Биссектрисы

Серединный перпендикуляр к и биссектриса угла пересекаются на описанной окружности треугольника следовательно, Аналогично Тогда т.е. точки лежат на одной окружности. Касательная к этой окружности в точке образует с прямой угол, равный Такой же угол образует с касательной к окружности Значит, обе окружности касаются в точке

Пусть пересекает в точке

Тогда — медиана и высота в треугольнике а значит, биссектриса. Откуда дуги и равны. Аналогично дуги и равны. А значит, — центр вписанной окружности в треугольник

Пусть пересекает в точке

Заметим, что четырёхугольник вписанный, так как противоположные углы по Тогда В треугольниках и соответственно равны две пары углов, поэтому получаем оставшееся равенство

Тогда является биссектрисой внешнего угла При этом является биссектрисой внутреннего угла . Значит,   — центр вневписанной окружности треугольника Значит, — биссектриса угла

Первое решение.

Пусть — точка пересечения отрезка и дуги . Так как , то — биссектриса угла и по теореме о трилистнике — центр вписанной в треугольник окружности. Следовательно, — биссектриса угла . С другой стороны, так как серединный перпендикуляр к , то , то есть — биссектриса угла . Из этих двух утверждений следует утверждение задачи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим . Необходимо доказать, что .

Заметим, что

Далее, , как центральный и вписанный в окружность ( ), а также , как центральный и вписанный в окружность ( ). Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В условии задачи дано, что точки и лежат не только внутри окружности , но и внутри вписанного в неё треугольника . Последнее условие на самом деле излишне. Из остальных условий задачи следует, что точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они лежат и внутри треугольника, поскольку при изогональном сопряжении три сегмента, ограниченные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла, вертикальных углам треугольника

Биссектриса — это ГМТ точек, равноудалённых от сторон угла. Заметим, что лежит на биссектрисе . Опустим перпендикуляры и на и соответственно. Тогда, так как лежит на биссектрисе .

Так как , а — биссектриса Тогда опустим перпендикуляр на

Так как — биссектриса угла а (доказано выше). Значит, Получается, — биссектрисса . Аналогично доказываем, что — биссектрисса Тогда:

Значит, в угол . — прямоугольный.

Пусть — центр вписанной окружности треугольника Пусть По свойству вписанной окружности и — биссектрисы углов и Тогда По условию поэтому Найдем тогда задача будет решена.

перпендикулярно так как — точка касания вписанной окружности и стороны . Тогда

Таким образом,

Получаем уравнение

По формуле тангенса двойного угла получаем

Сокращаем на и умножаем на знаменатель:

Выражаем квадрат тангенса и получаем

Угол — острый, поскольку сумма углов треугольника равна то есть откуда Получаем, что Тогда Подставим это в формулу для тангенса двойного угла:

Таким образом,

Пусть — середина Тогда Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно

Обозначим Тогда

Пусть — середина стороны Тогда Из равнобедренности треугольника находим, что Поэтому Треугольники и равны по стороне и двум углам. Следовательно,

Пусть пересекает в точке Угол тупой, а угол острый, значит лежит между и Далее, т.к. — центр вписанной окружности треугольника, получаем

Значит, треугольники и подобны. Учитывая это и равенство имеем

Кроме того,

Следовательно,

Тогда треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон, значит и точки лежат на одной окружности.

Замечание. После доказательства подобия треугольников и можно действовать по-другому. Выберем точку на продолжении отрезка за точку так, что тогда треугольники и равны (). Значит, — равнобокая трапеция, и она вписана. С другой стороны, поскольку точки лежат на одной окружности. Значит, все пять точек лежат на окружности

Первое решение (счетное).

Давайте будет пользоваться свойством биссектрисы:

Тогда:

Теперь подставим это в

Домножим на знаменатели:

Тогда из теоремы косинусов для треугольника следует, что Отсюда получаем ответ.
Второе решение (более идейное).

Отметим точку на отрезке такую что Тогда из условия следует, что Заметим, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично равны треугольники Из этого следует:

Теперь воспользуемся тем, что

Тогда по теореме о сумме углов:

Используем свойство биссектрис получим

Вписанный четырёхугольник с таким свойством называется гармоническим. Аналогично из этого равенства можно получить пересечение биссектрис двух других углов на диагонали

Проведём биссектрису угла пусть она пересекла диагональ в точке тогда по свойству биссектрисы

Но ведь получили выше, что

Так что в итоге

Отсюдаc следует, что точка лежит на биссектрисе угла

Рассмотрим треугольник В нем — биссектриса и высота по условию, значит он равнобедренный и Аналогично Заметим, что периметр трегольника — Остается понять, что — средняя линия треугольника а значит равна половине отрезка

Введём обозначения как показано на картинке. С одной стороны, С другой стороны, если расписать площади треугольников в отношении через синусы углов и мы получим, что Таким образом, мы получили требуемое равенство

Из условия следует, что точка равноудалена от прямых и Значит, — биссектриса внешнего угла так как равноудалена от и

Таким образом, три отмеченных на картинке угла при вершине равны и в сумме дают значит, каждый из них равен по а сам угол в треугольнике равен

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Значит, — биссектриса угла а — биссектриса угла Осталось заметить, что эти биссектрисы совпадают.

Заметим, что Значит, точка равноудалена от прямых и Но она также равноудалена от прямых и значит она равноудалена от прямых и то есть является биссектрисой угла Аналогично — биссектриса угла Как известно, биссектрисы смежных углом перпендикулярны, что и требовалось.

Пусть Тогда и получится, что сумма углов треугольника больше а сумма углов треугольника — меньше но это невозможно. Значит, и В частности, поэтому стороны и не параллельны, а тогда серединные перпендикуляры к этим сторонам пересекаются в некоторой точке Из сказанного выше а треугольники и равны по трем сторонам. Следовательно, и высоты этих треугольников, проведенные из точки равны, поэтому точка лежит на биссектрисе угла между прямыми и Если она лежит на биссектрисе угла то из равенств и следует равенство углов при вершинах и в треугольнике что невозможно, в силу доказанного ранее. Аналогично, точка не может лежат на биссектрисе угла Следовательно, лежит на внешней биссектрисе угла Поскольку и то точка лежит именно на биссектрисе угла Теперь заметим, что в силу равенства мы получаем, что

Аналогично, такую же величину имеют и углы и Предположим, что Тогда, из сказанного выше, луч идет внутри угла луч — внутри угла а луч — внутри угла поэтому они не могут пересечься в одной точке. Аналогично не возможен и случай Следовательно, а точки и совпадают.

Отметим на отрезке такую точку что Тогда треугольник равносторонний. После этого остается лишь заметить, что треугольники и равны по стороне и двум углам, поэтому откуда и следует требуемое.

Точки на биссектрисе равноудалены от сторон угла, пусть тогда и равны откуда а также Пусть тогда поскольку но тогда В силу параллельности отсюда — медиана и высота так что

Продлим за точку на пусть Теорема Менелая для и

Здесь мы, не умаляя общности, считаем Теперь теорема Менелая и

Отсюда — медиана равнобедренного треугольника и она же будет биссектрисой.

Пусть — центр вписанной в треугольник окружности (т.е. точка пересечения биссектрис). Заметив, что — биссектриса, в треугольнике в силу свойства биссектрисы треугольника имеем:

Далее,

где — радиус вписанной в треугольник окружности. Таким образом,

В силу свойства биссектрисы треугольника имеем

Полагая имеем В силу теоремы Пифагора: