Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .09 Физтех 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30940

На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(60;45)$ . Найдите количество таких квадратов.

Источники: Физтех-2017, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сместить оси координат в центр квадрата. Что тогда можно сказать про координаты его вершин?

Подсказка 2

Да, мы поняли, что координаты его вершин имеют вид (a,b),(-b,a),(-a,b),(b,-a). Но это при смещенных координатах(мы переместили центр из точки (0;0) в точку (60;45)). Вернем центр координат туда, где он был, и поймём, как изменились значения.

Подсказка 3

Конечно, к каждым координатам по Ох прибавилось 60, а к каждым по Оу прибавилось 45. Как теперь можно оценить a и b, используя условие о том, что координаты вершин квадрата-целые неотрицательные числа?

Подсказка 4

Да, мы получили, что |a|<=45 и |b|<=45. Все ли пары (a,b) нам подходят и не посчитали ли мы что-то несколько раз?

Подсказка 5

Нам не подходит пара (a,b)=(0,0), так как тогда это не квадрат. И также мы считаем все остальные пары по 4 раза. Остаётся посчитать итоговый ответ!

Показать ответ и решение

Проведем через 2 вершины и центр квадрата прямые, параллельные осям, как на картинке.

$PIC$

Заметим, что выделенные на картинке цветом треугольники равны по двум углам и стороне. Значит, если одна вершина с координатами $(60− a;45− b)$ , то следующая $(60+b;45− a)$ , затем по аналогичным соображениям следующая вершина $(60+a;45+ b)$ и последняя $(60− b;45+a)$ . Тогда из условия, что все координаты неотрицательные получаем, что числа $60− a, 45− b, 60+ b, 45− a, 60+a, 45+ b, 60− b, 45 +a$ неотрицательны. Отсюда $|a|≤ 45$ и $|b|≤ 45$ . Значит, для значения $a$ у нас $91$ вариант и для значения $b$ у нас $91$ вариант, но если $a =b= 0$ , то не получится квадрат. Итого: $2 91 − 1$ вариантов для пар $(a,b)$ , но заметим, что в квадрате изначальную вершину можно выбрать четырьмя способами. Значит, четырём парам значений $a$ и $b$ соответствует один квадрат. Таким образом, квадратов $912−1 4 = 2070$ .

Ответ:

$2070$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31043

Известно, что числа

x,y,z

образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 2) 5$ , а числа

3+ sinx,3+sin y,3+ sinz

образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $sin y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решать задачу с 3 переменными, конечно, полная жуть. К тому же, если нам надо найти sin(y), то удобно в конце концов получить что-то хорошее относительно него. Поэтому , используя условие на x, y, z, как мы можем облегчить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, можем обозначить x, как y-α, а z, как y+α, и подставить вместо них соответственно. Подумаем теперь над второй тройкой чисел. Они образуют геометрическую прогрессию. Но что нам известно про тройку таких членов?

Подсказка 3

Ага, ведь произведение крайних членов равно квадрату среднего. Теперь можно попробовать свести всё к решению уравнения относительно sin(y). Осталось только понять, что, если нам известно arccos(-2/5), то sin(α) и cos(α) мы без проблем найдём, учитывая ограничение.

Показать ответ и решение

По условию $cosα =− 2 5$ . Тогда $sin2α =1 − cos2α = 21 25$ . Так как $α =arccos(− 2) 5$ , то $α∈ [0,π]$ , и значит, $sinα ≥0$ и $sinα= √21 5$ .

По условию $x= y− α$ и $z = y+ α$ .

Тогда

2 √21- 3+ sinx= 3+ sinycosα− cosysinα = 3− 5siny− -5- cosy

3+sin y

√ -- 3+ sinz = 3+ sinycosα+ cosysinα = 3− 2siny+--21 cosy 5 5

образуют геометрическую прогрессию.

Раз это числа вида $a, at, at2$ , то среднее в квадрате равно произведению крайних. Значит

√-- √-- (3 +siny)2 = (3 − 2siny+-21 cosy)(3− 2siny− -21cosy) 5 5 5 5

2 2 2 √21 2 2 2 21 2 (3+ siny) =(3− 5sin y)− (-5-cosy)= (3− 5siny) − 25(1− sin y)

9+6siny+ siny2 = 9− 125-siny+ 425siny2− 2215 + 2215siny2

6siny =− 12siny− 21 5 25

42siny =− 21 5

siny =− 1- 10

Ответ:

$−-1 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31834

Дано число $5300...0035$ ( $100$ нулей). Требуется заменить некоторые два нуля на ненулевые цифры так, чтобы после замены получилось число, делящееся на $495$ . Сколькими способами это можно сделать?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как мы рассматриваем делимость на 495, посмотрим сначала его разложение на простые множители, 495=5*11*9. Наше же число уже оканчивается на 5, поэтому осталось проконтролировать делимость на 9 и 11. Если с делимостью на 9 всё относительно просто, то вот с 11 посложнее, потому что делимость зависит от чётности. Тогда какие два случая резонно рассмотреть, чтобы проконтролировать это?

Подсказка 2

Верно, можно рассмотреть случаи, когда мы меняем 0 на позиции одной чётности и на разных. Так будет намного удобнее, и, конечно, они не пересекаются между собой. Посмотрим сначала первый случай. Что тогда можно сказать про позиции 5 и 3 и сумму цифр числа? Как они влияют на делимость на 9 и 11?

Подсказка 3

Верно, 5 и 3 находятся на позициях с разной чётностью, а значит никак не влияют на делимость на 11. То есть мы должны менять нули на цифры с суммой 11. А что с делимостью на 9? С ней всё ок, так как 5+5+3+3+11=27. Осталось только найти количество способов выбрать позиции одной чётности и умножить на количество представлений числа 11. Теперь что можно сразу сказать про второй случай, зная информацию из этой подсказки?

Подсказка 4

Ага, раз теперь позиции разной чётности, то и разность должна делится на 11. Другими словами цифры должны быть равны(цифры не превышают 9). А что с делимостью на 9? Наша сумма равна 16+2х, где х – это цифра, на которую поменяли нули. Посмотрите, чему может равняться х, и аналогично найдите количество способов выбрать две позиции разной чётности без учёта порядка.

Показать ответ и решение

Поскольку $495 =5 ⋅9⋅11$ , а данное в условии число уже оканчивается на $5$ , то достаточно добиться делимости на $11$ и на $9$ . Рассмотрим два случая:

Пусть мы меняем нули на позициях одной чётности. Тогда сумма поставленных нами ненулевых цифр точно не меньше $2$ и не больше $18$ , а при этом должна быть кратна $11$ , поскольку остальные цифры в знакопеременную сумму дают $0$ . Отсюда сумма поставленных нами цифр в точности должна быть равна $11$ , причём тогда сумма всех цифр будет равна $11+ 5+ 3+3 +5 =27$ и кратна $9$ . Тогда и число будет делиться на $9$ . Способов выбрать две позиции одной чётности с учётом порядка (потому что мы будем ставить разные цифры, ведь $11$ не делится пополам, а при постановке разных цифр нам уже важно, в каком они стоят порядке: получаются разные числа) будет $100 ⋅49$ (первая позиция любая, а вторая из оставшихся позиций той же чётности номера), умножая это на количество разбиений числа $11$ в сумму двух цифр уже без учёта порядка ( $11= 2+ 9= 3+ 8=4 +7 =5+ 6$ ), имеем $4⋅100⋅49$ способов.
Теперь рассмотрим позиции разной чётности. Теперь из признака делимости на $11$ поставленные нами две цифры должны быть равны (чтобы знакочередующаяся сумма цифр давала ноль и делилась на $11$ ), а сумма цифр полученного числа будет равна $16+ 2k$ , где $k ∈[1,9]∩ℕ$ , и должна делиться на $9$ , отсюда подойдёт только $k= 1$ . Осталось выбрать две позиции разной чётности без учёта порядка (ведь мы ставим одинаковые цифры и числа получаются одинаковые, хоть мы поставим $k...k$ , хоть $k...k$ ) $100 ⋅50∕2= 502$ способами (первая позиция любая, а вторая любая из позиций с номерами другой чётности).

В качестве ответа имеем $502+ 400 ⋅49 =22100$ .

Ответ:

$22100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32287

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ 3|y|− 4|x|=6; x2+ y2− 14y+ 49− a2 = 0

(a) имеет ровно три решения;

(b) имеет ровно два решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала построим график первого уравнения: оно не зависит от параметра а. Заметим, что график этот симметричен относительно обеих координатных осей, это можно использовать при его построении!

Подсказка 2

Второе уравнение включает в себя х² и у² и не включает перекрёстных слагаемых, это наводит на мысль о том, что надо попытаться получить из него уравнение окружности!

Подсказка 3

Пункт (а). Нужно получить нечётное число решений, а построение симметрично относительно оси у. Как тогда должна располагаться окружность?

Подсказка 4

Пункт (б). Если предположить, что окружность пересекает нижний "уголок", то и верхний она тоже пересекает и решений уже больше двух. Поэтому подходящие значения а нужно искать в том диапазоне, когда окружность пересекается только с верхним "уголком"!

Показать ответ и решение

Заметим, что первое уравнение при замене $x$ на $− x$ или $y$ на $− y$ не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При $x ≥0$ и $y ≥ 0$ это уравнение имеет вид $4 y = 2+ 3x$ — луч с началом в точке $A(0;2)$ и угловым коэффициентом $4 3.$ Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке $A(0;2)$ и с вершиной в точке $C(0;− 2)$ и угловыми коэффициентами лучей $( 4) ± 3 .$

Во втором уравнении выделим полный квадрат $2 2 y − 14y+ 49=(y− 7).$ Тогда это уравнение можно записать так:

x2+ (y− 7)2 =a2

Оно задает окружность с центром в точке $Q(0;7)$ и радиусом $|a|$ (в случае $a= 0$ — это точка $(0;7)$ ).

$PIC$

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси $Oy.$ Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку $QA$ или отрезку $QC.$ Так как $∘ -------------- QA = (0− 0)2+ (2 − 7)2 = 5$ и $QC = QA + AC = 5+ 4= 9,$ то получаем $|a|=5$ или $|a|= 9.$ Видно, что при этих $a$ есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке $A(0;2),$ поэтому любое $a= ±5$ или $a= ±9$ подходит.

$PIC$

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной $A$ или имеет радиус, больший $QA,$ но меньший $QC.$ Мы уже знаем $QA$ и $QC,$ так что осталось найти этот радиус (обозначим его $R0$ ). Для этого опустим перпендикуляр $QH$ на сторону угла с вершиной в точке $A.$ Пусть $α$ — угол наклона прямой $AH$ ( $tgα= 4). 3$ Тогда $∠QAH = 90∘− α,$ $∠AQH = α.$ Так как $QH = R , 0$ то $AH =QH tgα= 4R . 3 0$ По теореме Пифагора для $△AQH$ получаем $R = 3. 0$ Тогда $|a|∈{3}∪(5;9).$

$PIC$

Ответ:

(a) ${±5;±9}$

(b) $(−9;− 5)∪ {±3}∪(5;9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38126

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$ , $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$ .

Источники: Физтех-2017, 9.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Допустим, что наши три числа это n-1, n и n+1. Наверное, вы уже пробовали их подставлять и вышло, мягко говоря, плоховато... Давайте попробуем подумать немного через график. Что является наименьшим возможным значением на нём и отчего оно зависит?

Подсказка 2

Верно, минимум на графике - это будет вершина параболы. Но что мы подставляем в аргумент, находя значение там? Это либо -b/2a по формуле, либо полусумма корней квадратного трёхчлена. Но ведь ни то, ни другое совсем не зависит от наших последовательных чисел, а только от изначального трёхчлена. Какой вывод тогда можно сделать?

Подсказка 3

Точно, мы можем подставить любые удобные нам три последовательных числа! Другими словами, на графике из-за параллельного переноса, наименьшее значение не поменяется. Тогда можно выбрать просто -1, 0 и 1, откуда просто найти коэффициенты квадратного трёхчлена, решив систему, а потом найти и его минимум.

Показать ответ и решение

От параллельного сдвига вдоль $Ox$ минимальное значение не поменяется, потому будем считать, что это значения $− 1,0,1$ . Если $2 f(x)= ax + bx+ c$ , то

( a− b+ c=13 ( a= b |{ ⇐ ⇒ |{ ⇐ ⇒ c=13,a= b= 11 |( c= 13 |( c= 13 a+ b+ c=35 2a= 22

Тогда $fmin = f(−1∕2)= 11− 11+ 13= 41 4 2 4$ .

Ответ:

$41 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39607

В треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ в два раза больше угла при вершине $C$ . Через вершину $B$ проведена касательная $l$ к окружности $Ω$ , описанной около треугольника $ABC$ . Расстояния от точек $A$ и $C$ до этой касательной равны соответственно 4 и 9.

(a) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ .

(b) Найдите радиус окружности $Ω$ и длину стороны $AB$ .

Источники: Физтех-2017, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про угол между хордой и касательной?

Подсказка 2

Верно, такой угол равен одному из вписанных углов, опирающихся на ту же дугу! Одной из задач, которая перед нами стоит, является найти радиус описанной окружности. В какой теореме он присутствует?)

Подсказка 3

Да, в теореме синусов!) Запишите ее и посмотрите, сколько приятных вещей можем из нее найти!

Подсказка 4

Посмотрите на треугольник АВD и найдите сторону АВ!

Подсказка 5

Воспользуйтесь синусом угла АВС, чтобы найти нужное нам расстояние!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AD = 4$ и $CE =9$ , где $DE$ — касательная. Учтём равенство углов между касательной и хордой вписанным, запишем $2R$ через стороны $AB$ и $BC$

2R= -AB-= --42--= -BC--= --92-- ⇐⇒ 16cos2α =9 ⇐⇒ cosα= 3 sin α sin α sin2α sin 2α 4

Поскольку $3α< 180∘$ , то $√ - sinα =-47$ . Отсюда сразу же находим

AB = --4-= √16-, R = -AB--= 32- sin α 7 2sinα 7

Осталось найти высоту, для этого заметим следующее

3 ρ(A,BC)= AB sin∠ABC =AB sin3α =AB (3sinα− 4sin α)= 5

Ответ:

а) 5

б) $32; 7$ $1√6- 7$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#39608

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $7$ . Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ , а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$ . Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).

(a) Найдите $AC$ .

(b) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$ , касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK :KT :TA= 6:$ $1 :7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$ ). Найдите $∠DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$ .

Источники: Физтех-2017, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Заметим, что угол А у наших подобных треугольников общий. Что тогда можно сказать про другие углы этих треугольников?

Пункт а), подсказка 2

Ура! Мы использовали подобие, чтобы указать на равные углы! Но у нас два варианта… Как понять, что один не подходит?

Пункт а), подсказка 3

Да, угол ADP больше чем угол AQB. Значит, нам подходит только вариант равенства углов ABQ и ADP. Попробуйте, воспользовавшись вписанностью ABCD, понять, чему равен каждый из этих углов , и задача будет решена!

Пункт б), подсказка 1

Поскольку CK:KT:TA=6:1:7, то CT=TA, но ведь CA-диаметр из пункта а. Что это дает?

Пункт б), подсказка 2

Да, мы поняли, что угол DAC=45° (значит, мы нашли и площадь треугольника ADC). А также нашли длины отрезков CK,KT,TA. Воспользовавшись свойством равенства длин касательных из одной точки, попробуйте понять, как можно сделать картинку жёсткой. То есть какую одну переменную нужно ввести, чтобы картинка задавалась единственным образом?

Пункт б), подсказка 3

Да, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, фиксирует картинку. Осталось понять, чему равен этот радиус. Как это сделать? Попробуйте выразить площадь треугольника ABC двумя разными способами через радиус.

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине $A$ у треугольников общий, то есть два варианта: либо $∠ABQ = ∠ADP,∠AQB =∠AP D,$ либо $∠ABQ =∠AP D,$ $∠AQB =∠ADP.$ Второй случай невозможен, так как $∠ADP −$ внешний угол треугольника $CDQ,$ поэтому он равен сумме $∠DCQ + ∠DQC,$ т.е. $∠ADP > ∠AQB.$ Тогда остаётся первый случай и $∠ABC =∠ADC.$ Но четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, а значит, $∠ABC + ∠ADC = 180∘,$ откуда $∠ABC = ∠ADC =$ $90∘.$ Следовательно, $AC −$ диаметр окружности, $AC = 14.$

(b) Из предыдущего пункта получаем $T C = TA = 7$ , то есть точка касания вписанной окружности является серединой стороны и $△ADC$ равнобедренный, откуда $∘ ∠DAC = 45$ . Пусть $r$ — радиус вписанной окружности $ABC$ и $X ∈ AB,Y ∈BC$ — точки касания её с катетами. Из условия $Y C = CK = 6$ и $AK = AX = 8$ . При этом $BY = BX = r$ , запишем площадь $△ABC$ двумя способами

(r+ 6)(r+ 8) r(r+ 6+ r+8 +14) SABC =-----2---- = -------2------- ⇐⇒ r2+14r− 48 =0

Поскольку $r> 0$ , то $√-- r= −7+ 97$ и $SABC = (r+6)(2r+8)= 97−21= 48$ . Площадь равнобедренного $△ADC$ равна $√-√ - 7-2⋅27-2= 49$ , откуда $SABCD = 48 +49= 97$ .

Ответ:

(a) $14;$

(b) $45∘,97.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#43960

Основание треугольной пирамиды $ABCD$ — правильный треугольник $ABC.$ Объём пирамиды равен $2√5 3$ , а её высота, проведённая из вершины $D$ , равна $3.$ Точка $M$ — середина ребра $CD.$ Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды $ABCM$ и $ABDM$ , равны между собой.

(a) Найдите возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре $AB.$

(b) Найдите все возможные значения длины ребра $CD$ , если дополнительно известно, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны.

Источники: Физтех-2017, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Как можно применить данные о равенстве радиусов сфер, вписанных в пирамиды? В условиях, когда известен объём, хочется подумать о формуле, связывающей радиус с объёмом и площадью поверхности. (Если такая вам неизвестна, попробуйте её вывести по аналогии с планиметрическим S = p*r)

Пункт а), подсказка 2

Итак, что мы видим: одна грань у этих пирамид общая, две другие попарно равновелики, так как М является серединой CD. Что в этом случае можно сказать об оставшейся паре граней?

Пункт а), подсказка 3

У нас появились равные по площади грани! Известный объём пирамиды и высота к одной из них помогут нам отыскать площади этих граней. Нетрудные вычисления откроют нам ещё и длину высоты грани ADB.

Пункт а), подсказка 4

Проведите высоту к основанию АВС Данной пирамиды и её апофему в грани ADB. Какая теорема поможет нам достроить имеющуюся конструкцию до линейного угла двугранного угла? Мы знаем достаточно, чтобы найти триг. функцию от искомого угла! Не забывайте только — нам никто не говорил что искомый уголочек будет острым ;)

Пункт б), подсказка 1

Какой вывод о расположении высоты пирамиды мы можем сделать из перпендикулярности двух её граней?

Пункт б), подсказка 3

Осталось снова применить теорему Пифагора и искомое ребро у нас в кармане :) Только будьте внимательны: совсем не обязательно высота нашей пирамиды будет падать именно на ребро, а не на его продолжение!

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой радиуса вписанной сферы $r= 3V S$ , где $V$ — объём, а $S$ — площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид $ABCN$ и $ABDM$ равны (грань $ABM$ общая, а вершины $C$ и $D$ равноудалены от плоскости $ABM$ ); кроме того $SADM = SACM$ и $SBDM =SBCM$ (медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды $ABCN$ и $ABDM$ , эквивалентно условию $SABD = SABC$ или равенству высот, проведённых к стороне $AB$ в треугольниках $ABD$ и $ABC$ .

$PIC$

Пусть $DH$ высота пирамиды, а $DK$ высота в треугольнике $ABC$ . Объём пирамиды равен $√253-$ , а её высота из вершины $D$ равна 3, то есть $DH$ . Значит, площадь основания пирамиды равна $2√53$ . Тогда сторона основания $AB = 1√03$ , а высота треугольника $ABC$ равна 5. Значит, $DK$ также равно 5. Из прямоугольного треугольника $DHK$ находим $KH = √KH2-−-DH2-= 4$ , т.е. точка $H$ находится на расстоянии 4 от прямой $AB$ ( $H$ лежит на одной из двух прямых, параллельных $AB$ , на расстоянии 4 от неё). Тем самым, угол между гранями при ребре $AB$ равен $arccos± 4 5$ .

$PIC$

Из условия, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны, следует, что $H$ лежит на $BC$ . Так как $KH = 4$ , то $8 HB = √3$ . Значит $CH = CB ±HB = 2√3$ или $1√83$ . Тогда $---------- ∘ -- CD = √CH2 +HD2 = 331$ или $-- 3√ 13$ .

Ответ:

$(a) arccos±4 5$

$√3√1 (b) 3$ или $√-- 3 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44065

Решите неравенство

( 2 ) log2x logx log94+ 16− log32 log1623≤64 4 − 15⋅x 4

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу стоит записать ОДЗ. Неравенство состоит из очень разнообразных слагаемых, так что хочется привести их к похожему виду. Как можно преобразовать степень 64? Слева же хочется преобразовать логарифм по основанию 162, т.к. такое число у нас больше нигде не встречается.

Подсказка 2

Пусть у нас справа будет замена t = x в степени log₄x. Перепишите тогда правую часть выражения!

Подсказка 3

Посмотрим на логарифмы, слева у нас даже нет х. То есть, там записано некоторое число! Давайте попробуем привести их к хорошему виду и посчитать! Для этого стоит попробовать выразить все логарифмы через log₃2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ .

Поскольку $log24x 3log4x 64 =x$ , то сделаем замену $log4x t= x > 0$ . По свойствам логарифмов $--1-- ---1-- log162 3= log3162 = 4+log32$ , поэтому левая часть принимает вид

(4− log3 2)(4+log3 2) log32+ -----4+log3-2-----=4

Таким образом, получаем неравенство

t3 − 15t− 4 ≥0

Подбором находим корень $t= 4$ , откуда

(t− 4)(t2+ 4t+1)≥ 0

Заметим, что при $t> 0$ вторая скобка всегда положительна, потому решениями будут $t≥4$ . Подставим

log x x 4 ≥4 ⇐⇒ log4x⋅log4x ≥1 ⇐ ⇒ |log4x|≥ 1

В итоге

x ∈(0;1]∪[4;+∞ ) 4

Ответ:

$(0;1]∪ [4;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46084

Известно, что числа $x,y,z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 3) 7$ , а числа $--1 -7- -1- cosx,cosy,cosz$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $2 cos y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сведем все к максимум двум переменным, пусть это будет y и α. Тогда, по условию, х = у-α, а z = y+α.

Подсказка 2

Основное свойство арифметической прогрессии: удвоенный член прогрессии равен сумме его двух соседей. Примените это к дробям и воспользуйтесь формулой суммы косинусов. Дальше и появится то, что мы ищем - cos(y)^2, не усложняйте себе жизнь поиском самого cos(y) :)

Показать ответ и решение

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

14 1 1 14 2cosx+zcosx−z cosy = cosx + cosz ⇐ ⇒ cosy-= 1(cos(x-+2z)+-cos2(x-− z) 2

Кроме того, $x+ z = 2y$ по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда $z − z =2α$ , подставим всё это в равенство выше и получим

--7-= -2cosycosα-- cosy cos2α + cos2y

Раскроем двойные углы и перемножим

2 2 2 2 7 − 7cos2 α 14cosα − 7+ 14cos y− 7= 2cosycosα ⇐⇒ cosy =-7-− cosα

Подставляя $cosα= − 37$ , имеем $cos2y = 1103$ .

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#51341

Найдите все значения параметра $b$ такие, что система

{ x cosa+ ysina− 2≤ 0 x2+ y2+ 6x − 2y− b2+4b+ 6= 0

имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $a$ .

Источники: Физтех-2017, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим неравенство. Что, если взять прямую x⋅cos(a) + y⋅sin(a) - 2 = 0?

Подсказка 2

Чему равно расстояние от начала координат до нее?

Подсказка 3

Расстояние всегда равно двум, кроме того, точка (0;0) всегда удовлетворяет данному неравенству.

Подсказка 4

Неравенство задаст полуплоскость, содержащую точку (0;0), границей является прямая, касающаяся окружности x² + y² = 4.

Подсказка 5

Уравнение обратится в окружность с переменным радиусом, осталось понять, каким он должен быть.

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра $a$ расстояние от начала координат до прямой $xcosa+ ysina− 2= 0$ равно $2,$ а точка $(0;0)$ удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку $(0;0),$ границей которой является прямая, касающаяся окружности $2 2 x + y = 4.$

Уравнение данной системы можно преобразовать к виду $2 2 2 (x+ 3)+ (y− 1) = (b − 2).$ Оно задаёт окружность $Ω(b)$ с центром $(−3;1)$ радиуса $|b− 2|($ или точку $(−3;1)$ при $b= 2).$

$PIC$

Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра $a,$ требуется, чтобы окружность $Ω(b)$ пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть $r0−$ радиус той окружности $Ω(b),$ которая касается окружности $x2+ y2 = 4$ внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка $[r0;+∞ )$ .

Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что $r0 = √10− 2,$ поэтому $|b− 2|≥ √10− 2$ а значит $b∈ (− ∞;4− √10]∪[√10;+∞ )$ .

Ответ:

$(−∞;4 − √10]∪[√10;+∞)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#51857

Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x2$ , его наименьшее значение увеличилось на $1$ , а когда из него вычли $2 x$ , его наименьшее значение уменьшилось на $3$ . А как изменится наименьшее значение $f(x)$ , если к нему прибавить $2 2x$ ?

Источники: Физтех-2017, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что каждый раз у квадратного трёхчлена были различные наименьшие значения.

Подсказка 2

Это значит, что коэффициент при x² больше 1.

Подсказка 3

Пусть у нас был квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c, его наименьшее значение соответствует точке -b/2a, подставьте её в f.

Показать ответ и решение

Поскольку у трёхчлена $f(x)= ax2 +bx+ c$ каждый раз были различные наименьшие значения, то $a> 1$ , по формуле это

0 ( b) b2 fmin = f − 2a = c− 4a = T

После прибавления $x2$

2 f1min =c −--b-- =T +1 4a+ 4

После вычитания $x2$

f2min =c −--b2- =T − 3 4a− 4

Напишем разности полученных уравнений

{ -b2- b2 { b2 -b2- ({ --b2---=1 −4ab+24 + c= −4ba2 + c+ 1 ⇐⇒ 4a −b2 4a+b42 = 1 ⇐⇒ ( 4a(ab2+1)- −4a−4 + c= −4a + c− 3 −4a +4a−4 = 3 4a(a−1) =3

Поделим нижнее на верхнее и получим $a+1- a− 1 = 3 ⇐ ⇒ a= 2$ , откуда находим $2 b =24$ , осталось рассмотреть прибавление $2 2x$

2 f3min = c−-b---= − 3+ c 4a+8 2

Поскольку $f0min = c− b24a-=c − 248 = c− 3$ , то минимум функции увеличится на $32$ .

Ответ:

увеличится на $3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67702

Решите неравенство

∘ √------- ∘ --------√----- x+ 1− 2+ x+ 82− 18 x +1 >5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим какие-то не очень приятные корни... Так под корнем ещё один корень. Давайте попробуем облегчить себе жизнь хоть немного. Видим, что под обоими большими корнями есть общий корень. Какое тогда действие напрашивается сделать?

Подсказка 2

Верно, давайте сделаем замену t=√(x+1), где t — неотрицательный. Далее после преобразований получим выражение с модулем и корнем. С первого взгляда не совсем понятно, что с этим теперь делать... Но не можем ли мы снова сделать замену корня?

Подсказка 3

Конечно можем, ведь тогда t легко выражается через замену. Остаётся теперь только аккуратно решить это квадратное неравенство с модулем и совершить обратные замены. После чего мы и получим решение для x.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-+-1≥ 0$ , получим

√---- ∘ -2-------- √ ---- t− 2+ t − 18t+ 81 >5 ⇐ ⇒ t− 2+ |t− 9|>5

Сделаем ещё одну замену $y =√t-− 2≥ 0$ , получим

2 y +|y − 7|> 5 ⇐⇒ y ∈(−∞, −4)∪(−1,2)∪ (3,+∞ )

Учитывая ограничения

√t−-2∈ [0,2)∪ (3,+∞ ) ⇐⇒ t∈[2,6)∪(11,+ ∞)

Остаётся вернуться к первоначальной переменной

√x-+-1∈[2,6)∪ (11,+∞ ) ⇐ ⇒ x ∈[3,35)∪(120,+∞ )

Ответ:

$[3;35)∪(120;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#78845

На сторонах треугольника $ABC$ отмечены точки: 10 точек на стороне $AB$ , 11 точек на стороне $BC$ , 12 точек на стороне $AC$ . Вершины треугольника соединили отрезками со всеми точками на противоположных сторонах. Никакие три проведённых отрезка не проходят через одну точку. Сколько всего треугольников можно увидеть на этой картинке?

Источники: Физтех-2017, 10.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам сказали, что никакие три проведённых отрезка не пересекаются в одной точке, а значит, любые 2 образуют свою точку, попробуйте выбрать 3 отрезка и посмотреть на точки их пересечения, что мы можем про них сказать?

Подсказка 2

Верно, когда мы выберем 3 отрезка, то получим 3 точки - вершины треугольника, а значит, задача свелась к выбору трёх отрезков (не забудьте про стороны исходного треугольника, они тоже могут выступать в качестве сторон треугольников, которые мы считаем).

Подсказка 3

А вы заметили, что мы явно пользовались тем, что треугольник получается только в том случае, когда три выбранных отрезка имеют 3 точки пересечения, но не каждый выбор отрезков гарантирует нам 3 точки? Подумайте, какие выборки нам надо исключить, чтобы получить верный ответ.

Подсказка 4

Правильно, надо исключить выборки тех отрезков, которые имеют общую точку в вершине исходного треугольника, ведь для остальных треугольников по условию задачи у нас найдутся 3 точки пересечения, а значит, и треугольник.

Показать ответ и решение

Треугольник образуют любые три проведённые отрезка (с учётом сторон, то есть из 36 возможных), если они не исходят из одной и той же вершины $△ABC.$ Вычитая тройки отрезков от каждой вершины из всевозможных троек отрезков, получаем

3 ( 3 3 3) C36− C12+ C13+C 14 = 7140 − 870= 6270

$PIC$

Ответ: 6270

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88686

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений $n$ , $n+ 1$ и $n +2$ аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения $6$ , $5$ и $5.$

(a) Найдите значение функции $f(n+ 3)$ .

(b) Найдите наименьшее возможное значение $f(x).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пункт (а). Обратите внимание, что наша квадратичная функция по условию принимает равные значения при n + 1 и n + 2. О чем нам это говорит?

Подсказка 2

Если f(n + 1) = f(n + 2), тогда ось симметрии графика нашей квадратичной функции проходит через x = n + 1,5. Также мы знаем, что наша квадратичная функция при x = n равна 6. Чему тогда равно f(n + 3)?

Подсказка 3

Перейдём к (б)! Заметьте, что при отдалении от вершины значения функции увеличиваются, значит, минимальное значение будет в вершине. Нам нужно найти f(n + 1,5). Но мы не знаем, чему равно n. Какое преобразование данной функции не повлияет на значения функции, но позволит нам избавиться от n?

Подсказка 4

Давайте сдвинем квадратичную функцию на (n+1) влево по оси Ox и назовем новую функцию g(x). Мы получили, что f(n + 1,5) = g(0,5). Как же мы можем найти функцию g(x) и ее значения? Не забывайте про условия, которыми мы пользовались в пункте а.

Подсказка 5

Из условия нам известно, что g(-1) = 6, g(0) = 5, g(1) = 5. Зная значение квадратичной функции в трех точках, можно легко составить систему уравнений с тремя неизвестными и найти все коэффициенты квадратичной функции.

Показать ответ и решение

Рассмотрим квадратный трехчлен $g(x)= f(x +n+ 1)= ax2 +bx+ c$ для некоторых действительных $a,b,c.$ Имеем, что $g(−1)= f(n)= 6,g(0)=f(n+ 1)= 5,g(1)= f(n+ 2)=5.$ Таким образом, $a − b+ c= 6,c =5,a+ b+c= 5.$ Вычитая из первого уравнения третье и сократив на два, получим, что $b= −1∕2.$ Подставляя найденные значения в последнее уравнение, имеем $a =1∕2.$ Тем самым мы показали, что

x2 x g(x)= 2-− 2 +5.

(a) Таким образом,

f(n+ 3)= g(2)= 4− 2 +5= 6. 2 2

(b) Графики трехчленов отличаются $f(x)$ и $g(x)$ отличаются переносом на вектор, сонаправленный с осью $x,$ следовательно, их минимальные значения совпадают. Своего минимального же значения функция $g(x)$ достигает в точке $−-b 1 2a = 2.$ Наконец, оно равно

( 1) 1 1 7 g 2 = 8 −4 +5 =48.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Альтернативное решение пункта a) можно получить так. Поскольку квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках $n +1$ и $n +2,$ симметричных относительно абсциссы вершины параболы $x0,$ то $x0 = n+ 1.5,$ она принимает равные значения так же в точках $n$ и $n +3.$ , следовательно, $f(n+ 3) =f(n)= 6.$

Ответ:

(a) $6$

(b) $478$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#104847

Решите неравенство

log x 3√-log2√-x log 3√x x 3 − 2≤ ( 3) 3 − 2⋅x 3 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо привести все логарифмы к одинаковому или похожему виду, чтобы начать преобразовывать выражение целиком!

Подсказка 2

Попробуем сделать так, чтобы степени имели в себе log по основанию 3 в квадрате! Тогда можно будет перенести всё в левую часть и начать раскладывать на множители ;)

Подсказка 3

Отлично, выражение разложено, а произведение скобок отрицательно! Теперь можно разобрать случаи их знаков ;)

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

log2x 4log2x 1log2x 3 3 − 2− 33 3 + 2⋅33 3 ≤ 0

Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:

(3log23x− 2)(1 − 313log23x) ≤0

Далее возможны два случая.

а) ${ 3log23x − 2≥ 0, { log2x ≥log 2, [ log x≥ ∘log-2, [ x ≥3√log32, 1− 313log23x ≤0 ⇔ log32x ≥0 3 ⇔ log3x≤ −∘lo3g-2 ⇔ x ≤3−√log32; 3 3 3$

б) ${ log2x { 2 3 3 1−lo 2g≤2x0, ⇔ log32x ≤log32, ⇔ log3x =0 ⇔ x= 1 1− 33 3 ≥0 log3x ≤0$

Объединяя результаты, получаем

x ∈(0;3−√log32]∪{1}∪[3√log32;+∞ )

Ответ:

$(0;3−√log32 ] ∪{1}∪[3√log32;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#105348

Рассматриваются четырёхугольные пирамиды $MABCD$ со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник $ABCD,$ в котором $AB = BC = 1,$ $CD =DA = 2,$ а каждая из плоскостей боковых граней $MAB,$ $MBC,$ $MCD,$ $MDA$ составляет угол $∘ 45$ с плоскостью основания.

а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M,$ равна $9 5.$

б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите высоту пирамиды.

Подсказка 2

Высота ведь даёт нам угол 90°. Попробуйте перейти в прямоугольный треугольник.

Подсказка 3

Пусть H — проекция точки M на ABCD (следовательно, MH - высота), P — проекция точки M на AB. Чему будет равен ∠MPH?

Подсказка 4

По условию, каждая грань образует с основанием угол 45°, следовательно, ∠MPH = 45°. Значит, PH = HM. Выполните аналогичные действия для остальных граней.

Подсказка 5

У нас получатся равные прямоугольные треугольники, что можно тогда сказать о точке H?

Подсказка 6

Она будет центром вписанной в ABCD окружности с радиусом, равным MH. Что мы еще знаем про основание?

Подсказка 7

Проведя диагональ, можно получить 2 равных треугольника. Чему будет равна площадь этих треугольников?

Подсказка 8

S(ABD) = S(BCD) = AB ⋅ AD ⋅ sin(∠BAD) / 2. В пункте б мы хотим максимизировать объем пирамиды. Какой тогда может быть S(ABCD)?

Подсказка 9

S(ABCD) ≤ 2. На каких прямых лежит точка H?

Подсказка 10

Проведите биссектрисы внешних и внутренних углов четырехугольника ABCD. Что еще может быть на картинке?

Подсказка 11

Рассмотрите вневписанную окружность.

Подсказка 12

Выразите площадь ABCD через радиус вписанной окружности.

Подсказка 13

Подумайте, в каких случаях пирамида будет удовлетворять условию задачи.

Подсказка 14

Через какие точки должна проходить высота?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $MH$ — высота пирамиды, $(MH = h),$ $P$ — проекция $M$ на прямую $AB$ . Тогда $MHP$ — прямоугольный треугольник с углом $∠MP H = 45∘$ , откуда $HP = h⋅ctg45∘ = h$ . Аналогично доказывается, что точка $H$ удалена от каждой из прямых $BC, CD,DA$ на расстояние $r= h$ (иначе говоря, окружность радиуса $r$ с центром $H$ касается прямых $AB,BC, CD,DA )$ .

Треугольники $BAD$ и $BCD$ равны по трем сторонам, поэтому четырёхугольник $ABCD$ симметричен относительно диагонали $BD$ . Его площадь $S$ равна $2SBAD = AB ⋅AD sin∠BAD$ , поэтому $S ≤ AB ⋅AD = 2$ . Равенство достигается, когда $∠BAD = 90∘$ , поэтому $Smax = 2$ .

Точка $H$ лежит на внутренней или внешней биссектрисе каждого из углов четырехугольника $ABCD.BD$ является внутренней биссектрисой углов $B$ и $D$ . Внешние биссектрисы углов $B$ и $D$ параллельны, поэтому $H$ обязана лежать на $BD$ .

$PIC$

Обозначим через $I$ и $J$ точки пересечения внутренней и внешней биссектрис угла $A$ с прямой $BD$ . Тогда $I$ — центр вписанной окружности четырёхугольника $ABCD$ (пусть ее радиус равен $r1$ ); $J$ центр окружности, касающейся продолжений сторон четырехугольника $ABCD$ (вневписанной окружности, пусть ее радиус равен $r2$ ). Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность может быть задана формулой

(AB + BC +CD + DA )⋅r S = ---------2---------1,

откуда $r1 = S3$ . Также

S = SADJ +SCDJ − SABJ − SBCJ = (AD-+CD-−-AB-− BC-)⋅r2, 2

откуда $r2 = S$ .

Пирамида удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда (1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности (т.е. $H = I$ ) и при этом её длина равна $h= r1 = S 3$ или (2) высота проходит через центр вневписанной окружности (т.е. $H = J$ ) и $h= r2 = S$ .

a) При $h= 9 5$ первый случай невозможен ( $S = 3r1 = 3h = 27-> 2 5$ ). Поэтому остаётся второй случай, и тогда $S = r2 = h= 9 5$ . Объём равен $V = Sh= 27 3 25$ .