Задачи на движение по воде —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17136

Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от пункта А. Пробыв 2 часа в пункте В, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч — скорость течения. При этом $v > 0.$ Заметим, что если лодка проплыла от пункта А в пункт В и обратно, то она ровно один раз плыла по течению и один раз — против течения. Составим таблицу:

-Направление-----S----v-----t---- | | | | 30 | |Против течения|30 |4 − v|4-−-v | |--------------|--|-----|------| |По течению |30 |4 +v |--30- | -------------------------4-+-v--

На путь туда и обратно с учетом остановки лодка потратила $23− 5= 18$ часов. Так как остановка длилась 2 часа, то на путь туда и обратно лодка потратила 16 часов. Следовательно, получаем уравнение

30 30 4−-v + 4-+v = 16 ( 2) 30⋅8= 16⋅ 16− v v2 = 1 v =1

Следовательно, скорость течения равна 1 км/ч.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#687

Лодка прошла 10 км по течению, а затем 5 км против течения. На весь путь лодка затратила 3 часа. Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения средняя скорость лодки в км/ч равна

10 +5 v = -3---= 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1619

Теплоход с туристами плыл из города $A$ в город $B.$ Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе $B$ он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в $A.$ Скорость течения составляла 2 км/ч. В город $A$ теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между $A$ и $B.$ Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ км — расстояние, которое проплыл теплоход по пути из $A$ в $B,$ тогда время, которое теплоход плыл по течению равно $--S-- 12+ 2$ часов; время, которое теплоход плыл против течения равно $S 12-− 2$ часов. Плыл теплоход всего $29− 5 =24$ часа, тогда:

S S 14 + 10 = 24,

откуда находим $S = 140$ км.

Ответ: 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1979

Антон знает, что собственная скорость его лодки равна 10 км/ч. При этом ему надо успеть проплыть 25 км за 2 часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший.

Показать ответ и решение

Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем $25 : 2 = 12,5 км/ ч$ . То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем $2,5 к м/ч$ .

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2342

Катер движется по стоячей воде. Собственная скорость катера - $35$ км/ч. Навстречу катеру дует ветер, который за каждый час сносит катер на $3$ км назад. За сколько часов катер доберется в назначенный пункт, если он находится на расстоянии $144$ км от места начала движения катера?

Показать ответ и решение

Так как за час катер проходил бы 35 км, но ветер сносит его назад на 3 км, то в итоге за час катер проходит 32 км. Следовательно, 144 км катер пройдет за $144 : 32 = 4,5$ часа.

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2343

Яхта движется по стоячей воде, ее собственная скорость - $30$ км/ч, встречный ветер каждую минуту сносит яхту на $20$ метров. За сколько часов яхта пройдет $259200$ метров?

Показать ответ и решение

За каждый час яхта проходила бы 30 км, или 30000 метров, значит, за минуту она проходила бы $30000 : 60 = 500$ метров. Так как за каждую минуту ветер сносит ее на 20 метров, то в итоге за минуту яхта проходит 480 метров. Следовательно, ей понадобится $259200 : 480 = 540$ минут или $540 : 60 = 9$ часов.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#292

Катер береговой охраны прошёл по течению реки Конго 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч – скорость течения, $v > 0$ , тогда

$27 + v$ – скорость перемещения катера по течению,

$27 − v$ – скорость перемещения катера против течения,

$120 ------- 27 + v$ – время, затраченное катером на перемещение по течению,

$-120--- 27 − v$ – время, затраченное катером на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:

-120---+ 1 = -120--- ⇔ v2 + 240v − 729 = 0 27 + v 27 − v

– при $v ⁄= ±27$ , что равносильно $v1 = 3,v2 = − 243$ , откуда получаем, что $v = 3$ км/ч, так как $v > 0$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#294

На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км. Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на 2,5 км/ч меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда

$90- v$ ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,

$45 ------ v + 5$ ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,

$--45---- v − 2,5$ – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.

Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то:

90 45 45 ---= ------+ -------, v v + 5 v − 2,5

откуда $v = 10$ км/ч.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#688

Лодка участвует в соревнованиях. Ей необходимо доплыть по реке из пункта $A$ в пункт $B$ и обратно. Известно, что течение реки направлено от пункта $A$ к пункту $B$ . Лодка проплыла от пункта $A$ до пункта $B$ за один час. Сколько километров останется проплыть лодке через один час после отплытия из пункта $B$ в пункт $A$ , если скорость течения реки равна $2,5 км/ ч$ ?

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость лодки равна $vл км/ ч$ , а скорость течения равна $vт к м/ч$ . За первый час лодка проплыла $vл + vт к м$ , а за второй час (на обратном пути) $vл − vт к м$ в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило

|(vл + vт) − (v л − vт)| = 2vт км

– в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось $2 ⋅ 2,5 = 5 км$ до финиша.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#689

У Игоря есть своя яхта. Плавая на яхте, он понял, что обронил шляпу и стал её искать. При этом он проплыл час против течения, затем развернулся и проплыл час по течению, затем снова развернулся и проплыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению, после чего проплыл ещё четверть часа против течения. Оказалось, что он сместился от места начала поисков на $10, 5 к м$ . Найдите скорость течения, если собственная скорость яхты во время поисков оставалась постоянной. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость яхты равна $vя км/ ч$ , а скорость течения равна $vт км/ч$ . За первый час Игорь проплыл $vя − vт$ , а за второй час $vя + vт$ в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило

|(vя − vт) − (vя + vт)| = 2vт

– в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило

|0,5 (v я − vт) − 0,5(vя + vт)| = vт

– в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило

|0,25(vя + vт) − 0,25 (v я − vт)| = 0,5vт

– в сторону течения.

В итоге за $3,5ч$ поисков Игорь переместился на $3,5vт$ от места начала поисков, что по условию составило $10,5 км$ , тогда

3,5vт = 10, 5 ⇔ vт = 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1066

Отчалив одновременно от противоположных берегов реки, два парома встречаются на расстоянии $900$ метров от левого берега. Прибыв к месту назначения, каждый паром тут же отправляется обратно. Во второй раз паромы вновь встречаются на расстоянии $300$ метров от правого берега. Паромы двигаются с постоянной скоростью. Чему равна ширина реки? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим схематичный рисунок:

$PIC$

Условно назовем паром, отчаливший от левого берега, зеленым, а паром, отчаливший от правого – синим. Пусть скорость зеленого $x$ км/ч, синего $y$ км/ч.
Из условия задачи следует, что $AC = 0,9$ км, $BD = 0,3$ км.
Пусть $BC = S$ . Тогда $AB = AC + BC = 0,9 + S$ . Так как до первой встречи паромы двигались одинаковое количество времени, то можно составить равенство:

S 0,9 x 0,9 --= ---- ⇒ -- = ---- y x y S

После первой встречи и до второй встречи синий прошел расстояние, равное $AC + AD = AC + (AB − BD ) = 0,9 + 0,9 + S − 0,3 = 1,5 + S$ , а зеленый – равное $BC + BD = S + 0, 3$ . Время, потраченное на путь у каждого парома, также было одинаковым. Следовательно, можно составить второе равенство:

1, 5 + S S + 0,3 x S + 0,3 -------- = -------- ⇒ --= -------- y x y 1,5 + S

Таким образом, из полученных двух равенств можно заключить:

0,9 S + 0,3 ----= -------- ⇒ S2 − 0,6S − 0,9 ⋅ 1, 5 = 0 S 1,5 + S

По теореме Виета корнями уравнения будут числа $− 0, 9$ и $1,5$ . Так как $S$ – длина отрезка, то есть неотрицательная величина, то $S = 1, 5$ . Следовательно, ширина реки равна $AB = 1,5 + 0,9 = 2, 4$ .

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1225

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $24$ км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $3$ км/ч, стоянка длится $2$ часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через $34$ часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда:

--S---- --S---- 24 + 3 + 24 − 3 + 2 = 34 ⇔ S = 378

Тогда за весь рейс теплоход прошел $2S = 2 ⋅ 378 = 756$ километров.

Ответ: 756

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1618

Города $M$ и $N$ находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из $M$ в $N$ отправился катер, который прибыл в город $N$ и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в $M,$ плот, который отправился из $M$ в $N$ на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Плот проплыл 13 км за $13:2 =6,5$ часа. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера $6,5 − 1 = 5,5$ часов.

Пусть $v$ км/ч — скорость катера в стоячей воде, $v >0.$ Тогда имеем:

$-60- v+ 2$ часов — время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как плот плывёт по течению из M в N;

$-60- v− 2$ часов — время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время катера на дорогу из M в N и обратно равно 5,5 часа, то

60 60 v+-2 + v-−-2 = 5,5 ⇒ 11v2 − 240v− 44= 0

Отсюда находим

-2 v1 = 22, v2 = −11

Так как $v > 0$ , то ответ 22 км/ч.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1980

Яхта проплыла по течению реки 144 км и вернулась обратно, после чего проплыла ещё 36 км по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна 18 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $vт$ — скорость течения в км/ч, $v >0,$ тогда имеем:

$18+ vт$ — скорость перемещения яхты по течению;

$18− vт$ — скорость перемещения яхты против течения;

$--180-- 18+ vт$ — время, затраченное яхтой на перемещение по течению;

$144 18−-vт$ — время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время против течения совпадает со временем по течению, то имеем:

$--180--= -144-- 18+ vт 18 − vт 180(18− vт)− 144(18+ vт) ----(18+-vт)(18−-vт)----= 0$

Приравняем числитель дроби к нулю:

$180(18− vт)− 144(18+ vт)= 0 180⋅18− 180vт− 144 ⋅18 − 144vт = 0 18⋅(180− 144) − (180+ 144)vт = 0 18 ⋅36 = 324vт vт = 2$

Тогда скорость течения равна $vт = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1981

Моторная лодка проплыла по течению реки $20$ км, после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной $13$ км/ч. Известно, что обратный путь занял $2$ ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равна $vт$ , тогда путь лодки по течению составил $20 + 1 ⋅ vт = 20 + vт$ км.

Так как обратный путь занял 2 ч, то

20 + vт = 2 ⋅ (13 − vт) ⇔ vт = 2 км/ч.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2375

Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда имеем уравнение

-40--+ -6--= 3 x+ 2 x− 2 46x2−-68= 3 x − 4 3x2 − 46x+ 56= 0

Дискриминант равен

D = 4 ⋅361 =(38)2

Следовательно, корни равны

x = 4, x = 14 1 3 2

Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то $x1$ не подходит. Следовательно, скорость катера равна 14 км/ч.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2407

С плывущего по реке плота два пловца одновременно прыгнули и поплыли: первый – по течению, второй – против. Через 5 минут они развернулись и вскоре оказались на плоту. Кто из них оказался на плоту раньше и через сколько минут после прыжка? Каждый плыл с постоянной собственной скоростью, и их скорости могли быть не равны.

Показать ответ и решение

Рассмотрим одного из пловцов (например, того, кто плыл против течения) и плот. Если скорость течения равна $x$ м/мин, а собственная скорость пловца $y$ м/мин, то за 5 минут плот сдвинется вправо на $5x$ м, а пловец влево на $5y − 5x$ м (рис. 1). Если бы действие происходило в стоячей воде, то плот бы не сдвинулся с места, а пловец сдвинулся бы влево на $5y$ м (рис. 2).

$PIC$

Таким образом, расстояние между плотом и пловцом что в стоячей воде, что при движении по реке меняется одинаково (в обоих случаях расстояние между ними через 5 минут будет равно $5y$ ).
Таким образом, можно предполагать, что действие в задаче происходит в стоячей воде.

Тогда если первый пловец отплыл от плота на расстояние $s1$ , а второй – на расстояние $s2$ за 5 минут, то для того, чтобы вернуться на плот, также нужно первому пройти расстояние $s1$ , а второму – $s2$ . Так как их скорости остаются прежними, то на то, чтобы вернуться на плот, им понадобится тоже 5 минут. Следовательно, вернутся на плот они одновременно через 10 минут после прыжка.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#11247

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 48 км. Отчалив от пристани $A$ в 9 ч, пароход проплыл вниз по течению реки до пристани $B.$ Простояв у пристани $B$ 1 час, пароход отправился в обратный рейс и прибыл в $A$ в 17 ч. того же дня. Скорость течения реки постоянна и равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость (скорость в неподвижной воде) парохода.

Показать ответ и решение

Время движения туда и обратно составляет $17 − 9 − 1 = 7$ часов. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость парохода. Составим таблицу:

|---Движение---|Длина-пути, км|Скорость, км/ч|В-рем-я, ч| |--------------|--------------|-------------|---------| |--По-течению---|------48-------|----x+-2-----|---4x+82----| |П ротив течения | 48 | x− 2 | 48- | ------------------------------------------------x−-2---

Поскольку общее время пути составляет 7 часов, составим уравнение:

48 48 x+-2-+ x−-2 = 7 48(x+ 2+ x− 2)= 7(x2− 4) 2 7x − 96x− 28= 0 D = 962+ 4⋅7⋅28= 10000= 1002 96±-100 2 x1,2 = 14 = − 7; 14.

среди полученных ответов выбираем тот, который неотрицательный.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#12994

Катер в 8:40 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Катер пробыл в пути без учёта остановки $16 ч 20 мин − 8 ч 40 мин− 40 мин = 7$ ч. Составим таблицу:


	$S$ , км	$v$ , км/ч	$t$ , ч

По течению	$48$	$x +2$	$-48-- x + 2$

Против течения	$48$	$x − 2$	$-48-- x − 2$

Поскольку весь путь занял $7$ часов, получим уравнение:

$pict$

Поскольку $x > 0$ , то подходит только $x = 14$ .

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#12999

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 16 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 53 часа после отплытия из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Показать ответ и решение

Длительность всего пути равна $53− 5 =48$ часам. Пусть $x$ км — длина между пунктами. В ответ затем запишем $2x,$ так как за рейс теплоход пройдет расстояние между пунктами дважды. Скорость движения теплохода по течению равна $16 +2 = 18$ км/ч, а скорость против течения равна $16 − 2 = 14$ км/ч. Составим таблицу: