Физтех - задания по годам → .09 Физтех 2017

Проведем через 2 вершины и центр квадрата прямые, параллельные осям, как на картинке.

Заметим, что выделенные на картинке цветом треугольники равны по двум углам и стороне. Значит, если одна вершина с координатами , то следующая , затем по аналогичным соображениям следующая вершина и последняя . Тогда из условия, что все координаты неотрицательные получаем, что числа неотрицательны. Отсюда и . Значит, для значения у нас вариант и для значения у нас вариант, но если , то не получится квадрат. Итого: вариантов для пар , но заметим, что в квадрате изначальную вершину можно выбрать четырьмя способами. Значит, четырём парам значений и соответствует один квадрат. Таким образом, квадратов .

По условию . Тогда . Так как , то , и значит, и .

По условию и .

Тогда

образуют геометрическую прогрессию.

Раз это числа вида , то среднее в квадрате равно произведению крайних. Значит

Поскольку , а данное в условии число уже оканчивается на , то достаточно добиться делимости на и на . Рассмотрим два случая:

• Пусть мы меняем нули на позициях одной чётности. Тогда сумма поставленных нами ненулевых цифр точно не меньше и не больше , а при этом должна быть кратна , поскольку остальные цифры в знакопеременную сумму дают . Отсюда сумма поставленных нами цифр в точности должна быть равна , причём тогда сумма всех цифр будет равна и кратна . Тогда и число будет делиться на . Способов выбрать две позиции одной чётности с учётом порядка (потому что мы будем ставить разные цифры, ведь не делится пополам, а при постановке разных цифр нам уже важно, в каком они стоят порядке: получаются разные числа) будет (первая позиция любая, а вторая из оставшихся позиций той же чётности номера), умножая это на количество разбиений числа в сумму двух цифр уже без учёта порядка (), имеем способов.
• Теперь рассмотрим позиции разной чётности. Теперь из признака делимости на поставленные нами две цифры должны быть равны (чтобы знакочередующаяся сумма цифр давала ноль и делилась на ), а сумма цифр полученного числа будет равна , где , и должна делиться на , отсюда подойдёт только . Осталось выбрать две позиции разной чётности без учёта порядка (ведь мы ставим одинаковые цифры и числа получаются одинаковые, хоть мы поставим , хоть ) способами (первая позиция любая, а вторая любая из позиций с номерами другой чётности).

В качестве ответа имеем .

Заметим, что первое уравнение при замене на или на не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При и это уравнение имеет вид — луч с началом в точке и угловым коэффициентом Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке и с вершиной в точке и угловыми коэффициентами лучей

Во втором уравнении выделим полный квадрат Тогда это уравнение можно записать так:

Оно задает окружность с центром в точке и радиусом (в случае — это точка ).

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку или отрезку Так как и то получаем или Видно, что при этих есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке поэтому любое или подходит.

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной или имеет радиус, больший но меньший Мы уже знаем и так что осталось найти этот радиус (обозначим его ). Для этого опустим перпендикуляр на сторону угла с вершиной в точке Пусть — угол наклона прямой ( Тогда Так как то По теореме Пифагора для получаем Тогда

От параллельного сдвига вдоль минимальное значение не поменяется, потому будем считать, что это значения . Если , то

Тогда .

Пусть и , где — касательная. Учтём равенство углов между касательной и хордой вписанным, запишем через стороны и

Поскольку , то . Отсюда сразу же находим

Осталось найти высоту, для этого заметим следующее

(a) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине у треугольников общий, то есть два варианта: либо либо Второй случай невозможен, так как внешний угол треугольника поэтому он равен сумме т.е. Тогда остаётся первый случай и Но четырёхугольник вписан в окружность, а значит, откуда Следовательно, диаметр окружности,

(b) Из предыдущего пункта получаем , то есть точка касания вписанной окружности является серединой стороны и равнобедренный, откуда . Пусть — радиус вписанной окружности и — точки касания её с катетами. Из условия и . При этом , запишем площадь двумя способами

Поскольку , то и . Площадь равнобедренного равна , откуда .

Воспользуемся формулой радиуса вписанной сферы , где — объём, а — площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид и равны (грань общая, а вершины и равноудалены от плоскости ); кроме того и (медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды и , эквивалентно условию или равенству высот, проведённых к стороне в треугольниках и .

Пусть высота пирамиды, а высота в треугольнике . Объём пирамиды равен , а её высота из вершины равна 3, то есть . Значит, площадь основания пирамиды равна . Тогда сторона основания , а высота треугольника равна 5. Значит, также равно 5. Из прямоугольного треугольника находим , т.е. точка находится на расстоянии 4 от прямой ( лежит на одной из двух прямых, параллельных , на расстоянии 4 от неё). Тем самым, угол между гранями при ребре равен .

Из условия, что грани и взаимно перпендикулярны, следует, что лежит на . Так как , то . Значит или . Тогда или .

ОДЗ: .

Поскольку , то сделаем замену . По свойствам логарифмов , поэтому левая часть принимает вид

Таким образом, получаем неравенство

Подбором находим корень , откуда

Заметим, что при вторая скобка всегда положительна, потому решениями будут . Подставим

В итоге

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

Кроме того, по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда , подставим всё это в равенство выше и получим

Раскроем двойные углы и перемножим

Подставляя , имеем .

Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра расстояние от начала координат до прямой равно а точка удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку границей которой является прямая, касающаяся окружности

Уравнение данной системы можно преобразовать к виду Оно задаёт окружность с центром радиуса или точку при

Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра требуется, чтобы окружность пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть радиус той окружности которая касается окружности внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка .

Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что поэтому а значит .

Поскольку у трёхчлена каждый раз были различные наименьшие значения, то , по формуле это

После прибавления

После вычитания

Напишем разности полученных уравнений

Поделим нижнее на верхнее и получим , откуда находим , осталось рассмотреть прибавление

Поскольку , то минимум функции увеличится на .

Сделаем замену , получим

Сделаем ещё одну замену , получим

Учитывая ограничения

Остаётся вернуться к первоначальной переменной

Треугольник образуют любые три проведённые отрезка (с учётом сторон, то есть из 36 возможных), если они не исходят из одной и той же вершины Вычитая тройки отрезков от каждой вершины из всевозможных троек отрезков, получаем

Рассмотрим квадратный трехчлен для некоторых действительных Имеем, что Таким образом, Вычитая из первого уравнения третье и сократив на два, получим, что Подставляя найденные значения в последнее уравнение, имеем Тем самым мы показали, что

(a) Таким образом,

(b) Графики трехчленов отличаются и отличаются переносом на вектор, сонаправленный с осью следовательно, их минимальные значения совпадают. Своего минимального же значения функция достигает в точке Наконец, оно равно

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Альтернативное решение пункта a) можно получить так. Поскольку квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках и симметричных относительно абсциссы вершины параболы то она принимает равные значения так же в точках и , следовательно,

Перепишем неравенство в виде

Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:

Далее возможны два случая.

а)

б)

Объединяя результаты, получаем

Пусть — высота пирамиды, — проекция на прямую . Тогда — прямоугольный треугольник с углом , откуда . Аналогично доказывается, что точка удалена от каждой из прямых на расстояние (иначе говоря, окружность радиуса с центром касается прямых .

Треугольники и равны по трем сторонам, поэтому четырёхугольник симметричен относительно диагонали . Его площадь равна , поэтому . Равенство достигается, когда , поэтому .

Точка лежит на внутренней или внешней биссектрисе каждого из углов четырехугольника является внутренней биссектрисой углов и . Внешние биссектрисы углов и параллельны, поэтому обязана лежать на .

Обозначим через и точки пересечения внутренней и внешней биссектрис угла с прямой . Тогда — центр вписанной окружности четырёхугольника (пусть ее радиус равен ); центр окружности, касающейся продолжений сторон четырехугольника (вневписанной окружности, пусть ее радиус равен ). Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность может быть задана формулой

откуда . Также

откуда .

Пирамида удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда (1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности (т.е. ) и при этом её длина равна или (2) высота проходит через центр вневписанной окружности (т.е. ) и .

a) При первый случай невозможен ( ). Поэтому остаётся второй случай, и тогда . Объём равен .

б) Объём в первом и во втором случае равен

Наибольший объём