3.08 Правильная и прямая призмы

Многогранник, вершинами которого являются точки — это прямоугольная пирамида с в основании и высотой

 

 

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, следовательно,

Площадь поверхности правильной призмы равна сумме площадей двух оснований и четырех боковых граней. Так как призма правильная, площадь каждого из ее оснований равна квадрату стороны основания. То есть

Тогда суммарная площадь четырех боковых граней равна

Здесь — площадь поверхности призмы, а — площадь одной боковой грани. Следовательно,

Площадь боковой грани равна произведению длин стороны основания и бокового ребра, поэтому боковое ребро равно

Многогранник с вершинами — это треугольная пирамида. Тогда ее объем вычисляется по формуле

Здесь — площадь основания, — длина высоты, опущенной на это основание.

При этом объем этой пирамиды равен объему пирамиды Это так, поскольку у этих пирамид равные по площади основания и лежащие в одной плоскости, и общая вершина

Тогда объем пирамиды равен

У квадрата все стороны равны в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами, равными .
 

 

Тогда площадь основания:
. Высота призмы равна стороне квадрата, тогда объем призмы:

Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за , а сторону правильного треугольника за . Тогда найдем площадь основания:
. Высоту выразим из формулы для площади боковой грани: . Наконец, найдем объем призмы:

 
Пусть – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой. Тогда прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

Так как диагональ квадрата в раз больше его стороны, то Следовательно,

 
Пусть . Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны, следовательно, . Следовательно, ее площадь равна

Площадь боковой поверхности призмы равна Следовательно, площадь полной поверхности равна

 
Из условия следует, что нужно найти

Так как и трапеция равнобедренная, то . Следовательно, равнобедренный с углом при основании , значит, равносторонний. Значит, . Также , причем коэффициент подобия равен . Следовательно, . Тогда . Значит

 
Так как призма правильная, то она является прямой, а в основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.
Пусть . Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Так как призма правильная, то – квадрат и все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, и , следовательно, по признаку . Следовательно, – проекция на грань . Следовательно, .
прямоугольный, как катет, лежащий против угла . Тогда . Следовательно, по теореме Пифагора из прямоугольного ():

Следовательно, объем призмы равен

Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что следовательно, угол между прямыми и и есть угол между прямыми и

Поскольку все ребра призмы равны, то грань представляет собой квадрат, где — диагональ. Тогда

Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, и

Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, Следовательно, правильный и Это и есть угол между и

 
По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная перпендикулярна , то и ее проекция перпендикулярна . Так как – боковая сторона трапеции, то ее основания – это и . Следовательно, по определению является высотой трапеции.
Заметим, что прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

Так как трапеция является описанной, то суммы ее противоположных сторон равны, следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон, значит, Значит, площадь трапеции равна Тогда объем призмы равен

Объем треугольной призмы вычисляется по формуле

где — площадь основания призмы, — ее высота.

Обозначим за объем и площадь основания отсеченной призмы, за объем и площадь исходной призмы.

Так как у отсеченной призмы и исходной призмы совпадают высоты, проведенные к основаниям и соответственно, то

Так как — средняя линия то она отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом то есть с коэффициентом подобия

Так как отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате, то

Поэтому

— пирамида, у которой высота, проведенная к основанию совпадает с высотой треугольной призмы проведенной к основанию Обозначим эту высоту за

В правильной треугольной призме высота, проведенная к основанию, совпадает с боковой стороной, поэтому

Объем пирамиды вычисляется по формуле

где — площадь основания, — высота, проведенная к основанию.

Поэтому:

Многогранник — это пирамида с основанием и высотой Объем пирамиды находится по формуле

Искомый объем равен разности объема призмы и объема треугольной пирамиды Следовательно, этот объем равен

Объем призмы рассчитывается по формуле Площадь треугольника (основания искомой призмы) составляет от площади правильного шестиугольника, значит