№3,15. Стереометрия

№3,15. Стереометрия - Многогранники. Тетраэдр

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №3,15. Стереометрия

Теоретическая справка

#1069

Определение и составные части тетраэдра.

Определение

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и точку $D,$ не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку $D$ отрезками с вершинами треугольника $ABC,$ получим треугольники $DAB,$ $DBC$ и $DCA.$ Поверхность, составленная из четырех треугольников $ABC,$ $DAB,$ $DBC$ и $DCA,$ называется тетраэдром и обозначается так: $DABC.$

Треугольники, из которых составлен тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Для тетраэдра $DABC$ противоположными ребрами являются ребра $AD$ и $BC,$ $BD$ и $AC,$ $CD$ и $AB.$ Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями.

По сути тетраэдр – это треугольная пирамида.

$PIC$

Тетраэдр имеет:

$4$ вершины: $A,B,C,D;$
$6$ ребер: $AB,AC, AD,BC, BD, CD;$
$4$ грани, каждая из которых является треугольником: $ABC,ABD, ACD, BCD.$

Высота тетраэдра – это перпендикуляр, опущенный из вершины тетраэдра на плоскость основания.

$PIC$

Тетраэдр называется правильным, если все его грани являются равносторонними треугольниками. То есть все ребра правильного тетраэдра равны между собой.

$PIC$

Высота боковой грани правильного тетраэдра, проведенная из его вершины, называется апофемой.

$PIC$

Следствие

Апофемы всех боковых граней правильного тетраэдра равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Формулы для тетраэдра

Площадь полной поверхности тетраэдра, в случае выделенных основания и вершины, вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок +Sосн,

где $Sбок$ – площадь боковой поверхности, $Sосн$ – площадь основания пирамиды. При этом, если известна длина ребра $a$ правильного тетраэдра, то $Sбок$ вычисляется по формуле $√- Sбок = a2 3.$

Доказательство:

Докажем формулу для $Sбок.$ Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a,$ тогда площадь боковой грани равна $2√ - a--3. 4$ Сложим площади всех этих граней, тогда площадь боковой поверхности равна $a2√3 √ - Sбок = 4⋅--4--= a2 3.$

Объем тетраэдра вычисляется по формуле, аналогичной формуле объема пирамиды:

1 V = 3 ⋅Sосн⋅h

Данная формула верна и в случае правильного тетраэдра, и в случае произвольного. В случае правильного тетраэдра формула принимает вид

√- a3-2- V = 12

Доказательство:

Докажем формулу для $V$ правильного тетраэдра. Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с вершиной $D$ и длиной $a$ ребра

Тогда площадь его основания равна

2√ - Sосн = a--3. 4

Проведем высоту $CC1$ основания. Это высота правильного треугольника, следовательно,

a√3- CC1 = 2 .

Опустим высоту $DH$ тетраэдра. Она упадет в центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Так как он правильный, то точка $H$ будет еще и точкой пересечения медиан, а значит,

√ - CH = 2⋅CC1 = a--3. 3 3

По теореме Пифагора для прямоугольного $△ CDH :$

DH2 =CD2 − CH2 2 2 2 DH2 =a2 − 3a--= 6a-= 2a- 9 √ -9 3 DH = a√-2 3

Тогда найдем объем тетраэдра:

2√ - √ - 3√- V = 1 ⋅Sосн⋅h = 1⋅ a--3⋅ a√-2= a-2-. 3 3 4 3 12

$PIC$

Если $a$ и $b$ – противоположные ребра тетраэдра, $d$ – расстояние между ними, $α$ – угол между ними, то объем этого тетраэдра равен

V = 1abdsin α. 6

Доказательство:

Докажем вторую формулу для $V.$ Пусть дан тетраэдр $KMM1N1$ и $M1N1 = a,$ $KM = b.$

Рассмотрим призму $MNKM1N1K1,$ в основании которой лежит треугольник $MNK,$ причем $MN ∥M1N1$ и $MN = M1N1,$ а также $M1K1 ∥MK$ и $M1K1 =MK.$

Тогда $∠KMN = α,$ а высота призмы равна расстоянию между прямыми $KM$ и $M1N1,$ то есть $d.$

Значит, объем этой призмы выражается по формуле

1 V = d ⋅2absinα.

$PIC$

Распишем, чему равен объем нужного тетраэдра $KMM N : 1 1$

(1 1 ) 1 1 VKMM1N1 = V− (VM1N1K1K + VMNKN1 )= V− 3V + 3V = 3 V = 6abd sinα.

Примеры задач, связанных с тетраэдром.

Пример 1.

Точка $M$ – середина ребра $AD$ тетраэдра $ABCD$ . Точки $K$ и $L$ лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно, причем $B$ – середина отрезка $AK$ , а $C$ – середина отрезка $AL$ .

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ , $K$ и $L$ .

б) Найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро $BD.$

Решение:

а) Так как точки $M$ и $L$ лежат в плоскости одной грани $ACD,$ соединим их. Пусть прямая $ML$ пересекает ребро $CD$ в точке $X2.$ Тогда отрезок $MX2$ – сторона сечения.

Аналогично точки $M$ и $K$ лежат в плоскости одной грани, соединим их. Пусть прямая $MK$ пересекает ребро $BD$ в точке $X1.$ Тогда отрезок $MX1$ – сторона сечения.

Так как точки $X1$ и $X2$ лежат в плоскости одной грани, соединим их. Получаем последнюю сторону сечения – $X X . 1 2$

$PIC$

Тогда треугольник $MX1X2$ – искомое сечение.

Докажем дополнительно, что плоскость сечения (назовем ее $α$ ) параллельна $BC.$

По условию задачи $B$ – середина $AK,$ $C$ – середина $AL.$ Значит, $BC$ – средняя линия треугольника $AKL.$ Следовательно $BC ∥KL.$

Но $KL ⊂ α,$ то есть прямая $BC$ параллельна прямой, лежащей в плоскости $α.$ Значит, $BC ∥ α.$

б) Способ 1

Запишем теорему Менелая для треугольника $ADB$ и секущей $MK :$

AM DX1 BK MD--⋅X1B-⋅KA--= 1 1 ⋅ DX1-⋅ 1 = 1 1 X1B 2 DX1 2 X1B- = 1

Способ 2

Проведем отрезок $DK$ и рассмотрим треугольник $ADK.$ В этом треугольнике $BD$ является медианой, так как $AB = BK.$ Также $KM$ является медианой, так как $AM = MD.$ Значит, $X1$ – точка пересечения медиан и делит медиану $DB$ в отношении $2 :1,$ считая от вершины $D.$

$PIC$

Пример 2.

Дан тетраэдр $ABCD.$ На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK :KC = 3:7.$ Также на ребрах $AD,$ $BD$ и $BC$ выбраны точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ – квадрат со стороной 3.

а) Докажите, что ребра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLM,$ если объем тетраэдра $ABCD$ равен 100.

Решение:

а) Рассмотрим плоскости $KLM, ABC, ABD.$ Они попарно пересекаются друг с другом по прямым $LM, KN, AB.$ Эти прямые или пересекаются в одной точке, или параллельны. Так как $KLMN$ – квадрат, то $LM ∥KN.$ А значит, $LM ∥KN ∥AB.$

Рассмотрим плоскости $KLM, ACD, BDC,$ которые пересекаются по прямым $KL, MN, CD.$ Вновь воспользуемся тем, что $KLMN$ – квадрат, а значит, $KL ∥MN ∥CD.$

$PIC$

Таким образом, $KL ∥CD, KN ∥AB, KL ⊥ KN,$ следовательно, $CD ⊥ AB.$

б) Пусть $h$ – расстояние от точки $B$ до плоскости $(KLM ).$

Рассмотрим пирамиду $LMNB$ с основанием $NMB.$ Ее объем вычисляется следующим образом:

VLMNB = 1 ⋅h⋅SLMN . 3

По теореме о пропорциональных отрезках

AK- AL- BN-- BM-- 3 KC = LD = NC = MD = 7.

$PIC$

Пусть $h1$ – расстояние от точки $A$ до плоскости $BCD,$ $h2$ – расстояние от точки $L$ до плоскости $BCD.$ Тогда так как $LD :AD = 7:10,$ то

h2 =-7h1. 10

Найдем, во сколько раз отличается площадь основания пирамиды $LMNB$ от площади основания пирамиды $ABCD.$ Треугольники $BNM$ и $BCD$ подобны с коэффициентом подобия $k = 3-. 10$ Тогда

SBMN = k2⋅SBCD = -9- ⋅SBCD. 100

Отсюда получаем:

-7 9-- 63 VLMNB = VABCD ⋅10 ⋅ 100 = 10.

В итоге получаем:

VLMNB = 1 ⋅h ⋅ 3⋅3-= 63 3 2 10 63 2 21⋅2 42 h= 10 ⋅3 = 10 = 10 = 4,2.

Пример 3.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно.

a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD$ .

б) Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$ . Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $α$ , если известно, что $BK = 1$ , $KC =5$ .

Решение:

а) В правильном тетраэдре все грани – правильные треугольники, то есть $△BDC$ и $△ADC$ – равносторонние. А так как $BN$ и $AN$ – медианы, то они являются также высотами в соответствующих равносторонних треугольниках, то есть $DC ⊥NB$ и $DC ⊥ NA$ . Следовательно, $DC ⊥ (NBA )$ . Так как $MN ∈ (NBA )$ , то $MN ⊥ DC$ .

$PIC$

Известно, что $∠BCN = ∠ACN = 60∘$ . Значит, $△BCN =△ACN$ по двум сторонам ( $BC = AC$ и $NC$ – общая) и углу между ними. Тогда $AN = NB$ , следовательно, $△ANB$ – равнобедренный. $NM$ – его медиана, проведенная к основанию $AB,$ значит, она также является высотой, то есть $NM ⊥ AB.$

Что и требовалось.

б) Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Мы уже знаем, что $MN ⊥ CD$ и $MN ⊥ AB$ . Если мы построим прямые, параллельные $CD$ и $AB$ , то $MN$ также будет перпендикулярна и данным прямым. Построим такие прямые, проходящие через точку $K$ .

Проведем в плоскости грани $BDC$ прямую $KE$ , параллельную $DC$ . А в плоскости грани $BAC$ проведем прямую $KR$ , параллельную $AB$ . Через точку $R$ в плоскости грани $ADC$ проведем прямую $RT$ , параллельную $DC$ . Тогда точки $T$ и $E$ лежат в грани $BAD$ , значит, можно их соединить прямой. Мы получили плоскость $KRT$ , в которой есть две пересекающиеся прямые, перпендикулярные $MN$ , а значит, плоскость $KRT$ и является плоскостью $α.$ То есть $KRT E$ – сечение тетраэдра плоскостью $α$ .

$PIC$

Плоскости $ABC,$ $ABD$ и $KRT$ пересекаются по прямым $AB,$ $TE$ и $RK.$ Так как прямые $AB$ и $RK$ параллельны, то $AB ∥TE ∥ RK.$ Аналогично $TR ∥DC ∥EK,$ то есть $KRT E$ – параллелограмм.

В пункте а) мы доказали, что $DC ⊥ (NBA )$ , значит, $DC ⊥ AB$ . Так как $KE ∥DC$ и $RK ∥AB$ , то $KE ⊥ RK$ . Отсюда следует, что $KRT E$ – прямоугольник.

Из условия получаем, что все ребра тетраэдра равны 6.

Заметим, что $△BDC ∼ △BEK$ по двум углам: $∠KBE$ – общий, $∠BKE = ∠BCD$ как соответственные углы при параллельных прямых $KE$ и $DC$ и секущей $BC$ . Так как $△BDC$ – равносторонний, то и $△BEK$ – равносторонний. Тогда получаем, что $KE = BE = BK = 1$ . Значит, $DE =DB − BE = 6− 1= 5$ .

Аналогично $△BAD ∼ △ET D$ , то есть $△ET D$ – равносторонний. Мы уже получили, что $DE = 5$ , тогда $TE = DE = 5.$

Значит, так как $KRT E$ – прямоугольник, то

SKRTE = EK ⋅T E =1 ⋅5= 5.

Пример 4.

На ребрах $BC,$ $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM :MB = BL :LC = AN :ND = 1:4.$

а) Докажите, что плоскость $α,$ проходящая через точки $L,$ $M$ и $N,$ делит ребро $CD$ в отношении $4:1,$ считая от вершины $C.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $α,$ если $AB = 10.$

Решение:

а) Так как $AM--= AN-= 1 , MB ND 4$ то по обратной теореме о пропорциональных отрезках $MN ∥BD.$

Тогда $MN ∥ (BCD ),$ а значит, плоскость $α$ пересекает плоскость $(BCD )$ по прямой, которая параллельна $MN.$

Пусть плоскость сечения $α$ пересекает $CD$ в точке $K.$

$PIC$

Тогда $LK ∥BD$ и из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что

CL-= CK--= 4. LB KD 1

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 10 и угол между любыми двумя смежными ребрами равен $60∘.$

$PIC$

$△BML = △DNK$ по двум сторонам и углу между ними: $BL = 2= KD,$ $BM = 8= ND, ∠MBL =60∘ = ∠NDK.$ Тогда $ML = NK.$

Так как треугольник $BAD$ – равносторонний и $MN ∥BD,$ то $△MAN$ тоже равносторонний и $MN = 2.$ Аналогично $LK = 8,$ так как треугольник $△LCK$ – равносторонний.