Тема АЛГЕБРА

Многочлены → .02 Теорема Виета для многочленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Многочлены

Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Теорема Виета для многочленов

Корни многочленов

Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Симметрические многочлены

Применение производной в многочленах

Многочлены над конечным полем

Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126306

Многочлен $P(x)=x3 +ax2+ bx2+ c$ имеет три корня, равные попарным суммам корней многочлена $Q (x)= x3+ 2x2− 3x− 1.$ Найти $a,b,c.$

Источники: Росатом - 2025, 10.2 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о корнях многочлена Q(x)?

Подсказка 2

Он имеет три корня, причем некоторые могут быть комплексными или совпадать. Аналогично для P(x). Какие Вы знаете факты о корнях многочленов?

Подсказка 3

Воспользуйтесь теоремой Виета.

Показать ответ и решение

Так как многочлен $Q(x)$ степени три, то по основной теореме алгебры он имеет ровно три корня, причем некоторые из них могут оказаться комплексными или могут совпадать. Аналогично, так как многочлен $P(x)$ степени три, то он имеет ровно три корня. Обозначим символами $q1,q2,q3$ корни многочлена $Q(x),$ символами $p1,p2,p3$ — корни многочлена $P(x).$ Тогда по теореме Виета

( ( |{ q1 +q2+ q3 =− 2 |{ p1+p2+ p3 = −a |( q1q2+q2q3+ q1q3 = −3 |( p1p2 +p2p3+p1p3 = b q1q2q3 = 1 p1p2p3 = −c

Согласно условию,

p1 =q2+ q3,p2 = q1+q3,p3 =q1+ q2

Тогда, подставив выражения для $p1,$ $p2$ и $p3$ через $q1,$ $q2$ и $q3$ в выражения для $a,$ получим значение:

a= − (p1+ p2 +p3)= −2(q1+ q2+q3)= −2(− 2)=4

Аналогично получаем значение $b$ :

b= p1p2 +p2p3+p1p3 = (q2+ q3)(q1+q3)+ (q1+ q3)(q1 +q2)+(q2+q3)(q1+ q3) =

=(q + 2)(q +2)+ (q + 2)(q + 2)+(q +2)(q+ 2)= 1 2 2 3 1 3

= q1q2 +q2q3 +q1q3 +4(q1+q2+ q3)+ 12= −3+ 4(− 2)+ 12= 1

Значение $c$ :

c =− p1p2p3 = (q1+ 2)(q2+ 2)(q3+2)=

= q1q2q3 +2(q1q2+ q2q3+ q1q3)+ 4(q1+ q2+q3)+8 =

= 1+2(−3)+ 4(−2)+ 8= 1− 6 − 8+ 8= −5

Oтвет: $a= 4,b =1,c= −5.$

Ответ:

$a =4,b= 1,c= −5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127228

Пусть $a,b,c$ — корни многочлена $P (x)= x3+ x2− 2x− 1.$ Найдите $a2b2+ a2c2+ b2c2.$

Источники: ШВБ - 2025, 10.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько действительных корней будет иметь многочлен P(x)?

Подсказка 2

Можно доказать, что 3, рассмотрев его положительность и отрицательность в разных точках.

Подсказка 3

Если a, b и c — корни P(x), как можно попробовать получить a²b² + b²c² + a²c²?

Подсказка 4

Попробуйте рассмотреть многочлен P(x) ⋅ (-P(-x)).

Подсказка 5

Корнями этого многочлена относительно x² будут a², b² и c². Получите желаемую сумму через теорему Виета.

Показать ответ и решение

Заметим, что

P(−10)<0, P(− 1)>0, P (0)< 0, P(10)> 0

Следовательно, многочлен $P(x)$ имеет 3 действительных корня.

3 2 3 2 P(x)⋅(−P(−x))=(x + x − 2x − 1)(x − x − 2x +1)=

=(x3− 2x +x2− 1)(x3− 2x− x2+ 1)= (x3− 2x)2 − (x2− 1)2 =

=x6− 5x4+ 6x2− 1= Q(x2)

Многочлен

Q (y)= y3− 5y2+ 6y− 1

имеет корни $a2,$ $b2$ и $c2.$ По теореме Виета

a2b2+a2c2+ b2c2 = 6

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127864

Уравнение $x3 = px +q$ имеет три различных корня, два из которых $x 1$ и $x . 2$ Докажите, что $x2+x x + x2= p. 1 1 2 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Какое утверждение помогает выразить значение полиновов, зависящих от корней многочлена, через коэффициенты последнего?

Подсказка 2.

Какие условия на корни можно записать, используя теорему Виета?

Подсказка 3.

Пусть x₃ — третий корень. Тогда по теореме Виета:

Показать доказательство

По теореме Виета:

x1+ x2 +x3 = 0, x1x2+ x2x3+ x3x1 = −p.

Так как $x3 = −x1− x2,$ получаем

x1x2 +x2(−x1− x2)+ (− x1− x2)x1 = −p.

Тогда

−x2− x2− x1x2 =− p, 1 2

что равносильно требуемому.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#128012

Уравнение $x3+px+ q = 0$ имеет три корня $x , 1$ $x , 2$ $x . 3$ Составьте уравнение, корнями которого будут числа $x2, 1$ $x2, 2$ $2 x3.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения $x3 +px+ q = 0$ имеем:

x1+x2+ x3 = 0, x1x2+x2x3+ x3x1 =p, x1x2x3 = −q.

Теперь составим уравнение, корнями которого будут $x2,x2,x2. 1 2 3$ Его вид будет:

3 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 y − (x1 +x2+ x3)y + (x1x2+ x2x3 +x3x1)y − x1x2x3 =0.

Найдем эти коэффициенты. Сумма корней $x21+ x22+ x23$ равна:

x2+ x2+ x2 =(x1+ x2+x3)2− 2(x1x2+x2x3+ x3x1)= 0− 2p =− 2p. 1 2 3

Сумма произведений корней попарно $x21x22+x22x23+ x23x21$ равна:

x21x22+ x22x23+ x23x21 = (x1x2+ x2x3+ x3x1)2− 2x1x2x3(x1+ x2+ x3) =p2− 2q⋅0= p2.

Произведение всех корней $x21x22x23$ равно:

x21x22x23 =(x1x2x3)2 = (− q)2 = q2.

Итак, искомое уравнение:

y3+ 2py2 +p2y− q2 =0.

Ответ:

$y3+ 2py2 +p2y− q2 =0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#128014

Даны попарно различные $a,$ $b,$ $c.$ Решите систему уравнений:

(| 2 3 ||{ x+ ay +a z = a, || x+ by+ b2z =b3, |( x+ cy+ c2z = c3.

Показать ответ и решение

Рассмотрим кубическое уравнение

3 2 t − t z− ty− x= 0.

Из условия системы

(|| x+ ay +a2z = a3, |{ 2 3 ||| x+ by+ b z =b , ( x+ cy+ c2z = c3,

следует, что $a,$ $b,$ $c$ являются корнями этого уравнения.

Тогда по теореме Виета имеем:

z =a+ b+ c, y = −ab− bc− ca, x= abc.

Ответ:

$z =a+ b+ c;$ $y = −ab− bc− ca;$ $x =abc$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#128016

Известно, что

x+ y+z =a

1 1 1 1 x + y +z = a.

Докажите, что хотя бы одно из чисел $x,$ $y$ и $z$ равно $a.$

Показать доказательство

Запишем

1 1 1 xy+-yz+zx- 1 x + y + z = xyz = a.

Отсюда получаем

xy+ yz+zx = xyz. a

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются $x,y,z$ :

(t− x)(t− y)(t− z)= t3− at2 +qt− r,

где по теореме Виета

x+y +z =a, xy +yz+ zx= q, xyz = r

Из условия имеем $r q = a.$ Тогда многочлен принимает вид $r t3− at2 +at− r.$

Покажем, что $t=a$ — корень. Подставим:

a3 − a⋅a2+ r ⋅a − r= a3− a3+r − r= 0. a

Значит, $t=a$ действительно является корнем многочлена. Это значит, что хотя бы одно из чисел $x,y,z$ равно $a.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#82696

Докажите, что если действительные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

1 1 1 ---1--- a + b + c = a +b+ c

то сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x + q = (x − t)(x+ t),$ где $√--- t= −q.$

Не умаляя общности, $a= t,b =−t,c= −p.$ В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#86093

Известно, что числа $a,b,c,ab + ac + bc c b a$ — целые. Обязательно ли являются целыми все три числа

abac bc c , b ,a ?

Источники: Бельчонок - 2024, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для доказательства этого воспользуемся неочевидным инструментом - симметрическими многочленами. Логика в том, что наши выражения точно рациональны, и при этом, мы знаем такой факт, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами имеет корень p/q (в несократимой записи), то старший коэффициент делится на q. Значит, в идеале, нам хотелось бы придумать многочлен, с целыми коэффициентами, корнями, равным нашим выражениям. Какое условие мы забыли, с учетом леммы выше?

Подсказка 2

Мы забыли условие на то, что у нас свободный член должен быть равен 1, если мы хотим целые корни нашему уравнению, ведь тогда знаменатель q = 1. Ну а какое самое простое уравнение с нашими выражениями в виде корней мы знаем? Верно, просто кубический многочлен с такими корнями. Остается проверить, что он имеет целый коэффициенты.

Подсказка 3

Коэффициенты нашего многочлена будут -(ab / c + bc / a + ca / b), (a^2 + b^2 + c^2), -abc. И да, эти коэффициенты целые, а также старший коэффициент равен 1, а значит, наши выражения — целые.

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа $ab,ac,bc c b a$ . По условию их сумма целая, их произведение равно $abc$ — целое, сумма их попарных произведений равна $2 2 2 a + b +c$ — целая. Значит, мы можем составить приведённый многочлен с целыми коэффициентами и корнями $ab ac bc -c ,-b ,a$ :

ab ac bc ab bc ac P(x)=x3− (c-+ b-+ a)x2+ (a2+ b2+c2)x− abc= (x− c )(x− a)(x− b-)

Осталось заметить, что корни рациональны как отношения целых чисел. Если целочисленный многочлен имеет рациональный корень $pq,(p,q)=1$ , то его старший коэффициент делится на $q$ . Поскольку наш многочлен приведённый, корни являются целыми.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88065

Известно, что система уравнений

{ 3x2+ 6y2 − x− y = 6 −3y2+ 6xy− x +2y = 2

имеет ровно четыре решения $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)$ . Найдите сумму

x + y +x + y +x +y + x +y 1 1 2 2 3 3 4 4

Ответ округлите до десятых.

Источники: Межвед - 2024, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Непонятно как искать эти решения, поэтому посмотрим под другим углом на то, что требуется найти. Пусть мы ищем сумму x и сумму y. На что тогда это похоже?

Подсказка 2

Это же теорема Виета для уравнения 4 степени! Тогда нужно из системы выразить уравнение 4 степени для x и y.

Подсказка 3

Из второго уравнения легко выражается x, который можно подставить в первое и получить уравнение 4 степени для y.

Подсказка 4

Сумму для y нашли, а как же найти сумму для x? Нам мешает y^2 в обоих уравнениях. Тогда путем умножения на константу и сложения избавимся от y^2. Тогда остается выразить y через x, подставить y и получить уравнение 4 степени для x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы

2 −3y +6xy− x+ 2y = 2

2 (6y− 1)x =3y − 2y+ 2

Заметим, что $y = 1 6$ не является решением, тогда

x = 3y2−-2y+-2 6y− 1

Поставим $x$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени относительно $y$

(3y2− 2y+2 )2 3y2− 2y +2 3 ---6y-− 1- +6y2− --6y−-1-- − y =6

3(3y2 − 2y+ 2)2− (3y2− 2y+ 2)(6y− 1)+ (6y2− y− 6)(6y− 1)2 = 0

(27y4− 36y3+ 48y2− 24y+12)− (18y3− 15y2+ 14y − 2)+ (216y4− 108y3− 198y2+71y− 6)= 0

243y4− 162y3− 135y2+33y+ 8= 0

Заметим, что раз $(x1,y1),$ $(x2,y2),$ $(x3,y3),$ $(x4,y4)$ — решения системы, то $y1,$ $y2,$ $y3,$ $y4$ будут корнями данного уравнения, причём различными, иначе бы какие-то решения системы совпали в силу выражения $x$ через $y.$ Т.к. многочлен 4-ой степени может иметь не более 4 корней, значит, других не будет. Тогда по теореме Виета

162 2 y1+ y2 +y3+ y4 = 243-= 3

Теперь возьмём второе уравнение системы, удвоим его и сложим с первым уравнением, получим

2 3x − 3x +3y+ 12xy =10

(3+ 12x)y = (10+ 3x− 3x2)

Заметим, что $x= − 1 4$ не является решением, тогда

y = 10+-3x-− 3x2 3+ 12x

Подставим $y$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени теперь относительно $x:$

2 ( 10+ 3x − 3x2)2 10+ 3x − 3x2 3x +6 --3+-12x-- − x− --3+-12x-- =6

6(10+3x − 3x2)2− (10+3x− 3x2)(3+ 12x)+ (3x2− x− 6)(3+ 12x)2 = 0

(54x4− 108x3− 306x2+ 360x+ 600)− (−36x3 +27x2+ 129x+ 30)+

+ (432x4+ 72x3− 909x2− 441x − 54)= 0

486x4− 1242x2− 210x+ 516= 0

Аналогично случаю с $y$ по теореме Виета

x1+x2+ x3+ x4 = 0

В итоге

2 x1+ y1+x2+ y2+ x3+y3+ x4+ y4 = 3 ≈ 0,7

Ответ: 0.7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89613

Найдите сумму квадратов корней многочлена $x3+ x2− 7x+ 1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Обозначим корни уравнения за x₁, x₂ и x₃. Значения каких выражений, зависящих от этих корней, нам известны?

Подсказка 2.

По теореме Виета можно найти следущие величины: x₁ + x₂ + x₃, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃, x₁x₂x₃. Наконец, попробуйте выразить сумму квадратов x₁² + x₂² + x₃² через первые два выражения.

Показать ответ и решение

Проверим, что существуют все три корня, для этого посмотрим на значения данного многочлена в точках $− 4,0,1,3$

3 2 (−4) +(−4) − 7⋅(−4)+ 1= −19< 0

3 2 0 + 0 − 7⋅0+ 1= 1> 0

13+ 12− 7⋅1+1 =− 4< 0

33+32− 7⋅3+ 1= 16 >0

Тогда в силу непрерывности многочлена у него будут три корня на интервалах $(− 4;0),(0;1),(1;3).$

Обозначим корни за $x1,x2,x3,$ тогда по теореме Виета для кубического многочлена

( |{ x1+ x2 +x3 = −1 | x1x2 +x1x3+ x2x3 =−7 ( x1x2x3 = −1

Выразим сумму квадратов корней следующим образом

x21+ x22+ x23 =x21 +x22+ x23+ 2(x1x2+x1x3+ x2x3)− 2(x1x2+ x1x3+ x2x3)=

= (x1+ x2+ x3)2− 2(x1x2+ x1x3+ x2x3)

Подставив известные значения, получим

2 2 2 2 x1+ x2+ x3 =(−1) − 2⋅(−7)= 15

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89614

Многочлен $x4+ ax3 +2x2+ 3x +4$ имеет корень, равный 1. Найдите сумму кубов остальных его корней.

Показать ответ и решение

Пусть $P(x)= x4+ ax3+ 2x2+ 3x +4.$ Из условия следует, что $P(1)= 0.$ Запишем это равенство по-другому.

4 3 2 P(1)=1 + a⋅1 + 2⋅1+ 3⋅1+ 4= a+ 10 =⇒ a+ 10= 0 =⇒ a =−10

Так как $x0 = 1$ корень $P(x),$ разложим его.

3 2 P(x)= (x − 1)(x − 9x − 7x − 4)

Для второго множителя запишем теорему Виета.

(|{ x1+ x2 +x3 = 9 x1x2 +x1x3+ x2x3 =−7 |( x1x2x3 = 4

С помощью вышенаписанных выражений запишем $x31+ x32+x33.$

(x1+ x2+ x3)3 = x31+ x32 +x33+ 3x21x2 +3x21x3+3x22x1+ 3x22x3+ 3x33x1+ 3x23x2 +6x1x2x3 =⇒

x31 +x32+ x33 = (x1 +x2+ x3)3− 3(x1+ x2+ x3)(x1x2+ x1x3+x2x3)+3(x1x2x3)=

x31+x32+ x33 = 93− 3⋅9⋅(−7)+ 3⋅4= 930

Ответ: 930

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89615

Докажите, что сумма кубов трех корней уравнения $x3 +px+ q = 0$ с целыми коэффициентами есть целое число, делящееся на $3$ .

Показать ответ и решение

По теореме Виета для кубического уравнения имеем:

(| x + x +x = −1 { x1x 2+x x3+ xx =−7 |( 12 1 3 23 x1x2x3 = −1

Выразим $x2+x2 +x2 1 2 3$ через вышенаписанные выражения.

2 2 2 2 x1+ x2+ x3 =(x1+ x2+x3) − 2(x1x2+x1x3+ x2x3)

Подставляя значения, получаем:

x2+ x2+ x2=(−1)2− 2⋅(−7)= 15 1 2 3

Проверим, что существует все $3$ корня. Рассмотрим $f(x)= x3+ x2− 7x +1,$ а также $f(−10), f(0), f(1), f(10).$

(a) $f(− 10)= −19,$ то есть график $f(x)$ находиться ниже $Ox.$

(b) $f(0)= 1,$ то есть график $f(x)$ находиться выше $Ox.$ Это значит, что график пересек $Ox$ и один корень имеется.

(d) $f(10)= 41,$ то есть график $f(x)$ находиться выше $Ox.$ Это значит, что график пересек $Ox$ и третий корень имеется.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89616

Пусть $a$ , $b$ и $c$ — вещественные числа. Известно, что $abc= 1$ , $a+ b+c = 1+ 1+ 1 a b c$ . Докажите, что одно из чисел равно 1.

Показать доказательство

Подставим $abc$ вместо $1$ во второе условие и получим следующее:

a+ b+ c=ab+ ac+ bc

Рассмотрим $P(x)= (x− a)(x− b)(x− c)=x3+ nx2+ kx+ l.$ Если у этого многочлена будет корень $1,$ то одно из чисел $a,b,c$ будет равняться $1.$ Запишем теорему Виета для $P(x):$

(|{ l= −abc=− 1 k= ab+ ac+bc |( n =− (a+ b+ c)

Учитывая, что $a+ b+ c=ab+ ac+ bc,$ получаем следующее:

P(x)= x3 − kx2+ kx− 1= (x− 1)(x2+ x− k+ 1)

Таким образом, доказали, что есть корень $1,$ следовательно, одно из чисел $a,b,c$ равняется $1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89617

Известно, что целые числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют равенству $a +b+ c= 0$ . Докажите, что $2a4+ 2b4+ 2c4$ — квадрат целого числа.

Показать доказательство

Требуется доказать, что $2(a4+ b4+c4)= t2.$ Рассмотрим $P(x)= (x− a)(x− b)(x− c)= x3+ tx2+ kx− n.$ Запишем теорему Виета для $P (x):$

( t= −(a +b+ c)=0 |{ |( k= ab+ac+ bc abc =n

Запишем через данные многочлены $a2+b2+ c2.$

2 2 2 2 a + b +c = (a+b+ c) − 2(ab +ac+ bc)= −2k

a2 +b2+ c2 =− 2k

Выразим $a4+b4+ c4 :$

a4+b4+ c4 = (a2+ b2 +c2)2 − 2(a2b2+ a2c2+ b2c2)= (−2k)2− 2(ab+ ac+ bc)2+ 4abc(a+b+ c)= 4k2− 2k2 = 2k2

Тогда получили, что $2(a4+ b4 +c4)=2 ⋅2k2 = (2k)2,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#92366

Многочлен $f(x)= x4− 12x3 +ax2+ bx +81$ с действительными $a$ и $b$ допускает разложение

f(x)=(x− c1)(x− c2)(x− c3)(x− c4)

с некоторыми положительными $c1,c2,c3,c4$ . Найдите все возможные значения $f(5)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что нам нужная какая-то ещё информация о коэффициентах и/или корнях. Какие красивые теоремы мы знаем о корнях многочлена?

Подсказка 2

Теорема Виета существует не только для квадратных трёчхленов! Если вы не помните её точную формулировку, то можно аккуратно раскрыть скобочки в разложении.

Подсказка 3

Итак, мы знаем точно чему числено равны сумма и произведение корней. А как ещё мы можем сравнить эти же выражения?

Подсказка 4

Из суммы можно красиво сделать среднее арифметическое, а из произведения – среднее геометрическое. В каком случае они равны?

Подсказка 5

Неравенство о средних говорит нам о том, что среднее арифметическое может быть равно среднему геометрическому только если равны все члены последовательности. Вот мы и установили корни!

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

По обобщенной теореме Виета получаем $c1+ c2 +c3+ c4 =12$ и $c1c2c3c4 = 81.$ Тогда получаем, что

c1 +c2+ c3+ c4 √ ------ -----4------= 4 c1c2c3c4

По неравенству о средних мы знаем, что равенство в таком неравенстве достигается только при $c1 = c2 =c3 = c4 = 124-= 3.$ Тогда получаем

f(5) =(5− 3)4 = 24 = 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#101458

Вещественные числа $a,$ $b,$ $c$ таковы, что $a+b+ c> 0,$ $ab+bc+ ca >0,$ $abc> 0$ . Докажите, что $a,$ $b,$ $c> 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим a+b+c = p, ab + bc + ac = q, abc = r. Какой многочлен надо рассмотреть, чтоб у него были корни a,b,c (Напишите его через p,q,r) ?

Подсказка 2

Правильно, P(x) = x^3 -px^2 + qx - r имеет по теореме Виета корни a,b,c. Попробуйте в этот многочлен подставить неположительное число и понять, может ли оно быть корнем.

Показать доказательство

Пусть $a+ b+ c= p,$ $ab+ bc+ca= q,$ $abc=r,$ для некоторых положительных $p,q,r.$ Рассмотрим многочлен

3 2 P (x)= x − px +qx− r

В силу теоремы Виета, числа $a,b,c$ являются корнями данного многочлена. Осталось заметить, что в случае, если $x0$ неположительно, то каждое слагаемое суммы

3 2 x0− px0+ qx0− r

неположительно, а последнее отрицательно, то есть $P(x0)< 0,$ следовательно, никакое неположительное число не может являться корнем $P(x).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#104605

Попарно различные числа $x,y,z$ таковы, что $x3− 3x= y3− 3y =z3− 3z.$ Найдите $x2 +y2+ z2.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x,y,z$ являются корнями уравнения $t3 − 3t= a$ для некоторого $a.$ Поскольку этих корней не больше трех, а числа $x,y,z$ попарно различны, то это все его корни. По теореме Виета для кубических многочленов имеем $x+ y+ z = 0$ и $xy +yz+ zx= −3.$ Возводим первое равенство в квадрат и получаем $2 2 2 x + y +z + 2(xy+ yz+ zx)= 0,$ откуда (после подстановки второго равенства) получаем $2 2 2 x +y + z = 6.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124302

Целые числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что числа $a+ b+ c b c a$ и $-b+ c+ a a b c$ тоже целые. Докажите, что $|a|= |b|= |c|.$

Показать доказательство

Пусть

a b c x = b, y =c, z = a,

тогда $xyz = 1$ и число

a c b xy+ yz+zx =-c + b + a

является целым. Рассмотрим многочлен

P(t)= t3 − (x+ y+ y)t2+(xy+ yz+zx)t− xyz.

Все коэффициенты $P (t)$ — целые, а поскольку он приведённый, все его рациональные корни — целые. Согласно обратной теореме Виета, $x,y,z$ — корни этого многочлена, то есть $x,y,z$ — целые, но $xyz = 1$ , так что $x= ±1,y = ±1,z =±1,$ следовательно, $|a|= |b|= |c|.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#62509

Какие значения может принимать выражение $x2+ x x +x2 1 1 2 2$ , где $x 1$ и $x 2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $3 x − 2015x+ 2016 =0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить корни x₁ и x₂ в наше уравнение, что можно получить из такой подстановки?

Подсказка 2

Да, при их подстановке уравнение равно нулю, поэтому мы можем выразить разность кубов x₁ и x₂, то есть x₁³ - x₂³. А что мы получим у правой части?

Подсказка 3

Да, в правой части мы можем вынести за скобки 2015. Тогда, вспомним формулу разности кубов! Чему равно выражение, которое нас просят найти?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как $3 x1− 2015x1+ 2016= 0$ и $3 x2− 2015x2+ 2016= 0$ , то $3 3 x1− x2 =2015⋅(x1 − x2)$ . Значит, $2 2 x1+x1x2+ x2 = 2015$ (делим на $x1− x2 ⁄= 0$ ).

Второе решение.

По теореме Виета (которая не гарантирует существование вещественных корней, но по условию уже сказали про существование двух из них, откуда следует и существование третьего, ведь кубический многочлен может иметь только один или три вещественных корня): $x1+ x2+ x3 =0,x1x2x3 =− 2016$ . Поэтому

2016 x21+ x1x2+x22 =(x1+ x2)2− x1x2 =(−x3)2 +-x3-= x33+2016 2015x3 = --x3---= --x3- = 2015.

Ответ:

2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#67573

Докажите, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

1 1 1 1 a +-b + c = a+-b+-c,

то для любого нечётного числа $n$ верно

1n + 1n +-1n =---1---n. a b c (a+ b+ c)

Показать доказательство

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Тогда для некоторого $p ∈{a,b,c}$ верно $(a +b+ c)n =pn$ и $1an-+ 1bn-+ 1cn-= 1pn.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа