Тема Тригонометрия

Оценки в тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#37807Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 1 2 2 cos2x+ 4sin 4x +1= sin4xcos2x+ sin x.

Показать ответ и решение

Заметим, что

( ||1 ||)2 |cos2x|− ||2sin4x|| ≥ 0

Отсюда

cos22x+ 1sin24x≥ |sin4xcos2x|≥ sin4xcos2x 4

Учитывая, что $1≥ sin2x$ , везде должны достигаться равенства из условия, то есть

(|{ |cos2x|= 12 |sin4x|, sin4xcos2x≥ 0, =⇒ cos2x = 1sin4x =⇒ cos2x(1 − sin2x)= 0 |( sin2x= 1. 2

Получаем систему

( [ |{ cos2x= 0, | sin2x= 1, ( sinx= ±1,

У которой нет решений.

Ответ:

таких $x$ нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#37834Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $cos3x+ cos5x =2. 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1)Хочется как-то оценить наше выражение. Давайте попробуем посмотреть на левую часть этого равенства, и применить знание свойств косинуса об ограниченности, что из этого получится?

Подсказка 2!

2) Верно, мы знаем, что косинус всегда <= 1! А правая часть равна двойке. Что из этого можно заключить о косинусах в левой части?

Показать ответ и решение

В силу ограниченности косинуса

{ cos3x= 1 { 3x= 2πn, n∈ Z 6x 5x cos 5x = 1 ⇐⇒ 5x= 2πk, k∈ Z =⇒ -2 − 2-= 2π(n− k), n∈ Z, k ∈Z 2 2

То есть $x= 4πm, m ∈ Z$ , что подходит в оба уравнения системы.

Ответ:

$4πm, m ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#37835Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $5sin5 x− 3cos3x= 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, мы хотим попробовать как-то оценить левую часть равенства, но обычной ограниченности синуса и косинуса +-1-ми нам не хватает. Было бы здорово как-то при оценке использовать, что это косинус и синус от одной и той же величины. Мы знаем, что cos^2+sin^2 = 1, но у нас, к сожалению, -3cos^3. Можем ли мы как-то оценить выражение, чтобы там появился квадрат косинуса?

Подсказка 2!

2) Да, -cos^3<=cos^2! Как теперь можно оценить наше выражение? Просто заменой куба на квадрат, и заменой знака. Отлично! А вот теперь как бы воспользоваться свойством ограниченности этих функций?

Подсказка 3!

3) Идейно мы уже все сделали, необходимо только аккуратно разобраться, какие у нас должны быть равенства и где.

Показать ответ и решение

Так как $sin3x≤ 1$ и $− cosx ≤1$ , то:

5 3 2 2 2 5 =5sinx − 3cos x≤ 5sin x+ 3cos x= 2sin x+ 3≤ 2+ 3= 5

Поскольку достигается равенство, то оно должно достигаться во всех неравенствах, а для этого:

(|{ sin5x= sin2x (|{ sinx= 0 или sinx= 1 − cos3 x= cos2x ⇐⇒ cosx= 0 или cosx =− 1 |( sin2x= 1 |( sinx= ±1

Откуда $sinx= 1$ и $cosx= 0$ , так что $x= π2 +2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$π + 2πn,n∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#37836Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sinx− sin15xcosx = 3. 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Для начала можно попробовать попроверять немного значений, и понять, что выглядит наше выражение не очень реалистично. Попробуем теперь это доказать! Для этого здорово помогла бы оценка через сумму модулей...

Подсказка 2!

2) У нас получится |sin(x)| + |sin(15x)||cos|(x)| >= 3/2. Давайте воспользуемся свойством ограниченности функций и совершим еще одну оценку! Наша цель - доказать, что изначальное уравнение не имеет решений.

Подсказка 3!

3) Мы получим следствие из изначального равенства. Противоречий пока не видно, хотя сумма модулей синуса и косинуса, равная 1,5 уже близка к проблемам. Так как оценивать сумму синуса и косинуса мы не очень хотим, давайте попробуем возвести эту оценку в квадрат. С квадратами в плане оценок дела обстоят получше)

Подсказка 4!

