Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .10 Физтех 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31509

Есть $200$ различных карточек с числами $2,3,22,32,...,2100,3100$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать $2$ карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было кубом целого числа?

Источники: Физтех-2019, 10.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути 2^1 и 2^4 дают нам одно и то же при умножении на какое-то число - либо это в обоих случаях куб, либо в обоих нет. А как мы вообще можем разбить все данные числа на группы с одинаковыми свойствами?

Подсказка 2

Да, числа вида 2^1, 2^4, .. 2^100 будут в одной группе, 2^2, 2^5, .. 2^98 в другой, так же с 2^3, так же и с тройками, получилось 6 групп. Выбирая по одному числу из каждой группы, можно ли понять, будет куб или нет?

Подсказка 3

Да, можем. Например, при перемножении 2^2 и 2^1 куб получился -> значит можно комбинировать числа этих групп. Найдите все возможные подходящие комбинации групп и посчитайте количества способов, помня про правила умножения и сложения и используя наши любимые цэшки :)

Показать ответ и решение

Чтобы число было кубом, нужно, чтобы степень каждого числа делилась на $3$ . Если мы возьмем одну карточку со степенью $2$ и одну со степенью $3$ , то они в произведении будут кубом только, если изначальные степени были кубами. Значит, в этом случае у нас $33⋅33$ варианта.

Если на обеих карточках степени двойки, то нужно посмотреть на остаток этих степеней при делении на $3$ . Степени могут давать остатки $1$ и $2$ или $0$ и $0$ . В первом случае у нас получится $34⋅33$ вариантов (нам важен порядок), во втором случае у нас получится $33⋅32∕2$ варианта (делим на $2$ , потому что здесь порядок уже не важен). Полностью аналогично со степенями тройки.

Получаем ответ $33⋅33 +2⋅(34⋅33 +33⋅32∕2)= 33⋅33+2 ⋅33⋅50= 33⋅133$ .

Ответ:

$4389$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31715

На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отмечена точка $T$ такая, что $∠BAC = 2∠BTC.$ Найдите площадь треугольника $ABC,$ если известно, что $AB =AC, BT = 70,AT = 37.$

Источники: Физтех-2018, 9.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Угол BAC - внешний для треугольника BAT! Какие выводы можно сделать, пользуясь этим знанием и условием на углы BAC, BTC?

Подсказка 2

Верно, равнобедренность ABT. Далее нам было бы здорово сделать какие-то выводы про наш треугольник CBT, пользуясь доказанным фактом и тем, что AB = AC по условию

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку $∠BAC$ — внешний для треугольника $T AB,$ то из условия получаем $∠ABT =∠BT A.$ Тогда $AB = AC =AT$ и $∠CBT$ прямой. Отсюда по теореме Пифагора $√ ------- BC = 742− 702 = 24$ и $SABC = SCBT∕2= 24⋅70∕4= 420.$

Ответ:

$420$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32378

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

siny +cosx= sin3x и sin2y− sin2x= cos4x − cos2x.

Какое наименьшее значение может принимать сумма $cosy+ sinx$ ?

Источники: Физтех-2018, 11.4, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что задача на некие тождественные преобразования, то есть что-то выразить, куда-то подставить и получить ответ. Посмотрим на оба уравнения. Что из этого наиболее приятно для преобразований? Первое? Вряд ли, cos(x) и sin(3x) почти никак не связаны, что то общее вынести вряд ли получится. А вот второе… Да, там ,сущностно, косинусы двойного угла и обычного( 2х и 4х ) и синус обычного. С этим можно поработать. К примеру расписать разность косинусов.

Подсказка 2

Расписав разность косинусов, мы получим 2sin(x)3x. Но ведь в синусе двойного угла тоже есть 2sin(x). То есть можно вынести. А что останется в скобках после вынесения? Где это еще есть?

Подсказка 3

В скобках останется cos(x)-sin(3x). Но ведь мы можем подставить значение этого из первого уравнения. А еще, ведь это все мы преобразовывали равенство sin(2y)=sin(2x)+cos(4x)-cos(2x)=-2sinx*sin(y). При этом sin(y) есть и слева и справа. Значит, преобразовывая это выражение, мы получили, что либо sin(y)=0 , либо sin(x)+cos(y)=0. Второй случай сразу дает один из ответов. А что делать в первом?

Подсказка 4

Конечно, подставлять, что же тут еще делать) А куда? В первое, поскольку тогда получим уравнение на x. Выходит, что cos(x)=sin(3y). Значит, cos(x)=cos(pi/2-3x). Значит +-x=pi/2-3x+2pi*k, y=pi*n. Осталось найти значения cos(y) и sin(x) для найденных выше решений и выбрать наименьший из всех.

Показать ответ и решение

Из второго равенства

sin2y = sin2x+ (cos4x− cos2x)= 2sinxcosx− 2sin3xsinx= 2sin x(cosx− sin 3x)

Подставим $cosx− sin3x$ в первое равенство из условия

2sin ycosy =sin2y =− 2sinxsiny ⇐⇒

[ siny =0 sinx +cosy = 0

Во втором случае искомое по условию выражение равно нулю. Посмотрим, будет ли оно меньше в первом случае.

В первом случае $y =πn,n ∈ℤ$ , и тогда из первого равенства

( ) cosx− sin3x= 0⇐⇒ cosx− cos π− 3x = 0⇐⇒ 2sin(π − x)sin(π − 2x)= 0 2 4 4

То есть $x= π+ πk,k∈ℤ 4$ или $x = π+ πk,k∈ℤ. 8 2$

Минимум суммы получаем при $cosy = −1 ⇐⇒ y = π+ 2πn,n∈ ℤ$ и $x= − 3π+ 2πk,k ∈ℤ. 8$

Посчитаем синус:

( ) ∘ --√-- cos 2⋅ 3π =cos3π =− 1√--=1 − 2sin2 3π =⇒ sin 3π-=-2+--2 8 4 2 8 8 2

Тогда искомое по условию выражение равно

∘2+-√2 cosy+ sinx =−1 − --2----

Получили значение меньше, чем во втором случае (меньше нуля), поэтому оно является ответом.

Ответ:

$− 2+√2+√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33098

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

ctgx+ ctgy =3 и 2sin(2x+2y)= sin2xsin2y.

Найдите $ctgxctgy$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем с первым уравнением. Сразу хочется привести все к общему знаменателю, так и поступим! А далее давайте попробуем как-то преобразовать числитель полученной дроби, может быть удастся заметить какую-то формулу?

Подсказка 2

В числителе у нас синус суммы, который мы теперь можем выразить через sinx и cosx! А можем ли мы во втором уравнении выделить синус суммы?

Подсказка 3

Разложим sin(2x + 2y) по формуле синуса двойного угла, подставим туда полученное выражение для sin(x + y) и поделим все на общий ненулевой множитель. Как нам теперь нужно преобразовать оставшийся косинус для того, чтобы удалось выделить произведение котангенсов?

Подсказка 4

Воспользуемся формулой косинуса суммы, поделим все на произведение синусов и отсюда найдём ответ!

Показать ответ и решение

На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:

cosxsiny+-cosy-sinx sinxsiny = 3

sin(x +y)= 3sinx siny.

Преобразуем второе равенство:

4sin(x+ y)cos(x+ y)= 4sinxsiny cosxcosy.

Подставляем в левую часть $3sinxsin y$ вместо $sin(x +y)$ и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу ОДЗ $sinxsiny ⁄=0$ ):

12sinxsin ycos(x+y)= 4sinx sinycosx cosy

3cos(x+ y) =cosxcosy

3cosxcosy− 3sinx siny = cosx cosy

2cosxcosy = 3sinxsin y

3 ctgxctgy = 2

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38064

На каждой из прямых $y =1$ и $y =6$ отмечено по $200$ точек с абсциссами $1,2,3,...,200.$ Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных $400$ так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?

Источники: Физтех-2018, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем какие два разных случая бывают в этой задаче. Как этот прямоугольный треугольник может располагаться относительно этих прямых?

Подсказка 2

Да, либо один из его катетов лежит полностью на прямой, либо гипотенуза. Как можно посчитать кол-во способов, когда катет лежит на одной из прямых? Что тогда можно сказать про другой катет?

Подсказка 3

Конечно, можно сначала посмотреть на другой катет, который перпендикулярен обеим прямым. То есть, нам надо выбрать абсциссу(200 способов), а потом точку на одной из прямых. Этих точек осталось 200*2-2=199*2. Значит всего способов в этом случае 400*199. Но это первый случай. А как свести к перебору второй случай, когда гипотенуза лежит на одной из прямых? Какой отрезок в таком треугольнике точно известен? Что он дает?

Подсказка 4

Верно, высота из прямого угла. Она всегда будет равна 5. А еще, ее квадрат равен произведению двух проекций катетов, которые являются натуральными числами. Какими они тогда могут быть, если их произведение равно 25?

Подсказка 5

Действительно, либо 1 и 25 либо 5 и 5. Теперь подумаем, как нам посчитать каждый из способов. В первом случае мы должны учесть порядок проекций. То есть сначала идет отрезок длиной 1, а потом 25 или наоборот. Плюсом, учесть прямую на которой располагается гипотенуза. Плюсом, учесть, что гипотенуза не должна выходить за крайние точки на прямых. Во втором же случае порядок нам не важен, так как отрезки проекций катетов равны, а все остальное важно. Остается посчитать это, сложить с первым случаем(когда катет лежит на одной из прямых) и получить ответ.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Треугольники делятся на два типа

Катеты параллельны осям. Тогда один из них соединяет точки с одинаковой абсциссой, а второй лежит на какой-то прямой. Выберем эту абсциссу $200$ способами, а затем прямую и саму точку $2⋅199$ способами (сначала прямую, а затем точку из оставшихся $199$ на ней). В итоге $400⋅199$ способов.
Ни один из катетов не лежит на прямых, поэтому там лежит гипотенуза (ведь на какой-то прямой лежат две вершины треугольника), откуда высота к ней имеет длину $5$ . Она же является корнем из произведения проекций катетов, то есть их произведение равно $25 =5⋅5 =1⋅25$ — длины проекций являются натуральными числами, потому их значения могут быть только такими. Если это $1$ и $25$ , то, выбирая прямую, затем порядок двух различных отрезков проекций на прямой, а затем абсциссу высоты, получаем $2⋅2⋅174$ способа (поскольку мы не можем брать $25$ ближайших точек с одной стороны прямой, а с другой одну, чтобы наши проекции “влезли”). Если же это $5$ и $5$ , то сначала выбираем прямую, порядок выбирать не нужно, поскольку отрезки равны, а точку выберем $190$ способами, поскольку с каждой стороны прямой нельзя брать по $5$ точек. В итоге $190⋅2+ 174⋅4$ способа.

В качестве ответа имеем $400⋅199+190⋅2+ 174 ⋅4 =80676$ .

Второе решение.

Рассмотрим два возможных случая:

Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла - на второй прямой. Пусть $ABC$ - данный треугольник с прямым углом при вершине $C,CH$ - его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что $2 CH = AH ⋅BH$ , т.e. $AH ⋅BH =25$ . Поскольку $AH$ и $BH$ - целые числа, то возможны следующие случаи: $AH =BH = 5,AH = 25$ и $BH = 1,AH =1$ и $BH =25$ .
В первом из этих случаев гипотенузу $AB$ , равную 10, можно расположить $190⋅2= 380$ способами (по $200 − 10$ способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины $C$ определяется однозначно.
Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 26, и её можно расположить $2(200−$ $26)= 348$ способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины - получаем $2⋅348= 696$ способов.
Один из катетов треугольника (назовём его $BC$ ) перпендикулярен данным прямым, а второй катет $(AC )$ лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета $BC$ можно выбрать 200 способами. Для каждого варианта расположения катета $BC$ вершину $A$ можно расположить 398 способами (подходят все точки кроме уже выбранных $B$ и $C$ ) - всего выходит $200⋅398=79600$ способов.

Итого получаем $380+696+ 79600= 80676$ способов.

Ответ:

$80676$

Критерии оценки

Доказано, какие три вида прямоугольных треугольников возможны — 2 балла.

Если получено не более двух видов треугольников или разобраны все три случая, но не обосновано отсутствие других возможностей, то этот пункт оценивается в 0 баллов.

Произведён подсчёт количества треугольников одного вида — 1 балл.

Произведён подсчёт количества треугольников двух видов — 2 балла.

Произведён подсчёт количества треугольников трёх видов — 4 балла.

Ошибка в $\pm 1$ при подсчёте количества треугольников — снять 1 балл от общей суммы.

Отсутствует умножение на два (т. е. считается, что гипотенуза и/или катет треугольника может лежать только на одной из двух данных прямых) — снять 2 балла от общей суммы.

Верный ответ в развёрнутой форме — баллы не снимаются.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38128

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $2 y = (f(x))$ касается графика функции $y =11g(x).$ Найдите все значения $A$ такие, что график функции $2 y =(g(x))$ касается графика функции $y = Af(x).$

Источники: Физтех-2018, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем пока просто записывать условие последовательно. Т.к. прямые параллельны, то коэффициент при х у них одинаков(например, k). Осталось записать условие на касание указанных функций(какое оно?), и понять, какие условия необходимы для касания требуемых функций.

Подсказка 2

Чтобы записать касание двух функций, достаточно их приравнять и потребовать единственное решение получившегося уравнения!

Подсказка 3

Если произошло касание, то уравнение (f(x))^2 = 11g(x) имеет ровно одно решение, а т.к. оно является квадратным, то его дискриминант равен нулю. Запишем это условие и сделаем выводы о свободных коэффициентах функций g(x) и f(x). Далее запишем условие на касание требуемых функций: (g(x))^2 = A*f(x) должно иметь нулевой дискриминант. Сделав несколько алгебраических преобразований и используя то, что мы узнали про свободные коэффициенты из первого касания, находим, при каких А дискриминант всё-таки нулевой!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=kx +a,g(x)= kx+ b$ . В силу условие на касание графиков у уравнения $k2x2+2kax+ a2 = 11kx+ 11b$ должен быть нулевой дискриминант, то есть

2 2 2 2 2 2 (2ka− 11k)− 4k(a − 11b)= 0 ⇐⇒ −44ka+ 121k +44kb =0

Из условия $k ⁄= 0$ , то есть $4(b− a)+ 11=0$ .

Теперь запишем второе условие $k2x2 +2kbx+ b2 = kAx +aA$ , условие на дискриминант

2 2 2 2 2 2 2 (2kb− Ak) − 4k (b − aA)= −4k bA + A k +4k aA= 0

Если $A= 0$ , то квадрат касается прямой $y =0$ , что нам подходит, иначе $− 4b+A + 4a = 0 ⇐ ⇒ A = 4(b− a)= −11$ . Поскольку условие на дискриминант равносильно условию задачи, то мы нашли все подходящие $A$ .

Ответ:

$0,−11$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#39084

Известно, что $sin y = 3sinx + 2 cosx,cosy = 2 sinx+ 3cosx. 2 3 3 2$ Найдите $sin2x.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус двойного угла равен удвоенному произведению косинуса и синуса обычного угла. Для аргумента х это также работает. Откуда нам получить произведение синуса и косинуса, если у нас уже есть сумма?

Подсказка 2

Конечно, из квадрата суммы. А он откуда возьмется? Точно! У нас же есть синус и косинус игрек, который равен как раз сумме косинуса и синуса от икс(с некими коэффициентами). А что еще мы знаем про синус и косинус игрек (они с коэффициентами равными)?

Подсказка 3

Да! Мы знаем ОТТ! Значит можно его записать, там будет сумма квадратов синуса и косинуса х с равными коэф-ами (которые опять по ОТТ можно приравнять к 1) и произведение синуса и косинуса икс. Осталось посчитать значение двойного угла.

Показать ответ и решение

Используем основное тригонометрическое тождество, возведя равенства в квадрат и сложив

( 3 2 )2 ( 2 3 )2 1 =sin2y +cos2y = 2sinx + 3cosx + 3sinx+ 2 cosx =

( ) = 9+ 4 (sin2x+ cos2x)+ 4sinxcosx 4 9

− 61 =2sin2x ⇐⇒ sin2x= − 61 36 72

Полученное значение единственно, потому проверка не нужна, поскольку по условию известно, что описанная конфигурация возможна.

Ответ:

$− 61 72$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39647

Даны $2117$ карточек, на которых написаны натуральные числа от $1$ до $2117$ (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на $100$ . Сколькими способами это можно сделать?

Источники: Физтех-2018, 10.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что надо будет как-то смотреть на остатки по модулю 100 и складывать их. Понятно, что число делится на 100, когда сумма будет оканчиваться двумя нулями. В любом случае придётся рассмотреть случаи, поэтому систематизируем их. Давайте начнём с самого простого, когда цифры оканчиваются либо на 50, либо на 00. Сколько же таких карточек в принципе и какую карточку в пару нужно выбирать?

Подсказка 2

Верно, карточек каждого вида по 21 и в пару мы выберем такую же, для сохранения делимости. Получаем, что в каждом виде таких пар будет 21*20/2. Дальше видим, что у нас не очень удачно выбрано ограничение по числам. Давайте сразу разберёмся с карточками с 2101 до 2117. Подумайте над тем, какие числа снова можно подобрать к ним в пару и сколько их?

Подсказка 3

Точно, их тоже по 21 штуке для каждой. То есть количество таких пар будет равно 17*21. Остались карточки с 1 до 2099 и уже можно увидеть какие пары нам нужны. То есть в пару к 01 мы берём 99, к паре 02 - 98 и так далее до 49 и 51. Осталось только понять, сколько для выбранного первого числа есть второе в пару. И умножить это количество выборов первого числа!

Показать ответ и решение

Будем называть парной карточкой к данной такую карточку, что их сумма кратна $100$ , а видом карточки — её последние две цифры. Рассмотрим несколько случаев

Номер на карточке кратен $50$ , то есть заканчивается на $50$ или $00$ . Карточек каждого вида ровно по $21$ , а парная карточка к каждой из них заканчивается на те же самые две цифры. То есть для обоих видов мы получим по $C2 21$ способов взять две парные карточки с такими последними цифрами. Всего $21 ⋅20= 420$ .
Номер карточки заканчивается на $01,02...49$ , при этом он не больше $2100$ . В силу второго ограничения таких карточек тоже по $21$ каждого вида. Легко видеть, что в пару им идут виды $51,52...99$ , по одному на каждый, то есть для каждой выбранной карточки подойдёт $21$ карточка парного вида. Итак, выбираем вид $49$ способами, затем его представителя $21$ и пару ему также $21$ , итого $2 21 ⋅49$ .
Остались карточки с номерами $2101,...2117$ . Для каждой из них есть по $21$ парной, то есть получаем $17⋅21$ способов.

Складывая по всем случаям, получаем $420+ 212⋅49+ 17⋅21 =22386$ способов.

Ответ:

$22386$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#51000

Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т.е. со старшим коэффициентом, равным $1$ ) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющиеся степенями числа $7$ с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $36 343 .$

Показать ответ и решение

Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде $(x− 7a)(x− 7b),$ где $a ≥0,$ $b≥ 0$ — целые числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что $a >b.$ Раскрывая скобки, получаем $2 (a b) a+b x − 7 +7 x+ 7 .$ По условию

{ 7a+ 7b ≤34336, { 7a+ 7b ≤ 7108 a+b 36 ⇔ 7 ≤ 343 a +b≤ 108

Заметим, что если выполняется второе неравенство, то первое неравенство верно за исключением одного случая $a= 108,b= 0.$ Для каждого значения $a$ выпишем количество подходящих значений $b$ :

a= 108 ⇒ 0 значений b a= 107 ⇒ 2 значения b(0;1); a= 106⇒ 3 значения b(0;1;2);

$...............$

a =55⇒ 54 значения b(0;1;...;53); a =54⇒ 54 значения b(0;1;...;53); a =53⇒ 53 значения b(0;1;...;52); a =52⇒ 52 значения b(0;1;...;51); ............................ a = 1⇒ 1 значение b(0); a =0 ⇒ 0 значений b.

Суммируя, получаем $(2 +3+ 4+ ...54)+(54+53+ 52+ ...+1)= 2969$ вариантов

Ответ:

$2969$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#51859

Уравнение $x2+ax+ 5= 0$ имеет два различных корня $x 1$ и $x; 2$ при этом

2 250- 2 -250- x1+ 19x32 =x2+ 19x31.

Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: Физтех-2018, 10.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию наше уравнение имеет два корня, какое ограничение мы должны наложить на а, чтобы это выполнялось?

Подсказка 2

Дискриминант должен быть положительным! Решая данное неравенство, получаем, что а² > 20. Хорошо бы получить еще какое-то условие на а, но у нас пока что есть только связь между корнями, а может быть у нас получится как-то связать корни с а?

Подсказка 3

Можем воспользоваться теоремой Виета! Попробуем преобразовать данное нам уравнение для корней таким образом, чтобы явно выделить произведение и сумму корней

Подсказка 4

Перенесём все в одну сторону и разложим каждую разность на множители. Заметим, что так как корни различны, х₁ - х₂ ≠ 0 и на эту скобку можно поделить уравнение. Воспользовавшись теоремой Виета, получаем уравнение для а, решая которое, получаем ответ) Только не забудьте проверить выполнение полученного нами ранее ограничения!

Показать ответ и решение

Чтобы получить два различных корня, дискриминант $D = a2− 20$ должен быть положителен, то есть $a2 > 20$ . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда $x1+ x2 = −a,x1x2 = 5$ . Теперь преобразуем равенство в условии

250 250 250(x1− x2)(x2+ x1x2+x2) x21− x22+ 19x3-−19x3= 0 ⇐⇒ (x1− x2)(x1+ x2)+-------19(x11x2)3-----2-= 0 2 1

Вынесем $x1 − x2 ⁄= 0$ , Выразим вторую скобку в числителе $x21+ x1x2+ x22 = (x1+x2)2− x1x2 = a2− 5$ , теперь подставим

−a+ 250⋅ a2−-5= 0 ⇐⇒ 2a2 − 10= 19a ⇐ ⇒ a = 10,a= − 1 19 125 2

Поскольку $a2 > 20$ , то остаётся только одно значение.

Ответ:

$a =10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67076

Даны $6000$ карточек, на которых написаны натуральные числа от $1$ до $6000$ (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на $100.$ Сколькими способами это можно сделать?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на все эти числа по модулю 100 - тогда останется по 60 карточек каждого остатка по модулю 100. Как можно получить 0? Например, 0+0. Или 50+50. Посчитаем сначала количество таких вариантов по отдельности: сначала 0+0, а затем 50+50.

Подсказка 2

Количество вариантов для 0 и для 50 будет одинаково: это С₆₀² (берем две любые карточки из 60). Как еще получить 0? 1+99 = 2 + 98 и тд - все это будет равно нулю по модулю 100, что нам и надо. Посчитаем ситуацию 1+99: для каждой карточки 1 подходит каждая карточка 99, их по 60 штук, следовательно вариантов здесь 60². Причём здесь посчитаны и варианты 99+1.

Подсказка 3

Так мы подсчитываем 49 раз, вернее, посчитали мы всего один раз и умножили на 49, так как ответ везде получился одинаковый. Все полученные комбинации нам остается лишь сложить :)

Показать ответ и решение

Будем брать карточки по очереди. Возможны несколько случаев в зависимости от того, какое число написано на первой карточке.

$1)$ Номер на карточке оканчивается на $00$ (таких карточек $60$ штук). Для делимости суммы на $100$ вторую карточку надо выбрать так, чтобы номер на ней также оканчивался на $00.$ Всего получаем $2 60⋅59 C60 = 2 = 1770$ вариантов.

$2)$ Аналогично, если номер на карточке оканчивается на $50$ (таких карточек также $60$ штук), то для делимости суммы на $100$ вторую карточку надо выбрать так, чтобы номер на ней оканчивался на $50,$ т.е. и здесь $1770$ вариантов.

$3)$ Номер на карточке оканчивается на число от $1$ до $49$ (таких карточек $49⋅60= 2940$ ). Для каждой из них пару можно выбрать $60$ способами (если число оканчивается на $1,$ то подойдёт любая карточка с числом, оканчивающимся на $99;$ если число оканчивается на $2$ — любая карточка с числом, оканчивающимся на $98$ и т.д.). Таким образом, получаем $2940⋅60= 176400$ вариантов.

$4)$ Номер на карточке оканчивается на число от $51$ до $99.$ Все такие варианты были учтены при рассмотрении третьего случая (эти карточки составляли пару карточкам, выбранным первоначально).

Итого выходит $1770+1770+ 176400= 179940$ способов.

Ответ:

$179940$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#71791

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD,$ и в каждый из полученных треугольников $ABD$ и $BCD$ вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину $B$ и центр одной из окружностей, пересекает сторону $DA$ в точке $M.$ При этом $8 AM = 5$ и $12 MD = 5 .$ Аналогично, прямая, проходящая через вершину $D$ и центр второй окружности, пересекает сторону $BC$ в точке $N.$ При этом $30 BN = 11$ и $25 NC = 11.$

(a) Найдите отношение $AB :CD.$

(b) Найдите длины сторон $AB$ и $CD,$ если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Так ли проста прямая, соединяющая центр вписанной окружности с вершиной треугольника?) Просят найти AB/CD, а какие вообще отношения с AB и CD можно записать?

Пункт а), подсказка 2

Прямые BM и DN это биссектрисы треугольников! Тогда стоит воспользоваться свойством биссектрисы, чтобы связать отношениями AB с CD

Пункт б), подсказка 1

Мы уже знаем отношение AB/CD, так что хочется попробовать как-то с помощью переменных выразить AB и CD, чтобы потом решить уравнение.

Пункт б), подсказка 2

На рисунке есть окружности и касательные, на что это может намекать?

Пункт б), подсказка 3

Отрезки касательных к окружности из одной точки равны! Так что мы можем все отрезки, в том числе и AB и CD, выразить через отрезки, выходящие из вершин B и D.

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам, то

AB :BD = AM :MD = 2:3

BD :DC = BN :NC = 6:5

Следовательно,

2 6 AB :CD = 3 ⋅5 =4 :5

(b) Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник $ABD,$ с его сторонами $AB,$ $AD, BD$ через $P,F,K$ соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник $BCD$ с его сторонами $BC, CD,BD$ — через $Q,E,K$ соответственно (по условию точка касания со стороной $BD$ общая).

$PIC$

Пусть $BK =x,KD = y.$ Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения

BQ = BP =BK = x,DF = DE =DK =y,AF = AD − DF = 4− y,AP = AF = 4− y

CQ = BC − BQ = 5− x,CE =CQ = 5− x,AB = AP +P B = 4+ x− y,CD =5− x+ y

В пункте (а) было получено, что $AB :CD = 4:5,$ откуда $4+x−y 4 5−x+y = 5,x= y.$ Тогда

AB =4,CD = 5

Ответ:

(a) $AB :CD = 4:5$

(b) $AB = 4,CD =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#79127

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна $609,$ а сумма расстояний от этих же семи чисел до некоторого числа $b$ равна $721.$ Найдите все возможные значения $a$ , если известно, что $a+b =192.$

Источники: Физтех - 2018, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно понять, как точки а и b могут быть расположены относительно семи последовательных чисел из условия. Может ли какая-то из этих точек лежать внутри отрезка [k, k+6], где k - первое из данных последовательный чисел? Какие тогда остаются случаи расположения точек А и В относительно [k, k+6]?

Подсказка 2

Мы хотим найти все значения а, поэтому хочется составить систему, из которой можно будет получить значения a, b, k.

Подсказка 3

Должно получиться 4 случая расположения а и b, систему записываем, выражая сумму расстояний от наших чисел до а и b и не забывая про условие о сумме а и b. Cоответственно, 4 варианта системы дают нам максимум 4 возможных ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

k, k+ 1, ..., k+ 6

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке $[k; k +6],$ то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит $7⋅ 6 = 21 2$ (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна $6,$ сумма расстояний до $k+ 1$ и $k+ 5$ не превосходит $6,$ сумма расстояний до $k +2$ и $k+ 4$ также не превосходит $6,$ расстояние до $k+ 3$ не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. $3$ ). Следовательно, числа $a$ и $b$ лежат вне отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда сумма расстояний от числа $a$ до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

|7a− k− (k +1)− ...− (k+ 6)|= 7|a− k− 3|

Аналогично, сумма расстояний от числа $b$ до каждого из данных чисел равна $7|b− k − 3|.$ Получаем систему уравнений

(|{ 7|a− k− 3|=609, (|{ |a − k− 3|=87, 7|b− k− 3|=721, ⇐ ⇒ |b− k− 3|=103, |( a+b =192 |( a+ b= 192

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа $a$ и $b$ лежат справа от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

(| a− k− 3= 87, (| a =88, { b− k− 3= 103, ⇐⇒ { b= 104, |( a+ b= 192 |( k =− 2

Ввиду того, что $k$ должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа $a$ и $b$ лежат слева от отрезка $[k;k +6].$ Тогда

(|{ − a+ k+3 =87, (|{ a= 104, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 88, |( a +b= 192 |( k= 188

(|{ a − k − 3= 87, (|{ a= 191, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 1, |( a +b= 192 |( k= 101

(d) Число $b$ лежит справа, а $a$ — слева от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

( ( |{ −a+ k+ 3= 87, |{ a= 1, | b− k− 3 =103, ⇐⇒ | b=191, ( a+ b= 192 ( k= 85

Итак, возможны три случая: $a= 1, a= 191, a =104.$

Ответ:

$1, 104, 191$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79282

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых одно из трёх данных чисел $log (x− 1) x 3$ , $log (x− 3) x− 13$ и $log x x−3$ равно произведению двух остальных.

Источники: Физтех-2018, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу можно заметить некоторую схожесть логарифмов (однако сначала нужно записать кое-что важное!), точно неспроста так подобрали аргументы и основания! Что тогда можем сделать, чтобы это использовать? Какое свойство логарифмов нам поможет?

Подсказка 2

Вспоминается свойство log_a(b) ⋅ log_b(c) = log_a(c).. Очень удачным оказывается перемножить сразу все логарифмы, чтобы получилось 1! Какой логарифм равен произведению других мы не знаем, а тогда можем его обозначить переменной. Чему она должна быть равна?

Подсказка 3

Получаем, что какой-то логарифм равен ±1, остаётся только перебрать варианты! И можно ещё кое-что заметить: а может ли какой-то логарифм равняться 1?

Подсказка 4

Верно, не может) Осталось решить 3 простых уравнения и отобрать корни на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 3$ и $x⁄= 4.$

Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество

( 1) logx x −3 ⋅logx− 13(x− 3)⋅logx−3x =1

Пусть $c$ — число, которое равно произведению двух других, $a$ и $b$ — оставшиеся. Тогда $c =ab$ и $abc =1.$ Отсюда получаем, что $c= ±1.$

Заметим также, что если какой-то логарифм равен $±1,$ то и произведение двух других равно $± 1.$

То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен $− 1.$ (Единице никакой логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).

Получили следующую совокупность:

⌊ ( ) x x− 1 =1 ||| ( 13) |⌈ x− 3 (x− 3)=1 x(x− 3)= 1

Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только $x = 10 3$ и $√-- x= 3+--13. 2$

Ответ:

$10 3+-√13 3 , 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79924

Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т.е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа 3 с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $47 27 .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наши корни в виде 3^а и 3^b (чтобы исключить повторения, считаем, что а ≥ b), как в этом случае мы можем записать коэффициенты уравнения?

Подсказка 2

По теореме Виета мы можем выразить коэффициенты уравнения через корни и записать ограничения на них, что мы теперь можем сказать о наших степенях?

Подсказка 3

Так как коэффициенты по условию не превосходят 27⁴⁷, получаем a + b ≤ 141. Теперь мы можем просто перебрать все возможные варианты и получить ответ!

Показать ответ и решение

Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде $(x− 3a)(x− 3b)$ , где $a ≥0$ , $b≥ 0$ — целые числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что $a ≥b$ . Раскрывая скобки, получаем $2 (a b) a+b x − 3 +3 x+ 3$ . По условию

{ 3a+3b ≤ 2747 a+b 47 3 ≤27

{ 3a+ 3b ≤3141 a+ b≤141

Заметим, что если выполняется второе неравенство, то первое неравенство верно за исключением одного случая $a= 141,b= 0$ . Для каждого значения $a$ выпишем количество подходящих значений $b$ :

$a= 141⇒ 0$ значений $b$ ;

$a= 140⇒ 2$ значения $b(b∈{0;1})$ ;

$a= 139⇒ 3$ значения $b(b∈{0;1;2})$ ;

$a= 71 ⇒ 71$ значение $b(b∈ {0;1;...;70})$ ;

$a= 70 ⇒ 71$ значение $b(b∈ {0;1;...;70})$ ;

$a= 69 ⇒ 70$ значений $b(b∈{0;1;...;69})$ ;

$a= 68 ⇒ 69$ значений $b(b∈{0;1;...;68})$ ;

$a= 1⇒ 2$ значения $b(b∈ {0;1})$ ;

$a= 0⇒ 1$ значение $b(b= 0).$

Суммируя, получаем $(2 +3+ 4+ ...71)+(71+70+ 69+ ...+1)= 5111$ вариантов.

Ответ: 5111

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88688

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $2 (g(x)) +2f(x),$ если наименьшее значение функции $2 (f(x))+ 2g(x)$ равно $5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберёмся, что это за линейные функции такие, у которых графики параллельны?

Подсказка 2

Если графики линейных функций параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны. Пусть f(x) = ax + b, g(x) = ax + c. А что за функции будут (f(x))² + 2g(x) и (g(x))² + 2f(x)? Как найти их наименьшее значение?

Подсказка 3

После подстановки мы получим квадратичные функции, графиками которых являются параболы с ветвями вверх. Значит, их наименьшее значение будет в вершине.

Подсказка 4

Ордината вершины (f(x))² + 2g(x) это -2b - 1 + 2c, а у второй функции -2с - 1 + 2b. Давайте запишем систему: -2b – 1 + 2c = 5 и -2c – 1 + 2b = m. Из этой системы найдите m - это и есть искомое минимальное значение функции (g(x))² + 2f(x)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= ax +b,g(x)= ax+ c$ , где $a ⁄=0$ . Рассмотрим $h(x)= (f(x))2+ 2g(x)$ . Раскрывая скобки, получаем

2 22 2 h(x)= (ax+ b) +2(ax +c)= a x +2a(b+1)x+ b+ 2c

График $y = h(x)$ — это парабола с ветвями вверх, минимальное значение принимается в вершине. Абсциссой вершины является $x =− b+1 B a$ ; ордината вершины равна $h(x )= −2b− 1+ 2c B$ .

Аналогично получаем, что минимальное значение выражения $(g(x))2+2f(x)$ равно $− 2c− 1+ 2b$ . Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна -2, следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 5, то второе равно $− 2− 5= −7.$

Ответ: -7

Предыдущая подтема

Следующая подтема