Турнир городов - задания по годам → .01 Турнир городов 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Геометрическая прогрессия состоит из 
натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты. Докажите, что 
-й
член прогрессии является 
-й степенью натурального числа.
Подсказка 1
Мы знаем, что все члены нашей прогрессии – натуральные числа, что в этом случае мы можем сказать о знаменателе прогрессии (обозначим его q)? Какому множеству чисел принадлежит q?
Подсказка 2
Хочется сказать, что q – тоже натуральное число, но не забывайте о том, что при умножении натурального числа на рациональное тоже может получиться натуральное число, так что в общем случае q = p/r, где p и r – взаимно простые натуральные числа (ясно, что q > 0, иначе не все члены прогрессии были бы натуральными, так что р и r обязательно должны быть одного знака, без ограничений общности будем считать их положительными)
Подсказка 3
Теперь посмотрим на первый (b₁) и последний (b₃₇) члены нашей прогрессии, пользуясь фактом об их взаимной простоте, можем ли мы сказать, чему равен b₁?
Подсказка 4
Так как b₃₇ = b₁p³⁶/r³⁶ – натуральное число, а р и r взаимно просты, очевидно, что b₁ должно делиться на r³⁶, то есть b₁ = kr³⁶, а чему может быть равно k?
Подсказка 5
У нас получилось, что b₃₇ = b₁p³⁶/r³⁶ = kp³⁶, но тогда b₃₇ и b₁ имеют общий делитель k, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо положить k = 1, теперь мы можем записать 19 член нашей прогрессии через р и r и получить желаемое!
Пусть наша прогрессия 
а знаменатель 
Так как 
— натуральные числа, значит, 
— рациональное число, пусть
где 
и 
По условию первый и 
члены взаимно просты. Значит,
Так как 
— натуральное, а 
то 
Если 
то 
следовательно 
Теперь ясно, что
— получили требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Петя подсчитал количество всех возможных 
-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы 
и
причём в каждом слове букв 
и 
поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 
-буквенных слов, в записи которых
могут использоваться только две буквы 
и 
и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово — это любая
последовательность букв.)
Источники:
Подсказка 1
Поймите ответ, перебрав маленькие m.
Подсказка 2
Чтобы из m буквенного слова получилось 2m буквенное нужно в 2 раза больше букв. Исходя из этого придумайте биекцию.
Подсказка 3
В биекции заменяйте одну букву на две, а в обратной наоборот, вот только как заменять?
Установим взаимно-однозначное соответствие между словами Пети и Васи. Разобьём Васино слово из 
букв на блоки из двух букв.
Заменим каждый блок 
на букву 
блок 
— на букву 
блок 
— на букву 
и блок 
— на букву 
Получится слово
из 
букв, в котором букв 
и 
поровну (изначально их было поровну, замена блоков 
и 
убирает равное число букв 
и
а значит, и блоков 
будет столько же, сколько блоков 
). Итак, каждому слову Васи мы сопоставили слово
Пети.
Наоборот, по каждому 
-буквенному слову Пети легко восстановить, из какого слова Васи оно получилось по описанному выше
правилу: надо заменить буквы по тому же правилу.
Поровну
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу записывают 
натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший
общий делитель. Найдите наибольшее натуральное 
на которое гарантированно будет делиться произведение этих 
чисел.
Источники:
Подсказка 1
Пока что вообще непонятно, как устроены числа. Давайте по порядку. Разберёмся с отдельными группами чисел. Что происходит с нечётными?
Подсказка 2
Осознайте, что два нечётных числа не могут находиться рядом. Что тогда?
Подсказка 3
Чётных чисел хотя бы половина (докажите это). То есть хотя бы 1008. Какой из этого вывод?
Подсказка 4
Существуют два чётных соседних числа. Может ли двойка в оба числа входить в первой степени?
Подсказка 5
Осознайте, что нет (посмотрите на остатки). Тогда N уже хотя бы 2¹⁰⁰⁷ * 4.
Подсказка 6
Докажите, что среди наших чисел либо есть хотя бы одно, кратное 3, либо есть пара соседних с равным остатками по модулю 3. Какой вывод из этого можно сделать?
Подсказка 7
Либо хотя бы одно, либо хотя бы два числа в последовательности делятся на 3. Итого, оценка на N ≥ 3*2¹⁰⁰⁹. Попробуем теперь построить пример?
Подсказка 8
Пример строится путём "подгона" произведения под оценку. Уверены, у вас получится! Успехов!
Оценка. Два нечётных числа не могут стоять рядом, так как они не делятся на свою чётную разность. Поэтому чётных чисел не меньше
половины, то есть хотя бы 
Так как их больше половины, то какие-то два чётных числа стоят рядом. Из этой пары чётных чисел хотя
бы одно кратно 
иначе их разность кратна 
а сами они нет. Предположим, у нас нет чисел, кратных 
Тогда, из-за нечётности
количества чисел, какие-то два соседних числа дают одинаковые остатки при делении на 
Эти числа делятся на свою разность, которая
кратна 
Противоречие. Следовательно, 
Пример. Числа 
удовлетворяют условию. Их произведение равно 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Петя сложил 
последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных
натуральных чисел, начиная с 
Могли ли они получить один и тот же результат?
Подсказка 1
Прежде чем строить какие-либо рассуждения, давайте посчитаем обе суммы. Для этого воспользуемся формулами суммы арифметической и геометрической прогрессии.
Подсказка 2
Пусть первый член геометрической прогрессии будет 2ⁿ, тогда сумма будет равна 2ⁿ(2¹⁰⁰ - 1), а сумма числе от 1 до k равна k(k + 1)/2. Приравняв данные две суммы, мы навряд ли сможем найти какое-то противоречие. Давайте тогда попробуем подобрать такие n и k, при которых равенство сможет выполниться.
Подсказка 3
Давайте распишем k, как k + 1 – 1. Тогда наше равенство будет выглядеть следующем образом. (k + 1)(k + 1 - 1) = 2ⁿ⁺¹(2¹⁰⁰ - 1). Внимательно посмотрите на выражение. Чем так сильно похожи правая и левая часть?
Подсказка 4
Равенство будет верным, если k + 1 = 2ⁿ⁺¹ = 2¹⁰⁰
По формуле суммы арифметической прогрессии
По формуле суммы геометрической прогрессии
Эти суммы могут быть равны при
То есть при 
получим требуемое в условии (взяв 
Да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В множестве 
выбрали подмножество 
Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого
принадлежат 
не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в 
Источники:
Подсказка 1
Пусть p, q ∈ A. Попробуйте рассмотреть какой-нибудь многочлен, который даст нам информацию на p и q, учитывая, что он не должен иметь действительных корней.
Подсказка 2
Давайте рассмотрим многочлен px² + qx + p. Что можно сказать про p и q?
Подсказка 3
Верно, p и q отличаются меньше, чем в два раза, иначе дискриминант неотрицательный. Попробуйте доказать, что если любые два элемента множества отличаются меньше, чем в два раза, то оно удовлетворяет условию про действительные корни.
Подсказка 4
Для этого попробуйте написать, чему максимум может быть равен дискриминант через M и m, где M и m — максимальный и минимальный элемент этого множества.
Подсказка 5
Максимальный дискриминант равен M² - 4m², а это меньше 0. Какое количество элементов максимум может быть в множестве, которое удовлетворяет условию, что любые два его элемента отличаются меньше чем в два раза, и оно является подмножеством множества {1, 2 ..., 2014}.
Подсказка 6
Правильно, 1007! Осталось привести пример.
Если 
и 
то дискриминант трехчлена 
неотрицательный, значит, у него есть корни. Таким образом, множество
не содержит чисел, отличающихся хотя бы вдвое.
Покажем, что если в 
отношение любых двух чисел меньше 
то все трехчлены с коэффициентами из 
не имеют корней. Пусть
— наибольшее из чисел в 
а 
— наименьшее. Тогда дискриминант трехчлена с коэффициентами из 
не больше
Очевидно, что максимальное подмножество 
в котором отношение любых двух чисел меньше 
имеет мощность 
Подходит, например, 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Учитель написал на доске 10 чисел. Вася увеличил каждое из чисел на 1 и сумма их квадратов не изменилась. Как изменится сумма квадратов чисел, если каждое увеличить на 2?
Подсказка 1
Давайте распишем искомую величину и определим, что нам нужно найти для того, чтобы получить ответ.
Подсказка 2
Если раскрыть скобочки и привести подобные слагаемые, видно, что нам достаточно узнать лишь сумму наших чисел, как можно это сделать из данного нам условия?
Подсказка 3
Давайте запишем равенство суммы квадратов чисел, увеличенных на 1, и суммы квадратов исходных чисел, раскроем скобочки и выразим отсюда необходимую нам сумму, подставим её в искомое выражение и получим ответ!
Пусть написанные на доске числа — 
Тогда по условию задачи имеем следующее тождество:
Раскрываем скобки и в левой части группируем отдельно квадраты и удвоенные числа, получаем следующее уравнение:
Суммы квадратов в левой и правой частях взаимно уничтожаются.
Откуда получаем:
В задаче необходимо найти изменение суммы квадратов после прибавления 
к каждому числу, то есть значение выражения:
Раскроем скобки и сгруппируем отдельно квадраты и учетверенные попарные произведения:
Сумма квадратов взаимноуничтожится, а сумму чисел мы знаем. Подставляем в полученное выражение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Конечно или бесконечно множество натуральных чисел, у которых как в десятичной записи, так и в семеричной записи нет нуля?
Источники:
Подсказка 1
При переходе из 10-й в 7-ую систему счисления число ведет себя непонятным образом, попробуйте подобрать такое число, чтобы в 7-й системе было приятно с ним работать
Подсказка 2
Какие числа в семеричной системе легко переводятся в десятичную систему счисления?
Подсказка 3
aₙ = 7ⁿ+7ⁿ⁻¹…+7+1 в семеричной системе счисления записывается так: 111…111 (n+1 единица). Всегда ли aₙ не имеет нулей?
Подсказка 4
Чтобы не сильно менять вид числа aₙ будем добавлять числа вида 7^k, k ≤ n
Подсказка 5
Пусть ноль где-то есть, какую степень семерки нужно взять чтобы избавиться от 0, но не совершить переход через разряд?
Подсказка 6
Найдётся степень семёрки, лежащая между 10^i и 7×10^i. Докажите, что перехода через разряд не произойдёт.
При любом натуральном 
положим 
Покажем, что к 
можно прибавить несколько различных степеней
семёрки, не превосходящих 
чтобы получилось число 
без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись 
будет
состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел 
удовлетворяющих
условию.
Итак, рассмотрим десятичную запись числа 
рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в 
-м разряде
справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки 
лежащая между 
и 
заметим, что она
меньше 
и поэтому меньше 
После прибавления её к 
перехода из 
-го разряда не произойдёт (так как
первая цифра 
меньше 
), при этом в 
-м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в
десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в 
применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим
меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число
Бесконечно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске 
стоят 
не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу.
Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке;
если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей
одинаковы.
Подсказка 1
Рассмотрим произвольную ладью и любую клетку, находящуюся с ней в одной горизонтали. Сколько еще ладей могут бить эту клетку?
Подсказка 2
Действительно, эту клетку бьет ровно одна ладья! Рассмотрим теперь эту ладью и ту, что выбрали ранее. Есть ли у них еще общие клетки?
Подсказка 3
Еще одна их общая клетка находится на пересечении горизонтали второй ладьи и вертикали первой ладьи. А как будут распределены эти клетки между ладьями?
Подсказка 4
Конечно, эти клетки будут распределены только между двумя рассматриваемыми ладьями в зависимости от того, образуют строки и столбцы, в которых находятся ладьи, прямоугольник или квадрат. Что произойдет в случае прямоугольника?
Подсказка 5
Конечно, каждая ладья получает по целой клетке. В случае квадрата каждая ладья получает по пол клетки. Получается, что по площади клетки одинаково распределяются между двумя ладьями. Какова тогда площадь владений одной ладьи?
Ладья 
бьёт всего 
клеток — в своей вертикали и своей горизонтали. Рассмотрим другую клетку C в этой горизонтали. Её бьёт еще
ровно одна ладья 
находящаяся с ней в одной вертикали. Эта же ладья бьёт одну клетку 
находящуюся с 
в одной вертикали.
— угловые клетки клетчатого прямоугольника. Если этот прямоугольник — квадрат, ладьям 
и 
достанется по половине от
клеток 
и 
Если же он — не квадрат, то одна из клеток 
и 
достанется ладье 
а другая — ладье 
Отсюда ясно, что ладье
всего достанется 
клеток: та, на которой она стоит, и половина от оставшихся 
клеток. То же верно для каждой
ладьи.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
на высоте 
выбрана произвольная точка 
Точки 
и 
– середины сторон 
и 
соответственно. Перпендикуляр, опущенный из 
на 
пересекается с перпендикуляром, опущенным из 
на 
в точке 
Докажите, что точка 
равноудалена от точек 
и 
Подсказка 1
Обозначим через R и Q основания перпендикуляров, опущенных из M и N. Попробуйте переформулировать условие задачи.
Подсказка 2
Например, можно доказать, что точка P будет лежать на серединном перпендикуляре к AC.
Подсказка 3
Есть ли теорема, которая может нам в этом помочь?
Подсказка 4
Вспомните о теореме Карно.
Подсказка 5
Её можно применить для треугольника AXC, но должно выполняться CP² + XR² = XQ² + AR². Как бы нам это доказать?...
Подсказка 6
Может, надо записать теорему Пифагора для каких-то треугольников?
Обозначим через 
и 
основания перпендикуляров, опущенных из 
и 
Достаточно показать, что 
тогда по теореме Карно для треугольника 
точка 
будет лежать на серединном перпендикуляре к 
что равносильно
требуемому. Выразим квадраты из равенства с помощью теоремы Пифагора для треугольников 
и
:
Приведём подобные:
Домножим равенство на 
запишем 
как 
как 
а квадраты 
и 
распишем с помощью формулы
медианы для треугольников 
и 
Приведём подобные и поделим на 
Это равенство верно, поскольку
получили требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
являются соответственно хордами окружностей 
и 
касающихся друг друга
внешним образом. Градусные меры касающихся дуг 
и 
равны 
и 
Окружности 
и 
также имеют хорды 
и 
соответственно. Их дуги 
и 
расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей,
имеют градусные меры 
и 
Докажите, что 
и 
тоже касаются.
Источники:
Подсказка 1
Давайте проведем конструктивное доказательство и явно покажем, как задаются окружности ω₃ и ω₄. Проще всего это сделать, если явно указать преобразование, сохраняющее касание, которое перевело бы ω₁ в ω₃, ω₂ в ω₄. Что может являться данным преобразованием?
Подсказка 2
Когда дело доходит до сохранения касания при преобразовании, в первую очередь стоит думать об инверсии и аффинных преобразованиях. Если мы хотим перевести ω₁ в ω₃, то было бы проще перевести точку A в C, B в D. Для этого чаще всего используется композиции инверсии в центре точке O — пересечения точек AB и CD - и симметрии относительно биссектрисы угла AOC. Какой коэффициент должен быть у данной инверсии?
Подсказка 3
Коэффициент √(OA ⋅OC) = √(OB ⋅OD). Обоснуйте, что образы окружностей ω₁ и ω₂ являются окружностями ω₃ и ω₄.
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
— точка касания окружностей 
и 
Рассмотрим композицию инверсии с
центром в точке 
радиусом
и симметрии относительно внутренней биссектрисы угла 
Данное преобразование меняет пары точек 
и 
и 
Пусть 
— образ точки 
тогда окружности 
и 
касаются, т.к. являются образом окружностей 
и 
Осталось заметить, что 
следовательно, 
совпадает с 
аналогично, 
совпадает с
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник 
вписан в окружность с центром 
причём точка 
не лежит ни на одной из диагоналей этого
четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника 
лежит на прямой 
Докажите, что центр описанной
окружности треугольника 
лежит на прямой 
Источники:
Подсказка 1
Как можно показать, что центр окружности лежит на указанной прямой?
Подсказка 2
Показать, что указанная прямая является серединным перпендикуляром к некоторой хорде данной окружности. Какую хорду окружности можно рассмотреть?
Подсказка 3
Хочется, чтобы концом рассматриваемой хорды была точка O, потому что в таком случае достаточно показать, что отражение S точки O относительно хорды BD лежит на окружности AOC. Как это сделать? Напомним, что точка O₁ — центр окружности (BOD) лежит на прямой AC.
Подсказка 4
Прямая AC при инверсии относительно (ABCD) переходит в окружность (AOC). Тогда достаточно показать, что S является образом точки O₁ при указанной инверсии.
Пусть 
— центр окружности 
При инверсии относительно окружности 
точка 
переходит в точку 
симметричную точке 
относительно хорды 
которая лежит на окружности 
— образе прямой 
Таким
образом, прямая 
является серединным перпендикуляром к хорде 
окружности 
то есть проходит через ее
центр.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
ромба 
отмечены точки 
и 
соответственно так, что 
Докажите, что точка пересечения
медиан треугольника 
лежит на диагонали 
ромба.
Источники:
Подсказка 1
Утверждение задачи очевидно в случае, если P совпадает с C или B. Каким способов можно обобщить данный факт, если знаем, что он верен в нужном количестве частных случаев?
Подсказка 2
Доказать задачу с помощью линейного движения. Достаточно показать, что точка пересечения медиан движется линейно при линейном движении точки P. Случаи для проверки, что прямая ее движения совпадает с BD мы уже нашли.
Подсказка 3
Понятно, что точки P и Q движутся линейно. Что в таком случае можно сказать, про середину их отрезка?
Подсказка 4
Она так же движется линейно. Как из этого следует линейность движения точки пересечения медиан?
Подсказка 5
Последняя лежит на отрезке, который соединяет данную середину с вершиной A, и делит его в фиксированном отношении 2 : 1, то есть так же движется линейно.
.png)
Первое решение. Пусть точки 
и 
будут двигаться линейно из точки 
в точку 
и из точки 
в точку 
с равными
скоростями. Тогда точка 
— середина отрезка 
также будет двигаться линейно. Значит, и точка 
делящая отрезок 
в
отношении 
к 
будет двигаться линейно. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника 
движется линейно по
некоторой прямой 
Осталось показать, что 
Для этого достаточно найти два момента времени, когда точка пересечения медиан
лежит на 
Например, подойдут положения 
и 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Расположим наш ромб на комплексной плоскости так, чтобы его центр попал в начало отсчета, вершина
— в точку 
вершина 
— в точку 
(этого можно добиться с помощью поворота, параллельного переноса и
гомотетии). Тогда вершины 
и 
попадут на вещественную ось, причем 
Пусть 
откуда 
Аналогично 
Координата точки пересения медиан треугольника 
может быть вычислена по формуле
Последнее выражение является чисто мнимым, а значит, лежит на прямой
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из Южной Америки в Россию 
кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на
остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых.
Докажите, что общее число фруктов делится на 
Источники:
Обозначим за 
и 
— соответственно количество бананов, лимонов и ананасов на 
том корабле, а за 
и 
—
соответственно общее количество бананов, лимонов и ананасов. Так как число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на
остальных кораблях вместе взятых, получаем систему уравнений:
Складывая все эти уравнения, получаем
Так как число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых, получаем систему уравнений:
Складывая все эти уравнения, получаем
Тогда общее количество фруктов
Число 2010 даёт остаток 26 при делении на 31, а число 2009 даёт остаток 25 при делении на 31, тогда 
сравнимо с
по модулю 31. Так как 651 кратно 31, 
также делится на 31, таким образом, общее число фруктов кратно
31.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В таблицу 
вписали числа 
, каждое по 25 раз так, что для одной из диагоналей сумма чисел над ней
оказалась ровно в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку
таблицы.
Подсказка 1
Таблица большая, чисел много… Для начала полезно понять что-то про числа над (под) диагональю.
Подсказка 2
Оцените сверху сумму чисел над диагональю и снизу сумму чисел под диагональю.
Подсказка 3
Заметим, что сумма 300 наибольших чисел таблицы (14, 15,…,25, взятые по 25 раз) ровно в 3 раза больше суммы 300 наименьших чисел (1, 2, …, 12, взятые по 25 раз).
Подсказка 4
Что произойдёт, если число меньше 14 окажется над диагональю?
Над (под) диагональю находится 
чисел. Заметим, что сумма 300 наибольших чисел таблицы (14, 15, 
, 25, взятые по 25
раз) равна 
и ровно в три раза больше суммы 300 наименьших чисел (1, 2, …, 12, взятые по 25 раз), которая равна
. Обозначим 
. Тогда если над диагональю есть число меньше 14, то там сумма меньше, чем 
, а под
диагональю всегда хотя бы 
?! Значит, над диагональю все максимальные числа и аналогично под диагональю все минимальные числа.
Тогда все числа на диагонали равны 13.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ящике лежат 
шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 
шариков, то
среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в
ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?
Подсказка 1!
1) Давайте попробуем посмотреть на условие про 100 шариков под другим углом.. Например, о чем оно может сказать в контексте количества шариков одного цвета?
Подсказка 2!
2) Верно, каждого не меньше 12! Ведь иначе найдется 100 шариков без него
Подсказка 3!
3) Теперь нам бы посмотреть под другим углом и на то, что нам нужно получить! То есть сколько шариков точно можно вытянуть, чтобы условие не выполнялось? А сколько еще надо, чтобы оно выполнилось?
Если шариков какого-то цвета меньше 
, то найдётся набор из 
шариков, в котором этого цвета нет. Значит, шариков каждого цвета
не менее 
. Отсюда шариков любых двух цветов не больше 
, то есть достаточно вытащить 
шариков и среди них
гарантированно будет 
шарика разных цветов.
Почему нельзя вытащить меньше 
, чтобы наверняка нашлись шарики трёх разных цветов? Рассмотрим такой набор
по цветам: 
красных и по 
синих, зелёных и белых. Если вытаскивать меньше 
шариков, то можно вытянуть
только красные или синие шарики, которых в сумме как раз меньше 
. Будет набор шариков только из двух цветов, не из
трёх.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы 
и 
совмещаются поворотом так, что луч 
совмещается с лучом 
а луч 
— с 
В них вписаны
окружности, пересекающиеся в точках 
и 
Докажите, что углы 
и 
равны.
Подсказка 1
У нас на картинке есть две вписанные окружности. Было бы полезно отметить их центры O₁ и O₂. Верно ли, что теперь можно доказывать равенство уголков ∠O₁OF и ∠O₂OE?
Подсказка 2
Верно! Ведь ∠AOF и ∠DOE равны. Но тогда интересно будет посмотреть на биссектрису угла ∠O₁OO₂: обозначим за OK- биссектрису в треугольнике △O₁OO₂. Тогда ∠O₁OF=∠O₂OE ⇔ ∠FOK=∠FOE. А что можно сказать про отрезки EK и FK?
Подсказка 3
Они равны, ведь O₁O₂- серпер к EF. Если бы точки O, E, K и F лежали на одной окружности, то все было бы замечательно. Какую мы знаем окружность, которая проходит через O и K...
Подсказка 4
Окружность Аполлония для точек O₁ и O₂. Осталось только доказать, что EO₁ /EO₂=FO₁ /FO₂=OO₁ /OO₂. Первое равенство очевидно, ведь EO₁=FO₁=R₁ и EO₂=FO₂=R₂. Как доказать, что OO₁/OO₂=R₁/R₂?
Подсказка 5
Нужно всего лишь посмотреть на синусы углов ∠AOO₁ и ∠COO₂!
Первое решение.
Пусть 
— центры окружностей, 
— их радиусы. Проведём биссектрису угла 
(она же — биссектриса угла 
Пусть она пересекает отрезок 
в точке 
Поскольку
то точки 
принадлежат одной и той же окружности Аполлония точек 
и 
Поскольку 
— серединный
перпендикуляр к 
то равны хорды этой окружности 
и 
Значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы 
и
откуда немедленно следует равенство углов 
и 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Сделаем инверсию с центром в точке 
такую, что первая окружность переходит в равную второй. Вторая, соответственно, перейдёт в
равную первой. Тогда, с одной стороны, лучи 
и 
перейдут в себя, с другой — мы имеем картинку, симметричную исходной
относительно биссектрисы угла 
а значит, она же биссектриса угла 
откуда 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
В нём 
— точка пересечения высот, 
— центр вписанной окружности, 
— центр описанной окружности, 
— точка касания вписанной окружности со стороной 
Известно, что отрезки 
и 
параллельны. Докажите, что отрезки 
и
также параллельны.
Подсказка 1
Для начала, надо понять, что именно нам нужно доказывать, надо разбить нашу задачу на подзадачи, каждая из которых будет легче данной. Мы видим здесь ортоцентр и центр вписанной окружности. Из свойств ортоцентра, мы знаем, что расстояние от вершины до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до , противоположной этой вершине, стороны. Значит, стоит отметить середину BC и посмотреть, что это даст, учитывая условия задачи.
Подсказка 2
Верно, если середина - это M₁, то OMс=AH/2. А как нам использовать параллельность из условия? Высота из одной точки уже есть, а что такое высота из другой точки? Как это можно использовать?
Подсказка 3
Высота из другой точки - точки I - это точка касания вписанной окружности. Значит, IK₁=OM₁. Но при этом, мы знаем, что OM₁=AH/2, значит 2*IK₁=AH. Где можно на картинке найти удвоенный отрезок IK₁(радиус окружности)? Что это дает?
Подсказка 4
Удвоенный радиус вписанной окружности это, по сути, диаметр вписанной окружности. Значит, удобнее всего здесь отметить на этой окружности точку, диаметрально противоположную K₁ (искушенные читатели знают, что это совсем не простая точка).Пусть это точка D. Что тогда можно сказать про эту точку и точку А? В какой точке пересекает отрезок DA сторону BC? А если провести прямую, параллельную BC и проходящую через D?
Подсказка 5
Если провести такую прямую, то, во-первых, она будет касательной к вписанной окружности. Но при этом для треугольника, который отсекается этой параллельной прямой, эта окружность будет вневписанная. На построение какой окружности тогда намекает такое расположение?
Подсказка 6
Верно! На построение вневписанной окружности, которая касается BC. При этом, пусть AD пересекает BC в точке T₁. У нас есть вписанная и вневписанная окружности. Что принято рассматривать, когда есть две окружности, вписанные в один угол и имеющие две параллельные соответственные касательные?
Подсказка 7
Нужно рассмотреть гомотетию, с центром в точке А, переводящую вписанную окружность во вневписанную. Тогда, так как центр гомотетии, образ и точка лежат на 1 прямой, то выходит, что T₁-точка касания вневписанной окружности стороны BC, так как AD пересекает BC именно в этой точке. Значит, A,D,T₁ лежат на одной прямой! А что это дает? Как связаны точки касания вписанной и вневписанной окружности?
Подсказка 8
Да, CT₁=BK₁ (доказывается через обычный счет отрезков касания). Но при этом, М₁ — середина BC. То есть, от BC с концов отрезали равные отрезки (CT₁ и BK₁) и взяли середину. Значит, T₁M₁=M₁K₁. Так-так… А о чем задача? Ах да, нужно доказать, что AO и HK параллельны. Но при этом, на картинке у нас уже есть две параллельные прямые, которые отличны от тех, что в условии. Какие это прямые?
Подсказка 9
DK₁=AH, по доказанному. При этом, они параллельны. Значит, AHK₁D — параллелограмм. Значит, HK₁ || AD. Но нам же нужно доказать, что HK₁ || AO. Ого! Выходит, нам нужно доказать, что O лежит на прямой AD и задача решена? А равенство отрезков, доказанное ранее в пункте 8, может нам помочь?
Подсказка 10
Ну конечно, может! Только вот как бы это сделать? Хмм… А может быть, угадать эту точку на прямой AD? А вот если рассмотреть середину DT1…
Подсказка 11
Ничего себе! Если соединить середину DT₁ с другой серединой - М₁, то выходит, что этот отрезок будет перпендикулярен BC, при этом, будет равен половине DK₁, то есть, равен IK₁… Так это же отрезок M₁O ! Значит, O-середина DT₁, а значит, лежит на DT₁, а значит, и на AO !
Пусть 
— середина стороны 
, 
— точка касания вневписанной окружности для треугольника 
пересекается с
в точке 
Воспользуемся фактом, что на прямой 
лежит диаметрально противоположная точке 
точка
Так как 
из перпендикулярности 
и хорошо известно, что 
то 
— средняя линия 
и
При этом 
откуда 
— также средняя линия 
и параллельна 
откуда из условия задачи
следует, что 
В итоге имеем 
В силу перпендикулярности 
мы знаем, что 
Кроме того, по свойству ортоцентра
тогда 
Так что 
— параллелограмм, поэтому 
Замечание.
Равенство 
можно проверить чисто технически: пусть 
— высота 
тогда 
При этом 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности пересекаются в точках 
и 
Их общая касательная (та, которая ближе к точке 
) касается окружностей в точках
и 
Прямая 
пересекает прямую 
в точке 
На продолжении 
за точку 
выбрана точка 
так, что 
Прямая 
вторично пересекает окружность, содержащую точку 
в точке 
Прямая 
вторично пересекает окружность, содержащую точку 
в точке 
Докажите, что точки 
и 
лежат на одной
прямой.
Источники:
Подсказка 1
На картинке много окружностей, касательных, секущих. Попробуйте написать степени точек и что-то из этого извлечь. В общем, соберите информацию про картинку.
Подсказка 2
Вообще, если посмотреть на картинку, возникает желание, чтобы EBFK лежали на одной окружности, и существовала инверсия, переводящая E в C, B в A, F в D. Тогда задача была бы решена. Если посмотреть на степени точек, которые вы написали, то возможно это желание воплотится в реальность?
Рассматривая первую окружность и степень точки 
относительно нее получим, что 
Аналогично, для второй
окружности: 
откуда 
Так как 
получаем что 
откуда четырехугольник
вписанный. Рассмотрим инверсию с центром в точке 
переводящую точку 
в точку 
Рассматривая степень точки 
относительно первой и второй окружности получим, что 
Получается, что та же инверсия переводит точку
в точку 
и 
в 
Поскольку точки 
лежат на окружности, проходящей через центр инверсии, их образы лежат на одной
прямой, что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
К натуральному числу 
приписали это же число и получили число 
кратное 
Найдите все возможные значения числа
Источники:
Подсказка 1
Когда в задаче идет речь о «приписывании» цифр, полезно оценить исходное число через степени десятки.
Подсказка 2
b/a² =(10ⁿ+1)a/a²=(10ⁿ+1)/a. Зная, что а - n-значно, как можно оценить дробь (10ⁿ+1)/a?
Подсказка 3
Подумайте, на что может делиться 10ⁿ+1.
Подсказка 4
10ⁿ+1 нечётно, сумма цифр числа равна 2, и на 5 оно тоже не делится, что осталось?
Если число 
-значно, то 
Отсюда
Ясно, что 
(в таком случае 
не кратно 
), значит,
Число 
(а тем более, частное) не делится ни на 
ни на 
(сумма цифр равна 
), ни на 
поэтому единственное возможное
частное – 
Такое частное можно получить например, при 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)
Источники:
Подсказка 1!
1) Много условий зависимостей. Давайте обозначим количество карманов и количество кошельков за x и y, и попробуем как-то оценить количество долларов...
Подсказка 2!
2) Отлично, но теперь давайте посмотрим на утвердение в задаче, как часто доказываются задачи про дирихле, каким методом?
Подсказка 3!
3) От противного, и правда! Осталось аккуратно довести решение, идейно мы задачу уже решили.
Пусть карманов — 
, а кошельков — 
. Тогда по условию в каждом кармане меньше 
долларов.Значит, всего долларов меньше, чем 
(пересчитали доллары по всем карманам). Если утверждение “карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке” неверно, то верно,
что “карманов не больше, чем долларов в любом кошельке”, то есть в каждом кошельке хотя бы 
долларов. Тогда всего денег, с одной
стороны, хотя бы 
, так как в каждом из 
кошельков хотя бы 
долларов. А с другой стороны мы поняли, что всего долларов меньше
. Противоречие.
да
