Тема АЛГЕБРА

Многочлены → .02 Теорема Виета для многочленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Многочлены

Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Теорема Виета для многочленов

Корни многочленов

Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Симметрические многочлены

Применение производной в многочленах

Многочлены над конечным полем

Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Интерполяция

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#67573Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

1 1 1 1 a +-b + c = a+-b+-c,

то для любого нечётного числа $n$ верно

1n + 1n +-1n =---1---n. a b c (a+ b+ c)

Показать доказательство

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Тогда для некоторого $p ∈{a,b,c}$ верно $(a +b+ c)n =pn$ и $1an-+ 1bn-+ 1cn-= 1pn.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x +q =(x− t)(x+ t),$ где $√ --- t= −q.$ Не умаляя общности, $a =t,b=− t,c= −p.$

В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно с учётом того, что $n$ — нечётное число:

1 1 1 1 1 1 1 an +bn + cn-= tn-− tn-+ (−-p)n-= −pn

---1----- ---1----- --1-- 1- (a+ b+ c)n = (t− t− p)n = (−p)n = − pn

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#67584Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что числа $x,y,z$ положительны, если известно, что положительными являются числа

a= x+y +z, b= xy+ yz+ zx, c=xyz.

Показать доказательство

Первое решение.

Из $xyz > 0$ следует, что одного или трёх неположительных числа среди $x,y,z$ быть не может, не может быть среди них и нулей.

Остаётся разобрать, почему не может быть случая, когда нашлось два отрицательных числа и одно положительное.

Предположим, что такое всё-таки случилось. Не умаляя общности, считаем $x≤ y < 0< z.$ Тогда пусть $t= −x,w= −y.$ Из условия получаем

z− t− w > 0 ⇐ ⇒ z >t+ w

Теперь из этого

2 tw − zw − zt> 0 ⇐⇒ tw> z(t+ w) =⇒ tw >(t+ w)

Из $t> 0,z >0$ получаем

2 2 w-2 3w2 0> t +tw +w =(t+ 2) + 4 > 0

Мы пришли к противоречию $0> 0,$ значит, рассматриваемый случай не может быть, так что все три числа положительные.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Не умаляя общности, считаем $x≥ y ≥z.$

По теореме, обратной теореме Виета для кубического уравнения, числа $x,y,z$ являются корнями уравнения $3 2 t − at +bt− c= 0.$

Если хотя бы одно из чисел неположительно, то $z ≤0$ , а тогда при подстановке $t= z$ получаем

z3 ≤ 0

−az2 ≤ 0

bz ≤ 0

−c< 0

Но тогда

3 2 0 =z − az +bz− c< 0

приходим к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно сформулировать и более общий факт для $n$ чисел. Если все элементарные симметрические многочлены от $n$ переменных (их сумма, сумма попарных произведений, сумма произведений по три и так далее до одной суммы из произведения всех $n$ чисел) имеют для заданных $n$ чисел один и тот же знак (все положительные или все отрицательные), то каждое из этих чисел имеет тот же знак (все положительны или все отрицательны). Доказательство проводится аналогично с использованием теоремы Виета для многочлена степени $n$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#67953Максимум баллов за задание: 7

Числа $x ,x ,x 1 2 3$ являются корнями уравнения $x3 +6x2+ 7x +1 =0.$ При каких значениях $a,b,c$ корнями уравнения $3 2 x + ax +bx+ c= 0$ являются числа $x1+x2,x2+ x3$ и $x3+ x1?$

Источники: ПВГ-2023, 10.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию достаточно очевидно, что нужно пользоваться именно теоремой Виета) Так что давайте находить коэффициенты по очереди. Что легче всего сейчас найти?

Подсказка 2

Сумму новых корней! Это будет просто 12. Дальше нужно постараться выразить оставшиеся выражения, которым равны новые коэффициенты, с помощью известных нам. Например, попробуйте выразить b с помощью попарных произведений и суммы корней изначального многочлена, а c - через все три выражения: сумму, сумму попарных произведений, и произведения корней.

Подсказка 3

Если b найти просто, то c последним коэффициентом могут быть трудности. Такое наблюдение: попробуйте вынести за скобки из всего этого выражения сумму изначальных корней)

Показать ответ и решение

По теореме Виета для первого уравнения:

( − 6= x +x + x , |{ 1 2 3 |( 7 =x1x2+ x1x3+ x2x3, − 1= x1x2x3.

Из этой же теоремы для второго уравнения:

−a =(x1+ x2)+ (x2+x3)+ (x3+ x1);

−a= 2(x + x + x). 1 2 3

Откуда получим, что $a= 12.$ Далее найдем $b :$

b=(x1+ x2)(x2+x3)+ (x1+ x2)(x3+ x1)+ (x3 +x1)(x2+ x3)=3(x1x2 +x1x3+ x2x3)+ (x2+ x2+ x2); 1 2 3

b= (x1+ x2+ x3)2+ (x1x2+ x1x3+ x2x3) =43.

Наконец, найдем $c:$

c= −(x1+x2)(x2+ x3)(x3+ x1) =−(−6 − x1)(−6 − x2)(−6 − x3).

Пусть $3 2 f(x)= x +6x + 7x+ 1.$ Из условия $f(x)= (x − x1)(x − x2)(x− x3).$ Тогда заметим, что $c =− f(−6)= 41.$

Ответ:

$a =12,b=43,c= 41$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#69234Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что многочлен $P(t)=t3− 2t2− 10t− 3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $2 2 2 2 22 u = xy z,v =x z y,w = yz x,$ где $x,y,z$ — различные корни многочлена $P (t).$

Источники: ШВБ-2023, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Первый вопрос, подсказка 1

Раз нас просят доказать существование корней, то находить их самих необязательно. Что значит существование корня с точки зрения графика? Это значит, что он пересекает ось x. (Конечно, он может и касаться его, но тогда это будет кратный корень, отсутствие которого вы можете легко проверить) Исходя из этого, какое условие нужно проверить? Возможно, вы даже знаете теорему, связанную с этим вопросом.

Первый вопрос, подсказка 2

Верно, если многочлен пересекает ось x, то значит, что до этого он принимал значение одного знака, а после корня — другого. Вам осталось только найти подходящие точки и проверить знак многочлена в них, чтобы он был различным. Тогда между этими точками и лежат различные корни. Это и есть теорема о промежуточном значении, а точнее следствие из неё.

Второй вопрос, подсказка 3

Нас просят теперь найти многочлен с корнями, которые выражаются через корни исходного. А какая теорема связывает корни многочлена и его коэффициенты?

Второй вопрос, подсказка 4

Верно, конечно это теорема Виета. Выразите сначала коэффициенты P(t) через его корни. Потом запишите теорему Виета для нового многочлена. Осталось только всё выразить в удобном виде, подставить и победа!

Показать ответ и решение

Поскольку $P(−3)=− 18< 0,$ а $P(−1)=4 >0,$ то по теореме о промежуточном значении между $− 3$ и $− 1$ есть корень этого многочлена. $P(−1)=4 >0,$ $P (0)= −3< 0,$ значит, между $− 1$ и $0$ у многочлена есть корень. $P (0)= −3< 0,$ $P(5)=22> 0,$ значит, между $0$ и $5$ у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.

Из теоремы Виета для данного многочлена имеем:

x+y +z =2, xy+ yz+ zx= −10, xyz = 3

Тогда можно через теорему Виета для $R(t)$ найти его коэффициенты:

u+ v+ w= xyz(xy+ yz+zx)= 3⋅(−10) =− 30

uv+ vw+ wu =x3y3z3(x+ y+ z)=33⋅2= 54

uvw =x5y5z5 = 35 =243

Отсюда $R(t)= t3+30t2+54t− 243.$

Ответ:

$R(t)=t3+ 30t2+ 54t− 243$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#70995Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ и $b$ , при которых уравнения $x(x2− 3x − 2)= a$ и $x(x2+$ $4x − 9)= b$ имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение $a+ b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если уравнения имеют два общих корня, то давайте попробуем воспользоваться теоремой Виета для многочлена третьей степени! Что мы еще можем сказать про разность этих уравнений?

Подсказка 2

Да, их разность имеет корни, которые равны их общим корням! И тогда, по теореме Виета: сумма этих корней равна 1. Тогда, чему равны третьи оставшиеся корни в каждом уравнении:

Подсказка 3

Да, они равны 2 и -5. Тогда, чему равна сумма a и b?

Показать ответ и решение

Пусть $x ,x,x 1 2 3$ — корни первого уравнения, $x,x ,x 1 2 4$ — корни второго (легко проверить, что третий корень также вещественный при наличии двух). Тогда из теоремы Виета заключаем

x1+x2+ x3 = 3, x1+ x2+x4 =− 4

Выпишем разность этих двух уравнений, этот квадратный трёхчлен имеет два корня $x1,x2$ , которые совпадают у кубических уравнений

2 −7- 7x − 7x= b− a ⇐⇒ x1+ x2 =− 7 =1

Но тогда получаем $x3 = 2,x4 =− 5$ , подставляем

a =2⋅(4− 6− 2)= −8, b=− 5⋅(25− 20− 9)= 20

Остаётся проверить, что при вынесении $x− x,x− x 3 4$ из первого и второго уравнения соответственно, останется одна и та же скобка $x2− x− 4$ , которая и даст два общих корня, значит, найденные $(a,b)= (−8,20)$ подходят.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#131055Максимум баллов за задание: 7

Даны различные вещественные числа $a ,a ,a 1 2 3$ и $b.$ Оказалось, что уравнение

(x− a1)(x− a2)(x− a3)= b

имеет три различных вещественных корня $c1,c2,c3.$ Найдите корни уравнения

(x+ c1)(x+ c2)(x +c3)=b.

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При работе с многочленами есть несколько инструментов — рассмотреть многочлен (x − a₁)(x − a₂)(x − a₃) − b и записать его через корни c₁, c₂, c₃, или использовать соотношения Виета для корней c₁, c₂, c₃.

Подсказка 2

Если идти первым путём: запишите (x − a₁)(x − a₂)(x − a₃) − b = (x − c₁)(x − c₂)(x − c₃). Что произойдёт, если подставить вместо x число −x?

Подсказка 3

Если идти вторым путём: запишите теорему Виета — b появляется только в свободном члене. Вспомните, что теорему Виета можно использовать и в обратную сторону.
Преобразуйте полученные равенства так, чтобы в итоге получить требуемый многочлен.

Показать ответ и решение

Первое решение. Так как многочлен

(x− a1)(x− a2)(x− a3)− b

имеет старший коэффициент $1$ и корни $c1,c2,c3,$ то

(x − a1)(x− a2)(x− a3)− b= (x− c1)(x− c2)(x− c3).

Подставим $−x$ в последнее равенство вместо $x,$ получим

(−x− a)(−x− a)(−x− a)− b= (−x− c)(− x− c)(− x− c ), 1 2 3 1 2 3

что равносильно

(x +a1)(x+ a2)(x+ a3)+ b= (x+c1)(x+ c2)(x+ c3).

Из полученного равенства получаем, что тремя корнями уравнения $b=(x+ c1)(x+ c2)(x +c3)$ являются числа $−a1,−a2,−a3.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. По теореме Виета выполняются следующие соотношения:

$pict$

Эти же равенства можно переписать следующим образом:

$pict$

из чего следует, что числа $−a1,− a2$ и $−a3$ являются корнями уравнения $(x +c1)(x+ c2)(x+c3)− b=0.$

Ответ:

$− a ,−a 1 2$ и $− a 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#39778Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму кубов корней многочлена $x3+x2− 7x+ 1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Нужно что-то доказать про корни уравнения? Отлично, давайте попробуем написать теорему Виета! Правда, известные нам выражения не являются суммой кубов..

Подсказка 2!

2) Но мы знаем все возможные произведения, которые могут быть у трех чисел, давайте попробуем выразить сумму кубов через них!

Показать ответ и решение

Проверим, что существуют все три корня, для этого посмотрим на значения данного многочлена в точках $− 4,0,1,3$

3 2 (−4) +(−4) − 7⋅(−4)+ 1= −19< 0

3 2 0 + 0 − 7⋅0+ 1= 1> 0

13+ 12− 7⋅1+1 =− 4< 0

33+32− 7⋅3+ 1= 16 >0

Тогда в силу непрерывности многочлена у него будут три корня на интервалах $(− 4;0),(0;1),(1;3).$

Пусть корни $x1$ , $x2$ и $x3$ . По теореме Виета

x1+ x2 +x3 = −1

x1x2+ x1x2+ x2x3 = −7

x1x2x3 = −1

Тогда

3 3 3 3 −1= (x1+x2 +x3) =(x1+ x2+x3)+

2 2 2 2 2 2 +3(x1x3+ x1x2+x2x3+ x1x3+ x1x2+x2x3)+6x1x2x3 =

=(x3+ x3+x3)+ 3((x + x +x )(x x + xx + x x)− 3x xx )+ 6x x x = 1 2 3 1 2 3 1 2 13 2 3 12 3 1 2 3

= (x31 +x32+ x33)+3(7+3)− 6

Итак,

x31+ x32 +x33 = −1 − 3(7+3)+ 6= −25.

Ответ:

$− 25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#39791Максимум баллов за задание: 7

Про положительные числа $a$ , $b$ , $c$ известно, что $abc= 1$ и

1 1 1 a +b+ c> a + b + c

Докажите, что ровно одно из чисел $a$ , $b$ и $c$ больше $1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Хм, заметим, что у нас выражения, про которые написана задача, очень похожи на выражения корней из теоремы Виета для кубических уравнений! Но в задаче нет уравнения, давайте его сделаем!

Подсказка 2!

2) Верно, нам подойдет уравнение (x-a)(x-b)(x-c) = 0! Посмотрим, что теперь значит наше условие в таком контексте..

Подсказка 3!

3) Оно означает, что для x>1 у нашего уравнения должна быть всего одна точка пересечения с осью абсцисс. (один корень) Попробуем это доказать!

Показать доказательство

Первое решение.

Рассмотрим многочлен

f(x)= (x− a)(x− b)(x − c)=

3 2 = x − (a+ b+c)x +(ab+ bc+ ac)x− abc=

= x3− px2+ qx− 1.

Из условия следует, что $p> q$ и все корни многочлена положительны. Тогда $f(1)= q− p <0$ , а для кубического многочлена $f(x)→ +∞$ при $x→ +∞$ , так что в силу непрерывности при $x >1$ найдутся одна или три точки пересечения $f(x)$ с осью абсцисс. Три точки найтись не могут, так как произведение корней не может быть больше единицы (по теореме Виета оно равно единице).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим неравенство

a+ b+c− (1+ 1+ 1)abc− 1+ abc>0 a b c

По условию оно верно в силу $abc =1$ . Тогда

a+ b+c− ab− ac − bc− 1+abc= (a − 1)(b− 1)(c− 1) >0

И скобки либо все положительные, либо положительная только одна. В первом случае все числа больше единицы, но это противоречит условию $abc=1$ . Значит, ровно одно число больше единицы.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#40725Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

( 1 1 1 13 |||{ x + y + z = 3 | x+ y+ z = 13 ||( xyz = 1 3

Показать ответ и решение

Из первого уравнения с учётом третьего получаем $xy+ yz+ xz = 13 3$ . Итак, нам известны сумма, произведение и попарное произведение чисел $x,y,z$ . По обратной теореме Виета если решение системы существует, то каждое из этих чисел $x$ , $y$ и $z$ является корнем уравнения $3 13 2 13 x − 3 x + 3 x− 1 =0.$

Левую часть уравнения легко разложить на множители:

13 13 13 9 1 ( 1) x3− 1− (3 x2−-3 x)= (x − 1)(x2+ x+ 1− 3-x)=(x− 1)(x2− 3x− 3(x− 3))= (x− 1) x −3 (x− 3)

Так что решением является тройка $(1;3;13)$ и её перестановки.

Ответ:

$(1;3;1) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(1;3;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#76581Максимум баллов за задание: 7

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?

Источники: Турнир городов - 2022, 11.1 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известны 2 корня и все коэффициенты в каком-то порядке! Все корни меньше единицы, но больше 0. Что тогда можно сказать про коэффициенты и их сравнения относительно друг друга?

Подсказка 2

Да, свободный член наименьший по модулю и при этом, знаки у коэффициентов чередуются! В таком случае, что можно сказать исходя из теоремы Виета?

Подсказка 3

Верно, по теореме Виета для b и d, которые мы знаем, можно найти a! А дальше уже можно найти и оставшийся корень.

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c,d$ — коэффициенты многочлена от старшего к младшему, $α,β$ — известные корни, $γ$ — неизвестный корень. Прежде всего заметим, что так как все корни между 0 и 1, то в силу теоремы Виета коэффициент $d$ — наименьший из коэффициентов по абсолютной величине.

Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная $d,$ определяем $b.$ Если найти $a,$ то определяется и $c.$ Заметим, что по Виета

−d aγ = αβ-и b= −a(α+ β+ γ)

Поэтому можно найти $a(α +β).$ Так как $α$ и $β$ известны, отсюда определяется $a.$ А значит и третий корень $γ.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#40271Максимум баллов за задание: 7

Кубический многочлен имеет три корня. Наибольшее его значение на отрезке $[4;9]$ достигается при $x =5$ , а наименьшее при $x =7$ . Найдите сумму корней многочлена.

Источники: ИТМО - 2021, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте в первую очередь обозначим наш многочлен в стандартном виде. И раз нам намекают про производную в условии, то найдём и её. Исходя из заданного условия, что мы можем сказать про нули производной?

Подсказка 2

Верно, числа 5 и 7 являются просто корнями квадратного трёхчлена, то есть нулями производной. Запишем это в виде разложения на множители. Давайте теперь вспомним, какая есть теорема, где мы знаем сумму корней многочлена через его коэффициенты?

Подсказка 3

Точно, это теорема Виета! Мы можем выразить через изначальные коэффициенты кубического многочлена сумму корней производной, а оттуда найти и нужную сумму корней.

Показать ответ и решение

Пусть многочлен имеет вид $P (x)= ax3+ bx2+ cx+ d$ , откуда его производная $P′(x)= 3ax2 +2bx+ c$ .

Так как наименьшее и наибольшее значения достигаются во внутренних точках отрезка, то по необходимому условию экстремума производная в этих точках равна нулю, так что $′ f(x)$ имеет корни $5$ и $7$ , так что можно записать $′ P (x)= 3a(x − 5)(x − 7).$

По теореме Виета сумма корней многочлена $P(x)$ равна $b − a$ , а сумма корней многочлена $′ P (x)$ равна $2b- − 3a = 5+7 =12$ , откуда находим $b − a =18$ .

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#72251Максимум баллов за задание: 7

Числа $x,y$ и $z$ удовлетворяют равенствам

xy +yz+ zx= xyz, x+y +z =1.

Какие значения может принимать сумма $x3+ y3 +z3?$ Если возможных вариантов несколько, введите их сумму.

Источники: Муницип - 2021, Челябинская область, 9.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, на что нам намекают выражения -(x+y+z), xy+yz+zx, -xyz.

Подсказка 2

По теореме Виета для кубического уравнения эти три выражения являются коэффициентами при t^2, t и свободным членом соответственно, при условии, что коэффициент при t^3 равен 1 и x, y, z являются корнями данного уравнения. Запишите такое уравнение и подумайте над значениями его корней.

Подсказка 3

Заметим, что сумма коэффициентов такого уравнения равна 0. А значит, 1 является корнем уравнения. Подставив 1 в условие вместо одного из неизвестных, получим, что оставшиеся два противоположны по знаку. Тогда чему равна сумма кубов этих трех чисел?

Показать ответ и решение

Пусть $xyz = p.$ Тогда из условия $xy+ yz+ zx$ тоже равно $p.$ Значит, по теореме Виета числа $x,y$ и $z$ — это корни многочлена $3 2 t − t+ pt− p.$ Но число $1$ является корнем такого многочлена, поэтому одно из чисел равно $1.$ Тогда два других числа противоположны, а сумма кубов всех трёх равна $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#75134Максимум баллов за задание: 7

Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n ≥2$ с рациональными коэффициентами такой, что $P(x)$ имеет $n$ различных вещественных корней, образующих арифметическую прогрессию. Докажите, что среди корней $P(x)$ есть два, являющиеся корнями некоторого квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами.

Показать доказательство

Будем доказывать, что среди корней есть два, являющиеся корнями трёхчлена с рациональными коэффициентами: можно домножить все коэффициенты на произведение знаменателей и получить искомый трёхчлен с целыми коэффициентами. Также можно считать, что старший коэффициент $P$ равен $1:$ иначе поделим на этот коэффициент, условие на новый многочлен останется прежним.

Обозначим $n$ корней многочлена как $rk = a+ kb,1≤ k≤ n.$ Далее будем записывать коэффициенты многочлена $n n−1 1 P (x)= x + q1x + ...+ qn−1x + qn$ по теореме Виета для многочленов.

Во-первых, $∑ n(n+1) − q1 = rk = na+ 2 b$ — рациональное.

Во-вторых, $2 ∑ 2 2 n(n+1)(2n+1) 2 (−q1) − 2q2 = rk =na + n(n+ 1)ab+ ----6----b$ — тоже рациональное.

Тогда $2 ( ) 2 (−-q1)-−-2q2− q1 2 = n-−-1b2 n n 12$ рациональное, откуда следует, что $b2$ рациональное.

Значит, $r1 +rn = 2a+ (n +1)b= 2q1- n$ рациональное.

Наконец, $2 2 (−q1)2−-2q2 2n2− 3n-+1-2 r1rn = a + (n +1)ab+nb = n − 6 b$ — тоже рациональное.

Таким образом, $(r1,rn)$ образуют искомую пару корней.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#95398Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x 1$ и $x 2$ — наибольшие корни многочленов $f(x)= 1− x − 4x2+ x4$ и $g(x)= 16− 8x− 16x2+x4$ соответственно. Найдите $x1 x2.$

Источники: Межвед - 2021, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам нужно найти отношение корней, то можно попробовать найти сами эти корни, либо же сравнить выражения, которые мы применяем для описания этих корней. Явно искать корни здесь не представляется возможным, а потому надо смотреть на то, что нам даёт некоторая система уравнений, их описывающая.

Подсказка 2

Можно заметить, что любое решение системы уравнений из теоремы Виета для g(x) при домножении на некоторое число становится корнями системы для f(x). Теперь несложно видеть, что это за число! Что это значит для нашей задачи?

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $g(2x)= 16f(x)$ . Тогда $x 1$ — корень $f(x)$ тогда и только тогда, когда $2x 1$ — корень $g(x)$ . Следовательно, $x1- 1 x2 = 2.$

Второе решение. Сравнение коэффициентов многочленов

2 4 2 4 f(x)=1 − x − 4x + x и g(x)=16− 8x− 16x + x

показывает, что в соответствии с формулами Виета корни многочлена $g(x)$ являются удвоенными корнями многочлена $f(x)$ . Отсюда вытекает, что $x1= 1. x2 2$

Ответ:

$0,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#121821Максимум баллов за задание: 7

Найдите все вещественные $c,$ при которых сумма девятых степеней корней уравнения $x2− x+c =0$ равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю.

Замечание: Корни могут быть комплексными.

Источники: Высшая проба - 2020, 11.3(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим квадратное уравнение, видим сумму (степеней) корней и сразу думаем о ..?

Подсказка 2

Конечно, о теореме Виета🥰. Тогда нам нужно найти возможные произведения корней. Осталось поколдовать с равенствами (например, если умножим нулевое число на что-то, то получим всё ещё ноль, и если из нуля вычтем ноль, всё ещё будет ноль. А потом и поделить на "не ноль" можем!)

Подсказка 3

Дальше поиск искомого c может пойти двумя путями: аналогичными преобразованиями или с использованием монотонности куба, сопряженных чисел и даже тригонометрических равенств!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим корни через $x1$ и $x2.$ Воспользуемся теоремой Виета, тогда задача переформулируется так: известно, что $15 15 9 9 x1 + x2 = x1+ x2 = 0$ и $x1+x2 = 1,$ найти $x1x2$ .

Для начала заметим, что $x1x2 ⁄=0,$ поскольку в противном случае одно из $x1,x2$ равно нулю, тогда $9 9 x1 +x2 = 0$ влечет, что и второе равно нулю, что противоречит $x1+x2 ⁄= 0.$

Выполним следующие преобразования:

x91+ x92 = 0

( 9 9)( 6 6) x1+x2 x1+ x2 = 0

( 9 9)( 6 6) ( 15 15) x1+x2 x1+x2 − x1 + x2 =0

96 6 9 x1x2+ x1x2 = 0

x61x62(x31+ x32)=0

c6(x31+ x32)=0

Поскольку $c⁄= 0$ имеем

x31+ x32 = 0

(1)

С другой стороны

0= x3+ x3= (x1+ x2)((x1 +x2)2− 3x1x2)=1⋅(12− 3c) 1 2

Отсюда $c= 13.$

Второе решение.

Так же как и в первом решении доказываем равенство $(1).$ Далее вместо последнего шага сделаем следующее. Заметим, что если $x1,x2$ — действительные корни, то одновременное выполнение $(1)$ и $x1+x2 ⁄=0$ невозможно из-за монотонности куба.

Если $x1,x2$ не действительные, то они сопряжены, тогда их кубы — тоже. Если сумма двух сопряжённых чисел равна нулю, то их аргументы имеют вид $π +πk, 2$ то есть до возведения в куб аргумент имел вид $1(π +πk), 3 2$ или эквивалентно $πm-, 6$ где $m∈ {1,3,5}.$ Обозначив аргумент через $r,$ имеем для трёх случаев соответственно:

π π 5π- 2cos 6r= 1, 2cos 2r= 1, 2cos 6 r=1

В первом случае $1- r = √3,$ в других невозможно, поскольку аргумент — неотрицательное число.

Получаем $2 1 c =x1x2 = r = 3.$

Ответ:

$c= 1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#73720Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 2 x +(log25+ log32+ log53)x= (log23 +log35 +log52)x + 1

Источники: ММО-2018, задача 11.1(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем всё в одну сторону и внимательно рассмотрим наше кубическое уравнение. Может ли нам как-то в данной задаче помочь теорема Виета для кубического многочлена?

Подсказка 2

По теореме Виета для кубического многочлена, коэффициент перед x² должен равняться сумме корней уравнения, взятой с минусом. О, у нас как раз в задаче сумма каких-то трех чисел перед x². Если мы предположим, что это и есть наши корни уравнения, то чему должен равняться свободный член и коэффициент перед x?

Показать ответ и решение

В обозначениях $a =log 3,b= log 5,c= log 2 2 3 5$ исходное уравнение принимает вид

3 2 x − (a +b+ c)x + (ab +bc+ ca)x− abc= 0

что равносильно уравнению $(x− a)(x− b)(x − c)= 0.$

Ответ:

$log 3,log 5,log 2 2 3 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#76054Максимум баллов за задание: 7

Даны два многочлена

4 3 2 G(x)= x +Ax +Bx +Cx +D

и $H(x)= x2+Ax + B.$ Найдите значение $G(x1)+G (x2),$ где $x1,x2$ — корни многочлена $H (x).$

Показать ответ и решение

Заметим, что если вынести $x2$ в $G(x),$ то получим

2 2 2 G (x)= x ⋅(x + Ax +B)+ Cx +D = x ⋅H(x)+Cx +D

Следовательно, условие про $G(x1)+G(x2)$ примет вид:

2 2 G (x1)+ G(x2)= (x ⋅H (x1)+ Cx1+ D)+ (x ⋅H (x2)+ Cx2+ D)

Но, по условию, $x1,x2$ корни $H(x),$ следовательно,

G(x )+G (x )= C(x +x )+ 2D 1 2 1 2

Осталось применить теорему Виета для $H(x),$ чтобы найти $x1 +x2 :$

G(x1)+ G(x2)= C(x1+ x2)+ 2D =C ⋅(− A)+2D = 2D− AC

Ответ:

$2D − AC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#39802Максимум баллов за задание: 7

Уравнение с целыми коэффициентами $x4 +ax3+ bx2+ cx+ d= 0$ имеет четыре положительных корня с учетом кратности. Найдите наименьшее возможное значение коэффициента $b$ при этих условиях.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотрите, давайте выразим коэффициенты b и d через корни многочлена по теореме Виета! Ага, мы знаем, что они точно целые и не меньше единицы, но попробуем оценить b через d используя то, что они оба - какие-то выражения от корней многочлена.

Подсказка 2

Ага, давайте попробуем оценивать вот такое выражение — b/√d, так как если его записать, с точки значения корней мы получим красивое выражение. Как бы его оценить...

Подсказка 3

Вспомните неравенство о средних и примените для этих 6 слагаемых! Получим оценку b через √d. d у нас минимум 1, попробуем с таким расчетом придумать пример для b!

Показать ответ и решение

По условию уравнение имеет корни, обозначим их $x ,x ,x ,x. 1 2 3 4$

По теореме Виета $x1x2+ x1x3+ ...+ x3x4 =b$ и $x1x2x3x4 = d.$ Корни положительны, так что $b≥ 1,d≥ 1$ (коэффициенты целые). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

x1x2+ x1x3 +...+ x3x4 6∘--------- √ - b=6---------6---------≥ 6 (x1x2x3x4)3 =6 d≥ 6

В неравенстве достигается равенство ( $b= 6$ ) для уравнения $(x − 1)4 = 0 ⇐ ⇒ x4 − 4x3+ 6x2 − 4x+ 1= 0.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#80971Максимум баллов за задание: 7

Уравнение

n n−1 n−2 x +a1x + a2x +...+ an−1x+ an = 0

с целыми ненулевыми коэффициентами $a1,a2,...,an$ имеет $n$ различных целых корней. Докажите, что если любые два корня взаимно просты, то и числа $an−1$ и $an$ взаимно просты.

Источники: Всеросс., 2004, РЭ, 10.5(см. math.ru)

Показать доказательство

По теореме Виета $|a | n−1$ равен модулю суммы всевозможных произведений $n − 1$ чисел из наборов $x ,x ,...,x, 1 2 n$ а $|a | n$ равен модулю произведения всех корней. Покажем, что $|an−1|$ не делится на $xi.$ Для этого заметим, что $|an−1|=$ $|x2x3...xn$ $+$ $x1x3x4...xn+$ $...+x1x2...xi−1xi+1xi+2...xn$ $+$ $...+ x1x2...xn−1|≡$ $|x1x2...xi−1xi+1xi+2...xn| (mod xi).$ По условию все корни взаимно просты, отсюда и следует, что $|an−1|$ не делится ни на один из корней, но тогда он не имеет общих множителей с $|an|,$ что и требовалось.

Предыдущая подтема

Следующая подтема