Тема АЛГЕБРА

Логарифмы → .04 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90018Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x logxlog3(2 − 1)≥ 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем представить 0 как логарифм с основанием x и аргументом 1 и применить метод рационализации.

Подсказка 2

Теперь снова повторим сходные действия: представим 1 как логарифм с основанием 3 и таким же аргументом и применим метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

При $0< x< 1$ получаем, что

x 0< log3(2 − 1)≤ 1

x 1 <2 − 1≤ 3

1< x< 2

решения неравенства не входят в рассматриваемый промежуток.

При $x> 1$ получаем

log3(2x− 1)≥1

2x− 1 ≥3

x≥ 2

и записываем это в ответ.

Ответ:

$[2;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#90040Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 )x2− 3x 3x − 3x +1 ≤1.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: у него отрицательный дискриминант, оно меньше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда! Какой следующий шаг можно сделать?

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобках в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

2 3x − 3x +1 >0 =⇒ x∈ ℝ

Представим правую часть как $3x2 − 3x+ 1$ в нулевой степени.

(3x2− 3x+ 1)x2−3x− (3x2− 3x+ 1)0 ≤ 0

Воспользуемся методом рационализации.

{ f g (a− 1)(f − g) ≤0 a − a ≤0 =⇒ ОД З

Тогда получаем

(3x2− 3x+ 1− 1)(x2− 3x)≤ 0 ⇐⇒ 3x2(x− 1)(x− 3) ≤0

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

x ∈{0}∪[1;3]

Ответ:

$x ∈{0}∪[1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#31469Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) logx+2 2x +x ≤ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим логарифм, что сразу делаем?) Правильно, ищем ОДЗ! А что дальше? Как мы можем представить двойку справа?

Подсказка 2

Да, двойку можем расписать как log₍ₓ₊₂₎(x+2)² ! Какой метод было бы удобно применить, чтобы не рассматривать случаи, когда основание логарифма меньше единицы и когда больше единицы?

Подсказка 3

Верно, осталось только применить метод рационализации и пересечь ответ с ОДЗ.

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| x+ 2> 0 { x+ 2⁄= 1 ⇔ x ∈(−2;−1)∪(−1;− 1)∪(0;+∞ ) |( 2 2 2x + x> 0

Теперь применим на ОДЗ метод рационализации:

2 2 (x +2 − 1)⋅(2x + x− (x +2) )≤0⇔ (x+ 1)(x− 4)(x+ 1)≤ 0⇔ x≤ 4.

Осталось пересечь с ОДЗ и получить ответ.

Ответ:

$(−2;−1)∪(−1;− 1)∪(0;4] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#31470Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) log4−x x − 10 < 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перенесём двойку в левую часть и попробуем представить её как какой-то логарифм! На какой логарифм было бы удобно заменить двойку?

Подсказка 2

Да, двойку хочется заменить на логарифм с тем же основанием, что и у логарифма в левой части неравенства! То есть, log₍₄₋ₓ₎(4-x)². Хм, а мы получили выражение вида: logₐ(f(x)) – logₐ(g(x)) < 0. Какой метод очень хочется применить?

Подсказка 3

Верно, метод рационализации! Применим метод рационализации и пересечем полученный ответ с ОДЗ! Вы же не забыли найти ОДЗ в самом начале решения?)

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| 4− x> 0 { 4− x⁄= 1 ⇔ x∈ (− ∞;−√10)∪ (√10;4) |( 2 x − 10 >0

Теперь применим на ОДЗ метод рационализации:

2 2 2 2 log4− x(x − 10)− log4−x(4 − x) < 0⇔ (4− x − 1)(x − 10− 16 +8x− x )<0 ⇔

⇔ (3− x)(x− 13)< 0⇔ x∈ (− ∞;3)∪(13;+∞ ). 4 4

Осталось пересечь с ОДЗ и получить ответ.

Ответ:

$(−∞;− √10)∪(13;4) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#31471Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 4x-+5) logx 6− 5x < −1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, видим логарифм – ищем ОДЗ! В правой части неравенства хочется видеть ноль, поэтому давайте перенесём минус единицу влево! А теперь, представим её как логарифм с основанием x. Что можно сделать дальше?

Подсказка 2

Да, применять метод рационализации мы не можем, потому что перед нами сумма логарифмов, а не разность! Но, мы ведь знаем, что если перед нами сумма логарифмов с одинаковым основанием, то мы можем применить формулу: logₐx+logₐy=logₐxy. Давайте сделаем это! Какой же последний шаг осталось сделать?

