Окружность, описанная около многоугольника (страница 2)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.
\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).
Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле
\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]
\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi +
\angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)
\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle
\beta}\). (рис. 3)
Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле
\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]
где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.
\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).
\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).
\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).
Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(1\). Противолежащий ей угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin30^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]
Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
Пусть \(AB=R\). Тогда нужно найти \(\angle C\). По теореме синусов: \[\dfrac{AB}{\sin \angle C}=2R\quad\Rightarrow\quad \sin\angle C=\dfrac{AB}{2R}=\dfrac R{2R}=\dfrac12\] Так как треугольник остроугольный, то \(\angle C=30^\circ\).
Угол \(C\) треугольника \(ABC\), вписанного в окружность радиуса \(3\), равен \(30^\circ\). Найдите сторону \(AB\) этого треугольника.
По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[AB=2R\cdot \sin\angle C=2\cdot 3\cdot \sin30^\circ=3\]
Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(1\). Противолежащий ей угол \(C\) равен \(150^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin150^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]
Сторона \(AB\) тупоугольного треугольника \(ABC\) равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Пусть \(AB=R\). По теореме синусов: \[\dfrac{AB}{\sin \angle C}=2R\quad\Rightarrow\quad \sin\angle C=\dfrac{AB}{2R}=\dfrac R{2R}=\dfrac12\] Так как \(\angle C\) тупой, то \(\angle C=150^\circ\).
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны \(40\), основание равно \(48\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
1 способ.
Пусть \(AC=BC\). Проведем \(CH\perp AB\).
Тогда \(CH\) также является и медианой, следовательно, \(AH=0,5AB=24\). Тогда \(\cos\angle
A=AH:AC=24:40=3:5\). Следовательно, \[\sin\angle
A=\sqrt{1-\cos^2\angle A}=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45\] По теореме синусов \[\dfrac{BC}{\sin\angle A}=2R\quad\Rightarrow\quad
R=\dfrac12\cdot \dfrac{40}{\frac45}=25\]
2 способ.
Если \(R\) – радиус описанной окружности, то верна формула \[R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}\] Найдем площадь треугольника по формуле Герона (полупериметр \(p=64\)): \[S_{ABC}=\sqrt{64\cdot (64-40)(64-40)(64-48)}=8\cdot 24\cdot 4\] Тогда \[R=\dfrac{40\cdot 40\cdot 48}{4\cdot 8\cdot 24\cdot 4}=25\]
Основания равнобедренной трапеции равны \(8\) и \(6\). Радиус описанной окружности равен \(5\). Найдите высоту трапеции.
Пусть \(O\) – центр окружности. Проведем радиусы \(OA, OB, OC, OD\). Пусть \(OH\perp BC, OK\perp AD\).
Так как \(BC\parallel
AD\) и \(OH\perp BC, OK\perp AD\), то точки \(H, O, K\) лежат на одной прямой. Следовательно, \(HK\) – высота трапеции.
Рассмотрим \(\triangle BCO\). По формуле Герона его площадь равна \(S_{BOC}=\sqrt{8\cdot 2\cdot 3\cdot 3}=12\). С другой стороны, \(S_{BCO}=0,5BC\cdot OH\), откуда \[12=0,5BC\cdot OH\quad\Rightarrow\quad OH=4\] Рассмотрим \(\triangle ADO\). Аналогично ищем \(S_{ADO}=12\) и \(S_{ADO}=0,5AD\cdot OK\), откуда \(OK=3\). Следовательно, \(HK=4+3=7\).
