Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.01 Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39640

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?

Показать ответ и решение

Пусть изначально было $x$ юношей и $x$ девушек. Пусть $a$ парней из $x$ послали по 21 письму девушкам.

а) Если $a$ юношей отправили по 21 письму, то $x− a$ юношей отправили по 4 письма. Всего было отправлено $21 ⋅a + 4⋅(x − a) = 17a +4x$ писем. Если каждая девушка получила по 7 писем, то всего писем было получено $7x.$ Значит,

17a+ 4x= 7x ⇔ 17a =3x

При $a= 3, x =17$ равенство выполняется. Значит, если девушек и юношей было по 17 и 3 юноши отправили по 21 письму, а 14 — по 4, то каждая девушка получила по 7 писем. Действительно, $3⋅21 +14⋅4 = 17 ⋅7= 119.$

б) Пусть каждая девушка получила по $n$ писем. В предыдущем пункте мы получили, что всего писем было отправлено $17a + 4x,$ тогда выполняется равенство:

17a xn= 17a+ 4x ⇔ x(n− 4)= 17a ⇔ n− 4 = x--

Докажем, что $x$ не может быть меньше 17. Пусть это не так.

По условию юношей, отправивших по 4 письма, хотя бы 2, то есть $x − a≥ 2;$ юношей, отправивших по 21 письму, хотя бы 2, то есть $a ≥ 2,$ поэтому $x≥ 4.$ Из предположения $x < 17,$ поэтому получаем: $a< x, 3< x <17.$

Число $n − 4= 17a x$ — натуральное, поэтому $x$ делит $17a.$

Так как 17 — простое число и $x > 1, x< 17,$ то $a$ должно делиться на $x,$ но $a < x.$ Противоречие. Значит, $x≥ 17.$

Пример на 17 девушек был приведен в пункте а).

в) Если девушки получили разное количество писем, то полученное количество писем больше или равно суммарному количеству писем от 0 до $x− 1.$ Девушка с наименьшим количеством писем получила хотя бы 0 писем, следующая по количеству писем получила хотя бы 1, …, девушка с наибольшим количеством писем получила хотя бы $x − 1$ письмо. Тогда можем записать неравенство:

17a+ 4x≥ x(x−-1) ⇒ 34a+ 8x≥ x2− x 2

Заметим, что $a ≤ x− 2,$ поэтому:

2 2 x − x≤ 34a+ 8x≤ 34(x− 2)+8x = 42x − 68 ⇒ x − 43x + 68 ≤ 0

Найдем решения этого неравенства:

[ √ ---- √----] D =432− 4⋅68 =1577 ⇒ x ∈ 43-−--1577; 43+-1577 2 2

Значит,

√ ---- √---- x≤ 43-+--1577 < 43+--1600 = 43+-40= 41,5 2 2 2

Значит, $x$ может быть не более 41. Пример для $x =41 :$

39⋅40+ 47= 21⋅39+ 4⋅2 2

Суммарно 41 девушка получила 827 писем: первые 40 девушек получили разное количество писем от 0 до 39, последняя получила 47 писем. При этом 39 юношей отправили по 21 письму, 2 юноши отправили по 4 письма.

Ответ:

а) Да, могло

б) 17

в) 41

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120330

В школе перед началом учебного года было сформировано несколько одиннадцатых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как $7 :2$ или как $2 :7.$ После этого в параллель одиннадцатых классов школы приняли ещё четырёх мальчиков и трёх девочек.

а) Удастся ли теперь разбить всех одиннадцатиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $5:4$ или $4 :5?$

б) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $7 :3$ или $3:7.$ Могло ли при этом получиться ровно семь классов?

в) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $7 :3$ или $3:7.$ Было решено отправить всех одиннадцатиклассников на экскурсию группами по 90 человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было одиннадцатиклассников?

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Пусть изначально было несколько классов. Рассмотрим класс под номером $i.$ Есть два варианта. Если в этом классе $7xi$ мальчиков и $2xi$ девочек, то есть отношение количества мальчиков к количеству девочек равно $7 :2,$ то общее количество одиннадцатиклассников равно $7xi+ 2xi = 9xi.$ Тогда количество одиннадцатиклассников в таком классе кратно 9.

Если в этом классе $2xi$ мальчиков и $7xi$ девочек, то есть отношение количества мальчиков к количеству девочек равно $2:7,$ то общее количество одиннадцатиклассников равно $2x + 7x = 9x . i i i$ Тогда количество одиннадцатиклассников и в таком классе кратно 9.

Можем сделать вывод, что в любом классе школы количество одиннадцатиклассников кратно 9, а значит, и общее количество одиннадцатиклассников кратно 9.

Аналогично можно доказать, что если во всех одиннадцатых классах школы отношение количеств мальчиков и девочек равно $5:4$ или $4:5,$ то общее количество одиннадцатиклассников кратно 9.

Но если изначально количество одиннадцатиклассников было кратно 9, то после принятия в школу 7 новых одиннадцатиклассников оно не будет делиться на 9. Получается, что после перевода ещё четырёх мальчиков и трёх девочек разбить классы нужным образом не удастся.

б) Пусть в параллели 11 классов было 7 классов: 4 класса, в которых было 2 мальчика и 7 девочек, и 3 класса, в которых было 7 мальчиков и 2 девочки.

Тогда пусть в классы первого вида зачислили по одному мальчику. Теперь в них стало по 3 мальчика и по 7 девочек, то есть отношение стало равно $3 :7.$

Также пусть в классы второго вида зачислили по одной девочке. Тогда в них стало по 7 мальчиков и по 3 девочки, то есть отношение стало равно $7 :3.$

в) Рассмотрим класс, в котором отношение количества мальчиков к количеству девочек было равно $7:2.$ Тогда в нем мальчиков хотя бы на 5 больше, чем девочек, значит, после принятия в параллель одиннадцатых классов еще 4 мальчиков в этом классе все равно мальчиков было больше. Таким образом, отношение $7:2$ могло измениться только на отношение $7 :3.$

Аналогично, так как всего в параллель одиннадцатых классов приняли 3 девочки, то отношение $2:7$ могло измениться только на отношение $3 :7.$

Пусть изначально было $9x$ одиннадцатиклассников. В школу приняли 7 одиннадцатиклассников, значит, их стало $9x+ 7.$

С другой стороны, если во всех одиннадцатых классах школы отношение количеств мальчиков и девочек стало равно $7:3$ или $3:7,$ то общее количество одиннадцатиклассников кратно 10, то есть равно $10y.$

Значит, $9x+ 7= 10y.$ Таким образом, число $9x$ оканчивается на 3, следовательно, число $x$ оканчивается на 7.

Пусть $x = 10z + 7.$ Тогда всего одиннадцатиклассников ровно

9x+ 7= 9⋅(10z+ 7)+7 = 90z +63 +7 = 90z +70.

Таким образом, в неполной группе будет 70 одиннадцатиклассников.

Такое действительно могло быть, если взять пример из пункта б). В нем в школе в итоге всего 70 одиннадцатиклассников, которых отправили на экскурсию в неполной группе.

Ответ:

а) Нет, не удастся

б) Да, могло

в) 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90076

Есть 4 камня по 5 тонн и 13 камней по 14 тонн.

а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 6 тоннам?

б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?

в) Какую минимальную положительную разность сумм масс камней можно достичь при разложении камней на 2 группы?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Вычислим общую массу камней:

4⋅5 +13 ⋅14 = 20 +182 =202 тонны.

Пусть масса камней в первой группе равна $x$ тонн, а во второй — $y$ тонн. Тогда $x− y = 6$ и $x +y = 202.$ Решаем систему:

{x − y = 6 {2x = 208 {x = 104 x+ y = 202 ⇔ x+ y = 202 ⇔ y = 98

Число 98 можно разложить на множители: $98= 14⋅7.$ Теперь можно построить пример.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть в первой группе 4 камня по 5 тонн и 6 камней по 14 тонн. Тогда масса группы равна

4⋅5+ 6⋅14 =20 +84 =104 тонн

Значит, во второй группе остались только 7 камней по 14 тонн, то есть её масса равна $7 ⋅14= 98$ тонн. Тогда разность масс групп равна $104− 98= 6$ тонн.

б) Суммарная масса всех камней равна 202 т. Значит, если массы групп равны, то они равны 101 тонне.

Пусть в первой группе $a$ камней по 5 тонн и $b$ камней по 14 тонн.

Следовательно, масса первой группы равна $5a+ 14b = 101$ тонна. Тогда $a$ — нечетное. Значит, в одной из групп 1 камень в 5 тонн, а в другой — 3 камня по 5 тонн. Не умаляя общности, пусть $a= 1.$ Тогда $14b= 101 − 5 = 96.$ Но 96 не делится нацело на 14.

Значит, массы двух этих групп камней не могут быть равны.

в) Вычислим разность групп, если в первой группе $a$ камней по 5 тонн и $b$ камней по 14 тонн; во второй группе $4 − a$ камней по 5 тонн и $13− b$ камней по 14 тонн:

5a+ 14b− ((4− a)⋅5+ (13 − b)⋅14)= = 5a + 14b− (20− 5a+ 182− 14b)= = 10a+ 28b− 202 =2 (5a +14b− 101)

Тогда надо найти минимум выражения $2|5a+ 14b− 101|$ при $0≤ a ≤4,$ $0 ≤b ≤ 13.$ Будем перебирать значения $a.$

Если $a= 0,$ то минимум выражения $2|14b− 101|$ достигается при $b= 7$ и равен 6.
Если $a= 1,$ то минимум выражения $2|14b− 96|$ достигается при $b= 7$ и равен 4.
Если $a= 2,$ то минимум выражения $2|14b− 91|$ достигается при $b= 6$ и равен 14.
Если $a= 3,$ то минимум выражения $2|14b− 86|$ достигается при $b= 6$ и равен 4.
Если $a= 4,$ то минимум выражения $2|14b− 81|$ достигается при $b= 6$ и равен 6.

Таким образом, минимальная разность равна 4 тоннам. Достигается она в случае, если в первой группе 1 камень в 5 тонн и 7 камней по 14 тонн, тогда масса первой группы будет равна 103 тонны. Во второй группе 3 камня по 5 тонн и 6 камней по 14 тонн, а ее масса равна 99 тонн. Тогда их разность равна $103 − 99 =4$ тонны.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 4 тонны

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90078

Есть 4 камня по 3 тонны и 11 камней по 20 тонн.

а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 14 тоннам?

б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Обозначим массу камней в первой группе за $x$ тонн. Тогда масса камней во второй группе равна $x + 14$ тонн. Получаем уравнение на суммарную массу всех камней

x +(x +14)= 4⋅3+ 11⋅20 2x+ 14= 12+ 220 2x= 218 x = 109

Массу 109 тонн можно набрать 5 камнями по 20 тонн и 3 камнями по 3 тонны. Тогда остальные камни в сумме дадут $3+ 6⋅20= 123$ тонны. Тогда разность масс действительно равна $123 − 109 =14$ тонн.

б) Суммарная масса камней равна

4 ⋅3+ 11⋅20= 12+ 220 = 232 тонны

Значит, если массы групп равны, то они равны 116 тоннам.

Пусть в первой группе $a$ камней по 3 тонны и $b$ камней по 20 тонн.

Следовательно, масса первой группы равна $3a+ 20b= 116$ тонн. Тогда $a$ — четное. Значит, либо $a= 0,$ либо $a = 2,$ либо $a= 4.$

Если $a = 0,$ то тогда $20b= 116.$ Такое невозможно, так как 116 не делится на 20.
Если $a = 2,$ то тогда $20b= 110.$ Такое невозможно, так как 110 не делится на 20.
Если $a = 4,$ то тогда $20b= 104.$ Такое невозможно, так как 104 не делится на 20.

Значит, набрать группу, которая весит 116 тонн, нельзя.

в) Всего есть 11 камней по 20 тонн. Значит, в одной из групп точно есть хотя бы 6 таких камней, поэтому ее масса хотя бы 120 тонн. Тогда масса второй группы не более $232− 120= 112$ тонн. Значит, разность сумм масс групп будет не менее $120− 112= 8$ тонн.

Разность в 8 тонн достигается, если в первой группе 6 камней по 20 тонн, а во второй группе — 4 камня по 3 тонны и 5 камней по 20 тонн. Тогда масса первой группы равна 120 тоннам, а масса второй — 112 тоннам. Разность масс равна $120− 112= 8$ тонн.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 8 тонн

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90079

Есть 4 камня по 7 тонн и 9 камней по 22 тонны.

а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 8 тоннам?

б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Если в первой группе 3 камня по 7 тонн и 4 камня по 22 тонны, то масса группы будет равна $3 ⋅7+ 4⋅22= 109$ тонн. Тогда во второй группе 1 камень весом в 7 тонн и 5 камней по 22 тонн, то есть ее масса равна $7+ 5⋅22= 117$ тонн. Тогда их разность равна $117− 109= 8$ тонн.

б) Суммарная масса камней равна

4⋅7+ 9⋅22= 28+ 198= 226 тонн

Значит, если массы групп равны, то они равны 113 тоннам.

Пусть в первой группе $a$ камней по 7 тонн и $b$ камней по 22 тонны.

Следовательно, масса первой группы равна $7a+ 22b= 113$ тонн. Тогда $a$ — нечетное. Значит, либо $a = 1,$ либо $a =3.$

Если $a = 1,$ то тогда $22b= 106.$ Такое невозможно, так как 106 не делится на 22.
Если $a= 3,$ то тогда $22b = 92.$ Такое невозможно, так как 92 не делится на 22.

Значит, набрать группу, которая весит 113 тонн, нельзя.

в) Всего есть 9 камней по 22 тонны. Значит, в одной из групп точно есть хотя бы 5 таких камней.

Если в ней ровно 5 камней по 22 тонны, а других камней нет, то масса это группы равна 110 тоннам, а масс второй группы — 116 тоннам. Тогда разность сумм масс групп равна $116 − 110= 6$ тонн.

Если в ней есть хотя бы 6 камней по 22 тонны, то ее масса не менее 132 тонн, а масс второй группы — не более $4⋅7+ 3⋅22= 94$ тонн. Тогда разность между ними не менее $132 − 94 = 38$ тонн.

Значит, если разность минимальная, то в одной группе 5 камней по 22 тонны, а во второй — 4 камня по 22 тонны.

Если в группе, где 5 камней по 22 тонны, будут хотя бы 2 камня по 7 тонн, то масса этой группы будет не менее 124 тонн. Тогда масса второй группы не более 102 тонн. Значит, разность между ними не менее $124− 102 = 22$ тонн.

Случай, когда в группе только 5 камней по 22 тонны, мы разобрали выше, значит, остался случай, когда в этой группе 5 камней по 22 тонны и 1 камень в 7 тонн. Он разобран в пункте а), в нем разность равна 8 тоннам.

Таким образом, минимальная разность равна 6 тоннам. Достигается она в случае, если в первой группе 4 камня по 7 тонн и 4 камня по 22 тонн, тогда масса группы будет равна 116 тонн. Тогда во второй группе 5 камней по 22 тонн, а ее масса равна 110 тонн. Тогда их разность равна $116− 110= 6$ тонн.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 6 тонн

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90080

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 80 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 20% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80% от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

a) Если в порту всего 10 контейнеров массой 20 тонн и 5 контейнеров массой 80 тонн, причём только 3 контейнера массой 80 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $3 :(10 +5)⋅100% = 20%$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна $3⋅80 =240$ тонн, масса всех контейнеров равна $10⋅20+ 5⋅80= 600$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $240:600⋅100% = 40%$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 80 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 80 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 80% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений:

$pict$

Поскольку $a ≥0$ и $y ≥ b≥ 0,$ то равенство $− 60a= 48y$ выполняется только при $a= y = b =0.$ Из первого уравнения системы следует, что $x = 0.$ Получили: $a = b= y = x= 0,$ что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 80% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 80 тонн. Тогда $a =0,$ значит, $5b= x+ y.$ Нам нужно найти наибольшее значение величины

n = 20a+-80b= --4b- = --4b-- 20x+ 80y x + 4y 5b+ 3y

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что $y ≥ b,$ поэтому

nmax =--4b--= 4b =0,5 5b+ 3b 8b

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 50% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $b= 1$ контейнер массой в 80 тонн, который заполнен сахарным песком и $x =5b− y =5b− b =4$ контейнера массой в 20 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет

---80--- -80 80 +4 ⋅20 ⋅100% = 160 ⋅100% = 50%

от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 50%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90082

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 40 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 60% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 50% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40% от общей массы всех контейнеров?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

a) Если в порту всего 4 контейнера массой 20 тонн и 1 контейнер массой 40 тонн, причём только 3 контейнера массой 20 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $3:(4+ 1) ⋅100% = 60%$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна $3⋅20 =60$ тонн, масса всех контейнеров равна $4⋅20+ 1⋅40 =120$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $60 :120 ⋅100% = 50%$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 40 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 40 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений:

$pict$

Из равенства $− 10a+ 10b= −10x − 2y$ получаем $10(x − a)+2y +10b= 0.$ Поскольку $x ≥ a≥ 0$ и $y ≥b ≥ 0,$ то это равенство выполняется только при $x = a,$ $y = b= 0.$

Тогда из первого уравнения системы следует, что $5a= 3x,$ но тогда $a = b= y = x= 0,$ что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 40% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 40 тонн. Тогда $a =0,$ значит, $5b= 3x+ 3y.$ Нам нужно найти наибольшее значение величины

n= 20a-+-40b-= --6b-- = --6b--- 20x +40y 3x+ 6y 5b +3y

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что $y ≥ b,$ поэтому

6b 6b nmax = 5b-+3b-= 8b = 0,75

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 75% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $b= 3$ контейнера массой в 40 тонн, которые заполнены сахарным песком, и

x= 5b−-3y = 5b−-3b-= 2 3 3

контейнера массой в 20 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет

---3-⋅40--- 120 3 ⋅40 +2 ⋅20 ⋅100% = 160 ⋅100% = 75%

от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 75%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90085

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40% от общей массы всех контейнеров?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

a) Если в порту всего 2 контейнера массой 20 тонн и 6 контейнеров массой 60 тонн, причём только 1 контейнер массой 20 тонн и 5 контейнеров массой 60 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $(1 +5) :(2+ 6)⋅100% = 75%$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна $1⋅20+ 5⋅60 =320$ тонн, масса всех контейнеров равна $2⋅20+ 6⋅60= 400$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $320:400⋅100% = 80%$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 60 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 60 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений:

$pict$

Из равенства $− 12a+ 28b= −16x$ получаем $x +3(x− a)+ 7b= 0.$ Поскольку $x ≥ a≥ 0$ и $y ≥b ≥ 0,$ то это равенство выполняется только при $a = x= 0= b.$

Тогда из первого уравнения системы следует, что и $y = 0,$ что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 40% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 60 тонн. Тогда $a =0,$ значит, $4b= 3x+ 3y.$ Нам нужно найти наибольшее значение величины

n= 20a-+-60b-= --9b-- = --9b--- 20x +60y 3x+ 9y 4b +6y

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что $y ≥ b,$ поэтому

9b 9b nmax = 4b-+6b-= 10b = 0,9

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 90% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $b= 3$ контейнера массой в 60 тонн, которые заполнены сахарным песком, и

x= 4b−-3y = 4b−-3b-= 1 3 3

контейнер массой в 20 тонн, который заполнен не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет

---3-⋅60--- 180 3 ⋅60 +1 ⋅20 ⋅100% = 200 ⋅100% = 90%

от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 90%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90086

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 40 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 36% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

a) Если в порту всего 5 контейнеров массой 40 тонн и 5 контейнеров массой 60 тонн, причём только 3 контейнера массой 40 тонн и 1 контейнер массой 60 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $(1 +3) :(5+ 5)⋅100% = 40%$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна $3⋅40+ 1⋅60 =180$ тонн, масса всех контейнеров равна $5⋅40+ 5⋅60= 500$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $180:500⋅100% = 36%$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 40 тонн и $y$ контейнеров массой 60 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 40 тонн и $b$ контейнеров массой 60 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 60% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений:

$pict$

Поскольку $a ≥0$ и $y ≥ b≥ 0,$ то равенство $− 20a= 12y$ выполняется только при $a= y = b =0.$ Из первого уравнения системы следует, что $x = 0.$ Получили: $a = b= y = x= 0,$ что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 60% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 60 тонн. Тогда $a =0,$ значит, $5b= 2x+ 2y.$ Нам нужно найти наибольшее значение величины

n = 40a+-60b= --3b-- = --3b-- 40x+ 60y 2x +3y 5b+ y

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что $y ≥ b,$ поэтому

nmax =--3b- = 3b= 0,5 5b+ b 6b

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 50% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $b= 2$ контейнера массой в 60 тонн, которые заполнены сахарным песком, и

5b− 2y 5b− 2b x= ---2-- = --2---= 3

контейнера массой в 40 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет

---2-⋅60--- ⋅100% = 120 ⋅100% = 50% 3 ⋅40 +2 ⋅60 240

от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 50%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90087

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

a) Если в порту всего 7 контейнеров массой 20 тонн и 1 контейнер массой 60 тонн, причём только 2 контейнера массой 20 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $2:(7+ 1) ⋅100% = 25%$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна $2⋅20 =40$ тонн, масса всех контейнеров равна $7⋅20+ 1⋅60 =200$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $40 :200 ⋅100% = 20%$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 60 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 60 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 60% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений:

$pict$

Из равенства $− 3a+ 7b= x +7y$ получаем $7(y− b) +x +3a = 0.$ Поскольку $x ≥ a≥ 0$ и $y ≥ b ≥0,$ то это равенство выполняется только при $y =b,$ $x = a= 0.$

Тогда из первого уравнения системы следует, что $4b= y,$ но тогда $a = b= y = x= 0,$ что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 60% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наименьшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 20 тонн. Тогда $b= 0,$ значит, $4a= x+ y.$ Нам нужно найти наименьшее значение величины

n= -20a-+60b = --a-- = --a---- 20x +60y x+ 3y 12a − 2x

Наименьшее значение дроби достигается при наибольшей величине знаменателя, то есть когда $x$ — наименьшее. Мы знаем, что $x ≥ a,$ поэтому

nmin = ---a---= -a- =0,1 12a − 2a 10a

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не менее 10% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $a= 1$ контейнер массой в 20 тонн, который заполнен сахарным песком, и $y = 4a− x= 4a− a =3$ контейнера массой в 60 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет

---20--- ⋅100% = -20 ⋅100% = 10% 20 +3 ⋅60 200

от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 10%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90088

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 40 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 50% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

a) Если в порту всего 4 контейнера массой 20 тонн и 1 контейнер массой 40 тонн, причём только 1 контейнер массой 20 тонн и 1 контейнер массой 40 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $2 :(4 +1)⋅100% = 40%$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна $20+ 40= 60$ тонн, масса всех контейнеров равна $4⋅20+ 1⋅40 =120$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $60 :120 ⋅100% = 50%$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 40 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 40 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 60% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений:

$pict$

Из равенства $− 10a+ 10b= 12y$ получаем $2y +10(y− b)+ 10a = 0.$ Поскольку $x ≥ a≥ 0$ и $y ≥ b≥ 0,$ то это равенство выполняется только при $b= y = 0,$ $a = 0.$

Тогда из первого уравнения системы следует, что и $x = 0,$ что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 60% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наименьшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 20 тонн. Тогда $b= 0,$ значит, $5a= 2x+ 2y.$ Нам нужно найти наименьшее значение величины

n= 20a-+40b = --a--= --a-- 20x+ 40y x+ 2y 5a − x

nmin = --a--= -a = 0,25 5a − a 4a

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не менее 25% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $a =2$ контейнера массой в 20 тонн, которые заполнены сахарным песком, и

5a−-2x 5a−-2a- y = 2 = 2 = 3

---2-⋅20--- ⋅100% = -40 ⋅100% = 25% 2 ⋅20 +3 ⋅40 160

от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 25%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90090

Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей.

а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 175 рублям?

б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 176 рублям?

в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 180 включительно?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Возьмём 15 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей. Тогда сумма взятых монет равна

15⋅2+ 29⋅5= 30+ 145= 175 рублей.

б) Так как нам нужна чётная сумма монет, то мы можем взять только чётное число монеток по 5 рублей, то есть не более 28 таких монеток. Тогда оценим максимальную сумму, которую можно взять:

28 ⋅5+ 16 ⋅2= 140+ 32 = 172 < 176.

Значит, 176 рублей набрать нельзя.

в) Сумма монеток в изначальном наборе равна

29⋅5 +16 ⋅2 = 145 +32 = 177 руб.

Значит, чтобы получить 180 рублей, необходимо добавить хотя бы 3 монетки по 1 рублю.

Покажем, что 3 монеток по 1 рублю достаточно. Сначала научимся собирать любую сумму от 1 до 35 рублей монетками по 1 и 2 рубля:

Если нужно набрать четное число до 32 включительно, то можно получить его монетками по 2 рубля.
Если нужно набрать 34, то его можно получить из 16 монеток по 2 рубля и двух монеток по 1 рублю.
Если нужно набрать нечетное число, то сначала возьмём монетку в 1 рубль. Тогда останется добрать четную сумму от 0 до 34 включительно. Её мы умеем собирать, используя не более двух монеток по 1 рублю.

Теперь научимся собирать любое число от 36 до 180.

Для любого числа из этого промежутка будем сначала брать монетки по 5 рублей, пока не останется необходимая сумма в пределах от 0 до 35 рублей, которую мы умеем собирать из монеток по 1 и 2 рубля.

Заметим, что монетами по 5 рублей мы можем собрать любое кратное 5 число от 5 до $5 ⋅29 = 145.$ Тогда любую сумму от 36 до 180 можно уменьшить хотя бы до 35 рублей, так как $180− 145= 35.$

Таким образом, мы сможем собрать любую целую сумму от 1 до 180 рублей включительно.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90091

Есть 24 монетки по 2 рубля и 30 монеток по 5 рублей.

а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 196 рублей?

б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 197 рублей?

в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 200 включительно?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Возьмём 23 монетки по 2 рубля и 30 монеток по 5 рублей. Тогда сумма взятых монет равна

23⋅2+ 30⋅5= 46+ 150= 196 рублей.

б) Так как нам нужна нечётная сумма монет, то мы можем взять только нечётное число монеток по 5 рублей, то есть не более 29 таких монеток. Тогда оценим максимальную сумму, которую можно взять:

29 ⋅5+ 24 ⋅2= 145+ 48 = 193 < 197.

Значит, 197 рублей набрать нельзя.

в) Сумма монеток в изначальном наборе равна

30⋅5 +24 ⋅2 = 150 +48 = 198 руб.

Значит, чтобы получить 200 рублей, необходимо добавить хотя бы 2 монетки по 1 рублю.

Покажем, что 2 монеток по 1 рублю достаточно. Сначала научимся собирать любую сумму от 1 до 50 рублей монетками по 1 и 2 рубля:

Если нужно набрать четное число до 48 включительно, то можно получить его монетками по 2 рубля.
Если нужно набрать 50, то его можно получить из 24 монеток по 2 рубля и двух монеток по 1 рублю.
Если нужно набрать нечетное число, то сначала возьмём монетку в 1 рубль. Тогда останется добрать четную сумму от 0 до 48 включительно. Её мы умеем собирать, используя только монетки по 2 рубля.

Теперь научимся собирать любое число от 51 до 200.

Для любого числа из этого промежутка будем сначала брать монетки по 5 рублей, пока не останется необходимая сумма в пределах от 0 до 50 рублей, которую мы умеем собирать из монеток по 1 и 2 рубля.

Заметим, что монетами по 5 рублей мы можем собрать любое кратное 5 число от 5 до $5 ⋅30 = 150.$ Тогда любую сумму от 51 до 200 можно уменьшить хотя бы до 50 рублей, так как $200− 150= 50.$

Таким образом, мы сможем собрать любую целую сумму от 1 до 200 рублей включительно.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90095

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;b)$ получается пара $(3a+ b;3b− a).$

a) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;5)?$

б) Верно ли, что если пара $(c;d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(−d;c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;b)$ и $(c;d)$ выражением $|a− c|+ |b− d|.$ Найдите наименьшее расстояние от пары $(9;2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Пусть пара $(5;5)$ получена из пары $(a;b).$ Тогда имеем:

{ { 5= 3a+ b ⇔ a= 1 5= 3b− a b= 2

Поэтому пару $(5;5)$ можно получить из пары $(1;2)$ за одну операцию.

б) Пусть пара $(c;d)$ получена из некоторой пары $(a;b).$ Тогда

{ { c =3a +b ⇒ − d= a− 3b d = 3b − a c= 3a+ b

В случае, если предполагается, что эта пара $(− d;c)$ может получиться из некоторой пары целых чисел $(m;n),$ то верна следующая система:

{ { a− 3b= 3m+ n ⇒ m = −b 3a + b= 3n− m n = a

Тогда пара $(c;d)$ получена следующим образом:

(a;b)−→ (3a+ b;3b− a)= (c;d)

При этом пара $(−d;c)$ получена следующим образом:

(− b;a)−→ (3(−b)+ a;3a − (− b))= (− (3b − a);3a+ b) = (− d;c)

в) Пусть пара, расстояние до которой нужно минимизировать, получена из пары $(m;n).$ Тогда нужно найти наименьшее из расстояний между парами $(9;2)$ и $(3m + n;3n− m ),$ которые будут иметь вид:

|9− 3m − n|+ |2 − 3n + m|.

Заметим, что числа $3m + n$ и $3n − m$ имеют одну четность:

|---|----|-------|------| |m--|-n--|3m-+-n-|3n−-m-| |чёт|-чёт-|--чёт--|-чёт--| |чёт|-неч-|--неч---|-неч--| |неч|-чёт-|--неч---|-неч--| -неч--неч----чёт----чёт---

Значит, числа $|9 − 3m − n|$ и $|2− 3n +m |$ имеют разную чётность, поэтому расстояние между $(9;2)$ и $(3m+ n;3n− m )$ нечётно, то есть не меньше 1.

Предположим, что минимальное расстояние равно 1, тогда

⌊{ | |9 − 3m − n|= 0 ||{ |2 − 3n +m |= 1 |⌈ |9 − 3m − n|= 1 |2 − 3n +m |= 0

Решим первую систему:
${ |9− 3m − n|=0 |2− 3n+ m |=1$
Из первого уравнения получаем, что
$|9− 3m − n|= 0 9− 3m − n= 0 n= 9− 3m$
Тогда
$|2− 3n +m |= 1 |2 − 3(9− 3m)+ m |= 1 |2− 27+ 9m + m|= 1 |10m − 25|= 1$
Заметим, что $|10m − 25|$ делится на 5, а 1 — нет. Значит, первая система уравнений не имеет решений.
Решим вторую систему:
${ |9− 3m − n|=1 |2− 3n+ m |=0$
Из второго уравнения получаем, что
$|2− 3n +m |= 0 2− 3n +m = 0 m = 3n− 2$
Тогда
$|9− 3m − n|= 1 |9− 3(3n − 2)− n|= 1 |9− 9n+ 6− n|= 1 |15− 10n|= 1$
Заметим, что $|15− 10n|$ делится на 5, а 1 — нет. Значит, вторая система уравнений тоже не имеет решений.

Таким образом, расстояние 1 между парами $(9;2)$ и $(3m +n;3n− m )$ недостижимо.

Для следующего нечётного числа в качестве расстояния есть пример. Если $m = 3,$ $n= 1,$ то $(3m + n;3n− m )= (10;0).$ Тогда расстояние между парой $(9;2)$ и парой $(10;0),$ полученной из пары $(3;1),$ будет равно

|9 − 10|+ |2 − 0|= 3.

Ответ:

а) Да, можно

б) Да, верно

в) 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90179

Есть 28 монеток по 2 рубля и 20 монеток по 5 рублей.

а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 154 рубля?

б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 155 рублей?

в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 160 включительно?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Посмотрим сколько всего рублей у нас есть:

28⋅2+ 20⋅5= 56+ 100= 156 рублей.

Тогда 154 рубля набрать очень просто — нужно взять все монеты, кроме одной монеты в 2 рубля.

Возьмём 27 монеток по 2 рубля и 20 монеток по 5 рублей. Тогда сумма взятых монет равна

27⋅2 +20 ⋅5 = 54+ 100 = 154 рубля.

б) Так как нам нужна нечётная сумма монет, то мы можем взять только нечётное число монеток по 5 рублей, то есть не более 19 таких монеток. Тогда оценим максимальную сумму, которую можно взять:

19⋅5+ 28⋅2= 95+ 56= 151< 155.

Значит, 155 рублей набрать нельзя.

в) Сумма монеток в изначальном наборе равна

20⋅5 +28 ⋅2 = 100 +56 = 156 руб.

Значит, чтобы получить 160 рублей, необходимо добавить хотя бы 4 монетки по 1 рублю.

Покажем, что 4 монеток по 1 рублю достаточно. Сначала научимся собирать любую сумму от 1 до 60 рублей монетками по 1 и 2 рубля:

Если нужно набрать четное число до 56 включительно, то можно получить его монетками по 2 рубля.
Если нужно набрать 58, то его можно получить из 28 монеток по 2 рубля и двух монеток по 1 рублю.
Если нужно набрать 60, то его можно получить из 28 монеток по 2 рубля и четырех монеток по 1 рублю.
Если нужно набрать нечетное число, то сначала возьмём монетку в 1 рубль. Тогда останется добрать четную сумму от 0 до 58 включительно. Её мы умеем собирать, используя только монетки по 2 рубля и не более 2 монеток по 1 рублю.

Теперь научимся собирать любое число от 61 до 160.

Для любого числа из этого промежутка будем сначала брать монетки по 5 рублей, пока не останется необходимая сумма в пределах от 0 до 60 рублей, которую мы умеем собирать из монеток по 1 и 2 рубля.

Заметим, что монетами по 5 рублей мы можем собрать любое кратное 5 число от 5 до $5 ⋅20 = 100.$ Тогда любую сумму от 61 до 160 можно уменьшить хотя бы до 60 рублей, так как $160− 100= 60.$

Таким образом, мы сможем собрать любую целую сумму от 1 до 160 рублей включительно.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90214

Есть 28 монеток по 2 рубля и 20 монеток по 5 рублей.

а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 154 рубля?

б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 155 рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Возьмём 27 монеток по 2 рубля и 20 монеток по 5 рублей. Тогда сумма взятых монет равна

27⋅2 +20 ⋅5 = 54+ 100 = 154 рубля.

19⋅5+ 28⋅2= 95+ 56= 151< 155.

Значит, 155 рублей набрать нельзя.

в) Сумма монеток в изначальном наборе равна

20⋅5 +28 ⋅2 = 100 +56 = 156 руб.

Значит, чтобы получить 160 рублей, необходимо добавить хотя бы 4 монетки по 1 рублю.

Если нужно набрать четное число до 56 включительно, то можно получить его монетками по 2 рубля.
Если нужно набрать 58, то его можно получить из 28 монеток по 2 рубля и двух монеток по 1 рублю.
Если нужно набрать 60, то его можно получить из 28 монеток по 2 рубля и четырех монеток по 1 рублю.
Если нужно набрать нечетное число, то сначала возьмём монетку в 1 рубль. Тогда останется добрать четную сумму от 0 до 58 включительно. Её мы умеем собирать, используя только монетки по 2 рубля и не более 2 монеток по 1 рублю.

Теперь научимся собирать любое число от 61 до 160.

Таким образом, мы сможем собрать любую целую сумму от 1 до 160 рублей включительно.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б,	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#88570

В продуктовом магазине есть весы с двумя чашами. На одну чашу весов кладут только продукты, на другую — гири. На чашу для гирь можно положить несколько гирь. Магазину разрешено продавать только целое число килограммов продуктов.

а) Можно ли некоторым набором из пяти гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25?

б) Можно ли некоторым набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25?

в) Найдите наибольшее значение $n$ такое, что любой вес от 1 до $n$ килограммов можно отвесить каким-нибудь набором из пяти гирь.

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Возьмем набор из пяти гирь по 1, 2, 4, 8 и 16 кг. Тогда

$pict$

Значит, существует набор из пяти гирь, которым можно отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25.

б) Заметим, что существует ровно $4 2 = 16$ наборов из этих четырех гирь, включая пустой, потому что для каждой из 4 гирь есть два варианта: мы либо берем ее в набор, либо нет. Тогда всего существует не более 16 различных весов, которые можно отвесить этими гирями. Но от 1 до 25 есть 25 различных весов, поэтому набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25 нельзя.

в) Заметим, что существует ровно $25 = 32$ наборов из этих пяти гирь, включая пустой, потому что для каждой из 5 гирь есть два варианта: мы либо берем ее в набор, либо нет. Тогда всего существует не более 32 различных весов, которые можно отвесить этими гирями. Но пустой набор весит 0 кг, значит, положительных различных весов не более 31.

Приведем пример на 31 (для набора из пяти гирь по 1, 2, 4, 8 и 16 кг):

$pict$

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 31

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#83776

Дан набор цифр: 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9. Из них составляют одно трёх- и одно четырёхзначное число. Оба составленных числа кратны 45, цифры не повторяются.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 2205?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 3435?

в) Какова максимально возможная сумма этих чисел?

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) По условию оба числа должны делиться на 45, значит, каждое число делится и на 5, и на 9, так как 5 и 9 взаимнопросты.

По признаку делимости на 5, она числа должны заканчиваться на 0 или 5. Так как в наборе цифр у нас один 0 и одна 5, можно сказать, что первое число оканчивается на 5, а второе — на 0.

Остались цифры 1, 2, 3, 7, 9. По признаку делимости на 9, сумма цифр каждого из чисел должна делиться на 9. Тогда посмотрим какие цифры могут быть в одном числе с 0. Заметим, что их две или три. Сумму 9 двумя цифрами можно набрать так: $2+ 7= 9.$

Пусть первое число состоит из цифр 2, 7 и 0. Тогда второе состоит из цифр 1, 3, 9 и 5, то есть сумма его цифр равна 18. Тогда как бы мы не расположили цифры в числах, они оба будут делится на 45. Значит, осталось подобрать правильный порядок цифр в числах.

Например, если трёхзначным будет число 270, а четырёхзначным — число 1935, то их сумма будет равна

1935 + 270 =2205.

Заметим, что $270= 45⋅6,$ а $1935= 45⋅43.$

б) Если оба числа кратны 45, то и их сумма будет кратна 45. В частности, она также будет кратна 9. Но число 3435 не делится на 9:

3435:9 = 381 (ост. 6)

Значит, эта сумма не может быть равна 3435.

в) По признаку делимости на 5, если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или на 5. Оба числа из условия должны делиться на 5, так как они делятся на 45. Тогда в одном из них на конце стоит 0, а в другом — 5.

По признаку делимости на 9, если число делится на 9, то и его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна

0 +1 +2 +3 +5 +7 + 9= 27.

Тогда у одного числа сумма цифр будет равна 18, а у другого — 9, потому что обе эти суммы должны быть больше 0.

Заметим, что если в числе есть 9, то в нем еще есть хотя бы одна ненулевая цифра, то есть сумма его цифр больше 9, а значит равна 18.

Если цифра 9 входит в трёхзначное число, то вторая цифра (не по счёту) у него либо 0, либо 5, но в таком случае третья должна быть либо 9, либо 4. Таких цифр нет, поэтому 9 содержится в четырёхзначном числе.

Тогда есть два варианта: либо в четырёхзначном числе есть 9 и 0, либо — 9 и 5.

1)

Если есть 9 и 0, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 7 и 2. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9720.

Тогда трёхзначное число состоит из цифр 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 315.

Тогда сумма этих чисел равна $9720+ 315 = 10035.$

2)

Если есть 9 и 5, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 3 и 1. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9315.

Тогда трёхзначное число состоит из цифр 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 720.

Тогда сумма этих чисел равна $9315+ 720 = 10035.$

Значит, максимально возможная сумма чисел равна 10035.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 10035

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91284

На доске написали несколько необязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

Пусть исходные $n$ чисел равны $---- a1b1,$ $---- a2b2,$ …, $---- anbn.$ Тогда их сумму можно вычислить так:

S1 = (10a1 +b1)+ (10a2+ b2)+...+ (10an+ bn)= = 10 (a + a + ...+ a )+ (b +b + ...+b )= 264 1 2 n 1 2 n

Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна

S2 = 10(b1+ b2 +...+ bn)+ (a1+ a2+ ...+ an)

Пусть

$pict$

а) Пусть сумма после операции увеличилась в 4 раза, тогда

$pict$

Вычтем из второго уравнения первое:

$pict$

Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.

Пусть всего 16 чисел, в них $a1 = ...=a16 = 1.$ Пусть $b1 = ...= b8 = 6,$ $b7 = ...= b16 = 7.$

Тогда

$pict$

Таким образом,

$pict$

Итого изначально на доске написали 8 чисел 16 и 8 чисел 17.

б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:

$pict$

Полученная система не имеет целых решений, так как 2112 не делится на 99, поэтому условие пункта б) невозможно.

в) Пусть сумма увеличилась в $k$ раз. Тогда

$pict$

Заметим, что каждое из написанных чисел увеличилось не более чем в $91 19$ раза, значит,

k ≤ 91< 10. 19

Преобразуем второе уравнение:

99A =264(10− k) 3A = 8(10 − k) 8(10−-k) A= 3

Тогда оценим $A$ снизу:

8(10− k) 8( 91) 8 99 8⋅33 264 247+ 17 17 A = ---3---≥ 3⋅ 10 − 19 = 3⋅19 =-19- = 19-= ---19-- = 1319 > 13

Так как $A$ — целое, то $A≥ 14.$

Заметим при этом, что

80− 3A 80− 3⋅14 38 19 k = ---8---≤ ---8----= -8 = 4-

Приведем пример изначальных чисел, при которых сумма увеличилась в $19 k = 4-$ раза, то есть стала равна

19 264k = 264⋅ 4 = 66⋅19= 1254.

Мы выяснили, что $A= 14.$ Тогда пусть изначально на доске было 14 чисел, при этом

a1 = ...= a14 = 1.

Тогда имеем:

B =264 − 10A = 264 − 140 =124.

Если взять $b1 = b2 = 8,$ $b3 = ...= b14 = 9,$ то действительно

B = 8 ⋅2 +9 ⋅12= 16+ 108 = 124.

Значит, если изначально на доске были написаны два числа 18 и двенадцать чисел 19, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 264 на 1254.

Ответ:

а) Пример

б) Нет, не могла

в) 1254

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#91285

На доске написали несколько необязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

Пусть исходные $n$ чисел равны $---- a1b1,$ $---- a2b2,$ …, $---- anbn.$ Тогда их сумму можно вычислить так:

S1 = (10a1 +b1)+ (10a2+ b2)+...+ (10an+ bn)= = 10 (a + a + ...+ a )+ (b +b + ...+b )= 330 1 2 n 1 2 n

Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна

S2 = 10(b1+ b2 +...+ bn)+ (a1+ a2+ ...+ an)

Пусть

$pict$

а) Пусть сумма после операции увеличилась в 4 раза, тогда

$pict$

Вычтем из второго уравнения первое:

$pict$

Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.

Пусть всего 20 чисел, в них $a1 = ...=a20 = 1.$ Пусть $b1 = ...= b10 = 6,$ $b11 = ...= b20 = 7.$

Тогда

$pict$

Таким образом,

$pict$

Итого изначально на доске написали 10 чисел 16 и 10 чисел 17.

б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:

$pict$

Полученная система не имеет целых решений, так как 2310 не делится на 99, поэтому условие пункта б) невозможно.

в) Пусть сумма увеличилась в $k$ раз. Тогда

$pict$

Заметим, что каждое из написанных чисел увеличилось не более чем в $91 19$ раза, значит,

k ≤ 91< 10. 19

Преобразуем второе уравнение:

99A =330(10− k) 3A =10(10− k) 10(10-− k) A = 3

Тогда оценим $A$ снизу:

10(10− k) 10 ( 91) 10 99 10 ⋅33 330 323 +7 7 A = ---3----≥ -3 ⋅ 10− 19 = -3 ⋅19 =-19- = -19-= -19---= 1719 > 17

Так как $A$ — целое, то $A≥ 18.$

Заметим при этом, что

100− 3A 100− 3⋅18 46 23 k = ---10-- ≤ ---10----= 10 = 5-

Приведем пример изначальных чисел, при которых сумма увеличилась в $23 k = 5-$ раза, то есть стала равна

23 330k = 330⋅ 5 = 66⋅23= 1518.

Мы выяснили, что $A= 18.$ Тогда пусть изначально на доске было 18 чисел, при этом

a1 = ...= a18 = 1.

Тогда

B =330 − 10A = 330 − 180 =150.

Если взять $b1 = ...= b12 = 8,$ $b13 = ...=b18 = 9,$ то действительно

B = 8⋅12+ 9⋅6= 96+ 54= 150.

Значит, если изначально на доске были написаны двенадцать чисел 18 и шесть чисел 19, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 330 на 1518.

Ответ:

а) Пример

б) Нет, не могла

в) 1518

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4