Физтех - задания по годам → .08 Физтех 2016

Заметим, что нам даны все остатки по модулю , поэтому достаточно поставить или на последнюю позицию — способа, а затем поставить любые цифры вместо ещё звёздочек (например, первых) — способов. Останется одна звёздочка, для которой найдётся ровно один остаток такой, что число будет кратно (обратный по сложению к остатку полученного числа без учёта этой звёздочки). В итоге число делится на , потому как делится на и , и каждое такое мы посчитали ровно один раз, откуда ответ .

При второе уравнение имеет не больше одного решения, а значит, и вся система иметь трёх решений не может. При второе уравнение задаёт окружность с центром и радиусом График первого уравнения — объединение окружности с центром и радиуса и квадрата с центром и длиной диагонали .

Расстояния от центра второй окружности до углов квадрата по прямой равны и , а до центра другой окружности . Мы хотим три точки пересечения с областью решений первого уравнения, поэтому либо окружность с параметром проходит через обозначенные углы квадрата (иначе пересечений с ним чётное число), либо касается окружности с центром в начале координат.

Замечание. Далее цвета окружностей названы в соответствием отображением в светлой, а не тёмной теме на сайте :)

• Касание происходит внешним образом и , то есть нет пересечений с квадратом (фиолетовая окружность) и пересечение всего одно.
• (проходит через вершину квадрата), как раз три точки пересечения, поскольку с красной ровно две точки пересечения (чёрная окружность).
• . Здесь также три решения (синяя окружность).
• , не пересекает красную окружность, потому решение всего одно.

Сделаем замену . ОДЗ: . При этом (на ОДЗ), то есть . Неравенство принимает вид

Рассмотрим случаи с учётом

• . Здесь , то есть неравенство принимает вид

  

  То есть и . Также .

• . Этот случай невозможен из ОДЗ.

• . Здесь , тогда

  

  Тогда и . Условие выполнено автоматически.

Заметим, что мы не проверили условие . Проверим

В итоге .

Заметим, что подкоренное выражение по модулю не больше , в то же время правая часть не меньше , откуда два случая

В первом случае из первого уравнения, потому решений нет из второго. Во втором случае из первого уравнения имеем , что подходит во все остальные уравнения.

(a) Точки и лежат на окружности с диаметром значит, (т.е. и высоты треугольника Прямая — это проекция прямой на плоскость основания, при этом Тогда по теореме о трёх перпендикулярах т.e.

(b) Поскольку прямые и пересекаются, то все четыре точки и лежат в одной плоскости (назовём её ). Значит, прямые и лежат в одной плоскости а так как они не пересекаются (поскольку лежат в параллельных друг другу основаниях призмы), то Значит, Трапеция вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании равны, и поэтому треугольник равнобедренный

Треугольники и подобны по двум углам. Из равенства треугольников и следует, что поэтому оба треугольника и равнобедренные с основаниями и соответственно. Значит, откуда

(c) Если то ; . Значит, площадь основания призмы равна объём призмы равен .

Прямая перпендикулярна хордам и делит каждую из них пополам. Пусть точки , и середины и Обозначим радиус окружности за Тогда и по теореме Пифагора для треугольников и получаем откуда после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых следует, что

находим, что , . Тогда ;

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что , . Тогда

Следовательно, .

Обозначим центры окружностей и через и соответственно. Поскольку — середина хорды окружности , то отрезок перпендикулярен . Опустим из точки перпендикуляр на прямую . Тогда (диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам).

Пусть . Тогда (так как — средняя линия треугольника

Выразим двумя способами отрезок . С одной стороны, так как окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности радиусов, т.е. . С другой стороны, из прямоугольной трапеции получаем, что

Значит,

откуда

При условии получаем

Тогда получаем, что

ОДЗ: Сделаем замену

Заметим, что Следовательно

Учитывая

Замечание. Также можно заметить, что и сделать замену

Обозначим (при этом ). Тогда , , так как по условию и положительны. Система принимает вид

Из первого уравнения следует, что или . Если , то , откуда ; тогда . Если , то , откуда ; тогда .

Распишем котангенс

Применим формулу синуса двойного угла

Подставляя , получим

По формуле разности косинусов получаем

Подставляя , получим

По формуле суммы синусов получаем

Заметим, что при любых выполняется неравенство

откуда следует, что левая часть уравнения не превосходит 9. В то же время, правая часть уравнения не меньше 9. Следовательно, равенство может достигаться только при одновременном выполнении условий

и

откуда

Из второго уравнения получаем

Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что подходит только

Разложим квадратный трёхчлен на множители и получим

Посмотрим на графики левой и правой части. Слева уголок с подвижными ветвями, зависящими от справа прямая с выколотой точкой.

Рассмотрим предельные случаи:

1) Когда ветвь уголка проходит через выколотую точки. То есть точка принадлежит уголку, тогда

2) Когда и ветвь уголка параллельна прямой, тогда

3) Когда и ветвь уголка параллельна прямой, тогда

Тогда из графиков видно, что уравнение будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда

ОДЗ:

Заметим, что на ОДЗ знаменатель дроби отрицателен, поэтому можем обе части неравенства на него домножить, поменяв при этом знак неравенства. Тогда

откуда . С учётом ОДЗ окончательно получаем .

Сначала проигнорируем то, что 0 не может быть первым. Тогда для каждого разряда сумма различных цифр в нём , при фиксированной цифре на любой позиции число способов поставить остальные — , откуда сумма таких чисел равна . Затем поставим 0 на первое место, а остальные 4 цифры образуют 4-хзначное число, для всех вариантов которого аналогично сумма будет . С учётом того, что всего чисел , имеем:

Восстанавливаем цифры, начиная с последней. Так как число должно делиться на оно должно оканчиваться на или — всего варианта. Делимость на зависит от суммы цифр — значит, мы можем ставить любые цифры на место звёздочек, кроме последней (считая с конца) звёздочки. Значит, для – пропусков у нас есть по вариантов, на месте — варианта. Теперь посчитаем, сколькими способами мы можем восстановить первую звёздочку. Если на данный момент сумма цифра имеет остаток то на месте пропуска мы можем поставить или Если же сумма цифр даёт остаток — или если — или Значит, на месте первой звёздочки у нас всегда будет ровно варианта восстановить цифру. Итого получаем способа расставить цифры.

Пусть . Тогда

Из получаем, что Подставим во

Домножим обе части уравнения на и раскроем скобки:

Подберём корни: — один из корней. Тогда вынесем за скобки:

Найдём корни второй скобки: — не подходит, так как Значит, единственное возможное значение — это

Тогда Получаем систему:

Отсюда получаем, что

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение —

(a) Из соображений симметрии (относительно плоскости ) плоскость проходит через точку — и, значит, через центр грани . Отрезки и — проекции параллельных отрезков и на прямую , причём . Значит, .

(b) Поскольку сфера касается всех боковых граней призмы, её проекция на основание есть окружность, вписанная в это основание. Значит, . Кроме того, и — это две параллельные плоскости, касающиеся сферы, поэтому расстояние между ними равно диаметру сферы, то есть 6. Так как , этим расстоянием является отрезок , поэтому .

Обозначим . Поскольку — высота прямоугольного треугольника , то

и, следовательно, . Тогда

и

Получаем уравнение

поскольку .

Наконец, высота призмы равна

А объём призмы равен