Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Формула единства - задания по годам

Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Формула единства - задания по годам → .01 Формула единства до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Разделы подтемы Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Формула единства 2020

Формула единства 2021

Формула единства 2022

Формула единства 2023

Формула единства 2024

Формула единства 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91341Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $n$ назовём кубоватым, если $n3+ 13n− 273$ является кубом натурального числа. Найдите сумму всех кубоватых чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой мы знаем распространённый метод для поиска кубов и квадратов целых чисел? Намёк: нам могут помочь ФСУ!

Подсказка 2

Попробуйте "зажать" рассматриваемое выражение между кубами двух соседних чисел, так мы сразу отсечём некоторые возможные значения n.

Подсказка 3

А есть ли ещё пары соседних чисел, кроме ранее рассмотренной, которые могут ограничить наше выражение?

Подсказка 4

Осталось лишь сделать небольшой числовой перебор и задача решена!

Показать ответ и решение

При $n= 21$ это число равно $213,$ то есть кубу.

Если $n> 21$ , то

3 3 2 3 3 (n +1) = n +3n + 3n+ 1> n +13n− 273> n

то есть это не может быть кубом.

Если $n< 21,$ то $n3+13n− 273< n3.$ Также для $n >8,$ выполняется неравенство

3 3 3 2 n +13n− 273>(n− 1) =n − 3n + 3n− 1

то есть выражение не может быть кубом. Осталось перебрать $n ≤8.$

Если $n= 8,$ то $n3+ 13n − 273= 73.$

Если $n= 7,$ то $n3+ 13n − 273= 161$ ?!

Если $n= 6,$ то $n3+ 13n − 273= 21$ ?!

Если $n≤ 5,$ то $n3+ 13n − 273≤ 53 +13⋅5− 273 <0$ ?!

Ответ: 29

Следующая подтема