Интеграл —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27930

∫5 -7dx x 1

Показать ответ и решение

∫5 7dx = 7ln(|x|)|5 = 7ln(5) x 1 1

Ответ: 7ln5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27931

∫4 (8 + 2x − x2 )dx −2

Показать ответ и решение

∫ 4 3 (8 + 2x − x2)dx = (8x + x2 − x--)|4 = 36 3 −2 −2

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#27932

∫π − cos(4x)dx − π

Показать ответ и решение

∫π sin(4x ) − cos(4x)dx = − -------|π− π = 0 4 −π

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#27933

∫16 3√xdx 4

Показать ответ и решение

1∫6 3√xdx = 2x√x--|16 = 112 4 4

Ответ: 112

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#27934

∫1 e5xdx 0

(Округлить до десятых)

Показать ответ и решение

∫ 1 5x e5xdx = e--|1 = 29,5 5 0 0

Ответ: 29,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#27935

∫ 3 5xdx 2

(Округлить до десятых)

Показать ответ и решение

∫3 x 5xdx = -5--|3 = 62,1 ln5 2 2

Ответ: 62,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#27936

∫2( ) 1 + x2 + x3 − --1--- dx sin2x 1

(Округлить до целых)

Показать ответ и решение

∫2 ( ) ( 3 4 ) 1 + x2 + x3 − --1--- dx = x + x-+ x--+ ctg(x) |2= 6 sin2 x 3 4 1 1

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#27937

∫3( ) 1 + 7x + 5-− --1--- dx x cos2x 2

(Округлить до десятых)

Показать ответ и решение

∫3 ( ) ( 2 ) 1 + 7x + 5-− --1--- dx = x + 7x--+ 5ln(|x |) − tg(x) |3= 18,5 x cos2x 2 2 2

Ответ: 18,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#27938

∫8 --2x---dx 2x2 − 3 4

(Округлить до десятых)

Показать ответ и решение

∫8 --2x---dx 2x2 − 3 4

Сделаем замену: $t = 2x2 − 3$ следовательно $dt = 4xdx$

∫ ∫ ∫ --2x---- 2x-- -1 1- 2 2x2 − 3dx = 4xtdt = 2tdt = 2 ln(|2x − 3|) + C

1 --ln(|2x2 − 3|)|84 = 0,7 2

Ответ: 0,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#28015

Чему равна работа, совершенная силой Кулона при сближении двух зарядов $q1$ и $q2$ от расстояния $R1$ до $R2$ .

Показать ответ и решение

Работу можно найти по формуле

R∫2 A = F (R )dR, R1

где $kq1q2 F (R ) = ---2-- R$ – силу взамиодействия зарядов.
Тогда

A = − kq q -1|R2 = − kq1q2-+ kq1q2- 1 2R R1 R2 R1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#28016

Найдите силу давления воды на боковую стенку сосуда, если сосуд имеет форму куба со стороной стенки $a$ . Плотность воды равна $ρ0$ .

Показать ответ и решение

Найдем силу давления на малом расстоянии $dx$ от верха сосуда. Площадь этого участка будет равна $dS = adx$ , тогда

F1 = P (x )dS = ρgxadx

Интегрируя полученное выражение, имеем

∫a x2 ρga3 ρgaS F = ρgaxdx = ρga --|b0 = -----= ----- 2 2 2 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#28017

Воду нагревают кипятильником, подключённым к источнику напряжения $U$ . Электрическое сопротивление кипятильника линейно зависит от температуры: $R = R0 + αT$ , где $R0$ и $α$ – постоянные. Масса воды равна $m$ , а её удельная теплоёмкость равна $c$ . Начальная температура воды $T0$ , температура кипения – $Tk$ . Через какое время вода закипит? Потерями тепла пренебречь.

Показать ответ и решение

Для малого интервала времени $dt$ и малого изменения температуры $dT$ , когда температура воды равна $T$ имеем

U2dt U 2 cmdT = ---------⇒ (R0 + αT )dT = ---dt R0 + αT cm

Тогда

αT 2 T U 2t R0T + ----|Tk0 = ---- 2 cm

Или

α-(T2k-−-T20)- U2t- R0(Tk − T0) + 2 = cm

Тогда окончательно время равно

( ) cm-(Tk-−-T0) α(Tk-+-T0)- t = U2 R0 + 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#28018

Выведите уравнение адиабаты идеального одноатомного газа.

Показать ответ и решение

При адиабатическом процессе

i- 0 = ΔU + A ⇔ − 2 νRdT = pdV (1)

Уравнение состояния идеального газа

pV = νRT

Продифферецировав, получим

pdV + V dp = νRdT (2 )

Подставим (2) в (1)

( ) − i(pdV + V dp) = pdV ⇔ − -idp-= -i+ 1 dV- 2 2 p 2 V

Тогда, интгерируя, получим

lnp = − i-+-2lnV + C ⇒ pV i+i2 = C i

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#28019

Найдите работу, которую совершают $ν$ молей идеального газа в изотермическом процессе. Температура газа равна $T$ , объём меняется от $V0$ до $V$

Показать ответ и решение

Работа газа равна

∫V A = p(V )dV V0

Из уравнения Клапейрона–Менделеева

p(V )V = νRT ⇒ p (V ) = νRT-- V

Тогда

∫V νRT--dV- V A = V = νRT lnV |V0 V0

Подставляя границы интегрирования

V-- A = νRT (lnV − lnV0 ) = νRT ln V0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#28020

Найдите работу, которую совершает одноатомный идеальный газ в адиабатическом процессе ( $5∕3 pV = const$ ). Начальное давление газа равно $p0$ , объём меняется от $V0$ до $V$ .

Показать ответ и решение

Работа газа равна

∫V A = p(V )dV V0

Из уравнения адиабаты

5∕3 5∕3 p0V50∕3 p0V0 = p(V )V ⇒ p(V ) = --5∕3-- V

Тогда

∫V 5∕3 dv 3p0V0 1 V A = p0V 0 V-5∕3-= − --2--V-2∕3|V0 V0

Окончательно

5∕3 ( 2∕3 2∕3) ( ( )2∕3) A = − 3p0V0--- V0---−-V---- = 3p0V0- 1 − V0- 2V02∕3 V2∕3 2 V

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#28021

Какую работу нужно совершить, чтобы доску длиной $l$ и массой $m$ , лежащую на земле, повернуть в горизонтальной плоскости на угол $φ$ вокруг одного из концов? Коэффициент трения равен $μ$ .

Показать ответ и решение

Так как доска однородна, то сила трения, действующая на кусочек длиной $dx$ , есть

dx- dF = μmg l

Пути, проходимые различными точками доски при повороте, $s = φx$ , где $x$ – расстояние данной точки от неподвижного конца. Работа против снл трения для кусочка доски длиной $dx$ , удаленного от неподвижного конца на расстояние $x$ , очевидно, равна

dx dA = μmg --φx l

Интегрируя, получаем

μmg φ ∫ l μmg φl A = ------ xdx = ------- l 2 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#28022

Найдите кинетическую энергию прямого однородного стержня массы $m$ и длины $l$ , вращающегося с угловой скоростью $ω$ . Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его а) конец; б) середину.

Показать ответ и решение

Найдем массу участка малой длины $dx$ , на расстоянии $x$ от оси, с учетом однородности стержня

dm = m-dx l

Кинетическая энергия этого участка будет равна

mω2x2dx dE = --------- 2l

Тогда интегрируя в каждом случае, получим

∫ l m-ω2x2- m-ω2-3 l ml2-ω2 E1 = 2l dx = 6l x |0 = 6 0

∫l∕2 m-ω2x2- m-ω2- 3l∕2 ml2-ω2 E2 = 2l dx = 6l x |−l∕2 = 24 −l∕2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#28023

Найдите кинетическую энергию вращения однородного тонкого кольца массы $m$ и радиуса $R$ . Ось вращения проходит через центр кольца и а) перпендикулярна плоскости кольца; б) лежит в плоскости кольца. Угловая скорость вращения равна $ω$ .

Показать ответ и решение

1) Так как расстояние до любой точки кольца будет одинаково и равно $R$ , то кинетическая энергия кольца будет равна

∫m ω2R2-- m-ω2R2- E = 2 dm = 2 0

2) Найдем массу участка малого угла $dα$

dm = -M--Rd α 2πR

Кинетическая энергия этого участка будет равна

2 2 dE = m-ω--r-dR- 4πR

Расстояние $r$ от оси, относительно которой мы находим кинетическую энергию, до учатска массой $dm$ , равно:

r = R sin α

Интегрируя

∫2π 2 2 2 E = M-ω--R--sin--αRd α 2 πR 0

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла

1 − cos 2α sin2 α = ---------- 2

Тогда

( ) 2 2 2∫π ∫2π 2 2 2 2 E = ω-R--M--( 0d α + 1- cos 2αd2 α) = ω--R-M--(2π + 0 ) = M-ω-R--- 8π 2 8π 4 0 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#28024

Найдите кинетическую энергию вращения однородного тонкого диска массы $m$ и радиуса $R$ . Ось вращения проходит через центр диска и а) перпендикулярна плоскости диска; б) лежит в плоскости диска. Угловая скорость вращения равна $ω$ .

Показать ответ и решение

Найдем массу кольца малой ширины $dr$ находящейся на расстоянии $r$ от центра диска.

2πrM-- 2M--r dm = πR2 dr = R2 dr

Кинетическая энергия этого участка будет равна

ω2r2dm M ω2r3 dE = --------= ----2--dr 2 R

Тогда интегрируя, получим

R ∫ M ω2r3 M ω2R2 E = ----2--dr = -------- 0 R 4

2) Рассмотрим задачу в полярных координатах. Возьмем элемент массы

M dm = ---2rdrdφ. πR

В полярных координатах

2 2 2 2 dE = ω-(r ⋅ sin-φ)-dm-= M-⋅-ω-(r ⋅ sin-φ)-⋅-rdrdφ 2 2 πR2

Интегрируя в полярных координатах, получим

∫R ∫2π 2 2 ∫R 2 2 2 E = M--⋅ ω-(r-⋅ sinφ)-⋅ rdrd φ = M-ω--r3dr = M--ω-R--. 2πR2 2R2 8 0 0 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#28025

Точечный заряд находится на расстоянии $d$ напротив края стержня длиной $10d$ , равномерно заряженного зарядом противоположного знака. Найти угол $α$ между вектором силы, действующей на заряд со стороны стержня, и перпендикуляром, опущенным из точки, где находится заряд, на стержень (см. рисунок). Ответ обосновать.

Показать ответ и решение

Пусть плотность заряда $σ = Q ∕10d$ . Разложим силу электрического взаимодействия на вертикальную $x$ и горизонтальную $y$ составляющую. Тогда для малой длины $dl$ , находящейся на расстоянии $l$ от $q$ по горионтали и заряда $σdl$ имеем