Счётная планиметрия → .02 Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

Пусть диагонали и пересекаются в точке , а — середины и соответственно. Не умаляя общности, можно считать, что лежит на отрезке , а — на , поскольку иначе можно поменять местами пары вершин четырёхугольника на диагоналях. Известно, что из центра окружности перпендикуляр к хорде проходит через её середину. Тогда прямоугольник (не забываем, что ещё диагонали перпендикулярны). По теореме Пифагора

Аналогично,

Итак, мы знаем кусочки диагоналей после разбиения точкой пересечения. Осталось посчитать стороны четырёхугольника по теореме Пифагора:

Так как , то и — равнобокая трапеция. Заметим, что , при этом , а значит, — равносторонний, и его площадь равна . Найдём тогда длину Опустим высоты и на сторону .

Треугольники и — прямоугольные с углом . Тогда , а . Заметим, что — прямоугольник, причём

Таким образом,

Получаем, что площадь треугольника равна , а её квадрат —

Так как хорды и равны, то равны и дуги и а значит, равны вписанные углы и Это означает, что , и — трапеция с равными боковыми сторонами и . Пусть

Высоту выразим по теореме Пифагора

Заметим, что это же можно было получить с помощью теоремы Птолемея:

Таким образом,

где — натуральные числа. Кроме того, то есть

• Если то и уравнение целых решений не имеет.
• Если то и уравнение целых решений не имеет.
• Если то и уравнение целых решений не имеет.
• Если то и уравнение имеет единственное целое решение Тогда периметр равен
• При периметр будет больше 17, так как если то Но тогда или или — то и другое невозможно.

Итак, периметр равен 17. Тогда высота трапеции равна синус угла при основании равен а искомый радиус находится по теореме синусов

пусть пусть — биссектриса треугольника

Точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали и биссектрисы угла в выпуклом четырехугольнике Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Действительно, опишем окружность около треугольника обозначим точку пересечения биссектрисы угла с окружностью через Тогда по свойству вписанных углов дуги и будут равны, хорды и тоже будут равны, треугольник будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали и биссектриса угла будут пересекаться в точке Следовательно,

Поскольку около четырехугольника можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство

Треугольник подобен , и , пусть поэтому

По теореме косинусов для треугольников и с учетом имеем

Для равнобедренного треугольника имеем

Четырёхугольник является параллелограммом, поскольку стороны попарно параллельны диагоналям , но раз он вписан, то также является прямоугольником, то есть диагонали перпендикулярны.

Пусть , отсюда и , тогда

Продлим до пересечения с описанной окружностью в точке . Проведем прямую, параллельную через точку .

Легко проверить, что вторая точка пересечения этой прямой с описанной окружностью также удовлетворяет условию задачи, откуда наша прямая — касательная к описанной окружности. Поэтому — биссектриса треугольника . Четырехугольник — вписанный, поэтому , откуда . Из подобия треугольников и получаем , откуда . Запишем теорему Птолемея для четырехугольника :

Поделив последнее равенство на , получаем требуемое.

Первое решение. Обозначим точку касания окружности с отрезком через Пусть прямая, проходящая через и параллельная пересекает отрезок в точке (см. первый рисунок). Тогда

(из упомянутых выше касания и параллельности). Значит, четырёхугольник вписанный. Имеем

Следовательно, четырёхугольник вписанный. Тогда

откуда Значит, прямые и ограничивают параллелограмм, откуда Так как

то точка лежит на окружности Раз то окружность касается отрезка в точке что и требовалось.

Второе решение. Обозначим через центр окружности пусть — её радиус и — расстояние от точки до прямой Обозначим через центр окружности пусть — её радиус и — расстояние от точки до прямой Мы докажем более общий факт:

В частности, если то и первое равносильно касанию прямой и окружности второе — касанию прямой и окружности

Если то точки и а также и симметричны относительно центра параллелограмма, и в силу этой центральной симметрии и откуда следует

Иначе без ограничения общности будем считать, что луч пересекает луч обозначим их точку пересечения через (см. второй рисунок).

Обозначим через углы при вершинах и параллелограмма Разберём случай в других случаях рассуждение аналогично. Тогда

поэтому равнобедренные треугольники и подобны, откуда и

(последнее равенство следует из теоремы Фалеса). Следовательно, треугольники и подобны по углу и отношению заключающих сторон. Значит,

и Тогда следовательно,

что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Соотношение () равносильно тому, что угол между окружностью и прямой равен углу между окружностью и прямой

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Пусть окружность касается отрезка в точке и вторично пересекает прямую в точке Обозначим вторую точку пересечения окружности с прямой через (см. третий рисунок). Тогда отрезки и симметричны относительно серединного перпендикуляра к а отрезки и — относительно серединного перпендикуляра к поэтому Поскольку окружность касается отрезка то точка лежит на луче Значит, точка лежит на луче причём

Поскольку окружность касается отрезка в точке и Значит,

Мы позднее докажем, что отсюда следует равенство

сначала завершим решение задачи с его помощью: отметим на отрезке точку так, что

и

Если точка отлична от концов отрезка полученные равенства означают, что окружности и касаются прямой в точке Если эти окружности не совпадают, то они обе не совпадают и с окружностью но в таком случае и — радикальные оси этих трех окружностей. Однако, прямые и пересекаются в точке не лежащей на прямой противоречие. Значит, на самом деле окружности и совпадают, а тогда это и есть окружность и она касается в точке Если точки и совпадают, нужно, как обычно, под окружностью понимать окружность, проходящую через и касающуюся в точке

В случае, когда совпадает с одним из концов отрезка возможна лишь ситуация и тогда то есть а также Итого, окружность касается в точке

Остаётся доказать соотношение Положим Из сказанного выше, векторы равны по длине, обозначим её а также равны их проекции на ось, сонаправленную вектору обозначим такую проекцию Положим Тогда и По теореме Птолемея для четырёхугольников и мы получаем, что

и

Отметим, что эти равенства будут выполняться вне зависимости от взаимного расположения точек и и Итого, соотношение имеет вид

После возведения в квадрат и сокращения общих слагаемых, получается симметричное по и равенство:

Следовательно,

а это в точности соотношение что и требовалось.

Первое решение.

Пусть — центр окружности, — точка пересечения и . Докажем, что , и значит, .

Прежде всего, угол равен полусумме дуг и . Так как дуги между параллельными хордами и равны, то , поэтому

из равенства прямоугольных треугольников и

Из равенства углов и следует, что точки лежат на одной окружности. Поскольку радиус перпендикулярен касательной , диаметр этой окружности совпадает с отрезком . Значит, , то есть .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим, что , так как соответствующие дуги заключены между параллельными хордами. Кроме того, из равенства углов и следует подобие треугольников и , и значит, равенство

Аналогично получаем, что

то есть По теореме Птолемея

Пусть теперь пересекает в точке . Тогда треугольники и подобны, следовательно, . Отсюда и из предыдущего равенства получаем, что

Треугольники и — прямоугольные с общей гипотенузой и катетом, равным радиусу окружности, поэтому они равны. Значит, их высоты падают в одну точку общей гипотенузы, то есть — высота в треугольнике . Поэтому точки и лежат на окружности с диаметром . Аналогично точки и лежат на окружности с диаметром . Поскольку диаметры этих окружностей равны, градусные меры дуги в этих окружностях совпадают. В первой окружности на эту дугу опирается , а во второй - , значит, эти углы равны. (Именно равны, а не дополняют друг друга до , потому что точки и лежат по разные стороны от прямой , а окружности симметричны относительно неё).

Аналогично . Сложив это с предыдущим равенством, получим . Аналогично , то есть четырёхугольник — параллелограмм.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно понять, что вершины четырёхугольника инверсны вершинам четырёхугольника относительно нашей окружности, то есть мы только что повторили доказательство теоремы о том, что четырёхугольник, инверсный описанному, является параллелограммом.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Значит, вместо длины отрезка мы можем найти длину отрезка .

По свойству высоты прямоугольного треугольника, . Аналогично , откуда . Кроме того, угол в треугольниках и общий, поэтому они подобны с коэффициентом . Значит,

Из условия мы знаем, что а из вписанного четырёхугольника Откуда получаем, следующие равенства

Значит, отрезок является отрезком касательной к окружности. Теперь мы понимаем, что подобен Запишем соответствующие отношения сторон и подставим значения из условия:

Так как мы знаем, что — биссектриса, то запишем свойство, подставив известные значения

К тому же мы нашли поэтому Давайте теперь запишем формулу для биссектрисы и вычислим её:

Пусть где точка пересечения прямой с окружностью, Четырехугольник вписан в окружность, откуда из произведения отрезков хорд

По свойствам касательных и секущих к окружности имеем

Теперь осталось только решить систему из полученных уравнений в пункте

Откуда Решив уравнение, получим

Так как , то — равнобедренная трапеция.

Значит, . Отсюда треугольники и равны по трем сторонам, и значит, — биссектриса .

Тогда по свойству биссектрисы

Раз хорды равны и их продолжения пересекаются, то — равнобедренная трапеция и у неё равны углы при основании поэтому — равнобедренный треугольник. Следовательно, треугольники и равны по трём сторонам, так что — биссектриса. По свойству биссектрисы откуда и значит,

Пусть хорды и стягивают дуги с центральными углами и соответственно. Тогда в силу перпендикулярности диагоналей, хорды и стягивают дуги с центральными углами и . То есть имеем

Сумма площадей треугольников и равна:

где - радиус описанной окружности.

Сумма площадей треугольников и равна:

Таким образом, площадь четырехугольника равна половине площади четырехугольника , равной

(a) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине у треугольников общий, то есть два варианта: либо либо Второй случай невозможен, так как внешний угол треугольника поэтому он равен сумме т.е. Тогда остаётся первый случай и Но четырёхугольник вписан в окружность, а значит, откуда Следовательно, диаметр окружности,

(b) Из предыдущего пункта получаем , то есть точка касания вписанной окружности является серединой стороны и равнобедренный, откуда . Пусть — радиус вписанной окружности и — точки касания её с катетами. Из условия и . При этом , запишем площадь двумя способами

Поскольку , то и . Площадь равнобедренного равна , откуда .

Пусть — точка пересечения хорд, — середина — точка пересечения прямых и Обозначим Тогда

как опирающиеся на одну и ту же хорду. Поэтому прямые и перпендикулярны, и искомое расстояние равно длине отрезка

Пусть Из подобия и и теоремы Пифагора получаем

Тогда мы знаем длины следующих отрезков:

— медиана к гипотенузе в прямоугольном

— высота в прямоугольном

В итоге

что при даёт

Пусть — середина Тогда и Значит, и лежат на одной прямой и — серединный перпендикуляр к Значит, и если то

Из вписанности следует, что и значит,

и Тогда

Замечание.

можно посчитать из уравнения и знания, что

Опустим из точки на прямую : . По условию дано

Также давайте зафиксируем условие про окружность, проходящую через и , через равенство вписанных углов: , и через условие про сумму противоположных углов:

Из этого наблюдения получаем подобие по равному острому углу прямоугольных треугольников:

Осталось найти коэффициент подобия:

Из вписанности . Из описанности . Пусть — наибольшая сторона, запишем соотношения на площади, будем использовать формулу через синус угла и две прилежащие стороны.

При переходе мы поделили на равные синусы (которые, конечно, не равны нулю). Далее поделим первое уравнение на второе

Далее получаем откуда Далее

Равенство двух сторон из четырёх даёт нам равнобедренную трапецию — равны будут накрест лежащие углы, поэтому достаточно найти тангенсы только двух смежных углов, да и те будут противоположны. Опустим перпендикуляр на основание , получим

Отсюда

и

Наконец,

и

откуда

Первое решение.

Лемма 1. Пусть на сторонах и треугольника взяты точки такие что . Тогда существует окружность, проходящая через и касающаяся одинаковым образом вневписанных окружностей треугольника, вписанных в углы и .

Доказательство. Применим теорему Кези к двум вневписанным окружностям и двум вырожденным окружностям и

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 2. Пусть даны две окружности, лежащие одна вне другой. Произвольная окружность, касающаяся их одинаковым образом, пересекает одну из их общих внутренних касательных в точках и а другую — в точках и Тогда среди прямых найдутся две, параллельные общим внешним касательным к данным окружностям.

Доказательство. Действительно, зафиксируем точку на одной из внутренних касательных. Через нее можно провести две окружности, касающиеся данных одинаковым образом. По лемме из теоремы Кези, каждая из этих окружностей проходит через одну из точек пересечения второй внутренней касательной с прямыми, проходящими через и параллельными внешним касательным. Значит, одна из таких точек совпадает, например, с точкой т.е. прямая параллельна одной из общих внешних касательных. Тогда поскольку четырехугольник — вписанный, то прямая параллельна второй внешней касательной.

Вернемся теперь к решению исходной задачи. Очевидно, что окружности и пересекаются. Инверсия с центром в одной из точек их пересечения переводит эти окружности в прямые а исходные концентрические окружности в две окружности, для которых являются общими внутренними касательными. Окружности перейдут в две окружности, касающиеся этих окружностей одинаковым образом. Пусть одна из них пересекает в точках а — в точках . Аналогично вторая окружность пересекает эти прямые в точках . Тогда по лемме получаем, что, например, и, значит, точки лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что остальные четыре точки лежат на одной окружности. Сделав теперь обратную инверсию, получим утверждение задачи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Обозначим концентрические окружности через и их центр — точки касания с — через точки касания с ними же — через Все углы и дуги предполагаем ориентированными, углы дуги Рассмотрим пару Рассмотрим точку диаметрально противоположную на Тогда

(последнее — т.к. и проходят через Пусть прямые и пересекаются в точке Тогда

т.е. это одна из точек пересечения и Другую точку их пересечения мы обозначим через Заметим, что дуги и окружностей и имеют одинаковую градусную меру, ибо они гомотетичны. Поэтому

Покажем, что точки и лежат на одной окружности. Имеем

Аналогично,

и

что и требовалось.