Показательные неравенства —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#798

Решите неравенство

2x x 3 − 3 ≥ 0.

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно неравенству

2x x 3 ≥3 ⇔ 2x ≥ x ⇔ x≥ 0

Ответ:

$[0;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#842

Решите неравенство

2x2−23 4 <8

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — любое число.

Преобразуем данное неравенство:

2 2x2−23 3 4x2−46 3 (2) < 2 ⇔ 2 < 2

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

2 2 4x − 46< 3 ⇔ 4x − 49< 0 ⇔ (2x− 7)(2x+ 7)< 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Получим $x∈ (− 72; 72).$

Ответ:

$( 7 7) −2 ;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2132

Решите неравенство

x2−1 17 ≥ 1.

Показать ответ и решение

Представим правую часть неравенства в виде степени:

x2−1 0 17 ≥17

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

2 x − 1≥ 0 ⇔ (x− 1)(x+ 1)≥ 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Отсюда получим

x∈ (− ∞;− 1]∪[1;+ ∞)

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [1;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2133

Решите неравенство

( )x+3 252x−4 < 1 5

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — любое число.

Преобразуем данное неравенство:

22x−4 −1x+3 4x−8 −x−3 (5 ) < (5 ) ⇔ 5 < 5

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

4x − 8< −x − 3 ⇔ x < 1 ⇔ x∈ (−∞; 1)

Ответ:

$(−∞; 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#488

Решите неравенство

x x 3 ⋅121 − 4⋅11 ≥ − 1

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно неравенству

x 2 x 3⋅(11) − 4⋅11 + 1≥ 0

Сделаем замену $11x =y,$ тогда полученное неравенство примет вид

3y2− 4y+ 1 ≥0

Таким образом, по методу интервалов:

$PIC$

Откуда

⌊ 1 ⌊ x 1 [ x log11 1 ⌊ 1 ⌈y ≤ 3 ⇔ ⌈11 ≤ 3 ⇔ 11 ≤11 3 ⇔ ⌈x ≤ log113 y ≥ 1 11x ≥ 1 11x ≥110 x≥ 0

Таким образом,

( 1] x∈ −∞; log113 ∪[0;+ ∞)

Ответ:

$( 1] −∞; log113 ∪ [0;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#489

Решите неравенство

125x + 7 ⋅ 25x + 12 ⋅ 5x + log 15625 ≤ 25x + 5x 5

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

Так как $log 15625 = log 56 = 6 5 5$ , то исходное неравенство равносильно неравенству

x x x 125 + 6 ⋅ 25 + 11 ⋅ 5 + 6 ≤ 0

Сделаем замену $5x = t > 0$ :

t3 + 6t2 + 11t + 6 ≤ 0

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: $t = − 1$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t − t0$ , где $t0$ – его корень, тогда

3 2 | t + 6t + 11t + 6 |----t +-1----- t3 +-t2 |t2 + 5t + 6 5t2 + 11t | 5t2 +-5t | 6t + 6 | 6t + 6 | -----0 |

Таким образом, последнее неравенство равносильно

(t + 1)(t2 + 5t + 6) ≤ 0 ⇔ (t + 1)(t + 2 )(t + 3) ≤ 0,

то есть оно не выполняется при $t > 0$ , следовательно, ответ:

x ∈ ∅.

Ответ:

$∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#490

Решите неравенство

5x − 5 ≥ 7x − 7

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно неравенству

7x − 5x ≤ 2

При $x ≤ 0$ :

x x x 0 < 7 ≤ 1, 0 < 5 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ − 5 < 0

следовательно,

− 1 < 7x − 5x < 1 < 2,

то есть всякий $x ≤ 0$ является решением исходного неравенства.

При $x > 0$ :
покажем, что левая часть последнего неравенства возрастает при $x > 0$ :

(7x − 5x)′ = 7x ⋅ ln7 − 5x ⋅ ln5.

Так как при любом $x > 0$ выполнено $7x > 5x$ , а $ln7 > ln 5$ , то при любом $x > 0$

(7x − 5x)′ > 0,

следовательно, $x x f (x) = 7 − 5$ – возрастает на промежутке $(0;+ ∞ )$ .

Так как $f(x)$ возрастает на промежутке $(0;+ ∞ )$ , то у уравнения $f (x) = 2$ не более одного решения на $(0;+ ∞ )$ . При этом можно угадать его решение

x = 1.

Так как на промежутке $(0;+ ∞ )$ $f (x )$ – возрастает, то при $x ∈ (0;1]$ выполнено

f (x) ≤ 2,

а при $x ∈ (1;+ ∞ )$ выполнено

f (x) > 2.

Таким образом, $7x − 5x ≤ 2$ только при $x ≤ 1$ .

Ответ:

$(− ∞; 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#491

Пусть $x0$ – какое-то из решений уравнения

1 x = ex.

Решите неравенство

xx ≥ e

Показать ответ и решение

Так как $ey > 0$ – при любых $y$ , то у уравнения $1 x = ex$ не может быть неположительных решений, следовательно, $x0 > 0$ , следовательно,

-1- ln x0 = x0 .

ОДЗ исходного неравенства:

x > 0.

На ОДЗ $x xx = eln x = exlnx$ , тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

ex lnx ≥ e1 ⇔ xln x ≥ 1 ⇔ ln x ≥ -1. x

На ОДЗ:
функция $f(x ) = ln x$ – возрастает, функция $g(x) = -1 x$ – убывает, следовательно, на ОДЗ у уравнения

1- f(x) = g(x ) ⇔ lnx = x

не более одного корня. Заметим, что ОДЗ уравнения $1 lnx = -- x$ совпадает с ОДЗ исходного неравенства, следовательно, на ОДЗ

f (x) = g(x) ⇔ x = x0.

Так как на промежутке $(0;+ ∞ )$ $f (x )$ – возрастает, а $g(x)$ – убывает, то при $x ∈ (0;x0)$ выполнено

f(x) < g(x ),

а при $x ∈ [x0;+ ∞ )$ выполнено

f(x) ≥ g(x ).

Таким образом, $1 lnx ≥ -- x$ только при $x ≥ x0$ .

Ответ:

$[x0;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#763

Решить неравенство

x+11 x+10 ---3x-----x ≥-3x---x 3⋅2 − 2⋅3 2 − 3

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $2x ⁄= 0$ (от этого значение каждой дроби не изменится, а, значит, мы получим равносильное неравенство):

311⋅(3)x 310⋅(3)x -----2(3)x −----(23)x-≥ 0 3− 2⋅ 2 1− 2

Разделим правую и левую части на положительное число $310$ и сделаем замену: $(3)x = t> 0 2$ . Неравенство примет вид:

3t t t2 3-− 2t − 1−-t ≥ 0 ⇔ (3−-2t)(1−-t) ≤ 0

Решая неравенство методом интервалов

$PIC$

получим ответ $( 3) t∈ {0}∪ 1;2 .$ Но $t>0,$ следовательно, окончательный ответ $( 3) t∈ 1;2 .$

Вернемся к старой переменной:

( )x 1 < 3 < 3 ⇔ 0 <x < 1 2 2

Ответ: $x∈ (0;1).$

Ответ:

$(0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#797

Решите неравенство

2x ≥ 2 − 20

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

2x ≥ 20 ⇔ x ≥ 0.

Ответ:

$[0;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#843

Решите неравенство

x2−1 (√- 1)--x- 1 √- 2 − 2 ≥ 2 − 2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄=0.$

Заметим, что $1− √2< 0, 2$ следовательно, смысл неравенства: левая часть не меньше некоторого отрицательного числа.

Так как по определению показательная функция всегда принимает только положительные значения, то есть

( ) x2−1- √2 − 1 x > 0 2

при всех $x$ из ОДЗ, то решением неравенства является только ОДЗ.

Следовательно, $x ∈(−∞; 0)∪(0;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; 0)∪(0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#844

Решите неравенство

√ -- √ -- (2 − 3)x2−x > 7 − 4 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

Заметим, что $-- -- -- -- (2 − √ 3)2 = 22 − 2 ⋅ 2√ 3 + (√ 3)2 = 7 − 4√ 3$ . Следовательно, неравенство равносильно

√ --x2−x √ --2 (2 − 3) > (2 − 3)

Т.к. основание меньше единицы ( $√ -- 2 − 3 < 1$ ), то неравенство равносильно

2 2 x − x < 2 ⇔ x − x − 2 < 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) < 0

Решая данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

получим $x ∈ (− 1; 2)$ .

Ответ:

$(− 1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#989

Решите неравенство

7x− 5 > 3x2+x −30

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства: $x ∈ ℝ$ .

Заметим, что $x2 + x − 30 = (x − 5)(x + 6)$ . Далее, так как $3 = 7log73$ , то неравенство можно переписать в виде:

x−5 ( log 3)(x−5)(x+6) (x−5)(x+6)log 3 x− 5 7 > 7 7 ⇔ 7 7 < 7

Так как показательная функция всегда положительная, то можно без последствий разделить обе части неравенства на $x− 5 7$ :

(x−5)(x+6)log73−(x−5) 7 < 1 ⇔ (x − 5)(x + 6)log7 3 − (x − 5 ) < 0 ⇔ (x − 5)((x + 6)log7 3 − 1 ) < 0

Решим данное неравенство методом интервалов. Корнями левой части являются $x = 5$ и $1 x = ------− 6 = log37 − 6 log7 3$ . Так как $1 < log3 7 < 2$ , то $− 5 < log3 7 − 6 < − 4$ .

$PIC$

Следовательно, $x ∈ (log37 − 6;5 )$ .

Ответ:

$x ∈ (log37 − 6;5 )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1073

Решите неравенство

12x + 6x+1 + 144 ≥ 16 ⋅ 3x + 9 ⋅ 4x + 27 ⋅ 2x+1

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в одну часть:

x x+1 x x x+1 12 + 6 + 144 − 16 ⋅ 3 − 9 ⋅ 4 − 27 ⋅ 2 ≥ 0 ⇔ ⇔ (12x − 9 ⋅ 4x ) + (6x+1 − 27 ⋅ 2x+1) + (144 − 16 ⋅ 3x) ≥ 0 ⇔ x x x+1 x+1 x ⇔ 4 (3 − 9) + 2 (3 − 27 ) + 16 (9 − 3 ) ≥ 0 ⇔ ⇔ (3x − 9)(4x + 3 ⋅ 2x+1 − 16) ≥ 0

Рассмотрим выражение $4x + 3 ⋅ 2x+1 − 16 = (2x)2 + 6 ⋅ 2x − 16 = (2x − 2)(2x + 8)$ . Тогда неравенство примет вид:

(2x − 2)(2x + 8)(3x − 9) ≥ 0

Заметим, что выражение $2x + 8 > 0$ при всех $x$ . Следовательно, можно разделить обе части неравенства на него. Тогда по методу рационализации неравенство равносильно:

(2 − 1)(x − 1)(3 − 1 )(x − 2) ≥ 0 ⇔ (x − 1 )(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 1] ∪ [2; +∞ ).

Ответ:

$(− ∞; 1] ∪ [2;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1192

Решить неравенство

( ) 2x2 ⋅ 5x2 < 10− 3 ⋅ 103−x 2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

По формуле $ax ⋅ bx = (ab)x$ левую часть можно записать как $2 2 (2 ⋅ 5)x = 10x$ .
С помощью формулы $(ax)y = axy$ правую часть можно записать как $10−3 ⋅ 106−2x$ , затем с помощью $ax ⋅ bx = (ab)x$ как $10−3+6−2x$ . Тогда неравенство примет вид:

x2 3−2x 10 < 10

Данное неравенство равносильно

x2 < 3 − 2x ⇔ x2 + 2x − 3 < 0 ⇔ (x − 1)(x + 3) < 0 ⇔ x ∈ (− 3;1)

Ответ:

$(− 3;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1209

Решите неравенство

x x -x2-- + 2x+-1+ -x---5-x--- ≤ 0 2 − 3 2 − 2 4 − 5⋅2 + 6

Показать ответ и решение

Так как $4x = (2x)2$ , то сделаем замену $t= 2x > 0,$ тогда неравенство примет вид рационального:

-t--+ t+-1+ -2--5----≤ 0 t− 3 t− 2 t − 5t+ 6

Далее имеем $t2 − 5t+ 6= (t− 3)(t− 2),$ следовательно, после приведения всех слагаемых к общему знаменателю неравенство будет иметь вид

t(t−-2)+(t+-1)(t−-3)+-5 2(t2−-2t+1)- --(t− 1)2-- (t− 2)(t− 3) ≤ 0 ⇔ (t− 2)(t− 3) ≤0 ⇔ (t − 2)(t− 3) ≤0

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Следовательно,

t∈ {1}∪ (2;3)

Сделаем обратную замену:

[ x [ 2 = 1 ⇔ x= 0 2< 2x < 3 1< x< log23

Ответ:

${0}∪ (1;log 3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1210

Решите неравенство

-----3------− ----4---- + 1 ≥ 0 (22−x2 − 1)2 22−x2 − 1

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $2 t = 22−x$ . Тогда неравенство примет вид:

2 2 ---3---- --4-- 3 −-4-(t-−-1)-+-(t −-1) t-−-6t-+-8- (t − 1)2 − t − 1 + 1 ≥ 0 ⇔ (t − 1)2 ≥ 0 ⇔ (t − 1)2 ≥ 0

Так как $t2 − 6t + 8 = (t − 2 )(t − 4)$ , то

(t-−-2)(t −-4-)≥ 0 (t − 1)2

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$
Тогда решением будут

t ∈ (− ∞; 1) ∪ (1; 2] ∪ [4; +∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊ 2−x2 ⌊ ⌊ 2 < 1 2 − x2 < 0 x2 > 2 || 2−x2 | 2 | 2 | 1 < 2 ≤ 2 ⇔ |⌈ 0 < 2 − x ≤ 1 ⇔ |⌈1 ≤ x < 2 ⌈ 2 2 2 22−x ≥ 4 2 − x ≥ 2 x ≤ 0

Решением первого неравенства будут $√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 2) ∪ ( 2; +∞ )$ (так как $2 √ -- x > 2 ⇔ |x| > 2$ ).
Решением второго неравенства будут $√ -- √ -- x ∈ (− 2;− 1] ∪ [1; 2)$ (так как $x2 ≥ 1 ⇔ |x| ≥ 1$ , а $√ -- x2 < 2 ⇔ |x| < 2$ , и данные решения нужно пересечь).
Решением третьего неравенства будут $x ∈ {0 }$ (так как любое выражение в квадрате всегда $≥ 0$ , следовательно, оно может быть $≤ 0$ тогда и только тогда, когда оно равно нулю).
Следовательно, ответ: