Тема Геометрия 5-6

07 Площадь

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия 5-6

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125119

По какой формуле вычисляется площадь прямоугольного треугольника?

A) $1 S = 2ab$

B) $S = a+ b+ c$

C) $2 S = πr$

D) $S = ah$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов.

Ответ: A)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125120

Что нужно знать, чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Формула Герона: $S = ∘p(p−-a)(p−-b)(p− c),$ где $p$ - полупериметр.

Ответ: Длины всех трёх сторон

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125129

Как найти площадь треугольника, если известны основание $(a)$ и высота $(h)?$

A) $S = ah$

B) $1 S = 2(a+ h)$

C) $1 S = 2ah$

D) $S = πah$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Площадь равна половине произведения основания на высоту.

Ответ: C)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125130

Могут ли два треугольника с одинаковыми периметрами иметь разные площади?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Например, треугольник со сторонами $5,5,8$ и $6,6,6$ имеют одинаковый периметр, но разные площади.

Ответ: Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125133

Как найти площадь равностороннего треугольника со стороной $a?$

A) $2 S = a$

B) $a√3 S = 2$

C) $S = 3a$

D) $a2√3 S = 4$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$S = a2√3 4$ – это стандартная формула площади равностороннего треугольника.

Ответ: D)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125145

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вычислим площадь по формуле $S = 1 ⋅a ⋅b = 1 ⋅3⋅4=6см2. 2 2$

Ответ: 6 кв. см.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125146

Вычислите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

По формуле Герона: $p= 21,$ $S = ∘21(21− 13)(21−-14)(21− 15)= 84см2.$

Ответ: 84 кв. см.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125147

На рисунке изображён треугольник с основанием $10$ см и высотой $8$ см. Вычислите его площадь.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Используем формулу площади: $S = 1⋅10⋅8= 40см2. 2$

Ответ: 40 кв. см.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125148

На рисунке изображён равносторонний треугольник со стороной $6$ см. Вычислите его площадь.

A) $√- 2 9 3см$

B) $√- 2 6 3см$

C) $√ - 2 12 3см$

D) $2 18см$

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Используем формулу площади для равностороннего треугольника: $S = 62√3= 9√3см2. 4$

Ответ: A)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#125149

На рисунке изображён треугольник и его медианы. Они делят этот треугольник...

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Медианы точкой пересечения делят треугольник на $6$ меньших треугольников равной площади.

Ответ: На 6 треугольников равной площади

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126249

Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них:

а) равнобедренный треугольник;

б) прямоугольник;

в) параллелограмм, отличный от прямо-угольника. Сравните площади полученных фигур

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Вырезанные прямоугольные треугольники:

$PIC$

Составим требуемые фигуры:

а) равнобедренный треугольник, это треугольник, у которого как минимум два угла равны:

$PIC$

Примечание: Мы имеем два равных прямоугольника, значит все их углы равны, поэтому надо соединить их зеркально друг другу.

б) прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы равны $∘ 90$

Если сложить противоположные углы, не равные $∘ 90 ,$ двух равных прямоугольников, их сумма будет равна $∘ 90$

$PIC$

в) параллелограмм, отличный от прямоугольника, значит, что как минимум два угла пар-мма не равны $90∘,$ чтобы получить такую фигуру, соединим прямоугольники равными углами:

$PIC$

Примечание: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Сравним площади четырехугольников: По свойству $2$ (если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников) понимаем, что площади всех фигур равны, потому что они составлены из двух фигур с одинаковыми площадями.

Ответ:

Площади всех фигур равны между собой.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126250

Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите:

а) квадрат, площадь которого выражается числом $4;$

б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом $4;$

в) треугольник, площадь которого выражается числом $2.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$S = 1ед2 ABCD$

$PIC$

а) квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все углы и все стороны равны.

Один квадрат имеет площадь равную $1ед2.$ Тогда, чтобы получить квадрат площадью $4ед2,$ возьмем $4$ квадрата $ABCD$ . Начертим:

$PIC$

б) прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны $∘ 90$ )

Начертим это:

$PIC$

в) Чтобы получить треугольник площадью $2ед2,$ соединим $4$ квадрата $ABCD$ и разделим пополам так, чтобы у фигуры было $3$ угла:

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126251

Начертите параллелограмм $ABCD$ и отметьте точку $M,$ симметричную точке $D$ относительно точки $C.$ Докажите, что $SABCD = SAMD.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

Запишем Дано:

$ABCD$ — параллелограмм

$CM = CD$

Доказать:

$SABCD =SAMD$

$PIC$

Доказательство:

$1)$ Рассмотрим $ΔABO$ и $ΔMCO$

$ABCD$ — параллелограмм $⇒ AB = CD$ и $AB ∥CD$

Так как $AB = CM$ (т.к. $AB = CD$ $CM = CD ),$ $∠1 =∠2$ (накрест лежащие углы при $AB ∥CD$ и секущей $AM ), ∠3 =∠4$ (накрест лежащие при $AB ∥CD$ и секущей $BC ), ⇒ ΔABO =ΔMCO$ (по стороне и $2$ прилежащим углам), $⇒$ по свойству площадей $SABO = SMCO$

$2)$ $SABC + SAOCD$

$SAMD =SMCO +SAOCD$

$SABCD =SAMD$ так как $SABO =SMCO,$ а $SAOCD,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126253

На стороне $AD$ прямоугольника $ABCD$ построен треугольник $ADE$ так, что его стороны $AE$ и $DE$ пересекают отрезок $BC$ в точках $M$ и $N,$ причём точка $M$ — середина отрезка $AE.$ Докажите, что $SABCD = SADE.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

Дано:

$ABCD$ — прямоугольник;

$AE∩ BC = M;$

$ED ∩BC = N;$

$AM = ME$

Доказать:

$SABCD =SADE$

Доказательство:

$PIC$

Проведем $EK ⊥ MN.$

$1)$ Рассмотрим $ΔABM$ и $ΔEKM$

$AM = ME, ∠1= ∠2$ (т. к. это накрест лежащие при $AB ∥EK$ при секущей $AC ) ⇒ ΔABM ∼ΔEKM$ (по гипотенузе и острому углу) и по свойству площадей $SABM = SEKM$

$2)$ Рассмотрим $ΔKEN = ΔCDN$

$EK =CD, ∠3= ∠4$ (т. к. накрест лежащие углы при $KE ∥ CD$ и секущей $ED), ⇒ ΔKEN ∼ ΔCDN$ (по катету и острому углу), т. е. по свойству площадей $SKEN = SCDN$

$3)$ $S =S + S + S ABCD ABM NCD AMND$

$S = S + S + S AED MEK KEN AMND$

Так как $S = S , S = S , ABM EKM KEN CDN$ и $S AMND$ — общая $⇒ S = S , ABCD ADE$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126254

Найдите площадь квадрата, если его сторона равна:

а) $1,2$ см;

б) $3 - 4$ дм;

в) $√ - 3 2$ м.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$S =a2$

а) $2 a= 1,2см ⇒ S =1,44см ;$

б) $3 9 a= -дм⇒ S = --дм2; 4 16$

в) $√ - a= 3 2м ⇒ S = 18м2.$

Ответ:

а) $1,44см2;$

б) $9 --дм2; 16$

в) $2 18м$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126256

Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:

а) $16см2;$

б) $2,25дм2;$

в) $12м2.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$S =a2$ или $a= √S-$

а) $2 S = 16см ⇒ a =4$ см;

б) $2 S = 2,25дм ⇒ a= 1,5$ дм;

в) $2 √ - S = 12м ⇒ a= 2 3$ м.

Ответ:

а) $4$ см;

б) $1,5$ дм;

в) $√ - 2 3$ м.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#126257

Площадь квадрата равна $24 см2.$ Выразите площадь этого квадрата:

а) в квадратных миллиметрах;

б) в квадратных дециметрах.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) $1$ сантиметр равен $10$ миллиметров, однако $1см2$ равен $102 = 100 мм2.$

Тогда $2 2 24см =24⋅100= 2400мм$

б) $1$ сантиметр равен $0,1$ дециметр, однако $2 2 1 см =0,1 = 0,01.$

Тогда $2 2 24см =24⋅0,01 =0,24дм$

Ответ:

а) $2400мм2;$

б) $2 0,24дм$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126259

Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза;

б) каждую сторону увеличить в два раза;

в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Запишем формулу площади прямоугольника $S = ab$

а) Если одна пара сторон стала в $2$ раза больше, то формула изменится следующим образом $S =2ab,$ так как одну сторону умножаем на $2$

Сравним $S = ab$ и $S = 2ab,$ заметим, что площадь увеличилась в $2$ раза.

б) Аналогичным образом получаем $S = 4ab.$

Сравним $S = ab$ $S =4ab$ и заметим, что площадь увеличится в $4$ раза.

в) Площадь, если одна пара сторон стала в два раза больше: $S = 2ab$

Площадь, если одна пара сторон стала в два раза меньше: $S = 1ab 2$

Тогда наша площадь: $S = 1⋅2ab = 2ab= ab, 2 2$ таким образом площадь никак не изменится.

Ответ:

а) увеличится в $2$ раза;

б) увеличится в $4$ раза;

в) останется без изменений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#126266

Найдите стороны прямоугольника, если:

а) его площадь равна $2 250см,$ а одна сторона в $2,5$ раза больше другой;

б) его площадь равна $2 9м$ а периметр равен $12$ м.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Пусть $1$ сторона - $x,$ тогда другая сторона равна $2,5x$

Тогда $S = x⋅2,5x= 250$

$2 2,5x = 250$

$250 x2 = --- 2,5$

$x2 =100$

$x= 10$ см — одна сторона

Другая сторона равна $10 ⋅2,5= 25$ см.

б) Запишем дано:

$S = ab=9 м2$

$12 P = 2(a +b)= 12 => a+b = 2- => a +b= 6$

Составим систему:

$( {a⋅b= 9 (1) (a+ b= 6 (2)$

Из $2$ уравнения получаем $a =6− b.$ Подставим значение $a$ в $1$ уравнение:

$(6− b)⋅b =9$

$6b− b2 = 9 |− 6b+ b2$

$b2− 6b+9 =0$

Найдем дискриминант:

$D= (−6)2 − 4⋅9= 36− 36=0$

$− (− 6)± 0 6 d= ---2----= 2= 3$

Таким образом, получаем, что обе противоположные стороны прямоугольника равны $3.$

Ответ:

а) $25$ см, $10$ см;

б) $3$ м, $3$ м.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#126267

Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами $5,5$ м и $6$ м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна $30$ см, а ширина — $5$ см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?