Физтех - задания по годам → .10 Физтех 2018

Чтобы число было кубом, нужно, чтобы степень каждого числа делилась на . Если мы возьмем одну карточку со степенью и одну со степенью , то они в произведении будут кубом только, если изначальные степени были кубами. Значит, в этом случае у нас варианта.

Если на обеих карточках степени двойки, то нужно посмотреть на остаток этих степеней при делении на . Степени могут давать остатки и или и . В первом случае у нас получится вариантов (нам важен порядок), во втором случае у нас получится варианта (делим на , потому что здесь порядок уже не важен). Полностью аналогично со степенями тройки.

Получаем ответ .

Поскольку — внешний для треугольника то из условия получаем Тогда и прямой. Отсюда по теореме Пифагора и

Из второго равенства

Подставим в первое равенство из условия

Во втором случае искомое по условию выражение равно нулю. Посмотрим, будет ли оно меньше в первом случае.

В первом случае , и тогда из первого равенства

То есть или

Минимум суммы получаем при и

Посчитаем синус:

Тогда искомое по условию выражение равно

Получили значение меньше, чем во втором случае (меньше нуля), поэтому оно является ответом.

На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:

Преобразуем второе равенство:

Подставляем в левую часть вместо и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу ОДЗ ):

Первое решение.

Треугольники делятся на два типа

• Катеты параллельны осям. Тогда один из них соединяет точки с одинаковой абсциссой, а второй лежит на какой-то прямой. Выберем эту абсциссу способами, а затем прямую и саму точку способами (сначала прямую, а затем точку из оставшихся на ней). В итоге способов.
• Ни один из катетов не лежит на прямых, поэтому там лежит гипотенуза (ведь на какой-то прямой лежат две вершины треугольника), откуда высота к ней имеет длину . Она же является корнем из произведения проекций катетов, то есть их произведение равно — длины проекций являются натуральными числами, потому их значения могут быть только такими. Если это и , то, выбирая прямую, затем порядок двух различных отрезков проекций на прямой, а затем абсциссу высоты, получаем способа (поскольку мы не можем брать ближайших точек с одной стороны прямой, а с другой одну, чтобы наши проекции “влезли”). Если же это и , то сначала выбираем прямую, порядок выбирать не нужно, поскольку отрезки равны, а точку выберем способами, поскольку с каждой стороны прямой нельзя брать по точек. В итоге способа.

В качестве ответа имеем .

Второе решение.

Рассмотрим два возможных случая:

• Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла - на второй прямой. Пусть - данный треугольник с прямым углом при вершине - его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что , т.e. . Поскольку и - целые числа, то возможны следующие случаи: и и .

  В первом из этих случаев гипотенузу , равную 10, можно расположить способами (по способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины определяется однозначно.

  Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 26, и её можно расположить способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины - получаем способов.

• Один из катетов треугольника (назовём его ) перпендикулярен данным прямым, а второй катет лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета можно выбрать 200 способами. Для каждого варианта расположения катета вершину можно расположить 398 способами (подходят все точки кроме уже выбранных и ) - всего выходит способов.

Итого получаем способов.

Доказано, какие три вида прямоугольных треугольников возможны — 2 балла.

Если получено не более двух видов треугольников или разобраны все три случая, но не обосновано отсутствие других возможностей, то этот пункт оценивается в 0 баллов.

Произведён подсчёт количества треугольников одного вида — 1 балл.

Произведён подсчёт количества треугольников двух видов — 2 балла.

Произведён подсчёт количества треугольников трёх видов — 4 балла.

Ошибка в  при подсчёте количества треугольников — снять 1 балл от общей суммы.

Отсутствует умножение на два (т. е. считается, что гипотенуза и/или катет треугольника может лежать только на одной из двух данных прямых) — снять 2 балла от общей суммы.

Верный ответ в развёрнутой форме — баллы не снимаются.

Пусть . В силу условие на касание графиков у уравнения должен быть нулевой дискриминант, то есть

Из условия , то есть .

Теперь запишем второе условие , условие на дискриминант

Если , то квадрат касается прямой , что нам подходит, иначе . Поскольку условие на дискриминант равносильно условию задачи, то мы нашли все подходящие .

Используем основное тригонометрическое тождество, возведя равенства в квадрат и сложив

Полученное значение единственно, потому проверка не нужна, поскольку по условию известно, что описанная конфигурация возможна.

Будем называть парной карточкой к данной такую карточку, что их сумма кратна , а видом карточки — её последние две цифры. Рассмотрим несколько случаев

• Номер на карточке кратен , то есть заканчивается на или . Карточек каждого вида ровно по , а парная карточка к каждой из них заканчивается на те же самые две цифры. То есть для обоих видов мы получим по способов взять две парные карточки с такими последними цифрами. Всего .
• Номер карточки заканчивается на , при этом он не больше . В силу второго ограничения таких карточек тоже по каждого вида. Легко видеть, что в пару им идут виды , по одному на каждый, то есть для каждой выбранной карточки подойдёт карточка парного вида. Итак, выбираем вид способами, затем его представителя и пару ему также , итого .
• Остались карточки с номерами . Для каждой из них есть по парной, то есть получаем способов.

Складывая по всем случаям, получаем способов.

Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде где — целые числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что Раскрывая скобки, получаем По условию

Заметим, что если выполняется второе неравенство, то первое неравенство верно за исключением одного случая Для каждого значения выпишем количество подходящих значений :

Суммируя, получаем вариантов

Чтобы получить два различных корня, дискриминант должен быть положителен, то есть . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда . Теперь преобразуем равенство в условии

Вынесем , Выразим вторую скобку в числителе , теперь подставим

Поскольку , то остаётся только одно значение.

Будем брать карточки по очереди. Возможны несколько случаев в зависимости от того, какое число написано на первой карточке.

Номер на карточке оканчивается на (таких карточек штук). Для делимости суммы на вторую карточку надо выбрать так, чтобы номер на ней также оканчивался на Всего получаем вариантов.

Аналогично, если номер на карточке оканчивается на (таких карточек также штук), то для делимости суммы на вторую карточку надо выбрать так, чтобы номер на ней оканчивался на т.е. и здесь вариантов.

Номер на карточке оканчивается на число от до (таких карточек ). Для каждой из них пару можно выбрать способами (если число оканчивается на то подойдёт любая карточка с числом, оканчивающимся на если число оканчивается на — любая карточка с числом, оканчивающимся на и т.д.). Таким образом, получаем вариантов.

Номер на карточке оканчивается на число от до Все такие варианты были учтены при рассмотрении третьего случая (эти карточки составляли пару карточкам, выбранным первоначально).

Итого выходит способов.

(a) Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам, то

Следовательно,

(b) Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник с его сторонами через соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник с его сторонами — через соответственно (по условию точка касания со стороной общая).

Пусть Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения

В пункте (а) было получено, что откуда Тогда

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна сумма расстояний до и не превосходит сумма расстояний до и также не превосходит расстояние до не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. ). Следовательно, числа и лежат вне отрезка Тогда сумма расстояний от числа до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна Получаем систему уравнений

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа и лежат справа от отрезка Тогда

Ввиду того, что должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа и лежат слева от отрезка Тогда

(c) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

(d) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

Итак, возможны три случая:

Найдем ОДЗ: и

Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество

Пусть — число, которое равно произведению двух других, и — оставшиеся. Тогда и Отсюда получаем, что

Заметим также, что если какой-то логарифм равен то и произведение двух других равно

То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен (Единице никакой логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).

Получили следующую совокупность:

Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только и

Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде , где , — целые числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что . Раскрывая скобки, получаем . По условию

Заметим, что если выполняется второе неравенство, то первое неравенство верно за исключением одного случая . Для каждого значения выпишем количество подходящих значений :

значений ;

значения ;

значения ;

значение ;

значение ;

значений ;

значений ;

значения ;

значение

Суммируя, получаем вариантов.

Пусть , где . Рассмотрим . Раскрывая скобки, получаем

График — это парабола с ветвями вверх, минимальное значение принимается в вершине. Абсциссой вершины является ; ордината вершины равна .

Аналогично получаем, что минимальное значение выражения равно . Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна -2, следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 5, то второе равно