Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.06 Числовые иррациональные выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1507Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(√28+ √21)⋅(√21-− √28-).$

Показать ответ и решение

Переставим местами слагаемые в первой скобке:

√ -- √-- √ -- √-- √-- √ -- √-- √ -- ( 28 + 21)⋅( 21− 28)= ( 21+ 28)⋅( 21 − 28)

Теперь видно, что полученное выражение можно свернуть по формуле для разности квадратов:

√-- √ -- √ -- √-- √-- √ -- ( 21 + 28)⋅( 21− 28)= ( 21)2 − ( 28)2 = 21− 28= − 7

Ответ: -7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1508Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘53-−-12√11+ 3 ------√11-----.$

Показать ответ и решение

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

∘ --------- ∘ ---------------- ∘ ---------√------√---- 53− 12√11 +3 9− 2⋅3⋅2√11 +44+ 3 32− 2⋅3⋅2 11+ (2 11)2+ 3 ------√11----- = --------√11----------= -----------√11------------= ∘-----√---- √-- √-- √-- = -(3−-2√-11)2+-3= |3−-2√-11|+-3= −-3+-2√-11+-3 = 2√-11-=2 11 11 11 11

Действительно, так как $√-- 2 11> 2 ⋅3 > 3,$ то $√-- 3− 2 11 < 0$ и $√ -- √ -- |3 − 2 11|= 2 11− 3.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1509Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘28-+-6√3− ∘31-+-12√3.$

Показать ответ и решение

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

∘ -----√-- ∘ ------√-- ∘ --------√------ ∘---------√----- 28+ 6 3− 31+ 12 3= 1+ 2⋅1⋅3 3+ 27− 4 +2 ⋅2⋅3 3+ 27=

∘------------------- ∘------------------- ∘--------- ∘ --------- = 12 +2 ⋅1 ⋅3√3-+ (3√3)2− 22+ 2⋅2 ⋅3√3-+ (3√3-)2 = (1+ 3√3)2− (2 +3√3-)2 =

√ - √- √- √- = |1 + 3 3|− |2+ 3 3|= 1+ 3 3 − (2+ 3 3) =− 1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1514Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $3,4+ √2 2,4+√2 3------⋅ 11√----- 331,4+ 2$ .

Показать ответ и решение

Знаменатель представим в виде $√ - √- √ - √- 331,4+ 2 = (3 ⋅ 11 )1,4+ 2 = 31,4+ 2 ⋅ 111,4+ 2$ .

Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми основаниями:

- - - - 33,4+√2 ⋅ 112,4+√ 2 33,4+ √2 112,4+√ 2 √ - √- √- √ - -----√--------√--= -----√-⋅ -----√-- = 33,4+ 2−(1,4+ 2) ⋅ 112,4+ 2−(1,4+ 2) = 32 ⋅ 111 = 99. 31,4+ 2 ⋅ 111,4+ 2 31,4+ 2 111,4+ 2

Ответ: 99

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1832Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘497-−-56√3+ √3.$

Показать ответ и решение

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

$∘ ------------------- 4∘97-−-56√3+ √3 = 4∘49-−-2⋅7⋅4√3+-48+ √3-= 4 72− 2⋅7⋅4√3 +(4√3)2+ √3 =$

$∘ --------- ∘--------------- ∘ -------------------- = 4(7− 4√3)2+ √3 = 4(4− 2⋅2 ⋅√3-+ 3)2 +√3-= 4(22− 2⋅2⋅√3 +(√3)2)2+ √3=$

$∘ ---------- ∘ -------- = 4((2− √3)2)2+ √3 = 4 (2 − √3-)4 +√3-= |2− √3|+ √3= 2 − √3 + √3 = 2$

(так как $2= √4 > √3$ , то $2− √3> 0$ и $|2− √3|= 2− √3-$ ).

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1867Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ --------------- - 3√2− 2⋅√3√ 2+ 1− √3√2.$

Показать ответ и решение

Так как $√- √ - 3n = (( 3)2)n = (( 3)n)2$ , то

$∘ --------------- ∘ (----)---------------- 3√2− 2⋅√3√2+ 1 − √3-√2 = √3√2 2− 2⋅√3√2⋅1+ 1 − √3-√2 =$

$∘ ((---√-)---)2- √- √- √- √- √- = √3 2 − 1 − √3 2 = |√3 2− 1|− √3 2 = √3 2− 1− √3 2 = − 1$

(так как $√3√2 > √3-> 1,$ то $√3√2− 1> 0$ и $|√3√2 − 1|= √3√2-− 1).$

Ответ: -1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1907Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√ - ----9√-− 4-5-√--. |2− 5|⋅(2− 5)$

Показать ответ и решение

√- √- √ - √ - √ - ----9−-4-5----- ---4−-4-5+-5--- 22−-2⋅2--5+-(-5)2 ---(2−---5)2---- |2 − √5-|⋅(2 − √5-) = |2− √5|⋅(2 − √5) = |2− √5|⋅(2 − √5-) = |2− √5|⋅(2 − √5-).

Так как $√ - 5> 2$ , то модуль раскрывается отрицательным образом и далее имеем:

√ - √ - √ - ----(2√−---5)2√---= -----(2√-−--5)2-√---= − (2-−√-5)2-= −1. |2− 5|⋅(2 − 5) − (2 − 5)⋅(2 − 5) (2 − 5)2

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#1908Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√ -------------------- 9293− 6 ⋅292 +12⋅29− 8.$

Показать ответ и решение

∘ -------------------- ∘ ------------------------- 9293− 6⋅292+ 12⋅29− 8= 9 293− 3⋅292 ⋅2+ 3⋅29⋅22− 23 = 9∘ ------3 9√ -3- 9∘--33 9√-9 = (29− 2) = 27 = (3 ) = 3 = 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#1909Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ ---√-- ∘---√-- 3− 5 ⋅ 3 + 5.$

Показать ответ и решение

∘ ------∘ ------ ∘--------------- ∘--------- 3− √5⋅ 3+ √5 = (3− √5) ⋅(3+ √5-)= 32− (√5)2 = √9-− 5 = √4 =2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#2164Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√- √-- (-7-+√-17)2. 12+ 119$

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат числитель по формуле $(a + b)2 = a2+ 2ab+ b2$ :

√- √ --2 √ -2 √ - √-- √-- 2 √---- √ --- √ --- ( 7 + 17) =( 7) + 2⋅ 7⋅ 17+ ( 17) = 7+ 2 7 ⋅17 +17 = 24 +2 119= 2(12 + 119).

Таким образом, все выражение примет вид:

√ --- 2(12-+√-119)-= 2. 12+ 119

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#2667Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ ------------------- 1− 3(3√2 − 1)(1+ 3√2 + 3√4).$

Показать ответ и решение

∘ ------------------- ∘---------- 1− 3 (3√2− 1)(1 +√32-+ 3√4) = 1− 3((3√2)3− 13)= 1− 3√2-− 1 = 1− 3√1 = 1− 1= 0.

Ответ: 0

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2688Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $( ) √- √- 42 4⋅4− 2−5⋅2 8.$

Показать ответ и решение

По свойствам степени имеем:

2 4 −√2−5 √8 8 −√2−5 2√2 (4) ⋅4 ⋅2 = 4 ⋅4 ⋅2 = = 48 ⋅4− √2−5 ⋅4√2 = 48−√2−5+√2 = 43 =64.

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#21443Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√ - ∘----√-- 2+ 6 − 4 2.$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат и извлечем квадратный корень:

√- ∘ ----√-- √- ∘ (---√-)2- 2 + 6− 4 2= 2+ 2− 2 = √- | √ | √ - √- = 2 +||2− 2||= 2+ 2− 2 = 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38829Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(√ -- √-- √ -) √ - 27− 12+ 75 ⋅ 3.$

Показать ответ и решение

(√-- √ -- √--) √ - √---- √---- √ ------- 27 − 12√+- 75√-⋅ 3√=--27 ⋅3 − 12⋅3+ 25 ⋅3⋅3= = 81− 36 + 25⋅9= 9− 6+ 15= 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#70415Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√- √- 2-2-⋅23√-2−1 24 2 .$

Показать ответ и решение

Вспомним свойства $an ⋅am = an+m$ и $n a--= an−m am$ и преобразуем выражение:

√2 3√2−1 √- √- √- 2---⋅2√---- =2 2+3 2−1−42 = 24 2 = 2−1 = 1= 0,5. 2

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#70416Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√ -- √-- 316⋅ 616 ⋅161,5.$

Показать ответ и решение

Вспомним, что корень $n$ -ой степени можно представить как степень с показателем $-1, n$ и обратимся к свойству $an⋅am = an+m :$

3√-- √6-- 1,5 1⋅4 1⋅4 3⋅4 16⋅ 16⋅16 = 23 ⋅26 ⋅22 = 86+ 46+ 366- 486- 8 = 2 = 2 = 2 = 256.

Ответ: 256

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#133233Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(√ -- √--) √- 96− 24 ⋅ 6.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

(√-- √ --) √- √-- √ - √-- √ - 96 − 24 ⋅ 6 = 96⋅ 6− 24⋅ 6= =√96-⋅6− √24-⋅6 = √16⋅6⋅6-− √4-⋅6⋅6= = 4⋅6− 2⋅6= 24− 12= 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#133234Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $( √ ) -5--62 10 .$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

( √-)2 2 (√ -)2 -5-6-- = 5-⋅--6--= 10 10 = 25⋅6 = 5⋅3= 15. 10

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#133235Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√-- √ -- -336√⋅-536. 3036$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

3√ -- 5√-- 13 15 --3630√⋅-36-= 36-⋅316--= 36 3630 3613+-15 36-815- = 36 130 = 36 130-= 8− 1- 15 = 3615 30 = 3630 = 12 √-- = 36 = 36= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#133236Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√--- √ --- -3121√⋅ 4-121. 12121$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

√3--- 4√--- 13 14 --121√12⋅-121 = 121-⋅1211--= 121 12112 12113+-14 121172 = 121 112 = 121112 = 7− 1- 6- = 12112 12 = 12112 = 12 √--- = 121 = 121 =11.

Ответ: 11