Тема 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

20.06 Неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23450

Решите неравенство $4(x+ 3)− (0,5x+ 1)(2x + 6) <6.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

4(x+ 3)− (0,5x+ 1)(2x +6)< 6 2 4x+ 12− x − 2x− 3x− 6< 6 − x2− x< 0 x2+ x >0 x(x+ 1)> 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения слева, решив сопутствующее уравнение:

[x= 0 x(x +1) =0 ⇔ x= −1

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, расставляем знаки на промежутках:

$x−0+−+ 1$

Таким образом, $x ∈(− ∞;−1)∪ (0;+ ∞).$

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (0;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23451

Решите неравенство $x-+-6≥ 0. x − 2$

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

x+ 6= 0 x = −6

Найдем нули знаменателя:

x− 2= 0 x =2

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−2+−+ 6$

Таким образом, $x ∈(− ∞;−6]∪ (2;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −6]∪ (2;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#27493

Решите неравенство $2 2 (3x− 7) ≥ (5x − 9) .$

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(3x− 7)2 ≥(5x− 9)2 2 2 (3x− 7) − (5x − 9) ≥ 0 (3x− 7+ 5x− 9)(3x − 7 − 5x + 9) ≥0 (8x− 16)(−2x +2)≥ 0 (x− 2)(x − 1)≤ 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения слева, решив сопутствующее уравнение:

[ x = 2 (x− 2)(x − 1)= 0 ⇔ x = 1

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, расставляем знаки на промежутках:

$x12+−+$

Таким образом, $x ∈[1;2].$

Ответ: [1; 2]

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49729

Решите неравенство $√-- (x− 6)2 < 10(x− 6).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(x − 6)2 < √10(x− 6) 2 √ -- (x− 6)(− 10(x − 6)) <0 (x− 6) x− 6− √10 < 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

( √--) (x − 6) x − 6− 10 = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно совокупности:

[ [ x − 6= 0√-- ⇔ x= 6 √ -- x − 6− 10= 0 x= 6+ 10

Рисуем ось, отмечаем на ней нули, выколов их, потому что знак неравенства строгий. Расставляем знаки на промежутках:

$x66+−++ √10-$

Таким образом, $( √--) x ∈ 6;6+ 10 .$

Ответ:

$( √ -) 6;6+ 10$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90710

Решите неравенство $√- (x− 11)2 < 5(x− 11).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(x− 11)2 < √5(x− 11) 2 √- (x − 11)(− 5(x− 11))< 0 (x − 11) x − 11− √5 < 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

( √-) (x− 11) x− 11− 5 = 0.

[ [ x − 11 =√0- ⇔ x= 11 √ - x − 11 − 5= 0 x= 11+ 5

$x11+−+11+ √5-$

Таким образом, $( √-) x ∈ 11;11+ 5 .$

Ответ:

$( √-) 11;11+ 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90716

Решите неравенство $---−-17---≥ 0. (x+ 3)2− 7$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

---−17---- (x+ 3)2 − 7 ≥ 0

Разделим обе части неравенства на $− 17.$ Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

----1-----≤ 0 (x+ 3)2 − 7 ------1-------≤ 0 (x+ 3)2 − (√7-)2 1 (------√--)(------√-) ≤0 x+ 3 − 7 x+ 3+ 7

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:

( √-)( √-) x+ 3− 7 x+ 3+ 7 =0.

[ [ x+ 3− √7 =0 x = −3+ √7 x+ 3+ √7 =0 ⇔ x = −3− √7

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$- x−−+−+ 33−+ √√77$

Таким образом, $( √- √ -) x ∈ − 3− 7;−3+ 7 .$

Ответ:

$( √- √ -) − 3− 7;−3 + 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90717

Решите неравенство $---−-12---≥ 0. (x− 1)2− 2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

---−12---- (x− 1)2 − 2 ≥ 0

Разделим обе части неравенства на $− 12.$ Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:

----1-----≤ 0 (x− 1)2 − 2 ------1-------≤ 0 (x− 1)2 − (√2-)2 1 (------√--)(------√-) ≤0 x− 1 − 2 x− 1+ 2

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:

( √-)( √-) x− 1− 2 x− 1+ 2 =0.

[ [ x − 1 − √2 = 0 x= 1+ √2 x − 1 +√2-= 0 ⇔ x= 1− √2-

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$- x11+−+−+ √√ 22$

Таким образом, $( √ - √ -) x ∈ 1 − 2;1 + 2 .$

Ответ:

$( √ - √-) 1 − 2;1+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел