Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.16 Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2362

В сосуд цилиндрической формы, объем которого 2400 $см3,$ налили жидкость, заполнив сосуд на треть, а затем в жидкость полностью погрузили некоторый предмет, вследствие чего уровень жидкости в сосуде поднялся на четверть. Найдите объем предмета в кубических сантиметрах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объем цилиндра вычисляется по формуле

2 V = πR H

Здесь $R$ — радиус основания, $H$ — высота. Таким образом, во сколько раз увеличивается/уменьшается высота цилиндра, во столько же раз увеличивается/уменьшается объем цилиндра.

Следовательно, если жидкость заполнила сосуд лишь на треть, то есть высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда, то и объем жидкости в 3 раза меньше объема сосуда, следовательно, объем жидкости равен

2400 :3= 800 см3

Так как после погружения в жидкость предмета уровень повысился на четверть, то и занимаемый в сосуде объем повысился на четверть.

Закон Архимеда гласит, что объем вытесненной жидкости равен объему погруженного в нее предмета. Следовательно, объем предмета равен четверти объема жидкости, то есть

800:4 = 200 см3

Ответ: 200

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17747

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — изначальный радиус шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

2 S = 4πR

После увеличения радиуса шара в 2 раза площадь поверхности равна

2 2 S1 = 4π(2R ) =16πR

Это в 4 раза больше, чем изначальная площадь поверхности.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17751

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если радиус его основания останется прежним, а высота уменьшится в 3 раза?

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть площадь основания конуса равна $S,$ а его высота равна $h.$ Тогда объём конуса равен

1 V1 = 3Sh

Если высота уменьшится в 3 раза, то объем конуса станет равен

( ) V2 = 1S⋅ h- = 1Sh = V1 3 3 9 3

Тогда объем конуса уменьшится в 3 раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#910

Про прямые круговые цилиндры $C1$ и $C2$ известно, что у $C1$ радиус основания в два раза больше, чем у $C2$ , но у $C2$ высота в три раза больше, чем у $C1$ . Найдите отношение объёма цилиндра $C2$ к объёму $C1$ .

Показать ответ и решение

Обозначим высоту цилиндра $C1$ через $h1$ , а высоту цилиндра $C2$ через $h2$ . Обозначим радиус основания цилиндра $C1$ через $r1$ , а радиус основания цилиндра $C2$ через $r2$ . Тогда

r1 = 2r2, h2 = 3h1.

Объём цилиндра $C1$ равен $πr12h1 = 4πr22h1$ , а объём цилиндра $C2$ равен $3πr22h1$ , тогда

VC2 3πr22h1 VC1 = 4πr22h1 = 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1033

Радиус первого шара равен 6, а радиус второго шара равен 2. Во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара?

$PIC$

Показать ответ и решение

Объем шара радиуса $R$ ищется по формуле $4 3 V = 3 πR .$ Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как

4 3 ( )3 V1 = 3π-⋅6-= 6 = 27 V2 43π ⋅23 2

Следовательно, объем первого шара в 27 раз больше объема второго шара.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1034

Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в 343 раза больше объема второго шара?

$PIC$

Показать ответ и решение

4 3 ( )3 343 = V1= -3πR1 = R1- 1 V2 43πR32 R2

Значит,

√--- R1= 3343= 7. R2

Следовательно, радиус первого шара в 7 раз больше радиуса второго шара.

Ответ: 7

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1035

Объем первого шара равен равен 54. Найдите объем второго шара, если его радиус в 3 раза меньше радиуса первого шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

4 3 ( )3 54= V1 = 3π-R1= R1- V2 V2 43π R32 R2

Так как радиус второго шара в 3 раза меньше радиуса первого шара, то $R1 = 3R2,$ следовательно,

( )3 54 = 3R2- = 27 ⇒ V2 = 54 = 2 V2 R2 27

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1036

Даны два конуса. Радиус второго конуса в 3 раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в 6 раз меньше высоты первого конуса. Найдите объем первого конуса, если объем второго конуса равен 18.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объем конуса с высотой $h$ и радиусом основания $R$ вычисляется по формуле $V = 1πR2h. 3$ Следовательно, объем первого конуса относится к объему второго конуса как

1 2 ( )2 V1= V1= 31π-R12h1 = R1- ⋅ h1 18 V2 3π R2h2 R2 h2

Так как радиус второго в 3 раза больше радиуса первого, то $R2 = 3R1.$ Так как высота второго в 6 раз меньше высоты первого, то $h1 = 6h2.$ Следовательно,

( )2 V1= R1-- ⋅ 6h2= 1 ⋅6= 2 ⇒ V1 = 2⋅18= 12 18 3R1 h2 9 3 3

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1037

Площадь боковой поверхности первого конуса относится к площади боковой поверхности второго конуса как $3:7.$ Найдите отношение образующей первого конуса к образующей второго конуса, если радиус первого конуса относится к радиусу второго как $15 :7.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности конуса с образующей $l$ и радиусом основания $R$ ищется по формуле $S = πRl.$ Тогда площадь бок. поверхности первого конуса относится к площади бок. поверхности второго как

3 S πR l 7 = S1 = πR1l1 2 2 2

Так как радиус первого конуса относится к радиусу второго как $15 :7,$ то есть $RR12 = 157 ,$ то

3 15 l1- 7 = 7 ⋅l2

Следовательно,

l1= 3 ⋅ 7-= 1= 0,2. l2 7 15 5

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1038

Площадь боковой поверхности первого цилиндра равна $16$ . Найдите площадь боковой поверхности второго цилиндра, если его радиус в 4 раза больше радиуса первого, а высота в 5 раз меньше высоты первого цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой $H$ и радиусом основания $R$ ищется по формуле $S = 2πRH$ . Тогда площадь бок. поверхности первого цилиндра относится к площади бок. поверхности второго как

16 S1 2πR1H1 R1 H1 ---= ---= -------- = ---⋅--- S2 S2 2πR2H2 R2 H2

Из условия следует, что $R2 = 4R1$ , $H1 = 5H2$ , значит,

16-= -R1- ⋅ 5H2 = 1-⋅ 5 = 5- S2 4R1 H2 4 4

Следовательно,

16-⋅ 4- S2 = 5 = 12, 8.

Ответ: 12,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1039

Объем первого цилиндра равен 16, причем известно, что его радиус в 7 раз меньше радиуса второго цилиндра, а высота второго цилиндра в 8 раз меньше высоты первого. Найдите объем второго цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объем цилиндра с высотой $H$ и радиусом основания $R$ ищется по формуле $V = πR2H.$ Тогда объем первого относится к объему второго цилиндра как

2 ( )2 16 = πR-12H1-= R1- ⋅ H1 V2 πR 2H2 R2 H2

Из условия следует, что $R1 = 1R2, 7$ $H2 = 1H1, 8$ следовательно,

(1 )2 16 = 7R2- ⋅1H1-= -1 ⋅8 ⇒ V2 = 98 V2 R2 8H1 49

Ответ: 98

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1040

Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть буквы $a$ , $b$ и $c$ обозначают высоту, ширину и длину соответственно. Объем прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле $V = abc.$ Следовательно, объем первого параллелепипеда относится к объему второго как

105 V a b c -V- = V1= a1b1c1 2 2 2 2 2

Из условия следует, что $a1 = 7a2$ , $b2 = 2b1$ , $c1 =3c2.$ Тогда

105 7a2⋅b1⋅3c2 7⋅3- 105⋅2 V2 = a2⋅2b1⋅c2 = 2 ⇒ V2 = 21 =10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1041

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 75 грамм жидкости до половины высоты сосуда. Сколько грамм этой же жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что из формулы физики $V = mρ-$ – объем равен отношению массы к плотности.
Пусть $O$ – центр основания большего конуса, $Q$ – меньшего, а $S$ – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы $OA$ и $QB$ , как показано на рисунке:

$PIC$

Тогда $QB ∥ OA$ и $△SQB ∼ △SOA$ . Следовательно,

OA-- OS-- 2- QB = QS = 1

так как по условию высота жидкости в два раза меньше высоты сосуда. Тогда для жидкости имеем:

m ж = Vж ⋅ ρ = 1-⋅ π ⋅ QS ⋅ QB2 ⋅ ρ 3

Следовательно, весь сосуд вмещает этой же жидкости

( ) 1- 2 1- 2 1- 2 m = V ρ = 3 ⋅π⋅OS ⋅OA ⋅ρ = 3 ⋅π ⋅2QS ⋅(2QB ) ⋅ρ = 8 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ QS ⋅ QB ⋅ ρ = 8⋅75 = 600 грам м

Значит, долить нужно

600 − 75 = 525 грамм

Заметим, что в данной задаче использование плотности – чистая формальность.

Ответ: 525

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1042

Сосуд имеет форму конуса и вмещает в себя 2700 мл жидкости. Определите, сколько мл жидкости налито в сосуд, если высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $O$ – центр основания большего конуса, $Q$ – меньшего, а $S$ – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы $OA$ и $QB$ , как показано на рисунке:

$PIC$

Тогда $QB ∥OA$ и $△SQB ∼ △SOA$ . Следовательно,

QB- = QS-= 1 OA OS 3

Тогда объем налитой жидкости к объему всего сосуда относится как

1 2 ( )2 -Vж- = Vж-= 31 ⋅π-⋅QB-2⋅QS-= QB- ⋅ QS-= 1⋅ 1=-1 2700 V 3 ⋅π ⋅OA ⋅OS OA OS 9 3 27

Следовательно объем жидкости равен

1 Vж = 27V = 100

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2360

Радиус первого шара в 5 раз больше радиуса второго шара. Во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше площади поверхности первого шара?

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара радиуса $R$ ищется по формуле

2 S = 4πR

Следовательно, площадь поверхности первого шара относится к площади поверхности второго шара как

2 2 S1 = 4πR12= R12- S2 4πR2 R2

Так как радиус первого шара больше радиуса второго шара в 5 раз, то $R1 = 5R2.$ Следовательно,

S (5R )2 S1= -R22--= 25 2 2

Тогда площадь поверхности второго шара в 25 раз меньше площади поверхности первого.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2361

Даны два конуса: $K1$ и $K2.$ Площадь полной поверхности $K1$ относится к площади полной поверхности $K2$ как $4:1.$ Известно, что радиус $K1$ в 2 раза меньше образующей $K1$ и в 2 раза больше радиуса $K2.$ Найдите отношение образующей $K2$ к образующей $K1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь полной поверхности конуса с образующей $l$ и радиусом основания $R$ ищется по формуле $S = πR (R + l).$ Тогда площадь полной поверхности $K1$ относится к площади полной поверхности $K2$ как

41 = ππRR1⋅⋅((RR1-++ll1)). 2 2 2

Из условия следует, что $R1 = 12l1,$ $R2 = 12R1 = 14l1,$ следовательно,

4 πR1 ⋅(R1 + l1) 1 = πR2-⋅(R2-+-l2) 1 (1 ) 4 = 2l1⋅(2l1+-l1) 1 14l1⋅ 14l1+ l2 1 3 4l1+ l2 = 4l1 l 1 l2= 2 1

Ответ: 0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2363

В правильной четырехугольной пирамиде с высотой $h$ через точку на боковом ребре, лежащую на расстоянии $1h 3$ от плоскости основания, проведена плоскость, параллельная плоскости основания, которая отсекает от пирамиды меньшую пирамиду. Найдите объем полученной меньшей пирамиды, если объем исходной пирамиды равен 54.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть плоскость провели через точку $A ′$ на ребре $AS$ . Так как плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым $A′B′, B ′C′, C ′D ′, D′A′$ , параллельным соответственно $AB, BC, CD, DA$ , причем $SA′B′C′D ′$ – тоже правильная четырехугольная пирамида.

$PIC$

Рассмотрим плоскость $ASO$ . Проведем $A ′H ∥ SO$ ( $SO$ — высота исходной пирамиды). Тогда $A ′H ⊥ ABC$ . Следовательно, это и есть расстояние, равное $1 3SO$ , на котором от плоскости основания проведена (розовая) плоскость.
$′ △AA H ∼ △ASO$ , следовательно,

-SA-= -SO-= 3 ⇒ SA = 3AA ′ ⇒ SA′ = 2SA AA ′ A ′H 3

Также отсюда следует, что $SQ = 23SO$ .

$△ASB ∼ △A ′SB ′$ , следовательно,

2 SA′ A′B ′ ′ ′ 2 3 = SA-= AB-- ⇒ A B = 3AB

Таким образом, объемы маленькой и большой пирамид относятся как

( ) ( ) Vм- 13 ⋅SQ-⋅A′B′2 SQ- A′B′ 2 2 2 2 -8 Vб = 13 ⋅SO ⋅AB2 = SO ⋅ AB = 3 ⋅ 3 = 27

Следовательно, объем маленькой пирамиды равен

-8 Vм = 27 ⋅54= 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#13545

В цилиндрическом сосуде уровень воды достигает 384 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть уровень воды в первом цилиндрическом сосуде равен $h1$ см, а во втором — $h2$ см.

Пусть диаметр первого сосуда равен $D$ см. Тогда площадь дна этого сосуда равна

π ⋅D2 S1 =--4--

Значит, объем воды в сосуде равен

2 V = S1h1 = π-⋅D-⋅384 4

По условию диаметр второго сосуда равен $8D$ см. Тогда площадь его дна равна

π-⋅(8D-)2 S2 = 4

Так как количество воды не изменилось, то

π ⋅(8D )2 V = S2h2 =---4--- ⋅h2

Тогда искомый уровень воды в см равен

π-⋅D2 π-⋅D2 h = V-= --4---⋅384-= --4--⋅384-= 384= 6 2 S2 π-⋅(8D-)2 π⋅D2-⋅64 64 4 4

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#22189

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2,5 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать ответ и решение

Эту задачу можно интерпретировать как задачу про два цилиндра с равными объёмами (жидкости). Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = πR2h$ . Пусть это объём первого цилиндра радиуса $R$ и высотой $h$ . У второго цилиндра радиус равен $2,5R$ , из-за чего получится иная высота $h1$ . Второй цилиндр тогда имеет объём $V = π(2,5R)2h1 = 6,25πR2h1$ , который равен объёму первого цилиндра, из чего можно выразить $h1$ :

$pict$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#40601

Объём первого цилиндра равен 6. У второго цилиндра высота в два раза меньше, а радиус основания в три раза больше, чем у первого. Найди объём второго цилиндра.

$PIC$