Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Счётная планиметрия → .04 Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Счётная планиметрия

Отрезки касательных и секущих

Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

Подобные треугольники и теорема Фалеса

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Теорема косинусов и теорема Пифагора

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Геометрия масс

Двойные отношения и гармонические четвёрки

Комплексные числа для планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#90938Максимум баллов за задание: 7

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I,$ касающаяся сторон $CA,AB$ в точках $E,F$ соответственно. Точки $M,N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM = CE$ и $BN =BF.$ Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN.$

Показать доказательство

$PIC$

Докажем, что прямые $BM$ и $NC$ делят отрезки $IN$ и $IM$ соответственно в одном и том же отношении (внешним или внутренним образом). Тогда, применив к треугольнику $IMN$ теорему Чевы, получим утверждение задачи. Первое отношение равно $SBIM :SBMN ,$ второе — $SCIN :SCMN .$ Заметим, что $AEF,BF N$ и $CEM$ — подобные равнобедренные треугольники. Следовательно,

SBMN :SCMN = d(B,MN ):d(C,MN )=BF :CE = BD :DC

где $D$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC.$ Через символ $d$ обозначено расстояние от точки до прямой, т.е. длина высота. Из подобия треугольников $AEF,BF N$ и $CEM$ получаем также, что $AB∥CM$ и $AC ∥BN.$ Поскольку $BD = BN$ и $CD = CM,$ отсюда следует, что $DM ∥BI$ и $DN∥CI.$ Поэтому $SBIM = SBID,SCIN = SCID$ и $SBIM :SCIN = BD :DC,$ ч.т.д.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#90937Максимум баллов за задание: 7

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

Показать доказательство

Будем считать, что длина наименьшего из шести отрезков равна $1.$ Тогда длины остальных равны $q,q2,q3,q4$ и $q5,$ где $q$ – знаменатель прогрессии. По теореме Чевы произведение каких-то трех из этих отрезков равно произведению трех остальных, т.е. $∘ -15- q .$ Это возможно только при $q = 1.$ Значит, данный треугольник равносторонний, а чевианы являются его медианами, т.е. их длины равны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#68267Максимум баллов за задание: 7

Через вершины треугольника $ABC$ проведены три параллельные прямые $a,b,c$ соответственно, не параллельные сторонам треугольника. Пусть $A0,B0,C0$ — середины сторон $BC,CA,AB.$ Пусть $A1,B1,C1$ — точки пересечения пар прямых $a$ и $B0C0,b$ и $C0A0,c$ и $A0B0$ соответственно. Докажите, что прямые $A0A1,B0B1$ и $C0C1$ пересекаются в одной точке.

Источники: Высшая проба - 2019, 11.4 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая теорема позволяет доказывать пересечение трёх прямых в одной точке? Если бы эти прямые были чевианами одного треугольника...

Подсказка 2

Обратная теорема Чевы! Нам нужно проверить выполнение условий этой теоремы для треугольника A₀B₀C₀. Тогда что можно сделать, чтобы найти отношения отрезков на сторонах этого треугольника?

Подсказка 3

Что-то не очень удобно искать эти отношения... А как можно перенести отношения отрезков на более удобную прямую?

Подсказка 4

Переносим отношения мы с помощью теоремы Фалеса, а перенести всё на прямую поможет ортогональная проекция на прямую, которая перпендикулярна нашим прямым a, b, c! Ведь в такой проекции середины сторон треугольника перейдут в середины отрезков!

Подсказка 5

Верно, можно ввести систему координат. Нужно только правильно выбрать оси, чтобы все нужные нам отрезки легко находились!

Показать доказательство

Заметим, что если доказать обратную теорему Чевы для треугольника $A B C 0 0 0$ (то есть равенство $B0A1⋅ C0B1⋅ A0C1 =1), A1C0 B1A0 C1B0$ то мы получим требуемое. Обозначим параллельные прямые через $a,b$ и $c.$

Давайте проведём прямую $d,$ перпендикулярную прямым $a,b,c$ и спроецируем ортогонально точки $A0,B0,C0,A1,B1,C1$ на неё. Нам это выгодно, потому что отношение, в которых делит точка отрезок при проектировании, как известно, сохраняется (это просто теорема Фалеса). Точки $A1,B1$ и $C1$ перейдут в $′ ′ A 1,B1$ и $′ C1.$

$PIC$

Введём декартову систему координат таким образом, что прямая $d$ — ось $y,$ а прямая $b$ — ось $x.$ Обозначим ординату $B′1$ через $β,$ а ординату $C′1$ через $γ.$ Точка $C0$ при проецировании переходит в точку $β C′0(0,2),$ точка $B0$ — в точку $γ B′0(0,2),$ точка $A0$ — в точку $A′0(0,β+2γ).$

Как мы знаем, отношения при проектировании сохраняются, а значит, нам достаточно доказать, что

′ ′ ′ ′ ′ ′ B-0A′-1′⋅ C0′B1′-⋅ A0′C1′= 1 A 1C 0 B1A0 C1B0

Нетрудно видеть, что длина любого отрезка из равенства равна модулю разности ординат его концов, поэтому его можно записать в таком виде:

|||γ2 β2 γ−β2-||| ||β⋅-γ−-β⋅-γ--||=1 2 2 2

Теперь видно, что всё сокращается, а значит, мы получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#90932Максимум баллов за задание: 7

Дан треугольник $ABC.$ На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN ∥AC.$ Точки $M′$ и $N ′$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $′ M A$ пересекает $BC$ в точке $X,$ a $′ N C$ пересекает $AB$ в точке $Y.$ Докажите, что точки $A,C,X,Y$ лежат на одной окружности.

Источники: Олимпиада им. Шарыгина, 8.7, П. Рябов, Т. Рябова(см. geometry.ru)

Показать доказательство

Пусть $A′,C′$ – точки, симметричные $A$ и $C$ относительно прямых $BC$ и $AB$ соответственно. Ясно, что $A′$ лежит на $M ′B,$ а $C′$ – на $′ N B.$ Пусть $AA1$ и $CC1$ – высоты треугольника $ABC.$

$PIC$

Применив теорему Менелая к треугольнику $A′BA1$ и прямой $AXM ′,$ получим $BXXA1-=2⋅MBM′A′′ =2 ⋅ BMMA.$ Аналогично $BYYC1 =2⋅ BNNC.$ Так как $MN ∥AC,$ то $BMMA-= BNNC,$ т.е. $BXXA1 = BYYC1$ и $XY ∥A1C1.$

Для того, чтобы доказать, что $AYXC$ – вписанный, осталось показать, что, например, $∠AY X +∠ACX =180∘.$ Так как $XY ∥A1C1,$ это равносильно $∠AC1A1 +∠ACX =180∘,$ что равносильно вписанности $AC1A1C.$ И так как $∠AC1C =∠AA1C = 90∘,AC1A1C$ действительно вписанный.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#84476Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ отмечены точки $A′$ , $B′$ , $C′$ на сторонах $BC$ , $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что прямые $AA ′$ , $BB ′$ и $′ CC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

sin∠BAA ′ sin∠ACC ′ sin ∠CBB ′ sin∠A′AC-⋅sin∠C-′CB-⋅sin∠B′BA = 1

Показать доказательство

$PIC$

Предположим, что чевианы пересекаются в одной точки, тогда по теореме Чевы

AC′ BA ′ CB ′ C′B ⋅A-′C-⋅B′A-= 1

Рассмотрим, треугольники $ACC ′$ и $BCC ′,$ запишем в них теоремы синусов

′ --AC---′ =--AC--′- sin∠ACC sin∠AC C

---C′B-- = --BC---- sin∠C′CB sin∠CC ′B

Заметим, т.к. $∠AC′C$ и $∠CC ′B$ смежные, значит их синусы равны. Теперь из этих выражений получим

AC′= AC- ⋅ sin∠ACC-′ C′B BC sin∠C′CB

Аналогично, выразим остальные отношения

′ ′ ′ ′ BA′--= AB-⋅ sin∠BAA′- и CB′-= BC-⋅ sin∠CBB′- A C AC sin∠A AC B A AB sin∠B BA

Подставим эти равенства в тождество, полученное по теореме Чевы

AC-⋅ sin∠ACC-′⋅ AB-⋅ sin-∠BAA′⋅ BC ⋅ sin∠CBB-′= 1 BC sin∠C′CB AC sin ∠A′AC AB sin∠B′BA

sin∠BAA-′ sin∠ACC-′ sin-∠CBB-′ sin∠A′AC ⋅sin∠C ′CB ⋅sin∠B′BA = 1

Заметим, что преобразования и рассуждения, которые мы использовали равносильны, поэтому тождество с синусами, то ты мы его можем привести к тождеству для теоремы Чевы, и в силу её чевианы будут пересекаться в одной точки.

Предыдущая подтема

Следующая подтема