового коэффициента:

Δg 3 − 0 k = Δx-= 0−-(−1) = 3

Значение коэффициента $d$ равно 3, поскольку прямая пересекает ось ординат в точке $(0;3).$

Получим уравнение функции

g(x)= 3x+ 3

Чтобы найти координаты точки $B,$ надо решить уравнение $f(x)= g(x):$

−(x+ 2)2 +1 = 3x + 3 2 − x − 4x − 4+ 1= 3x+ 3 x2 +7x +6 = 0 ⌊ ⌈x =− 1 x =− 6

Первое значение $x$ соответствует абсциссе точки $A,$ тогда второе — абсциссе точки $B.$ Найдём её ординату, подставив $x = −6$ в уравнение любой из функций. Подставим в $g(x)= 3x + 3:$

g(−6)= 3⋅(−6)+ 3= −15

Ответ: -15

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32016

На рисунке изображены графики функций $f(x) =− 3x+ 13$ и $g(x) = ax2 +bx +c,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $g(x)$ проходит через точки $(− 1;8),$ $(1;2)$ и $(3;4).$ Если график функции проходит через определенную точку, то ее координаты обращают уравнение функции в верное равенство. Значит, мы можем составить систему из трех уравнений:

( |||g(−1)= 8 {g(1)= 2 ||| (g(3)= 4 ( |||{a⋅(−1)2+ b⋅(−1)+ c= 8 a⋅(1)2+ b⋅(1)+ c= 2 |||( 2 a⋅(3) + b⋅(3)+ c= 4 ( |||{a− b+ c= 8 a+ b+ c= 2 |||( 9a+ 3b+ c= 4

Из первого уравнения следует, что $a= 8+ b− c.$ Тогда, подставив этот результат во второе уравнение, получим

a+ b+ c= 2 (8+ b− c)+ b+ c= 2 8+ 2b = 2 b= −3

Подставив $a= 8 +b− c= 5 − c$ и $b = −3$ в третье уравнение, получим

9(5− c)+ 3⋅(−3)+ c= 4 45− 9c− 9+ c= 4 36− 8c= 4 c= 4

Тогда можем найти $a:$

a = 5− c= 5− 4= 1

Значит, мы нашли уравнение функции $g(x):$

g(x)= x2− 3x+ 4

По условию графики функций $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в точках $A(3;4)$ и $B(x0;y0).$ Тогда координаты точки $B$ обращают уравнения функций $f(x)$ и $g(x)$ в верные равенства:

( { f(x0)= y0 ( ⇒ f(x0)= g(x0) g(x0)= y0 2 −3x0+ 13= x0− 3x0+ 4 9= x20 ⇒ x0 = −3 x0⁄=3

Тогда ордината $y0$ точки $B$ равна

y0 = f(x0)= f(− 3)= = − 3⋅(− 3)+ 13 = 9+ 13= 22

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71607

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)= ax2+ bx+ c$ и $g(x)= kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$110Axy$

Показать ответ и решение

начнем с параболы:
$f(0) = 0,$ поэтому коэффициент $c = 0.$
$f(− 1) = 2 −→ a− b = 2 −→ a = 2+ b,$
$f(2) = 2 −→ 4a + 2b = 2 −→ 4(2 + b)+ 2b = 2 −→ 8+ 6b = 2 −→ b = − 1,$
$a = 2− 1 = 1 −→ f (x) = x2 − x.$

Прямая:
$g(1) = 3 −→ 3 = k⋅1 −→ k = 3 −→ g(x) = 3x.$

Приравниваем две функции:

x2 − x = 3x,

x2 = 4x,

x1 = 0, x2 = 4.

Точка пересечения $x = 0$ у нас уже изображена на рисунке, поэтому нам подходит точка $x = 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#11248

На рисунке изображены графики двух функций: одна из них линейная, другая — вида $√ ----- y =a x− x0+ y0.$ Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций. Если таких точек несколько, в ответе укажите наименьшую абсциссу.

$xy110$

Показать ответ и решение

Для решения найдём уравнения обеих функций, после чего решим уравнение, приравняв эти функции, что и будет означать пересечение графиков функций.

Найдём уравнение линейной функции. Заметим, что прямая проходит через точки $(−4;0)$ и $(3;2).$ Тогда угловой коэффициент можно найти по формуле

k = y1−-y0= --2−-0- = 2 x1− x0 3 − (−4) 7

Получим уравнение прямой

2 y = 7x+ b

Для нахождения свободного коэффициента $b$ подставим произвольную точку на прямой в это уравнение. Подставим точку $(3;2) :$

2 = 2⋅3+ b ⇔ b= 8 7 7

Получаем уравнение прямой

y = 2 x+ 8 7 7

Найдём уравнение второй функции. Заметим, что график имеет вершину $(2;3),$ из чего можно сделать вывод, что $x0 = 2,$ $y0 = 3.$ Чтобы найти $a,$ подставим в полученную функцию $y = a√x-− 2-+3$ координаты точки $(3;4),$ которая находится на графике.

√ ---- 4= a 3− 2+ 3 ⇔ a= 1

Получаем уравнение второй функции

√----- y = x − 2+ 3

Приравняем полученные функции:

√x-−-2+ 3= 2x + 8 7 7 √x-−-2= 2x− 13 |⋅7 √ ----7 7 7 x− 2= 2x− 13

Возведём в квадрат обе части уравнения, отметив, что правая чать должна быть неотрицательной, то есть $2x − 13 ≥0 ⇔ x≥ 6,5 :$

2 49(x− 2)= 4x + 169− 52x 4x2− 101x+ 267= 0 2 2 D = 101 − 4 ⋅4⋅267 = 5929 = 77 101±-77 x1,2 = 8 = 3;22,25

Поскольку решение уравнения существует при $x≥ 6,5$ , получим единственное решение $x= 22,25.$

Ответ: 22,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#20627

На рисунке изображены графики функций $√ ---- f(x) =a x− b+ c$ и $g(x)= 0,75x+ 1,$ которые пересекаются в точках $A(0;1)$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Заметим, что область определения функции $√ ---- f(x)= a x− b+ c$ совпадает с областью определения функции $√---- x − b$ и равна $[b;+∞ ).$

Из графика видно, что $f(x)$ определена на $[− 1;+ ∞),$ откуда получаем $b= − 1.$

Тогда функция примет вид

f(x) =a√x-+-1+ c

По графику $f(−1)= − 2,$ то есть

a√−-1+-1+ c= −2 ⇔ c = −2 ⇒ f(x)= a√x-+1-− 2

По графику $f(0)= 1,$ то есть

a√0-+1 − 2 = 1 ⇔ a= 3 ⇒ f(x)= 3√x-+1-− 2

Найдем отличную от $A$ точку пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x):$

$pict$

Из последней системы получаем $x= 8.$ Тогда абсцисса точки $B$ пересечения графиков равна 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71601

На рисунке изображены графики функций вида $f(x)= a√x$ и $g(x) =kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$11Axy0$

Показать ответ и решение

Найдем значения параметра $a$ и $k :$

√- f (1) = a 1 = 2 ⇒ a = 2 g(5) = k⋅5 = 1 ⇒ k = 0,2

Чтобы найти точки пересечения, необходимо приравнять функции:

2√x-= 0,2x 10√x--= x 100x = x2 x1 = 0, x2 = 100

Точку $A$ с абсциссой $x = 0$ мы уже видим на рисунке, поэтому в ответ запишем корень $x = 100.$

Ответ: 100

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76267

На рисунке изображены графики функций $f(x) = a√x,$ $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A.$ Найдите ординату точки $A.$

$110xy$

Показать ответ и решение

График функции $f(x)$ проходит через точку $(1;3),$ следовательно,

3 = a√1 ⇔ a = 3.

Значит, $f(x) =3√x.$

График функции $g(x)$ проходит через точки $(0;−4)$ и $(2;− 2),$ следовательно,

({ ({ −4 = k⋅0+ b ⇔ k = 1 ( −2 = 2k+ b ( b= −4

Значит, $g(x)= x − 4.$

Тогда координаты точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$ ищутся из системы

({ √- ({ √- y = 3 x ⇔ y =√-3 x ( y = x− 4 ( 3 x= x − 4

Сделаем замену $√x-= t.$ Тогда второе уравнение системы примет вид

t2− 3t− 4 =0 ⇔ t= −1;4

Так как $t≥ 0,$ то $√x-= t= 4.$ Следовательно, $y = 3√x = 3⋅4= 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#83754

На рисунке изображены графики функций $f(x)= a√x-$ и $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точках $A(1;3)$ и $B (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$110xyA$

Показать ответ и решение

Найдём уравнение функции $g(x).$ По графику видно, что $k = 1,$ поскольку функция увеличивается на 4 при увеличении аргумента на 4. Также прямая проходит через точку $(− 3;− 1),$ откуда

− 1= 1⋅(−3)+ b ⇒ b= 2

Тогда уравнение прямой имеет вид

g(x)= x+ 2

Найдём уравнение функции $f(x).$ Подставим точку $(1;3)$ графика корня в уравнение функции:

f(1)= 3 ⇔ a ⋅1 = 3 ⇔ a= 3

Тогда уравнение корня имеет вид

√ - f(x) =3 x

Найдём координаты точек пересечения графиков, приравняв функции:

√- x +2 = 3 x

Сделаем замену $t =√x-$ и получим квадратное уравнение:

t2− 3t+ 2= 0 2 D = (− 3) − 4⋅2 =9 − 8= 1 t= 3±-1 =1; 2 2

Сделаем обратную замену и получим совокупность

⌊ ⌊ ⌈t =1 ⇔ ⌈x = 1 t =2 x = 4

Точке $B$ соответствует координата $x0 = 4.$ Подставим её в уравнение $g(x)$ и получим

y = g(4)= 4 +2 = 6 0

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#18130

На рисунке изображены графики функций $f(x)= k x$ и $g(x)= ax+ b,$ которые пересекаются в точках $A (− 4;− 2)$ и $B(x0;y0).$ Найдите абсциссу точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

По условию график функции $f(x)$ проходит через точку $A(−4;−2),$ значит, координаты точки $A$ обращают уравнение $k f(x)= x$ в верное равенство, то есть

k −2 = −4- k = (−2)⋅(− 4) k = 8

Тогда уравнение $f(x)$ можно записать в виде

8 f(x)= x

По условию график функции $g(x)$ проходит через точки $A(−4;−2)$ и $(8;0).$ Значит, координаты точек $A$ и $(8;0)$ обращают уравнение $g(x)= ax +b$ в верное равенство, то есть

$pict$

Тогда уравнение $g(x)$ можно записать в виде

x 4 g(x)= 6 − 3

Так как $B(x0;y0)$ — вторая точка пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x),$ то

f(x0)= g(x0) 8 x 4 x-= -06 − 3 0 48 = x0(x0− 8) ⌊ ⌈x0 = 12 x = −4 0

Поскольку $x = −4$ — абcцисса точки $A,$ то абсцисса точки $B$ равна $x0 = 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#23738

На рисунке изображены графики функций $k f(x) = x$ и $g(x)= ax+ b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B(x0;y0).$ Найдите ординату точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Подставим точку $(− 2;2),$ расположенную на графике гиперболы, в функцию $f (x):$

k f(−2)= −-2 = 2 ⇔ k = −4

Найдём коэффициент по точкам на графике линейной функции

a = Δy-= −2-− (−5)-= 3 Δx 4− (− 4) 8

Найдём $b,$ подставив точку $(4;−2):$

3 −2= 8 ⋅4+ b ⇔ b= −3,5

Найдём точки пересечения, приравняв $f(x)$ и $g(x):$

f(x)= g(x) −4 3 x--= 8x− 3,5 2 −32 =3x − 28x 3x2− 28x+ 32= 0

Решим данное уравнение методом переброски коэффициента. Решим уравнение

x2− 28x +32 ⋅3 = 0

По теореме Виета легко находятся корни $x′1 = 4$ и $x′2 = 24.$ Тогда у исходного уравнения корни равны

′ ′ x1 = x1 = 4 и x2 = x2= 8 3 3 3

Видно, что точке $A$ соответствует координата $x1,$ тогда точке $B$ — координата $x2.$ Найдём ординату, подставив $x2$ в $g(x):$

3 g(8)= 8 ⋅8− 3,5 = −0,5

Способ 2.

По картинке видим, что целая точка $(− 2;2)$ принадлежит графику гиперболы $f(x)= kx,$ и целые точки $(−4;−5)$ и $(4;−2)$ принадлежат графику прямой $g(x) = ax + b.$ Можем полностью восстановить вид обеих функций: