Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

06 Неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23450

Решите неравенство $4(x+ 3)− (0,5x+ 1)(2x +6)< 6.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

4(x+ 3)− (0,5x+ 1)(2x +6)< 6 2 4x+ 12− x − 2x− 3x− 6< 6 − x2− x< 0 x2+ x >0 x(x+ 1)> 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения слева, решив сопутствующее уравнение:

[x= 0 x(x +1) =0 ⇔ x= −1

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, расставляем знаки на промежутках:

$x−0+−+ 1$

Таким образом, $x ∈(− ∞;−1)∪ (0;+ ∞).$

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (0;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23451

Решите неравенство $x-+-6≥ 0. x − 2$

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

x+ 6= 0 x = −6

Найдем нули знаменателя:

x− 2= 0 x =2

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−2+−+ 6$

Таким образом, $x ∈(− ∞;−6]∪ (2;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −6]∪ (2;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#27493

Решите неравенство $2 2 (3x− 7) ≥ (5x − 9) .$

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(3x− 7)2 ≥(5x− 9)2 2 2 (3x− 7) − (5x − 9) ≥ 0 (3x− 7+ 5x− 9)(3x − 7 − 5x + 9) ≥0 (8x− 16)(−2x +2)≥ 0 (x− 2)(x − 1)≤ 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения слева, решив сопутствующее уравнение:

[ x = 2 (x− 2)(x − 1)= 0 ⇔ x = 1

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, расставляем знаки на промежутках:

$x12+−+$

Таким образом, $x ∈[1;2].$

Ответ: [1; 2]

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49729

Решите неравенство $√-- (x− 6)2 < 10(x− 6).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(x − 6)2 < √10(x− 6) 2 √ -- (x− 6)(− 10(x − 6)) <0 (x− 6) x− 6− √10 < 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

( √--) (x − 6) x − 6− 10 = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно совокупности:

[ [ x − 6= 0√-- ⇔ x= 6 √ -- x − 6− 10= 0 x= 6+ 10

Рисуем ось, отмечаем на ней нули, выколов их, потому что знак неравенства строгий. Расставляем знаки на промежутках:

$x66+−++ √10-$

Таким образом, $( √--) x ∈ 6;6+ 10 .$

Ответ:

$( √ -) 6;6+ 10$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90710

Решите неравенство $√- (x− 11)2 < 5(x− 11).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(x− 11)2 < √5(x− 11) 2 √- (x − 11)(− 5(x− 11))< 0 (x − 11) x − 11− √5 < 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

( √-) (x− 11) x− 11− 5 = 0.

[ [ x − 11 =√0- ⇔ x= 11 √ - x − 11 − 5= 0 x= 11+ 5

$x11+−+11+ √5-$

Таким образом, $( √-) x ∈ 11;11+ 5 .$

Ответ:

$( √-) 11;11+ 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#50562

Решите неравенство $---−-16---≥ 0. (x+ 2)2− 5$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

---−16---- (x+ 2)2 − 5 ≥ 0

Разделим обе части неравенства на $− 16.$ Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

----1-----≤ 0 (x+ 2)2 − 5 ------1-------≤ 0 (x+ 2)2 − (√5-)2 1 (------√--)(------√-) ≤0 x+ 2 − 5 x+ 2+ 5

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:

( √-)( √-) x+ 2− 5 x+ 2+ 5 =0.

[ [ x+ 2− √5 =0 x = −2+ √5 x+ 2+ √5 =0 ⇔ x = −2− √5

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$- x−−+−+ 22−+ √√55$

Таким образом, $( √- √ -) x ∈ − 2− 5;−2+ 5 .$

Ответ:

$( √- √ -) − 2− 5;−2 + 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90716

Решите неравенство $---−-17---≥ 0. (x+ 3)2− 7$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

---−17---- (x+ 3)2 − 7 ≥ 0

Разделим обе части неравенства на $− 17.$ Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

----1-----≤ 0 (x+ 3)2 − 7 ------1-------≤ 0 (x+ 3)2 − (√7-)2 1 (------√--)(------√-) ≤0 x+ 3 − 7 x+ 3+ 7

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:

( √-)( √-) x+ 3− 7 x+ 3+ 7 =0.

[ [ x+ 3− √7 =0 x = −3+ √7 x+ 3+ √7 =0 ⇔ x = −3− √7

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$- x−−+−+ 33−+ √√77$

Таким образом, $( √- √ -) x ∈ − 3− 7;−3+ 7 .$

Ответ:

$( √- √ -) − 3− 7;−3 + 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90717

Решите неравенство $---−-12---≥ 0. (x− 1)2− 2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

---−12---- (x− 1)2 − 2 ≥ 0

Разделим обе части неравенства на $− 12.$ Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

----1-----≤ 0 (x− 1)2 − 2 ------1-------≤ 0 (x− 1)2 − (√2-)2 1 (------√--)(------√-) ≤0 x− 1 − 2 x− 1+ 2

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:

( √-)( √-) x− 1− 2 x− 1+ 2 =0.

[ [ x − 1 − √2 = 0 x= 1+ √2 x − 1 +√2-= 0 ⇔ x= 1− √2-

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$- x11+−+−+ √√ 22$

Таким образом, $( √ - √ -) x ∈ 1 − 2;1 + 2 .$

Ответ:

$( √ - √-) 1 − 2;1+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45341

Решите неравенство $− ----12-----≥ 0. x2− 2x − 15$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2022 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

----12---- −x2− 2x− 15 ≥0.

Разделим обе части неравенства на $− 14.$ Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

-----1---- ≤ 0. x2 − 2x − 15

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение через дискриминант:

x2− 2x− 15= 0 2 D = (− 2)+ 4 ⋅15 =4 ⋅16= 64 2 ±√64- 2 ±8 x= ---2---= --2- [ x = 1+ 4= 5 x = 1− 4= −3

Перепишем наше неравенство:

-----1------≤0. (x − 5)(x +3)

Найдем знак неравенства, например при $x = 6:$

-----1-----> 0. (6− 5)(6+ 3)

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−5+−+ 3$

Таким образом, $x ∈(− 3;5).$

Ответ:

$(−3; 5)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45850

Решите неравенство $x4− 13x2+ 36≥ 0.$

Показать ответ и решение

4 2 x − 13x +36 ≥0.

Сделаем замену $x2 = t.$ Тогда $( ) x4 = x22 = t2.$ Получили неравенство

2 t − 13t+ 36 ≥ 0.

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

t2− 13t+ 36= 0 D = 132 − 4 ⋅36 = 25= 52 13± 5 t1,2 =--2-- t1 = 4 t2 = 9

$PICT$

Тогда

t∈(−∞; 4]∪[9;+ ∞ ).

Сделаем обратную замену:

$pict$

Решим первое неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

$pict$

$PICT$

Тогда решением первого неравенства будет

x∈ [−2;2].

Решим второе неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

$pict$

$PICT$

Тогда решением второго неравенства будет

x∈ (−∞;− 3]∪[3;+ ∞).

Вернёмся к совокупности:

$pict$

Значит, решением неравенства будет

x ∈(−∞; −3]∪ [− 2;2]∪ [3;+∞ ).

Ответ:

$(−∞; −3]∪ [−2;2]∪[3;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45851

Решите неравенство $( ) ( ) x2− 5 2− 10 x2− 5 − 11 ≤ 0.$

Показать ответ и решение

( 2 )2 ( 2 ) x − 5 − 10 x − 5 − 11 ≤ 0.

Сделаем замену $x2 − 5 = t.$ Тогда $(x2− 5)2 = t2.$ Получаем неравенство

2 t − 10t− 11 ≤ 0.

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

t2− 10t− 11= 0 D = 100+ 4⋅11= 144= 122 10± 12 t1,2 = --2--- t1 = 11 t2 = −1

$PICT$

Тогда $t∈ [−1;11].$

Сделаем обратную замену:

$pict$

Решим первое неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

$pict$

$PICT$

Тогда решением первого неравенства будет

x∈ (−∞;− 2]∪[2;+ ∞).

Решим второе неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

$pict$

$PICT$

Тогда решением первого неравенства будет

x∈ [−4;4].

Вернёмся к системе:

$pict$

Ответ:

$[−4;−2]∪[2;4]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#23454

Решите неравенство $( ) -(x+-3)-x2−-5- ≥ 0. (2x− 3)(2x2− 5)$

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть неравенства:

(x+ 3)(x2− 5) (x+ 3)(x2− 5) (2x−-3)(2x2-− 5) = 4(x-− 1,5)(x2-− 2,5) = ( √ -)( √-) ---(x-+-3)(x-−--5-)x(+--5---) = 4(x− 1,5) x− √2,5- x+ √2,5 .

Тогда неравенство примет вид:

( √-)( √ -) --(x+-3)-x−--5--x-+--5---- 4(x − 1,5)(x − √2,5)(x +√2,5) ≥0.

Таки образом, мы привели неравенство к виду дроби, в которой и числитель, и знаменатель можно представить как произведение линейных множителей вида $(ax+ b),$ то есть можно воспользоваться методом интервалов.

$PIC$

Следовательно,

[√- ∘---) ( ∘---) [√ - ) x∈ (−∞;− 3]∪ 5;− 2,5 ∪ 1,5; 2,5 ∪ 5;+∞ .

Или

[ √ - ∘--) ( ∘--) √- x ∈(− ∞;−3]∪ − 5;− 5 ∪ 3; 5 ∪[ 5;+∞ ). 2 2 2

Ответ:

$[ ∘ --) ( ∘ --) √- 5 3 5 √ - (−∞; −3]∪ − 5;− 2 ∪ 2; 2 ∪ [ 5;+ ∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#23455

Решите неравенство $x2-− 6-− x + 2x−-3 + x2-≤ 0. x2− 4 2 − x x$

Показать ответ и решение

Разложим на множители квадратный трехчлен $x2 − 6 − x :$

$pict$

Таким образом,

x2− 6− x= (x− 3)(x+ 2)

Преобразуем левую часть неравенства:

x2− 6-− x-+ 2x−-3 + x2= (x−-3)(x-+2) + 3−-2x+ x2 = x2− 4 2− x x (x− 2)(x +2) x− 2 x x(x− 3)(x+ 2) x(x +2)(3− 2x) x2(x − 2)(x+ 2) = x(x−-2)(x+-2) +-x(x−-2)(x+-2) + x(x−-2)(x-+2)-= = x(x-− 3)(x+-2)+x(x-+2)(3−-2x)-+x2(x−-2)(x-+2) = x(x− 2)(x + 2) x(x+ 2)((x− 3)+ (3− 2x) +x(x− 2)) = ---------x(x−-2)(x-+-2)----------= ( 2 ) = x(x-+2)-x−-3+-3−-2x+-x-−-2x- = x(x− 2)(x + 2) x(x+ 2)(x2− 3x) x2(x+ 2)(x− 3) = -x(x−-2)(x-+2)--= x(x−-2)(x+-2) .

Тогда неравенство примет вид:

x2(x+ 2)(x− 3) x(x−-2)(x+-2) ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом,

x ∈(−∞; −2)∪ (2;3]∪(−2;0).

Ответ:

$(−∞; −2)∪ (2;3]∪(−2;0)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2