Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .06 Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#49600Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a − 2 log4x +3ax+ 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока у нас есть логарифмы нам не очень удобно работать. Давайте заметим, что 2log₄x=log₂x, поэтому нам нужно решить уравнение вида log₂a=log₂b ⇒ a=b. Тогда у нас остается квадратное уравнение относительно x. Нельзя ли у него угадать корни?

Подсказка 2

Давайте преобразуем наше уравнение: x²+(1-a)x-2a(1+a). Тогда из теоремы Виета нетрудно заметить корни -(1+a) и 2a. Сумма их квадратов равна 5a²+2a+1. Нам нужно, чтобы она была больше 4. Какие решения нам это дает?

Подсказка 3

Верно, a < -1 и a > 3/5! Кажется, что мы уже решили нашу задачу, но мы забыли учесть ОДЗ логарифма. Подставьте наши корни -(1+a) и 2a в уравнение x²+3ax+2a² и найдите a, при которых эти значения будут больше 0!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a = log2x +3ax+ 2a

2 2 2 2 2 2x + (2a +1)x− 2a =x + 3ax+ 2a ⇐ ⇒ x + (1− a)x− 2a− 2a = 0 ⇐⇒

(x+a +1)(x − 2a)= 0 ⇐⇒ x= 2a,x= −a − 1

Чтобы корни были различны, нужно $2a⁄= −a− 1 ⇐⇒ a⁄= − 13$ . Условие на сумму их квадратов

4a2+ a2+2a+ 1= 5a2+2a +1> 4 ⇐⇒ 5a2+2a− 3> 0 ⇐⇒ (a+1)(5a − 3)> 0

То есть $a< −1$ или $a> 35$ . Остаётся учесть ОДЗ. В силу равенства логарифмов достаточно написать условие на положительность только для одного из аргументов (проверить, что для решений $2a,− a− 1$ оно положительно)

(2a)2+ 3a⋅2a+2a2 > 0 ⇐⇒ a⁄= 0

(a+ 1)2− 3a(a+1)+ 2a2 = −a+ 1> 0 ⇐ ⇒ a < 1

В итоге $3 a∈ (−∞, −1)∪(5,1).$

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(3;1) 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#106820Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ log (ax)=2log (x+ y), 3−|x x−1=|∘x2-−-6x-+|xy−1+|8-

имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$ .

Показать ответ и решение

Второе уравнение равносильно системе

{ x≤ 3, x2− 6x+y +8 =x2− 6x+ 9.

Следовательно, можем подставить $y = 1$ в исходную систему, учесть ограничения и получить равносильную систему:

(|{ x2+ (2− a)x+ 1= 0, y = 1, |( −1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2.

Выясним, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x2+(2− a)x +1= 0(∗)$ имеет единственное решение, если $− 1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ .

1) $D= a(a− 4),D= a(a− 4),x= a−22$ . При $a =0$ корень $x =− 1$ не подходит; при $a =4$ корень $x =1$ не подходит.

2) Выясним, при каких $a$ точки $x= 0,x =1,x= 2$ являются решениями уравнения (*).

$x= 0$ не является решением ни при каком $a$ ;

$x= 1$ является единственным решением уравнения $(∗)$ при $a =4$ ;

∗ x= 2 является решением ( ) при a= 4,5,

поскольку при подстановке $x = 2$ в уравнение (*) имеем $22+(2− a)2 +1= 0,2a= 9$ . Однако, при $a= 4,5$ уравнение (*) имеет второе решение $x= 0,5$ , удовлетворяющее поставленным условиям.

Следовательно, при $a= 4,5$ система имеет единственное решение $x= 0,5,y = 1$ .

3) Если дискриминант уравнения (*) больше нуля, то уравнение имеет два различных решения, но при условии $f(− 1)f(3)< 0$ , где $f(x)= x2 +(2− a)x+ 1$ , один корень будет посторонним, а один будет удовлетворять неравенству $− 1< x< 3$ . Имеем $f(−1)= a,f(3)=16− 3a$ , приходим к неравенству $a(16− 3a)< 0$ , и $a∈ (− ∞;0)∪(16∕3;+∞ )$ .

Если $a∈ (−∞; 0)$ , то

√ ------ x= a−-2+--a2− 4a 2

Если $a∈ (16∕3;+∞ )$ , то $√----- x= a−2−-a2−4a- 2$ .

4) Проверим случаи, когда $f(−1)= 0$ и $f(3)= 0$ . Первое равенство выполняется при $a =0$ , уравнение (*) не имеет решений, удовлетворяющих поставленным условиям. Второе равенство справедливо при $a= 16∕3$ . В этом случае уравнение (*) имеет вид $x2+ 10x+ 1= 0 3$ , и имеет два решения $x= 1∕3$ и $x =3$ , которые оба подходят.

Ответ:

$(1;1) 2$ при $a= 9 2$

$a−2+√a2−4a ( 2 ;1)$ при $a∈ (−∞; 0)$

$a−2−√a2−4a ( 2 ;1)$ при $(16 ) a∈ 3 ;+∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#90122Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых неравенство

alog3x+ log1∕2x >1

имеет решения, причем среди решений нет больших $1.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть выглядит немного громоздко, поэтому давайте попробуем преобразовать её. Вспомним формулу перехода к новому основанию и вынесем общую часть.

Подсказка 2

Один из множителей содержит скобку a - log₂3. Давайте разберём три случая для значений a, когда эта скобка равна нулю, меньше или больше нуля, и решим задачу.

Показать ответ и решение

С использованием равенства $log x= − log 3⋅log x 1∕2 2 3$ из свойств логарифмов получаем, что

log3x ⋅(a− log23)> 1

Если $a= log 3 2$ , то решений нет.

Если $a> log 3 2$ , то решение

a−lo1g-3 x >3 2 > 1

Если $a< log23$ , то решение

0< x< 3a−1log23-<1

Ответ:

$(−∞;log 3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#73597Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых среди решений уравнения

( 4 3 2 ) 3 2 a + 2014a + 2014a + 2014a+ 2013 x= a + 3a − 6a− 8

есть неотрицательные числа.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что при фиксированных а наше уравнение почти всегда линейно относительно x. Тогда давайте для начала посмотрим, когда коэффициент при x будет равняться 0...

Подсказка 2

Для этого нам нужно разложить многочлен от a на множители. Видно, что -1 будет его корнем. После вынесения (a+1) остается множитель a³+2013a²+a+2013. Видно, что (a+2013) можно вынести. Какие тогда корни имеет наш многочлен?

Подсказка 3

Верно, -1 и -2013! Давайте пока что разберемся со случаем a≠-1, -2013. Тогда можно смело поделить обе части на многочлен при x. В итоге справа получается выражение (a³+3a²-6a-8)/(a+1)(a²+1)(a+2013). Хочется понять, когда эта штука меньше 0. Для этого, наверное, придется разложить числитель на множители...

Подсказка 4

Какое совпадение, -1 также является корнем числителя! Попробуйте подобрать остальные корни и разберитесь со случаями -1 и -2013!

Показать ответ и решение

Попробуем разложить $a4+ 2014a3+ 2014a2+ 2014a+ 2013.$ Заметим, что $a= −1$ корень данного выражения, значит, можно вынести $a+ 1.$

(4 3 2 ) 3 2 a + 2014a + 2014a + 2014a+ 2013 = (a+ 1)(a +2013a + a+ 2013).

Второй множитель раскладывается на $(a2 +1)(a+ 2013).$ Тогда

( 4 3 2 ) 2 a +2014a +2014a +2014a +2013 =(a+ 1)(a + 1)(a+ 2013).

Попробуем разложить правую часть:

3 2 3 2 a + 3a − 6a− 8= (a − 8)+3a(a− 2) =(a− 2)(a +5a+ 4)= (a − 2)(a+ 1)(a+ 4).

Таким образом получили уравнение, которые можно анализировать:

(a+ 1)(a2+ 1)(a+2013)x =(a− 2)(a+ 1)(a+ 4).

Разберём случаи:

1) $a= −1$ , то уравнение принимает вид $0 ⋅x = 0.$ Тогда $x$ любой, в частности неотрицательный. $a= −1$ - решение.

2) $a = −2013$ , то уравнение принимает вид $0⋅x= −2015 ⋅2012⋅2009.$ Такое уравнение не имеет корней. Значит, данное значение $a$ не подходит.

3) $a⁄= −1, a⁄= −2013$ , то уравнение можно переписать в таком виде:

x= --(2a− 2)(a-+4)-. (a + 1)(a+2013)

Остаётся найти все те значения a, при которых выполнено неравенство

x= -(a−-2)(a+-4)--≥0. (a2+ 1)(a+ 2013)

По методу интервалов получаем $(−2013;−4]∪[2;+ ∞).$

Объединяя с предыдущими ответами получаем ответ $(−2013;−4]∪{−1}∪ [2;+∞).$

Ответ:

$(−2013;−4]∪{−1}∪ [2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#70996Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметров $a,b,c$ множество решений уравнения

5 4 2 x +2x + ax +bx+ c= 0

состоит в точности из чисел $1$ и $− 1?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия мы сразу же узнаем, что числа 1 и -1 – решения уравнения. Воспользуемся этим фактом самым очевидным образом – подставим 1 и -1 в уравнение вместо переменной.

Подсказка 2

Из полученной системы находим значение b и то, каким образом выражается c через a. Мы нашли условия, при которых 1 и -1 – это решения, теперь нужно проверить, чтобы не было других решений.

Подсказка 3

Мы выяснили, что 1 и -1 являются решениями уже хотя бы по одному разу, значит, можно вынести x² - 1 из нашего уравнения, и останется только какой-то кубический многочлен. Вам нужно только найти такие a, при которых его корни это 1 или -1.

Показать ответ и решение

Подставим оба решения в уравнение

{ 1+ 2+ a+b+ c= 0 −1+ 2+ a− b+c= 0 =⇒ b= −1,a+c =−2

Далее вынесем $(x− 1)(x+ 1) =x2− 1$ из многочлена, получим

(x2− 1)(x3 +2x2+ x+ 2+a)= 0

Вторая скобка представляет собой кубический многочлен, поэтому у неё всегда есть корень, разберём случаи

Этот корень $x= 1$ , тогда $1+ 2+ 1+2 +a= 0 ⇐⇒ a= −6,c= 4$ , при вынесении $x− 1$ получим $(x − 1)(x2+ 3x+ 4)$ — вещественных корней у второй скобки нет.
Если же $x= −1$ , то $− 1+ 2− 1+2 +a =0 ⇐ ⇒ a =−2,c= 0$ , здесь есть корень $x= 0$ , поэтому случай нам не подходит.

Ответ:

при $a = −6,b= −1,c= 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#114021Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

( (x +1)2 ) (x+ 1)2 log5 --x---− a = log5---x-- − log5a.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ и преобразуем правую часть по свойствам логарифма :)

Подсказка 2

Можно отбросить логарифмы и перейти к равенству выражений с x и a.

Подсказка 3

(a-1)(x+1)² = a²x. Нам нужно при каждом a искать какие-то x. А чем является это равенство относительно x?

Подсказка 4

Почти всегда равенств является квадратным уравнением относительно x, которые мы умеем решать ;) Осталось лишь учесть, что x должен удовлетворять ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| (x+ 1)2 ||||| ---x-- − a >0 ||{ (x+-1)2 || x >0 ||||| a> 0 |( x⁄= 0

a> 0, x> 0, (x+-1)2 >1 ax

На ОДЗ по свойствам логарифмов уравнение равносильно

(x+-1)2− a= (x+-1)2 x ax

2 2 (a − 1)(x +1) = ax

Если $a= 1,$ то уравнение не имеет решений. Иначе получаем квадратное уравнение (так как $a⁄= 0),$ корни которого равны

⌊ x =a − 1 |⌈ 1 x = a− 1

Условие $x> 0$ выполняется при $a> 1$ для обоих корней. Условие $2 (x+1ax)-> 1$ тоже выполнено при $a >1,$ так как из уравнения $(a− 1)(x+ 1)2 = a2x$ получаем

(x+-1)2 = -a--= 1+ -1--> 1 ax a− 1 a− 1

Ответ:

при $a > 1:$ $a− 1, -1- a−1$

при $a≤ 1:$ решений нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#94917Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение $a$ , при котором уравнение

3 2 x +5x + ax+ b=0

с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен $− 2$ .

Источники: Демо ЕГЭ 2002

Показать ответ и решение

Так как $x= −2$ является корнем, то получаем, что

3 2 (−2)+ 5⋅(−2)+ a⋅(−2)+b =0

−8+ 20 − 2a+ b= 0 =⇒ b= 2a− 12

Так как $x= −2$ является корнем, то в левой части уравнения можно вынести множитель $x+ 2.$ Тогда получаем:

x3+ 5x2+ax +b= 0 =⇒ (x+ 2)(x2+ 3x+ a− 6)= 0

По условию должно иметься $3$ различных решения. Значит, у $x2+ 3x+ a− 6$ есть $2$ различных корня. Значит, $D > 0.$

D = (− 3)2− 4(a− 6)= 33 − 4a> 0 =⇒ a< 33= 8.25 4

Так как по условию коэффициенты должны быть целыми, то будем перебирать целые $a.$

(a) При $a =8 :$

x3 +5x2+ 8x+4 =0 =⇒ (x+ 2)(x2 +3x+ 2)= 0

(x +1)(x+ 2)2 = 0

Тогда уравнение имеет только два различных корня.

(b) При $a =7 :$

x3 +5x2+ 7x+4 =0 =⇒ (x+ 2)(x2 +3x+ 1)= 0

D = (− 3)2− 4= 5> 0

Значит, при $a= 7$ имеем $3$ различных корня, один из которых $− 2.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#51343Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $p,$ при которых сумма всех корней уравнения

( 9 )4 ( 9 )2 x− 4p − 4p(p− 1) x− 4p − p3(2p− 3)=0

меньше $− 5p2+ 11p+7.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на выражение, поищем общие части в слагаемых. На что похоже это уравнение?

Подсказка 2

На квадратное уравнение относительно y = (x - (9p)/4)². При этом, если мы начнём прямо считать его корни, у нас получатся достаточно громоздкие выражения. Для начала подумаем, а что в целом должно выполняться, чтобы у этого уравнения были корни?

Подсказка 3

Верно, дискриминант должен быть неотрицателен! Запишем его и поймём, при каких р у квадратного уравнения есть корни.

Подсказка 4

Пусть y₁ ≤ y₂ — корни этого квадратного уравнения. Чтобы от них перейти к корням исходного уравнения, нужно решить два других уравнения: (x - (9p)/4)² = y₁ и (x - (9p)/4)² = y₂. Но как теперь перейти к сумме корней? Вспомните, какая теорема связывает сумму корней квадратного уравнения и его коэффициенты.

Подсказка 5

Теорема Виета! Получается, если у уравнения (x - (9p)/4)² = y₁ есть корни, то их сумма равна 9р/2. Заметим, что y₁ * y₂ — это свободный коэффициент исходного квадратного уравнения, пусть он равен С. Осталось понять, какая сумма получается в зависимости от знаков y₁ и y₂, для этого будет удобно рассмотреть случаи: когда С больше нуля, меньше нуля, равно ему, а также когда зануляется дискриминант.

Показать ответ и решение

Пусть $y ≤ y − 1 2$ корни квадратного уравнения $y2− 2By+ C =0,$ где $B = 2p(p− 1),C =− p3(2p− 3).$ Для того чтобы данное биквадратное уравнение имело решения, необходимо, чтобы дискриминант $( 2 ) D = 4 B − C$ был неотрицателен. Имеем:

D 2 4-=p (2p − 1)(3p− 4)≥0,

т. e. $1 4 p≤ 2,p≥ 3.$ Рассмотрим четыре случая. $B$ первых трех $D> 0.$

1.: $C < 0,$ тогда $y1 < 0< y2,$ т. е. уравнение $( ) x − 94p 2 = y1$ не имеет корней, а уравнение $( ) x− 94p 2 = y2$ имеет два различных корня, сумма $S$ которых, согласно теореме Виета, равна $92$ р. Из неравенства $S < T,$ где $T = −5p+ 11p+7,$ следует $− 710-<p <2$ и, с учетом условия $C < 0,$ получаем $− 710 < p< 0,32 < p< 2.$
2.: $C = 0,$ тогда $p= 0$ или $p= 32.$ При $p =0$ уравнение имеет один корень $x =0$ и неравенство $0=S < T = 7$ выполнено, а при $p= 32−$ три корня с суммой $S = 818 ,$ меньшей $T = 449$ .
3.: $C > 0,$ тогда $y1$ и $y2$ одного знака, причем $0< y1,y2 > 0,$ если $B > 0.$ При этом уравнение имеет четыре корня с суммой $S = 9p,$ поэтому из неравенства $S < T$ следует $− 1 <p < 75,$ и, с учетом условий $C >0,B >0,$ получаем $43 < p< 75$ .
4.: $D = 0,$ тогда если $p= 1, 2$ то $y1 = y2 = − 1 2$ и уравнение корней не имеет, а если $p= 4, 3$ то $y1 =y2 = 8, 9$ и $S = 6< T.$

Замечание. Формально, в случае отсутствия корней уравнения (если дискриминант исходного уравнения меньше нуля) про элементы пустого множества решений будет верно любое высказывание, в том числе любая оценка на их сумму. Но авторы вступительных не задумывали грузить этим абитуриентов, предполагая проверку наличия корней.

Ответ:

$(−-7;0]∪[4;7) ∪[3;2) 10 3 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#104740Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

√ ---- log5(x+ 2− a)+ log1∕5(a− 1− x) =log259

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмы с похожими основаниями, быть может, преобразуем выражения так, чтобы остался логарифм лишь с одним основанием?)

Подсказка 2

После преобразований мы придём к системе, одно из уравнений которой следует из ограничений на ОДЗ. Можем ли мы сделать такие преобразования, чтобы избавиться от x и решать систему для a?

Подсказка 3

4(a-1) > 4x, после чего можно заменить 4x в другом уравнении. Теперь нам нужно сравнить две величины c a.

Подсказка 4

Например, можно изобразить графики √(2-a) и 1-a, чтобы понять, как расположены решения этого неравенства!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов уравнение равносильно системе