Подсказка 3

Конечно, нужно применить метод рационализации! Осталось только пересечь ОДЗ с полученным ответом, и задача решена!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x> 0 |{ ||( x4⁄=x+51 6−5x > 0

6 x ∈(0;1)∪ (1;5)

Перенесём в неравенстве правую часть налево и запишем единицу как логарифм по основанию $x :$

4x+ 5 logx(6−-5x)+ logxx< 0

Превратим сумму логарифмов в логарифм произведения:

2 logx(4x-+-5x)< 0 6− 5x

Используем метод рационализации на ОДЗ:

2 (x− 1)4x-+-10x−-6< 0 6− 5x

(x−-1)(x−-12)(x-+3) x− 65 > 0

x∈ (−∞; −3)∪(1;1)∪(6;+∞ ) 2 5

Осталось пересечь с ОДЗ и получить ответ.

Ответ:

$(1;1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#32653Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

--x-- log6x− 16x− 1 > 2logx(6x − 1).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева в логарифме какая-то страшная, неприятная дробь. Давайте попробуем от неё избавиться, учитывая ОДЗ. К тому же есть общая часть аргумента и основания 6х-1. Как можно осуществить эту идею, воспользоваться каким-то свойством?

Подсказка 2

Верно, мы ведь можем расписать на ОДЗ этот логарифм, как разность по свойству. Тогда видим общие части у левой и правой части неравенства. Какое естественное действие можно сделать, чтобы упростить себе жизнь?

Подсказка 3

Да, можно сделать замену логарифма просто на одну букву t, например. Дальше решение неравенства методом интервалов совсем не составляет труда. Надо будет только сделать обратную замену, снова решить неравенство и победа!

Показать ответ и решение

Условия, задающие ОДЗ: $6x− 1> 0,6x− 1⁄= 1,x >0,x⁄= 1$ .

При замене $t=logx(6x− 1)$ по свойствам логарифмов неравенство принимает вид $1 t − 1> 2t$ , что эквивалентно $2t2+t−-1 t < 0$ .

По методу интервалов получаем $1 t∈ (− ∞;−1)∪ (0;2)$ .

1) По методу рационализации

1 2 t<− 1 ⇒ (x− 1)(6x− 1− x)<0 ⇒ (6x − x− 1)(x− 1)x <0

x ∈(− 13;0)∪(12;1)

С учётом ОДЗ $x∈ (12;1).$

2) Аналогично по методу рационализации

0 <t< 1 ⇒ (x− 1)(6x− 1− 1) >0∩ (x − 1)((6x− 1)2− x)< 0 2

x∈ (− ∞;1)∪ (1 ;1 ) 9 4 3

С учётом ОДЗ $x∈ (1;1). 4 3$

Ответ:

$(1;1)∪(1;1) 4 3 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#37800Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) (x+1)log8 x + 2x− 2 < 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нужно сделать первым делом, когда видишь логарифмы? Записать ОДЗ! Так-с, теперь подумаем над структурой. Логарифм у нас умножается на x+1, а справа ноль. Значит, что можно применить?

Подсказка 2

Правильно, можно применить метод рационализации. Сделайте это, разложите полученное выражение на множители и после пересечения с ОДЗ получите ответ!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x2+2x − 2> 0 ⇐⇒ x∈ (−∞,−1 − √3)∪ (− 1+√3,+ ∞)$ .

По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно:

2 (x+ 1)(8− 1)(x + 2x − 2− 1)< 0 ⇐⇒ (x +1)(x+ 3)(x− 1)< 0

По методу интервалов $x∈ (− ∞;−3)∪(−1;1).$ Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 3)∪(−1+ √3;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#37801Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(2 ) logx2 x + x− 1 < 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на структуру этого неравенства. Справа у нас 0, слева логарифм. А как можно представить 0? Как это помогает?

Подсказка 2

Верно, 0 можно представить как log_(x^2)(1). Но чем же это лучше того, что было? А тем, что теперь нам надо сравнить два логарифма. А это легко делается с помощью…

Подсказка 3

Да, с помощью метода рационализации! Используйте его, разложите на множители полученное выражение и после пересечения с ОДЗ получите ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2 > 0 { x2 ⁄= 1 |( 2 x + x− 1 >0

( −1− √5) ( −1+ √5 ) x∈ −∞, --2---- ∪ --2---,1 ∪ (1,+∞ )

По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно:

(x2− 1)(x2+ x− 1 − 1)< 0 ⇐⇒ (x − 1)2(x+ 1)(x+ 2)< 0

По методу интервалов $x∈ (− 2;−1).$

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(− 2;−1−√5) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#37802Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log2x− 12≤ log2x+14

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва замечаем, что основания логарифмов зависят от x, а это не очень приятно. «Перевёрнем» логарифмы со сменой основания и приведём дроби к общему знаменателю. Что же дальше?

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| 2x− 1> 0 |||{ 2x− 1⁄= 1 | |||( 2x+ 1> 0 2x+ 1⁄= 1

1 x ∈(2;1)∪(1;+∞ )

По свойствам логарифма неравенство эквивалентно

1 2 log2(2x−-1) ≤ log2(2x+-1)

2 log2(2x-+1)−-log2(2x−-1)-≤0 log2(2x− 1)log2(2x +1)

По методу рационализации на ОДЗ неравенство эквивалентно

2 --(2x-+1)−-(2x−-1)--≤ 0 (2x− 1− 1)(2x +1 − 1)

4x2−-4x+1-− 2x−-1≥ 0 2x(2x − 2)

x(2x− 3) x(x−-1)-≥ 0

По методу интервалов получаем

x ∈(−∞;1)∪ [3;+∞ ) 2

С учётом ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

$(1;1)∪[3;+ ∞) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#37803Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) log510-− 1 log5 x − 9x+20 ⋅log5−x25≥ log25(5− x)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуйте, с помощью свойств логарифмов правую часть, чтобы слева и справа была одинаковая структура неравенства. Найдите ОДЗ.

Подсказка 2

ОДЗ здесь очень даже простое х<4. Но мы же еще и преобразовали неравенство. Хмм… И слева и справа у нас есть log_(5-x)(25). А может на него можно поделить? А как найти его знаки?

Подсказка 3

Конечно, нужно, зная, что х<4, понять что этот логарифм положительный. Тогда слева и справа у нас остается два логарифма по одному основанию, к которым можно применить…

Подсказка 4

Метод рационализации! Примените, разложите полученное выражение на множители и, учитывая ОДЗ, найдите ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 9x+20 >0 { 5− x> 0 |( 5− x⁄= 1

x ∈(−∞;4)

По свойствам логаримов неравенство эквивалентно

log (x2− 9x+ 20)⋅log 25≥ (log 10− 1)⋅log 25 5 5−x 5 5−x

Из ОДЗ получаем $log25(5− x)> log25(5− 4)=0,$ тогда можем домножить на него обе части неравенства без смены знака:

log (x2 − 9x+ 20)≥log10− 1= log 2 5 5 5

x2 − 9x+ 20≥ 2

[ x≤ 3 x≥ 6

Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.

Ответ:

$(−∞;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#37804Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 1) ( 4) log2x 6x+ 7 log5x 3x+ 7 ≤ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на данное неравенство. Слева произведение двух логарифмов, справа 0. О чем может говорить нам структура данного неравенства?

Подсказка 2

Вам пока ничего не говорит структура данного неравенства? А как бы вы его решали, если бы слева было не произведение логарифмов, а просто один логарифм? А разве что-то меняется, если у нас произведение? Какой метод можно применить тогда?

Подсказка 3

Конечно, метод рационализации к каждому логарифму по отдельности. Примените метод рационализации, учтите ОДЗ и получите ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( 2x> 0 ||||| 2x⁄= 1 |{ 1 ||| 6x+ 7 > 0 |||( 5x⁄= 14 3x+ 7 > 0

1 1 x∈ (0;+∞ )∖{2;5}

По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно:

1 4 (2x− 1)(6x + 7 − 1)(5x − 1)(3x +7 − 1)≤ 0

По методу интервалов

{ } [ ] x∈ 17 ∪ 15;12

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

${1}∪ (1;1) 7 5 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#51848Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

√---(---x−-8--) log x−1 x2− 2x− 3 + 2≤ 0.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x − 8 x− 8 x2−-2x− 3-= (x-+1)(x-− 3) > 0,x> 1,x ⁄=2

x∈ (1;2)∪(2;3)∪(8;+∞ )

Так как $2= log√x−1(x− 1)$ при $x> 1,$ то исходное неравенство ОДЗ равносильно неравенству

(x− 8)(x− 1) log√x−1(x−-3)(x+-1) ≤ 0 (∗)

Рассмотрим два возможных случая: $1< x< 2$ и $x> 2.$

1.

Неравенство (*) равносильно каждой из систем неравенств

({ (x−8)(x−-1) ≥1, ({ --x− 117- ( (x−3)(x+1) ( (x−3)(x+1) ≤ 0 1< x <2; 1< x< 2

откуда следует, что $117-≤x <2$

2.

Неравенство (*) равносильно каждой из систем неравенств

( ( 11- { 0< (x(x−−83))(x(x−+11)) ≤ 1, { (x−x−3)(7x+1) ≥0 ( x> 2; ( x > 8

откуда получаем, что $x> 8.$

Ответ:

$[11;2)∪ (8;+∞ ) 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#90019Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 2 )x2−2x 2log2 x− log2x +1 ≤ 1.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: это сумма квадратов, она больше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда!

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобке в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ: у аргумента логарифма тоже есть ограничения.

Показать ответ и решение

С учётом $x> 0$ и замены $t=logx 2$ , для ОДЗ получим $2t2− 2t+ 1> 0$ , что выполнено всегда. Рассмотрим случаи

1.: $2t2− 2t+ 1> 1⇔ t∈ (− ∞,0)∪(1,+ ∞)⇔ x ∈(0,1)∪ (2,+∞ )$ . В этом случае неравенство эквивалентно $x2 − 2x≤ 0$ , то есть $x ∈[0,2]$ , в итоге $x ∈(0,1)$ .
2.: $2 2t − 2t+ 1= 1⇔ x= 1,2$ — подходят оба значения.
3.: $2 2t − 2t+ 1< 1⇔ x∈ (1,2)$ , тогда $2 x − 2x≥ 0⇔ x∈ (−∞,0]∪[2,+ ∞)$ , здесь решений не будет.

Ответ:

$(0;1]∪{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#90022Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log √x -2- x 2 ≥ √x .

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством, чтобы 1/√х представить в виде 2 в некоторой степени. Точно также и х в левой части можно записать как степень двойки.

Подсказка 2

Внимательно поработайте со свойствами степеней, чтобы перед нами осталось сравнение 2 в некоторых степенях. Теперь можно перейти и к сравнению показателей!

Подсказка 3

Сделайте замену t = log₂(x) и решите получившееся рациональное неравенство. Осталось сделать обратную замену, пересечь результаты с ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся, что $x =2log2x,$ тогда $-1-=x− 12 = 2− 12log2x. √x$ Исходное неравенство примет вид

1log2x 1− 1 logx 22 2 ≥ 2 2 2

Так как основание больше 1, то можем перейти к неравенству на степени с сохранением знака неравенства

1log2x≥ 1− 1log x 2 2 2 2

(log2x+2)(log2x− 1)≥0

Перейдём к равносильному неравенству с учётом ОДЗ

{ x> 0 ( 1] (x− 1∕4)(x − 2)≥ 0 ⇐⇒ x ∈ 0;4 ∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1 ]∪[2;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#90041Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log3(1− x)− log3(1+ x)+log1+x(1− x)− 1≤ 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы сделать их основания одинаковыми. При этом в нашем выражении появятся дроби – их можно просто привести к общему знаменателю

Подсказка 2

Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые, чтобы разложить выражение на множители, после останется лишь применить метод рационализации и пересечь решение с ОДЗ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| 1− x> 0 { 1+ x> 0 =⇒ x ∈(−1;0)∪(0;1) |( 1+ x⁄= 1

На ОДЗ верны следующие преобразования

log1+x(1−-x) ---1-- log1+x(1−-x)⋅log1+x-3 log1+x3 log1+x3 −log1+x 3 + log1+x3 − log1+x3 ≤ 0

log (1− x)(1+ log 3)− (1+log 3) (1+log 3)(log (1− x)− 1) ---1+x--------log1+x3---------1+x-- ≤0 =⇒ -----1+x-log--1+x3---------≤ 0 1+x 1+x

(1−-log1+x 13)(log1+x(1−-x)− log1+x(1+x)) log1+x3− log1+x1 ≤ 0

Используем метод рационализации

( 1) ( ) (1+x-− 1)-1+-x−-3-⋅(1+-x−-1)(1−-x−-(1+-x))-≤0 =⇒ 2x2 2 +x ≥0 (1+ x− 1)(3− 1) 3

Решая последнее неравенство методом интервалов и объединяя с ОДЗ, получаем, что

[ 2 ) x ∈ − 3;0 ∪(0;1)

Ответ:

$x ∈[− 2;0)∪(0;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#90128Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

----log9x−-log18x----- log18(2− x)− log36(2− x) ≤ log369.

Показать ответ и решение

По методу рационализации знак левой части совпадает со знаком рациональной дроби $-(9−1)(18−1)(x−1)(18−9)-- (18−1)(36−1)(2−x− 1)(36−18)$ , то есть со знаком $x−1 1− x$ . Получаем, что на ОДЗ дробь в левой части всегда отрицательна. В правой части же стоит положительное число $log369 >log361= 0$ . Значит, неравенство справедливо для всех $x$ из ОДЗ:

( |{ x >0 ⇔ x∈ (0;1)∪(1;2) |( 2− x> 0 log18(2 − x)− log36(2− x)⁄=0

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#63857Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( logx log 2 ) logx−1 4 3 − 6x 3 + 10 ≤0

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В самом начале запишите ОДЗ. А теперь давайте поработаем с аргументом логарифма. Преобразуйте степени так, чтобы у нас в показателях степеней везде были одинаковые логарифмы от чисел, а чтобы переменная х была только в основаниях степеней!

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на то, какой формулой сокращенного умножения мы можем воспользоваться в аргументе логарифма, чтобы нам стало чуть-чуть удобнее с ним работать! Да, мы не можем разложить все на множители, но тем не менее есть способы упростить себе жизнь!

Подсказка 3

Верно, мы можем выделить полный квадрат! Дальше просто действуем по методу рационализации, вспоминаем про то, что квадрат не может принимать отрицательные значения и добиваем задачу!

Показать ответ и решение

В силу тождества $xlog32 = 2log3x$ неравенство эквивалентно

(( log x )2 ) logx−1 2 3 − 3 +1 ≤0

Тогда на ОДЗ:

{ x− 1> 0 x− 1⁄= 1

неравенство по методу рационализации сводится к

( )2 (x− 2) 2log3x− 3 ≤ 0

откуда либо

2log3x− 3= 0 ⇐⇒ log3x= log23 ⇐⇒ x= 3log23,

либо

x≤ 2

Пересекаем с ОДЗ и получаем ответ.

Ответ:

$(1;2)∪ {3log23}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#126624Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√--- logx− 1(x+ 1)− log x+1(x− 1) ≥1.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( x− 1> 0 ||||| x− 1⁄= 1 |{ ||| x√+-1> 0 |||( √x-+1 >0 x +1 ⁄=1

Получаем $x ∈(1;2)∪ (2;+∞ )$

Вспомним свойство логарифма:

logd-b logab= logda ,d >0

На ОДЗ $(x+ 1)>0.$ Получим

lologg10((xx+−-11)) − 2⋅lologg1(0(xx+−11))− 1≥ 0 10 10

log210(x-+1)−-2log210(x−-1)− log10(x− 1)log10(x-+1)≥ 0 log10(x− 1)log10(x +1)

Упростим выражение в числителе:

t= log10(x+ 1),d= log10(x− 1)

2 2 2 2 2 t − 2d − dt=t − 4d +2d − dt=

= (t− 2d)(t+2d)− d(t− 2d)= (t− 2d)(t+ d)

Тогда

2 −1 (log10(x+-1)− log10(x−-1)-)(log10(x-+1)−-log10(x−-1)-)≥ 0 log10(x− 1)log10(x +1)

По методу рационализации

2 −1 (10−-1)((x+-1)−-(x−-1)-)(10−-1)((x-+1)−-(x-− 1)-)≥ 0 (10− 1)(x− 1− 1)(10 − 1)(x +1− 1)

((x+-1)−-(x−-1)2)((x+-1)−-(x−-1)−1)≥ 0 x(x− 2)

(3x− x2)(x2− 2) -x(x−-2)(x−-1)-≥ 0

√- √ - x(3−-x)(x-−-2)(x+--2)≥ 0 x(x− 2)(x− 1)

На ОДЗ $x >1,$ следовательно, можно сократить $x$ и домножить обе части неравенства на $(x− 1)>0 :$

(3− x)(x− √2)(x+ √2) -------(x−-2)------≥ 0

По методу интервалов

$PIC$

x∈ (1;√2]∪(2;3]

Ответ:

$(1;√2-]∪ (2;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#126626Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 1) ( 2 -1) log|2x− 12| x+ 1+ x ≥log|2x− 12| x +1+ x2 .

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

(| || 1|| ( ||||| ||2x− 2||>0 ||| x ⁄= 1 ||||| || 1|| ||||| 4 |{ ||2x− 2||⁄=1 |{ x ⁄=− 1;3 ||| 1 ⇐⇒ ||| 4 4 ||||| x +1+ x >0 ||||| x >0 ||||( 2 1 |( x ∈ℝ x + 1+ x2 > 0

( 1) (1 3 ) (3 ) x ∈ 0;4 ∪ 4 ;4 ∪ 4;+∞

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся методом рационализации для разности логарифмов:

(| | ) ( ) |||2x− 1|||− 1 x+ 1+ 1− x2− 1− 1- ≥ 0 2 x x2

(||| 1||| ) ( 1 2 1-) |2x− 2|− 1 x+ x − x − x2 ≥ 0

−x4+ x3+ x− 1(|| 1|| ) -----x2------ ||2x − 2||− 1 ≥0

( ) ( | | ) 1-− x3-(x− 1) ||2x− 1||− 1 ≥ 0 x2 | 2|

(1+x +x2)(x− 1)2(|| 1|| ) ------x2------- ||2x− 2||− 1 ≤ 0

Заметим, что $1+ x+ x2 >0$ при любом $x,$ а $x2 > 0$ на ОДЗ, умножим неравенство на $x2$ и поделим его на $1+ x+ x2.$ При $x =1$ неравенство выполнено, так что $x= 1$ пойдёт в ответ. Если же $x⁄= 1,$ то $(x− 1)2 >0,$ поделив неравенство на $(x − 1)2,$ получаем:

||| 1||| |2x− 2|− 1≤ 0

1 − 1≤ 2x − 2 ≤ 1

− 1≤ x≤ 3 4 4

Пересекая результат с ОДЗ и объединяя с $x= 1,$ получаем ответ:

( ) ( ) x∈ 0;1 ∪ 1;3 ∪ {1} 4 4 4

_____________________________________________________________________________

Второе решение.

Запишем ОДЗ:

(| ||| 1||| ||||| |2x− 2|>0 (|| x ⁄= 1 ||||| ||| 1||| ||||| 4 |{ |2x− 2|⁄=1 ⇐⇒ |{ x ⁄=− 1;3 ||| 1 ||| 4 4 ||||| x +1+ x >0 ||||| x >0 ||||( 2 1- ( x ∈ℝ x + 1+ x2 > 0

Пересекая, получаем

( 1) (1 3 ) (3 ) x ∈ 0;4 ∪ 4 ;4 ∪ 4;+∞

Рассмотрим 2 случая:

1) Если $| | |||2x − 1|||> 1, 2$ то на ОДЗ неравенство равносильно

x+1 + 1≥ x2+1 +-1 x x2

Сделаем замену $t= x+ 1, x$ тогда $t2 = x2+-1+ 2, x2$ получаем квадратное неравенство

t+1≥ t2− 1

2 t− t− 2≤0

t∈ [−1;2]

Делаем обратную замену:

−1≤ x+ 1 ≤2 x

(|| x2-+x+-1- { x ≥0 ||( x2-− 2x+-1≤ 0 x

x∈ {1}

Пересекая с $x∈ (−∞; − 14) ∪( 34;+ ∞) ,$ получаем

x∈ {1}

2) Если $||| 1||| |2x −2|< 1,$ то на ОДЗ неравенство равносильно

1 2 1 x+1 + x ≤ x +1 +x2

⌊ 1 | x+ x ≤ −1 |⌈ 1 x+ x ≥ 2

x ∈(−∞; 0)∪ (0;+∞ )

Пересекая с $( 1 3) x∈ − 4;4 ,$ получаем

( ) ( ) x ∈ − 1;0 ∪ 0;3 4 4

Объединяя полученные результаты и пересекая с ОДЗ, получаем ответ

x∈ (0;1) ∪( 1;3)∪ {1} 4 4 4

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;3)∪ {1} 4 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#107090Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(|x− 5|−-|x−-1|)log4(6−-x) (9x− 12⋅3x+ 27)log3x ≤0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим в перспективе применить метод рационализации. Какие преобразования в таком случае нужно сделать?

Подсказка 2

Хотим представить 9^x - 12 * 3^x + 27 в виде произведения разностей 3^g - 3^f, а логарифмы — в виде разности логарифмов. Вспомним, что логарифм частного — это разность логарифмов, пользуемся этим для приведения к необходимому виду.

Подсказка 3

Теперь все множители имеют требуемый для применения метода рационализации вид. Не забываем, что его можно применять только на ОДЗ, так что находим его, а потом находим решения с помощью метода интервалов.

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: