Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .04 Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#91382Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 2 2 sin x+ sin 2x+ sin 3x= 2.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $sin2t= 1−cos2t 2$ , преобразуем уравнение к виду $cos6x +cos4x +cos2x= −1$ . Сложим в нём первый и третий косинусы: $2cos2xcos4x+ cos4x =−1$ и сделаем замену $cos2x= t$ . Получим уравнение $3 2 2t +t − t=0$ , из которого $−-1 t1 = 0,t2 = −1,t3 = 2 .$ Отсюда находим три серии решений: $π πn x1 = 4 + 2$ , $π π x2 = 2 +πn,x3 = ±6 +πn.$ Отбор корней тут не нужен.

Ответ:

$π + πn,π+ πn,± π+ πn,n∈ ℤ 4 2 2 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#92001Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3sinxcosx+ sinx= 1+ cosx

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=sinx− cosx$ . Заметим, что $3 sinxcosx = 3(1− t2) 2$ . Перепишем уравнение

3 2 2(1− t)+ t= 1

3t2− 2t− 1 =0

Его корни $1$ и $− 1 3$ . В первом случае $sinx= 1$ или $cosx= −1$ , откуда

π x= 2 +2πk

x= π+ 2πk.

Нам осталось решить уравнение $sin x− cosx= − 1 3$ . Откуда легко заметить, что $x$ лежит в первой или третьей четверти. Возведем последнее уравнение в квадрат.

1 − 2sin xcosx = 1 9

sin2x= 8 9

Откуда $x= π− 1arcsin8+ πk 2 2 9$ или $x= 1arcsin 8+ πk 2 9$ . Легко проверить, что среди полученных коней нам подходят только $x = 1arcsin8 +2πk 2 9$ и $x= 3π− 1 arcsin8+ 2πk. 2 2 9$

Ответ:

$π + 2πk 2$ , $π +2πk$ , $1arcsin8+ 2πk 2 9$ , $3π− 1arcsin 8+ 2πk,k∈ ℤ 2 2 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#92012Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x 2cos3x sin x − cosx = 5|sinx|

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinx ⁄=0$ , $cosx⁄= 0$ .

Разложим синус и косинус тройного угла по формуле.

2 2 3− 4sin x− 2(4cosx − 3)= 5|sinx|

Пусть $t =|sinx|$ . Тогда $3− 4t2− 2(1− 4t2)= 5t$ или $4t2− 5t+1 =(t− 1)(4t− 1)= 0$ . Если $t=1$ , то $cosx= ±√1-−-t2 = 0$ ?! Значит, $t= 1 4$ и $sinx= ±1. 4$

Ответ:

$±arcsin 1+ πn,n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#92039Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 1 cosx −2 sin2x+ cosx =sinx.

Показать ответ и решение

Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

2 cos x− sinxcosx +cosx− sinx= 0

cosx(cosx+ 1)− sinx(cosx +1)= 0

(cosx +1)(cosx− sinx)= 0

1 случай. Если $cosx= −1$ , то $x =π +2πk,k∈ℤ.$

2 случай. Если $cosx⁄= −1$ , то $cosx− sinx= 0.$ При $cosx =0$ решений нет. Разделим обе части уравнения на $cosx.$ Получаем $1− tgx= 0⇔ tgx= 1$ . Тогда $x= π4 +πk,k∈ ℤ$

Ответ:

$π +2πk,π+ πk;k∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#92047Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1 cosxcos2x cos4xcos8x = 8cos15x.

Показать ответ и решение

Предположим, что $sinx =0$ . Тогда $x =πk$ . Отсюда $cosxcos2xcos4xcos8x = ±1= 1cos15x.= ±1 8 8$ ?!

Значит, $x⁄= πk$ и можно домножить все на $8sinx$ и это будет равносильный переход.

16sinxcos2xcos4xcos8x= 8sin2xcos2xcos4xcos8x= 4sin 4xcos4xcos8x =

=2sin 8x cos8x= sin16x= 2cos15xsinx = sin(−14x)+ sin16x

Тогда $sin14x= 0$ . Значит, $x= π1k4,k∈ℤ$ , кроме $x= πn,n ∈ℤ$ .

Ответ:

$πk,k∈ ℤ,k⁄ ..14 14 .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#92058Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( π) ( π) 6sin 2x − 6 + 5sin x− 3 +1 =0.

Показать ответ и решение

Пользуясь формулой приведения $sinα =cos(π− α) 2$ , получаем:

( π ) (π π) ( 2π ) ( 2π) sin 2x − 6 = cos 2 − 2x + 6 = cos 3 − 2x = cos 2x − 3

Уравнение принимает вид

( ) ( ) 6cos 2x − 2π- + 5sin x− π +1 =0 3 3

Делаем замену $t= sin(x− π3)$ :

[ ( 2) 2 t= 1 6 1− 2t +5t+ 1= 0 ⇔ 12t − 5t− 7= 0 ⇔ t= −172

Дальнейшее очевидно.

Ответ:

$5π +2πn,π+ (−1)n+1arcsin 7-+ πn,n ∈ℤ 6 3 12$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#92062Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 4 cos4x+ 8sin x − 2= 6cos2x − 8cos x.

Показать ответ и решение

Давайте перепишем всё через $cosx$ .

2 2 2 4 2 cos4x= 2cos 2x− 1= 2(2cosx − 1) − 1 =8 cos x− 8cos x+ 1

2 cos2x= 2cos x− 1

sin2x= 1− cos2x

Тогда

cos4x +8sin2x − 2= 8cos4 x− 8cos2x+ 1+8(1− cos2x)− 2 =

= 6cos2x − 8cos4 x= 12 cos2x− 6− 8cos4x

16cos4x − 28cos2x +13= 0

Если представить это уравнение от $t= cos2x$ .

2 16t − 28t+ 13= 0

У этого уравнения дискриминант равен $− 48<0,$ и значит, корней нет.

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#92065Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2tgx+ tg2x+ 2tgxtg3x+tg2xtg3x= 0.

Показать ответ и решение

Разложим уравнение на скобки

(2tgx +tg2x)(tg3x+ 1)= 0

Тогда либо $tg3x +1= 0$ , либо $tgx+ tg 2x =0$ .

Если $tg3x+ 1= 0$ , то $x= − π-+ πk 12 3$ . Осталось проверить, что $tgx$ и $tg2x$ определены. Заметим, что если $x =− π-+πk 12$ , то все хорошо, если $x = 3π-+ πk 12$ , то $tg2x$ не определен, если $x = 7π-+πk 12$ , то все хорошо.
Если $2tg x+tg2x= 0$ , то $tgx+ tg2x= tgx(2+ --2--) =0 1−tg2x$ . Значит, либо $tgx= 0$ , $x =πk$ и все определено, либо $2 1− tg x= −1$ и $√ - tgx =± 2$ . В последнем варианте $√- x = ±arctg 2+ 2πn$ . Тогда $√- tgx =± 2$ , $√ - tg 2x =∓2 2$ и $∓-√2 tg3x= 5$ .

Ответ:

$−-π+ πk 12$ , $7π+ πk 12$ , $πk$ , $± arctg√2+ 2πk,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#34200Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ---4---------------- 8sin x− 6sin4x− 4sin2x= 2sin 2x.

Источники: Физтех - 2021, аннулированный из-за технических проблем вариант

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Стоит избавиться от корня, не забыв про одз из-за правой части) А также раскрыть после этого формулу синуса двойного угла.

Подсказка 2

Может помочь то, что теперь уравнение является однородным, а значит стоит поделить уравнение на cos^4x (не забыв проверить случай cosx = 0)

Подсказка 3

Получим в основном тангенсы, в одном месте получим 1/cos²(x), но это тоже можно превратить в tg(x), просто разделим основное тригонометрическое тождество на cos²(x). Разложив выражение на множители, выйдем на финишную прямую решения этой задачи.

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ≥0$ и возведём в квадрат, применяя формулы двойных углов, получим

4 2 2 2 2 8sin x− 24sinxcosx(cosx − sin x)− 8sinxcosx= 16sin xcosx

Заметим, что $cosx= 0$ не является решением и поделим на $cos4x$

4 3 2 2 8tg x− 24tg x+24tg x− 8tg x⋅(1+ tg x) =16tg x

tgx⋅(tg3x+ 2tg2x− 2tgx − 4)= 0

tgx(tg x+2)(tg2x− 2)= 0

В итоге $√- tgx∈ {± 2;−2;0}$ , после проверки $sin 2x ≥0$ останутся только $0$ и $√- 2$ .

Ответ:

$πn;arctg√2+ πn; n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#63561Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4sin2xcos3x− 2sin5x= tg2x

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрывать по формуле синуса суммы и косинуса суммы тройные, а уж тем более “5-рные” углы мы не хотим. А что еще можно сделать с первым слагаемым левой части?

Подсказка 2

Конечно применить формулу произведения синусов! Тогда после преобразований получим выражение только с двойными углами. А с ними уже проще работать! Но не спешите применять формулу к тангенсу, ведь слева останется еще синус, который все портит. Попробуйте сначала перейти к выражению с синусами и косинусами!

Подсказка 3

Чтобы не работать с дробями – домножаем обе части на знаменатель (не забывая выписать ограничение) и теперь уже смело можем раскрывать двойные углы. Что общего у всех слагаемых?

Подсказка 4

Есть общий множитель! Выносим его за скобку, предварительно перенеся все в одну сторону – приговор для него уже подписан. А со скобкой, возможно, еще стоит поработать! Приведите ее к выражению, в котором есть только косинусы и числа. На что похоже полученное выражение?

Подсказка 5

Конечно на квадратный трехчлен! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Ищем нули известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Снова вспомним формулы $2sin2xcos3x= sin5x − sinx$ , тогда получим:

2(sin5x− sinx)− 2sin5x= tg2x

Домножим на $cos2x⁄= 0$ :

− 2sinxcos2x = sin2x= 2sinxcosx

Если $sinx =0$ , то $x =πn,n ∈ℤ$ , иначе

cosx+ cos2x= 0

2cos2x+ cosx− 1= 0

cosx= −1±-3 4

Тут можно заметить, что для $cosx= −1$ верно $sinx= 0$ , поэтому достаточно добавить в ответ серию для второго решения $x =± π3 + 2πn,n ∈ℤ$ . Очевидно, все корни подходят под условие $cos2x⁄= 0$ .

Ответ:

$πn,±π + 2πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#63562Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 ctgx− 2ctg 2x = 3cosx

Источники: ДВИ - 2021, вариант 216, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не забываем выписать ОДЗ и смотрим на косинус справа. Он явно не даст нам работать только с тангенсами и котангенсами, значит, приводим все к выражению с косинусами и синусами!

Подсказка 2

Все еще остались двойные углы – самое время от них избавиться! А заодно и дроби собрать в одну, приведя к общему знаменателю. Приводите числитель к красивому итогу и смотрите, что получилось :)

Подсказка 3

А получилось уже совсем несложное тригонометрическое уравнение! Можем ли еще сильнее упростить его, перейдя к одной тригонометрической функции?

Подсказка 4

Если домножить обе части на знаменатель, то получится заменить квадрат косинуса на выражение с квадратом синуса по ОТТ! Остается лишь решить квадратичное уравнение и добить до ответа. Для удобства можно ввести новую переменную t = sin (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ⁄=0$ — это задаёт всю ОДЗ, далее преобразуем выражение слева:

cosx 2cos2x-− 1 1− cos2x sin-x ctgx− 2ctg2x= sin x − sinxcosx = sinxcosx = cosx

В итоге

2 sinx −3 ±5 1 3cosx = cosx-⇐⇒ 2sin2x +3sinx − 2 =0 =⇒ sinx=--4-- =− 2,2

То есть $sinx = 12,x= (−1)nπ6 + πn,n ∈ℤ$ (что удовлетворяет ОДЗ).

Ответ:

$(−1)nπ+ πn,n∈ ℤ 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#79624Максимум баллов за задание: 7

При каких целых $n$ функция $f(x)= cosnx ⋅sin 15x- n2$ имеет период $T = 5π$ ?

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нас интересуют случаи, когда период равен 5π. Как можно выразить это условие для нашей функции?

Подсказка 2

Конечно, значения функции в точках x и x+5π будут одинаковы, так что можно приравнять значения функции. Мы получили тригонометрическое уравнение, которое приводится к виду "произведение трёх множителей = 0" (обратите внимание, что значение косинуса зависит от значения аргумента, так что тут нужно отдельно разобрать два случая). Обычно после этого достаточно просто найти, когда зануляется каждый множитель, но помните, что наша задача - не найти такие x, а выяснить, при каких n выражение зануляется для любых аргументов.

Подсказка 3

Подумайте, при всех ли x значение наших тригонометрических функций может обращаться в 0? Если мы можем выразить x через n, π и k, то можем найти и отношение х к π. Что мы можем сказать о его рациональности?

Подсказка 4

Конечно, у нас получится, что х/π — рациональное число. Но мы всегда можем подобрать такой х, что х/π будет иррациональным числом (например, х=π²). То есть при некоторых х такое выражение всегда ненулевое. Тогда остаётся выяснить, для каких множителей отношение х/π может быть иррациональным, и найти, при каких целых n они могут обращаться в 0.

Показать ответ и решение

Условие задачи равносильно тому, что при всех вещественных $x$

15(x+-5π) 15x- cosn(x+ 5π)⋅sin n2 = cosnx⋅sin n2

(a) если $n$ чётно, то имеем равенство

15(x +5π) 15x cosnx⋅sin---n2---= cosnx ⋅sinn2-

( ) cosnx sin15x+275π-− sin152x = 0 n n

2cosnx⋅cos( 30x-+75π) ⋅sin 75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух косинусов

cosnx =0 ⇔ nx= π +πk (k ∈ℤ) ⇔ x = 1-+ k 2 π 2n n

( ) cos 30x-+75π- =0 ⇔ 30x+-75π-= π+ πm (m ∈ℤ) ⇔ x= n2 + mn2-− 5 2n2 2n2 2 π 60 30 2

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $2 x= π$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π 75π 2 sin2n2 =0 ⇔ 2n2 = πt (t∈ℤ) ⇔ 75= 2n t,

которое не может быть выполнено, так как число $75$ нечетно.

(b) если $n$ нечётно, то имеем равенство

15(x+ 5π) 15x − cosnx ⋅sin ---n2---= cosnx ⋅sin n2-

( ) cosnx sin15x+275π-+ sin152x = 0 n n

2cosnx⋅sin( 30x+-75π)⋅cos75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух множителей

π x 1 k cosnx =0 ⇔ nx= 2 +πk (k ∈ℤ) ⇔ π = 2n-+ n

( ) 2 sin 30x+2n275π- = 0 ⇔ 30x2+n725π-=πm (m ∈ℤ) ⇔ xπ = n3m0-− 52

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $x= π2$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π- 75π π 2 2 cos 2n2 = 0 ⇔ 2n2 = 2 + πt (t∈ℤ) ⇔ 75 =2n t+2n

75 n2 = 2t+ 1

Так как $75 n2$ — целое, то $n2 = 25$ или $n2 =1,$ отсюда

n ∈{−5;−1;1;5}

Ответ:

$±1, ±5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#90014Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x−-sinx- √- ( 2 ) 2⋅cos3x+ cosx = 3⋅ 1− tg x .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а как можно преобразовать числитель и знаменатель? Какие формулы можно применить?

Подсказка 2

Распишем числитель и знаменатель по формулам преобразования суммы триг. функций в произведение. Чему тогда равна левая часть после преобразований?

Подсказка 3

Получаем, что 2*tg(x) = √3 * (1 - tg²(x)). Несложно заметить, что это квадратное уравнение относительно tg(x). Решаем его и не забываем про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Преобразуем разность синусов и сумму косинусов в произведения:

2cos2xsinx √ - 2 2⋅2cos2x cosx = 3(1− tgx)

Запишем ОДЗ:

( π πk ||{ x⁄= 4 +-2 cos3x+ cosx ⁄=0;cosx ⁄=0 ⇐ ⇒ || π ( x⁄= 2 +πk, k ∈ℤ

Тогда получаем следующее:

√- √ - √- 2tgx= 3(1 − tg2x) ⇐ ⇒ 3tg2x +2tgx− 3 =0

⌊ √- ⌊ 2π tgx= −√-3 | x= 3-+ πk ⌈ tgx= -3- ⇐⇒ |⌈ π 3 x= 6 + πk,

Объединяя решения и пересекая их с ОДЗ, получаем:

x = π+ πk, k∈ℤ 6 2

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 6 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#90864Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что число $x = − sin π 1 18$ является корнем кубического уравнения $8x3− 6x− 1= 0$ . Найдите два других его корня.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похож sin(pi/18)? На разделенный на три аргумент sin(pi/6), чье значение нам известно. Также, мы знаем корнем какого уравнения у нас является -sin(pi/18) - кубическое уравнение. В какой формуле у нас связаны кубическим уравнение угол и утроенный угол?

Подсказка 2

Собственно, в выражении тройного угла. Тогда выходит, что у нас sin(-pi/6) = 3 * x_1 - 4 * x_1^3, где x_1 = -sin(pi/18). Значит, 3 * x_1 - 4 * x_1^3 = -1/2. Откуда и следует требуемое. Теперь давайте поймем, как нам получить еще два корня. Правда ли, что нам подойдут все корни, которые по модулю 2pi, после умножения на 3, будут равны -pi/6?

Подсказка 3

Да, это правда. Ну тогда, нам надо найти такие корни. Значит, нам надо найти корни вида sin(pi * k / 18), которые после умножения на 3 дадут требуемое условие. Нетрудно понять(к примеру, перебором), что это корни sin(11pi/18) и sin(23pi/18).

Показать ответ и решение

Вспомним, что $sin3x =3sin x− 4 sin3x$ . Значит,

1 π 3 − 2 = sin− 6 = 3x1− 4x1

8x31− 6x1− 1= 0

По аналогии, если $11π- x2 = sin18$ , то

1 11π 3 −2 = sin-6-= 3x1− 4x1

8x31− 6x1− 1= 0

и если $23π- 5π x3 = sin 18 = sin18$ , то

− 1 = sin23π= 3x1− 4x31 2 6

8x31− 6x1− 1= 0

Значит, у нас есть корни

x1 = − sin π-= sin− π 18 8

x2 = sin11π 18

23π 5π x3 = sin 18 = − sin18

Ответ:

$sin11π-,sin 23π- 18 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#95853Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $cos6∘$ является корнем уравнения

5 3 √- 32t − 40t + 10t− 3= 0.

Найдите остальные четыре корня этого уравнения.

(Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т.п.)

Источники: Межвед - 2021, 11.7 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте искать решение в виде t = cos(x). Подставим его в уравнение и попробуем преобразовать левую часть. Какими формулами можно воспользоваться, чтобы уменьшить показатели степени?

Подсказка 2

Вынесем 2cos(x) за скобки и с помощью формул понижения степени преобразуем левую часть уравнения.

Подсказка 3

После того, как мы понизим все степени до первой, можно будет преобразовать разность косинусов и раскрыть скобки!

Подсказка 4

-4sin(3x)sin(2x) + 2cos(x) = -2(cos(x) - cos(5x)) + 2cos(x). Какой вывод можно сделать из данной цепочки неравенств? Вспоминаем условие!

Подсказка 5

Найдите cos(5x), используя цепочку преобразований и правую часть!

Показать ответ и решение

Будем искать решение в виде $t= cosφ$ (на это намекнули в условии задачи). Получаем уравнение

5 3 √- 32cosφ − 40cos φ+ 10cosφ= 3.

Преобразуем его левую часть:

2 cosφ(16cos4φ − 20cos2φ +5)= [формулы понижения] = ( 2 ) = 2cosφ(4(1+cos2φ)− 10− 1)0cos2φ+ 5 = = 2cosφ 4cos22φ − 2cos2φ− 1 =2cosφ(2(1+ cos4φ)− 2cos2φ− 1) == 2cosφ(−4sin 3φ sinφ+ 1)= −4sin3φsin 2φ +2 cosφ = = −2(cosφ− cos5φ)+ 2cosφ =2cos5φ.

В итоге получили

- √3- cos5φ = 2

π 2πn φ =± 30 +-5-,n∈ ℤ

Поскольку у первоначального уравнения ровно пять действительных корней (по условию), то, чтобы их предъявить, достаточно взять какие-нибудь пять значений $φ$ , косинусы которых различны. Например,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ φ∈ {6,78,150,222,294}

Ответ:

Остальные четыре корня имеют вид $t= cosφ$ , где $φ ∈{78∘,150∘,222∘,294∘}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#95855Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное значение $n$ , удовлетворяющее уравнению

∘ ∘ sinn =sin(2021n)

Источники: Звезда - 2021, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем перенести всё в левую часть и записать разность синусов по формуле.

Подсказка 2

Отлично! Из двух полученных уравнений мы получаем значения n, для которых выполнено равенство. Теперь нужно поставить условие на то, чтобы эти значения были натуральными, и найти минимум из них.

Показать ответ и решение

По формуле разности синусов уравнение равносильно совокупности

[ sin(2021n−n)∘ = 0 cos(20212n+n)∘ = 0 2

[ (1010n)∘ = 180∘⋅k,k∈ ℤ (1011n)∘ =90∘+ 180∘⋅m,m ∈ ℤ

[ 101n= 18k,k ∈ℤ 337n= 30(2m + 1),m ∈ℤ

Так как $101$ и $337$ — простые числа, то в первом уравнении наименьшее натуральное $n = 18,$ а во втором — $n= 30.$

Ответ:

$18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#127156Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение корней уравнения

x2+-x+-1 x2-− x+-1 x2-− 4x+-1 π−-2 sin 2x + cos 2x = x ⋅cos 4 .

Показать ответ и решение

Положим $t= x2+1-= 1(x+ 1) 2x 2 x$ . Тогда исходное уравнение примет вид

( 1) ( 1) π−-2 sin t+ 2 + cos t− 2 = 2(t− 2)cos 4 .

Заметим, что

sin(t+ 1∕2)+ cos(t− 1∕2)= sint(cos(1∕2)+ sin(1∕2))+cost(cos(1∕2)+ sin(1∕2)) = = (sin t+ cost)(cos(1∕2)+sin(1∕2))= 2cos(t− π∕4)cos(π∕4− 1∕2)

Получаем

cos(t− π∕4)= t− 2.

На отрезке [1,3] функция $cos(t− π∕4)$ убывает, ибо $3< π < 4$ . Функция же $t− 2$ на этом отрезке возрастает. Следовательно, графики этих функций имеют ровно одну общую точку при некотором $t= t0$ . Поскольку $t0 > 1$ , уравнение $x2− 2t0x+ 1= 0$ имеет два различных корня. Их произведение равно $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#33587Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- cos11x− cos3x− sin11x+ sin3x= 2cos14x

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Общих множителей перед нами нет, что тогда можно сделать? Какие формулы применить? В уравнении много сумм и разностей, тогда давайте применим формулы разности синусов и косинусов.

Подсказка 2:

В левой части у обоих слагаемых появился общий множитель, это -2sin(4x). Его выносим за скобки. Что можно сделать с правой частью, чтобы она была похожа на выражение в скобках?

Подсказка 3

В левой части есть аргумент (7х), а это как раз 14х/2, поэтому применим справа формулу косинуса двойного угла. Тогда, если перенести всё в одну сторону, можно вынести sin(7x) + cos(7x) за скобки.

Подсказка 4

Остаётся два случая. В первом случае sin(7x) + cos(7x) можно разделить на cos(7x) ≠ 0. Во втором стоит воспользоваться методом вспомогательного аргумента, чтобы в правой части сделать синус разности. Останется решить уравнение вида sin(a) = sin(b) и задача убита!

Показать ответ и решение

Применим формулы разности синусов и косинусов, а также формулу косинуса двойного угла:

√- −2sin4xsin 7x − 2sin 4x cos7x= 2cos14x

−2sin4x(sin7x+ cos7x)= √2(cos27x− sin27x)

Уравнение эквивалентно совокупности

[ cos7x+ sin7x= 0, cos7x− sin7x= −√2-sin4x

[ tg7x =−1, sin(7x− π4)= sin4x

⌊ 7x =− π4 + πk,k ∈ℤ |⌈ 7x− π4 = 4x +2πk,k∈ℤ 7x− π4 = π− 4x +2πk,k∈ℤ

⌊ π πk | x = −π28 +2π7k-,k ∈ℤ ⌈ x = 12-+ 3-,k∈ ℤ x = 5π44 + 2π1k1 ,k∈ ℤ

Ответ:

$−-π+ πk; π-+ 2πk;5π + 2πk; k ∈ℤ 28 7 12 3 44 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#63998Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin xcos3x= sin3xcos5x

Источники: ДВИ - 2020, вариант 206, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть произведения синусов на косинусы. Давайте применим соответствующую формулу!

Подсказка 2

Супер! Теперь уничтожаем одинаковые слагаемые и смотрим, как расправиться с остальными. Обратите внимание на то, что один из полученных углов вдвое больше другого!

Подсказка 3

После того, как воспользуетесь формулой синуса двойного угла, получаем почти что обычное уравнение, которое мы прекрасно умеем решать! Выносим общий множитель за скобки и уничтожаем задачу!

Показать ответ и решение

sinxcos3x= sin3xcos5x⇐⇒ sin4x− sin2x= sin8x− sin2x

sin4x(cos4x − 1∕2)= 0⇐⇒ x =kπ∕4,x= ±π∕12 +kπ∕2,k ∈ℤ

Ответ:

$πk∕4,± π∕12+ πk∕2,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#70335Максимум баллов за задание: 7

Для чисел $x,y,z,t$ из интервала $(0;π ) 2$ выполняется равенство

cos2x+ cos2y +cos2z +cos2t =4(cosxcosycoszcost− sin xsinysinz sint)

Докажите, что сумма некоторых двух из чисел $x,y,z,t$ равна сумме двух остальных.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать обе части, в идеале все разложить на множители ;) Но пока что части похожими совсем не выглядят. Какие преобразования существует для произведения двух косинусов (синусов)?

Подсказка 2

Произведение косинусов можно расписать в сумму косинусов суммы! А произведение косинусов можно расписать в разность косинусов суммы) Также подумаем, как левую часть привести к похожему виду)

Подсказка 3

Распишите левую часть уравнение по формуле суммы косинусов!

Подсказка 4

Отлично, теперь в обеих частях у нас есть cos(x+y), cos(x-y), cos(z+t), cos(z-t). Разумно попробовать разложить всё на множители!

Подсказка 5

Супер, получим совокупность равенств косинусов! Осталось лишь вспомнить условие задачи ;)

Показать доказательство

Воспользуемся формулами произведения косинусов и произведения синусов

4cosxcosycoszcost= (2cosxcosy)(2cosz cost)=

= (cos(x− y)+ cos(x+ y))⋅(cos(z − t)+cos(z+ t));

4sinxsin ysinzsint= (2sinxsiny)(2sinzsint)=

= (cos(x− y)− cos(x+ y))⋅(cos(z − t)− cos(z+ t));

Вычитая второе из первого, получаем

4(cosxcosycoszcost− sinxsinysinzsint)= 2cos(x− y)⋅(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Тогда исходное равенство примет вид

2cos(x+ y)⋅cos(x− y)+ 2cos(z +t)⋅cos(z − t)= 2cos(x − y)⋅cos(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Сгруппируем

(cos(x+ y)− cos(z+ t))⋅(cos(x− y)− cos(z− t))= 0

[ cos(x+y)= cos(z+ t) cos(x− y)= cos(z− t)

Так как $x,y,z,t$ из интервала $(0;π), 2$ числа $x +y,z+ t$ из интервала $(0;π),$ на этом интервале косинус каждое значение принимает по одному разу, поэтому если равны косинусы, то равны и аргументы.

cos(x+ y)= cos(z +t) ⇐ ⇒ x +y =z +t

Так как $x− y,z− t∈ (− π;π), 2 2$ возможны два случая:

[ x− y = z− t [ x+ t=z +y cos(x − y)= cos(z− t) ⇐⇒ x− y = −(z− t) ⇐⇒ x+ z = y+ t

Предыдущая подтема

Следующая подтема