4) Отлично, теперь осталось совсем немного, воспользоваться известными нам оценками на квадраты и сами функции, и получить противоречие!

Показать ответ и решение

Заметим, что

sinx− sin15xcosx ≤|sinx − sin 15xcosx|≤|sinx|+ |sin 15x|⋅|cosx|≤|sinx|+ |cosx|

То есть $3≤ |sinx|+|cosx| 2$ — следствие исходного равенства, возведём в квадрат и получим ещё одно следствие

9 2 2 5 4 ≤ sin x+ 2|sinx|⋅|cosx|+ cos x= 1+ |sin2x| =⇒ 4 ≤ |sin2x|

Следствие решений не имеет, потому у исходного уравнения их быть не могло.

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#37837Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $|sinx|tgx+ |cosx|tgx = 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Хм, у нас есть какая-то функция с тангенсом в степени, давайте поймем, как эта функция себя ведет с точки зрения монотонности...

Подсказка 2!

2) Верно, функция t^y монотонно убывает по y! А наше выражение будет вести себя точно так же! Осталось понять, в каком случае левая часть примет значение 1!

Показать ответ и решение

Первое решение.

ОДЗ: $sin x⁄= 0,cosx⁄= 0 =⇒ |sinx|∈ (0,1)$ и $|cosx|∈ (0,1)$ .

При $tgx= 2$ уравнение обращается в основное тригонометрическое тождество.

Зафиксируем произвольное $t∈(0,1)$ . Тогда $y 2 t < t$ при $y > 2$ , а $y 2 t > t$ при $y < 2$ . С учётом этого факта левая часть при других значениях тангенса будет больше или меньше (в зависимости от $tgx> 2$ или $tgx< 2$ ), чем правая часть. Поэтому решений при $tgx ⁄=2$ быть не может. Заметим, что решения, соответствующие $tgx =2$ , подходят под ОДЗ.

Второе решение.

По основному тригонометрическому тождеству уравнение из условия равносильно:

|sin x|tgx +|cosx|tgx =sin2x +cos2 x

|sin x|tgx − sin2x =cos2x− |cosx|tgx

Во-первых, отметим, что операция возведения в произвольную действительную степень определена только для положительного аргумента, откуда следует, что значения $sinx$ и $cosx$ не могут быть равны $0$ (соответственно и $±1$ ).

Но тогда в уравнении

2 tgx−2 2 tgx−2 sin x⋅(|sinx| − 1)=cos x⋅(1− |cosx| )

левая часть не больше нуля, а правая не меньше нуля, причём равенство может достигаться только в случае $|sinx|tgx−2 = 1= |cosx|tgx−2)$ .

С учётом вышесказанного замечания, что $|sinx|⁄= 1,|cosx|⁄= 1$ , получаем $tgx − 2 =0$ . Легко убедиться, что при этом значении тангенса уравнение из условия обращается в тождество, откуда получаем ответ.

Ответ:

$arctg2 +πn, n∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#37838Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- √- 2 3sin5x− 3sin x= cos24xcosx +2cos5x− 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть странное уравнение, в правой части которого есть корни из 3. Кажется, что это отделенно похоже на умноженный на что-то синус или косинус известного нам угла. ДАвайте попробуем вынести 4 из первых двух слагаемых, и получить синус суммы. Что теперь можно сказать про оценку?

Подсказка 2!

2) Давайте оценим первое новое слагаемое через 4, тогда остаток должен быть больше или равен 2. Посмотрим на него. Хм, если вынести 2, тоже очень похоже на косинус суммы! только cos(24x) немного мешает...

Подсказка 3!

3) Верно, давайте оценим его, для этого пусть он не равен -+1, как тогда в таком случае оценить выражение, чтобы получить из него синус суммы или разности?

Подсказка 4!

4) Ага, случаи равенства -+ 1 нужно аккуратно разобрать отдельно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Уравнение эквивалетно:

$√ - √- 2 3sin5x− 2cos5x− 3sin x− cos24xcosx =6.$

Соответственно должно выполняться $√ - √- 6= |2 3sin5x− 2cos5x− 3sin x− cos24x cosx|.$

Но по неравенству треугольника $√- √ - √ - √- |2 3sin5x− 2cos5x − 3sinx− cos24xcosx|≤ |2 3sin5x− 2cos5x|+|− 3sinx − cos24x cosx|,$

а по неравенству Коши-Буняковского $√- ∘ ----------2------2--- |2 3sin 5x − 2cos5x|≤ (4 ⋅3+ 4)⋅(sin 5x+ cos5x)= 4$ и $√- ∘ ---2----------2-----2-- |− 3sinx − cos24xcosx|≤ (cos 24x +3)⋅(sin x+ cos x)≤2.$

Оба слагаемых не больше $6$ , соответственно получаем оценку на модуль, который должен быть равен $6$ . Итак, во всех неравенствах выше должно достигаться равенство. Приходим к итоговой системе из первого решения.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Перепишем равенство в виде

( √ - ) ( √ - ) 6 =4 −--3sin5x+ 1cos5x + 2 1 cos24xcosx +--3sinx 2 2 2 2

( ) ( √- ) 6 =4sin 5x+ 56π + 2 12 cos24xcosx + 23sinx

Очевидно, что первое слагаемое не больше $4$ . Тогда второе не меньше $2$ . Пусть $cos24x⁄= ±1$ . Разберём $0≤ cos24x< 1$ . Если $cosx> 0$ , то

( 1 √3 ) ( 1 √3 ) ( π ) 2 2cos24xcosx+ -2-sinx <2 2cosx+ 2-sin x = 2sin x +-6

То есть равенство $2$ не достигается. Если $cosx≤ 0$ , то

( √- ) ( √- ) 2 1cos24xcosx+ -3-sinx ≤2 -3sinx = √3sinx< 2 2 2 2

Аналогично разбирается $cos24x< 0$ . То есть $cos24x =±1$ . Рассмотрим $cos24x =1$ , получим

( ( 5π) ( π- 2πn |{ sin(5x+π6) = 1 |{ x= −π 15 + 5 |( sin x+ 6 = 1 ⇐⇒ |( x= 3πm+2πk cos24x= 1 x= -12-

Легко видеть, что останется только $π x= 3 +2πk$ , далее $cos24x= −1$ , здесь

( sin(5x+ 5π)= 1 ( x= − π-+ 2πn |{ ( π6) ⇐⇒ |{ 2π15 5 |( sin x− 6 = 1 |( x= -3π +2ππmk cos24x= −1 x= 24 + 12

Здесь у второго и третьего уравнения нет общих корней, потому решений нет.

Ответ:

$π + 2πk, k∈ℤ 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#37839Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $tg2x+ 2tgx(siny+ cosy)+2 =0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Попробуем воспользоваться синусом суммы, раз у нас есть сумма синуса и косинуса, подберем возле них подходящие коэффиценты, чтобы стало похоже на формулу суммы с известным нам углом.

Подсказка 2!

2) Для этого надо всего лишь вынести корень из 2 за скобку. Тогда это будет sin(y+Pi/4). Посмотрим на полное выражение. Хм, очень напоминает формулу квадрата разности, только синус немножко мешает... Может оценим его как-нибудь?

Подсказка 3!

3) Отлично, мы получили, что наше изначальное выражение больше, чем квадрат разности, но при этом равно 0. Что это значит? Кажется, нам подходят только случаи полного равенства..

Показать ответ и решение

Перепишем равенство

2 √- ( 1-- 1-- ) tg x+ 2 2tgx √2siny + √2cosy + 2= 0

√- ( ) tg2x+ 2 2tgxsin y + π + 2= 0 4

Поскольку

(tg2x− 2√2|tgx|+ 2) =(|tgx|− √2)2 ≥0

то

- - | ( )| - ( ) tg2x+ 2≥2√ 2|tgx|≥2√2|tgx|⋅||sin y+ π ||≥ −2√2tgxsin y+ π 4 4

Поскольку по условию мы имеем равенство, то равенства должны быть везде, что эквивалентно

⌊ { √ - (| tgx= ±√2- | tgx(= 2) { sin (y+ π) =±1 ⇐ ⇒ || { sin y+ π4√-= −1 |( tgxsin(4y+ π) ≤0 |⌈ tgx(=− 2) 4 sin y+ π4 = 1

Откуда и получаем ответ.

Ответ:

$(arctg√2-+ πn,− 3π-+2πk),(− arctg√2 + πn,π+ 2πk) , k,n ∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#43622Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 2 4cosx − 4cos 3x cosx+ cos 3x= 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= cosx,b= cos3x$ и рассмотрим уравнение как квадратное относительно $a$ :

( b2) b2±√b4−-b2 4 a2− ab2+ 4- = 0 ⇐⇒ a= ----2-----

Решения есть только при $b4− b2 ≥ 0$ , но с учётом $b2 ≥ 0,b2− 1≤0$ получаем $b4− b2 ≤0$ . Решения есть только при $b2(b2 − 1)= 0$ , и это решение $a= b22$ .

При $b= cos3x =0$ получим $a= cosx= 0 ⇐⇒ x= π2 +πn,n ∈ℤ =⇒ b= 0$

При $b2 = 1$ получим $a= cosx= 12 ⇐⇒ x= ±π3 + 2πn,n∈ ℤ =⇒ cos3x= −1$

Ответ:

$π + πn,± π+ 2πn, n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#72038Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

5 8cos x− 5cosx − 2cos3x= 1

Источники: Межвед-2022, 11.4 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С косинусом 3x работать неудобно, сразу его раскроем. Теперь хочется уравнение преобразовать так, чтобы справа либо остался 0, либо так и осталась единица, но слева было произведение, которое мы можем оценить.

Подсказка 2

Вынесением общего множителя и использованием тригонометрических формул приходим к равенству cos(x)cos(4x)=1. Попробуем оценить левую часть.

Подсказка 3

Каждый из множителей лежит в определенном промежутке, значит можно разбить решение на два случая.

Подсказка 4

Понятно, что модуль обоих множителей должен быть равен единице. Осталось лишь работать два случая несложных систем)

Показать ответ и решение

5 8cos x− 5cosx − 2cos3x= 1

Используем формулу косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx$ получаем

8cos5x− 5cosx− 2(4cos3x− 3cosx)= 1

8cos5x − 8cos3x+ cosx= 1

Разложим нашу левую часть в произведение чисел, каждое из которых по модулю не больше 1.

cosx(8cos4x − 8cos2x+1)= 1

cosx(−8 cos2x(− cos2x+ 1)+1)= 1

По основному тригонометрическому тождеству получаем

cosx(−8cos2x sin2x+ 1)= 1

По формуле синуса двойного угла получаем

cosx(−2sin22x+ 1)=1

По формуле косинуса двойного угла получаем

cosxcos4x= 1

Так как $− 1≤ cosx ≤1$ и $− 1 ≤cos4x ≤1,$ то равенство возможно только в двух случаях

{ cosx= 1 { cosx= −1 cos4x= 1 или cos4x= −1

Рассмотрим систему

{ cosx= 1 cos4x= 1

Решим уравнение $cosx= 1.$ Получаем $x= 2πn, n∈ ℤ.$ Заметим, что эти решения также являются и решениями второго уравнения системы, поэтому для первой системы имеем $x =2πn, n ∈ℤ.$

Рассмотрим теперь вторую систему

{ cosx =− 1 cos4x= −1

Решим уравнение $cosx= −1.$ Получаем $x= π +2πn.$ Подставим эти решения во второе уравнение системы и получим $cos4(π +2πn)= cos(4π+8πn)= 1$ — противоречие. Значит, у второй системы нет решений.

Ответ:

$2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#80593Максимум баллов за задание: 7

Для каждого значения $a$ решите уравнение

2 2 2 4− sin x+ cos4x+ cos2x+ 2sin3xsin7x − cos7x− cosπa =0

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты:

2 2 2 (sin7x +sin 3x) + (cos3x+ cosx) +sin πa =0

Это значит, что под квадратами значения выражений равны 0. Отсюда уже выписывается ответ.

Ответ:

При $a∈ ℤ x =π∕4+ πk∕2,k∈ ℤ$ ,

при других $a$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#90408Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√2 √2- 1 1 sinx-+ cosx-= sin2x + cos2x-.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 224, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в обеих частях которого стоят дроби. Это может быть не совсем удобно, а как от них избавиться?

Подсказка 2

Домножим обе части равенства на квадраты синуса и косинуса!

Подсказка 3

На что похоже выражение слева? Быть может, его можно попробовать «собрать»?

Подсказка 4

В выражении слева выносится удвоенное произведение синуса и косинуса, а выражение в скобках очень напоминает известную формулу ;)

Подсказка 5

Имеем, что sin(2x)sin(x+ pi/2)= 1. Осталось лишь понять, какие же значения может принимать каждая из скобок ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ.

{ sinx ⁄=0 πk cosx ⁄=0 ⇐⇒ x ⁄= 2-,k ∈ℤ

Домножим равенство на $sin2x⋅cos2x:$

√2sin xcos2x+ √2sin2cosx= cos2x+ sin2x

√- √ - 2sin xcosx(-2-cosx+ --2sinx)= 1 2 2

π sin2x⋅sin(x + 4)= 1

Синус принимает значения из $[−1;1],$ поэтому равенство достигается только при

⌊ { | sin2x= 1 || { sin(x+ π4) =1 |⌈ sin2x= −1 sin(x+ π4) =−1

⌊ { π | 2x= 2 +2πk,k∈ ℤ || { x + π4 = π2 + 2πn,n ∈ℤ |⌈ 2x= − π2 + 2πk,k∈ ℤ x + π4 = − π2 +2πn,n∈ ℤ

⌊ { π | x = 4π + πk,k ∈ℤ ||| { x = 4 +π 2πn,n ∈ℤ ⌈ x =− 4 +π πk,k∈ℤ πk =− 2 + 2πn,n ∈ℤ

Решение первой системы: $π x= 4 +2πn,$ что удовлетворяет ОДЗ.

Вторая система не имеет решений для целых $k,n.$

Ответ:

$x = π+ 2πn (n∈ ℤ) 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#90854Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sinx= x2+ x+ 1$ .

Показать ответ и решение

В силу ограниченности синуса:

2 x +x +1 =sin x≤ 1⇒ x∈ [−1,0]

Затем:

2 ( 1)2 3 3 x +x +1 = x + 2 + 4 ≥ 4

Однако при $x∈ [−1,0] sinx ≤0 <3∕4≤ x2+x +1$ , откуда и получаем ответ.

Ответ: Решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91927Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 1 2 2 cos2x+ 4sin 4x +1= sin4xcos2x+ sin x.

Показать ответ и решение

Уравнение можно записать в виде

( 1 )2 cos2x− 2sin 4x +cos2 x= 0

и поэтому оно равносильно системе

{ cosx= 0 cos2x = 12sin4x

Уравнение $cosx= 0$ имеет корни $x= π2 +πk$ , которые не являются корнями второго уравнения системы. Поэтому исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#92060Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sinx− 2sin24x= 1.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $sin2 ≥ 0$ и $sinx≤ 0$ . Значит $sinx − 2sin24x ≤1$ . Раз в последнем неравенстве достигается равенство, то и в предыдущих оно должно достигаться. Значит $sinx= 1$ и $sin4x= 0$ . Из первого равенства следует, что $π x= 2 +2πk$ и такие $x$ подходят, так как $( (π )) sin 4 2 + 2πk = 0.$

Ответ:

$π + 2πk,k∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#92061Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $4sin4 x+7cos2x= 7.$

Показать ответ и решение

Пусть $sin2 x= t$ . Тогда $cos2x= 1− t$ и $4sin4x +7cos2x = 4t2+ 7− 7t= 7.$ Значит, $t= 0$ или $t= 7 4$ . Второе невозможно, так как $2 t= sin x≤ 1$ . Значит, $2 t= sin x= 0$ и $x= πk,k ∈ℤ$

Ответ:

$πk,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#67503Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимальное значение выражения $cos(x+y),$ если известно, что $cosx+ cosy = 1. 3$

Источники: Ломоносов-2020, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поработаем с тем, что нам дано - применим формулу суммы косинусов, а затем сделаем оценку половинного искомого угла (зная, что -1 <= cos((x-y)/2) <= 1).

Подсказка 2

Применим формулу косинуса двойного угла к cos(x+y). Тогда в нем как раз будет фигурировать уже полученное нами выражение половинного угла, которое мы оценили. Значит, мы уже почти получили ответ, осталось только найти значения, при которых соблюдается оценка.

Показать ответ и решение

Распишем сумму косинусов

x+-y x− y 1 2cos 2 ⋅cos 2 = 3

Далее воспользуемся оценкой $|| x− y|| |cos-2-|≤1$ , откуда

|| x+ y|| 1 1 ||cos-2--||= -||--x−y||≥ 6 6|cos 2 |

Далее воспользуемся формулой косинуса двойного угла

|| x+y ||2 17 cos(x+ y) =2||cos -2--||− 1≥ −18

Здесь равенство достигается при $cos x−y2-= 1,x− y = 4πn,n∈ℤ$ .

Ответ:

$− 17 18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#103394Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

9x 9x 2sin-8 cos-8 +cosx= 2.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает удвоенное произведение? По какой формуле его можно преобразовать?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой синуса двойного угла! Теперь перед нами сумма синуса и косинуса, которая должна быть равна двум. Часто ли такое бывает?

Подсказка 3

И синус, и косинус должен равняться единице! Тогда решим систему уравнений, а затем подумаем, как выразить друг через друга целые переменные в них.

Показать ответ и решение

Запишем уравнение как

9x sin 4 +cosx= 2,

оно эквивалентно системе

{ 9x sin4 = 1 cosx= 1

Уравнения этой системы имеют решения:

{ x= 2π∕9+ 8kπ∕9 x= 2mπ

где $m, n$ — целые.

Приравнивая выражения для $x$ , получаем уравнение

9m =1+ 4k.

Поскольку $9m =8m + m,$ то $m − 1= 4n,$ тогда

m = 4n +1,k= 9(4n-+1)−-1= 9n+ 2. 4

Подставляя значение $m$ в решение второго уравнения, получаем

x =2(4n+ 1)π = 2π+ 8nπ,n = 0,±1,±2,...

Ответ:

$x =2π+ 8πn,n= 0,±1,±2,...$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#67505Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘----x----1 ∘------1 ∘ ----x---------- cos2018 − 2 + cosx− 2 = cos 2018 + cosx − 1

Источники: Газпром 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заменим два подкоренных выражения левой части на a и b - тогда хорошо выразится и подкоренное выражение в правой части. Пора возводить в квадрат обе части!

Подсказка 2

Верно, оказывается, что либо а, либо b должно быть равно нулю, и получится, что один из косинусов равен 1/2, а второй из них дает существование корню - то есть он не меньше, чем 1/2.

Подсказка 3

Случай, когда cos(x/2018) = 1/2, нам не подойдёт, потому что тогда другой косинус будет меньше 1/2. Рассмотрите второй случай, когда cos(x) = 1/2. Ответом будет x = ± π/3 + 2πk, k - целое, при этом нужно решить cos(x/2018) ≥ 0. Отсюда у нас появится ограничение на k, будем использовать для этого еще одну целую переменную n. Таким образом, мы и получили ответ!

Показать ответ и решение

Возведём обе части в квадрат

x 1 1 ∘ ----x---1- ∘------1 x cos2018 − 2 + cosx− 2 + 2 cos2018-−2 ⋅ cosx− 2 = cos2018 + cosx− 1

∘---------- ∘ ------- cos-x--− 1⋅ cosx− 1 =0 2018 2 2

Найдём решения первого уравнения

-x--= ±π +2πn 2018 3

( π ) x =± 673π −3 + 4036πn

Заметим, что при каждом таком значении $x$ выполнено $1 cosx − 2 < 0$ , поэтому найденная серия не подходит под ОДЗ. Поэтому остаётся второе уравнение

cosx= 1 2

x =± π+ 2πk 3

Для выполнения условий ОДЗ нужно найти такие значения $x$ , что

--x- 1 cos2018 ≥ 2

π x π 2πn− 3 ≤ 2018-≤2πn +3

Подставим

( π) π ( π) 2018⋅ 2πn − 3 ≤ ±3 +2πk ≤2018⋅ 2πn + 3

1 1 1 2018n− 3363 ≤ ±6 +k ≤2018n +3363

Заметим, что числа в левой и правой части находятся от ближайшего целого числа на расстоянии $13 > 16$ , поэтому $± 16$ можно убрать — решения при целых $k$ не изменятся. В результате получим $k∈ [2018n − 336,2018n+ 336]$ .

Ответ:

${± π+ 2πk|k∈ [2018n− 336,2018n+ 336], k,n∈ ℤ} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#77696Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ ---- ∘-------2-- cosx− siny− sin y− sinx ≥1

Источники: ШВБ - 2019, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену u = cos(x) и v = sin(y). К какому неравенству придём и как будем его решать?

Подсказка 2

u - sqrt(v) >= sqrt(u^2 + v - 1) + 1 >= 0. Каким неравенством связаны u и v? Как будем решать предпоследнее неравенство?

Подсказка 3

Возведем обе части в квадрат! Теперь-то мы знаем, как применить связь между u и v.

Подсказка 4

Получается, что u*sqrt(v) = 0 и u^2 + v - 1 = 0. Подумаем, какие решения имеет данная система? Мы на финишной прямой!

Показать ответ и решение

Так как

∘ ---- ∘-------2-- cosx≤ 1, − siny− sin y− sin x≤ 0,

то сумма этих выражений может быть не меньше 1 только в случае равенства:

{ cosx= 1 √---- ∘ -------2-- − siny− siny− sin x= 0

{ cosx =1, sin2x =0 siny =0

{ x= 2πn,n ∈ℤ y =πk,k∈ ℤ

Ответ:

$(2πn;πk),n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#63599Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение $|x− y|$ при условии

( 4 )( 4 ) 3 2 cosx +1 4cos y+ 1 = 8cos xcosy,

[π 3π] x ∈[π;2π], y ∈ 2;2

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить левую часть уравнения. Что напоминают слагаемые в скобках?

Подсказка 2

Складываются квадраты — очень похоже на разложение квадрата суммы или разности:) А мы ведь помним, что квадрат неотрицателен!

Подсказка 3

Оцените каждую скобку левой части при помощи удвоенного произведения слагаемых.

Подсказка 4

Итак, левая часть не меньше, чем 8cos²xcos²y. Это очень похоже на выражение справа, но можно провести ещё одну оценку ;)

Подсказка 5

В каком случае в цепочке неравенств достигаются равенства? Осталось решить систему!

Показать ответ и решение

Так как при любых значениях $x,y$ верны неравенства:

{ (cos2x − 1)2 ≥0 ⇐ ⇒ cos4x+ 1≥2cos2x (2cos2y − 1)2 ≥ 0 ⇐ ⇒ 4cos4y+ 1≥4 cos2y

то

(cos4 x+1)(4cos4y +1)≥ 8cos2xcos2 y

А так же в силу $cos2x≥ cos3x$ в итоге получаем, что левая часть уравнения

(cos4 x+1)(4cos4y+ 1)= 8cos3xcos2 y

всегда не меньше правой части, а равенство может достигаться если только если в каждом из неравенств выше достигается равенство. То есть уравнение равносильно системе:

(| (cos2x− 1)2 ≥ 0 (|| cosx= ±1 { (2cos2y− 1)2 ≥ 0 ⇐⇒ { cosy = ±√1 |( cos2x= cos3x ||( cosx= 0 и2ли cosx =1

{ { cosx= 1 ⇐ ⇒ x= 2πn,n ∈ℤ cosy = ±√12 y = π4 + πm2-,m ∈ ℤ

На заданных в условии промежутках

x ∈[π;2π], y ∈ [π∕2;3π∕2]

получаем

x= 2π,y ∈{3π∕4,5π∕4}

Нетрудно видеть, что минимальное значение модуля разности равно $3π- 4 .$

Ответ:

$3π 4$