Тема Алгебраические текстовые задачи

Задачи на проценты

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#53509

Говорят, что средний доход $10%$ самых богатых жителей города в $15$ раз превосходит средний доход всех жителей этого города. Докажите, что это выдумки.

Показать доказательство

Пусть $s$ — средний доход всех жителей города, а $n$ — количество жителей. Тогда суммарный доход всего города равен $sn.$

Предположим, что высказанное утверждение верно, то есть средний доход $10%$ самых богатых жителей равен $15s.$ Но тогда суммарный доход только богатых жителей равен $-n 15s⋅10.$ А это уже больше, чем доход ВСЕГО города.

Доля от положительного числа не может быть больше самого числа — получили противоречие. Значит, это выдумки.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#81368

Среди людей, не говорящих по-английски, $4%$ говорят по-французски, а среди людей, не говорящих по-французски, $20%$ говорят по-английски. Во сколько раз число людей, не говорящих по-французски, больше числа людей, не говорящих по-английски?

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть на английском НЕ говорят х человек, а на французском - y. Какое значение мы можем однозначно выразить, используя эти переменные?

Подсказка 2

Да, можем из условия найти количество людей, не знающих ни один из этих языков, и составить уравнение для x y. Теперь нужно только аккуратно всё посчитать и найти отношение

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число людей, не говорящих по-английски, а $y$ — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: $96%$ от $x$ , а с другой стороны $80%$ от $y$ .

Откуда $0.96x = 0.8y$ , то есть $y x = 1.2$ .

Ответ: 1,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84367

В городе есть два банка. В каждый банк можно положить любую сумму денег, и через год банк выплачивает фиксированный процент от этой суммы (в разных банках проценты могут отличаться). Если в оба банка положить по $500$ у.е. (условных единиц), то можно заработать за год на процентах суммарно $250$ у.е. Николаю вручили $5000$ у.е. и сказали, сколько из них положить в первый банк, а сколько — во второй. При этом он должен был получить суммарный доход $1400$ у.е. Однако Николай всё перепутал и положил в первый банк деньги, которые должен был положить во второй, и наоборот. На сколько меньше денег получит Николай через год?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть в первом банке получаемый процент дохода равен $p$ %, а во втором $q$ %. Тогда из условия получаем

p q 100 ⋅500 +100 ⋅500= 250

p q 1 100 + 100 = 2

Обозначим за $x,$ сколько Николаю сказали положить в первый банк, а за $y,$ сколько во второй, при этом $x+ y = 5000.$ Если бы Николай вложил так, как ему сказали, то доход был равен

-p-⋅x+ -q-⋅y = 1400 100 100

Тогда доход при перепутанном вложении равен

-p-⋅y+ q--⋅x 100 100

Рассмотри выражение

( ) p--+-q- (x+ y)= 1⋅5000 =2500 100 100 2

-p-⋅x+ -q-⋅y+ -p-⋅y+ -q-⋅x= 2500 100 100 100 100

p-- q-- 1400+ 100 ⋅y+ 100 ⋅x =2500

p q 100 ⋅y+ 100 ⋅x= 1100

Следовательно, Николай получит на $1400− 1100= 300$ у.е. меньше через год.

Второе решение.

Вложив деньги “правильно”, Николай получил бы $28%$ прибыли. Если Николаю дадут ту же сумму, и он положит её “правильно”, то в результате получит $25%$ от удвоенной суммы, т.е. $50%$ от исходной суммы. Таким образом, при “неправильном” вложении он получает $22%$ прибыли. Следовательно, потеряет он $6%$ от 5000 y.e., т.e. 300 y.e.

Ответ: На 300 у.е.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99236

На предприятии изготавливают инструмент для шахт, который в зависимости от качества делится на три сорта. При проверке качества в отделе технического контроля (ОТК) вероятности неверной сортировки продукции составляют:

- для инструмента первого сорта вероятность попасть во второй сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента второго сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента третьего сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,005,$ во второй сорт — $0,05;$

Какая доля инструмента первого сорта была изготовлена, если после контроля ОТК $93,5%$ инструмента были признаны первосортным, а $3$ % инструмента — третьесортным?

Источники: Газпром - 2024, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь, как и в любой задаче на движение/производство/сплавы и прочее, в большинстве случаев стоит просто параметризировать все начальные данные и составить уравнения из условия. В данном случае очень удобно будет ввести x — доля первого сорта в начале, y, z — второго и третьего соответственно. Какие тогда уравнения у нас получаются на x, y, z в связи с условием и в связи с тем, как мы их ввели?

Подсказка 2

В силу того, что это доля, x + y + z = 1. А также есть два уравнения на изменение первого и третьего сорта. Тогда у нас получилась система из 3 уравнений на 3 переменных. А значит, можем найти х.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — доля изготовленного инструмента первого сорта, $y$ — второго сорта, $z$ — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

0,975x+ 0,015y+ 0,005z =0,935.

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

0,01x+ 0,01y +0,945z = 0,03.

Воспользуемся условием, что $x+ y+ z = 1$ , и получим систему уравнений:

(|{ 0,975x+ 0,015y +0,005z = 0,935, 0,01x+ 0,01y+ 0,945z =0,03, ⇔ |( x+ y+ x= 1 ( ( ( -4- |{ 195x+ 3y+ z = 187, |{ 192x− 2z =184, |{ z = 178177, ⇔ |( 2x +2y+ 189z =6, ⇔ |( 187z = 4, ⇔ |( x= 74158, x+y +z =1 x +y+ z = 1 y = 748.

Ответ:

$717 748$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99237

ООО «СварМонтаж» занимается строительством линейной части магистральных газопроводов. В составе организации работают три бригады сварщиков, причем некоторые из сварщиков имеют удостоверение НАКС («Национальное Агентство Контроля сварки»). Среди сотрудников трех бригад, доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС, образуют геометрическую прогрессию.

Если бы количество сварщиков при неизменном проценте обладателей удостоверений НАКС в бригадах соотносилось бы как $2:3:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, был бы равен $48,$ а если бы соотношение было бы $1:2:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, составил бы $54.$ Сколько процентов сотрудников в каждой бригаде имеют удостоверение НАКС?

Источники: Газпром - 2024, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где есть несколько непересекающихся групп объектов и в каждой из таких групп есть особые объекты, которые отличаются каким-то свойством, очень удобно вводить явные переменные, которые отражают начальное количество объектов каждого типа, и после этого записывать уравнения из условия. Пусть в нашей задаче p/100, q/100, r/100 — доли сотрудников, у которых есть НАКС. Тогда без ограничения общности можно сказать, что q² = pr. А какие еще уравнения, связанные с отношениями, следуют из условия на p,q,r?

Подсказка 2

Имеем: 48/100(2k + 3k + k) = p/100*2k + q/100*3k + r/100*k. Запишите аналогичное уравнение для оставшегося отношения, после чего у нас получится система, пусть и нелинейная, но из трёх уравнений и трёх неизвестных. Теперь их все можно найти!

Показать ответ и решение

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют $-p,-q-, r- 100 100 100$ соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии $2 q = p⋅r.$

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют $x,y,z$ соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад $2:3:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $48.$ Это означает, что $x :y :z = 2:3:1,$ следовательно, $x = 2k,y = 3k,z =k;$ запишем:

48 p q r 100 ⋅(x +y +z)= 100 ⋅x+ 100 ⋅y+ 100-⋅z ⇔ 48⋅(x +y +z)= p⋅x+ q⋅y+⋅z ⇔ . ⇔ 48⋅(2k+3k+ k)= p⋅2k+q ⋅3k+ r⋅k⇔ 48⋅(2+ 3+1)= p⋅2+ q⋅3+r ⋅1.

А значит, $2p+ 3q+r =288.$

По условию, при соотношении сотрудников бригад $1:2:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $54.$ Это означает, что $x :y :z = 1:2:1,$ следовательно, $x = k,y = 2k,z = k;$ запишем:

-54⋅(x+ y+ z) =-p-⋅x +-q-⋅y+ -r-⋅z ⇔ 54⋅(x+ y+ z) =p⋅x+ q⋅y+ r⋅z ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 54⋅(k+ 2k+ k)=p ⋅k +q⋅2k+ r⋅k⇔ 54⋅(1+2 +1)= p⋅1+ q⋅2+r⋅1.

А значит, $p+ 2q+ r=216$ . Получили систему из трёх уравнений:

( ( ( |{ q2 = pr |{ q2 =pr, |{ q = 48 |( p +2q+ r= 216, ⇔ |( p= 72− q, ⇔ |( p= 24 2p+ 3q+ r=288 r= 144− q r= 96

Ответ:

$24%,48%,96%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#61646

Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия — натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счёт пополнился на $847$ рублей. Сколько денег положил на счёт Федя, если известно, что комиссия менее $30%$ ?

Показать ответ и решение

Пусть Федя положил $N$ рублей на свой телефон и комиссия составила натуральное число $p <30$ процентов. Тогда от его суммы вычитается $p-- 100$ рублей. Получается $Nx- 100$ рублей, где $100 >x = 100− p> 70.$

Итак,

Nx 7⋅10 ⋅10⋅11⋅11 100 =847 =⇒ x = -----N------∈ ℕ∩ (70;100)

По основной теореме арифметике из сократимости дроби следует, что $x$ это произведение каких-то множителей из числителя. Простым перебором можно убедиться, что в заданный интервал $(70;100)$ попадает только произведение $7⋅11.$ Так что $N = 7⋅107⋅0⋅11211 =100⋅11= 1100.$

Ответ:

$1100$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33076

Лосяш решил купить себе в кабинет новый шкаф. К сожалению, пока он его выбирал, шкаф успел подорожать на $130$ ропиков и стал стоить $2730$ ропиков. На сколько процентов подорожал шкаф?

Показать ответ и решение

Так как шкаф подорожал на $130$ ропиков, то раньше он стоил $2730− 130 =2600$ ропиков. Осталось посчитать, сколько процентов от $2600$ составляют $130$ ропиков: $130:2600 ⋅100% =5%$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33077

Родители Нюши приготовили ей 3 литра сиропа, содержащего $40%$ сахара. Нюша его попробовала и поняла, что сироп для нее слишком сладкий, поэтому Нюша разбавила сироп водой. После этого сироп стал содержать лишь $30%$ сахара. Сколько воды добавила Нюша?

Показать ответ и решение

От того, что Нюша разбавила сироп водой, количество сахара в нем не изменилось. Поэтому сироп все еще содержит $3000⋅40:100 =1200$ граммов сахара. Но теперь эти $1200$ граммов сахара составляют лишь $30%$ от общей массы. Поэтому общую массу мы можем найти так: $1200:30⋅1000= 4000$ граммов. Значит, масса изменилась на $4000− 3000= 1000$ граммов. Таким образом, Нюша добавила литр воды.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#33078

Белые и черные мышата собрались играть в прятки, всего $400$ зверят. По команде “Закрыть глаза!” правый глаз закрыли все белые мышата и $30%$ черных, а левый глаз закрыли все черные мышата и $30%$ белых. Сколько всего мышат подглядывали?

Показать ответ и решение

Среди белых мышат по условию все закрыли правый глаз и лишь $30%$ закрыли левый глаз. Значит, ровно $30%$ белых мышат не подглядывали. Среди черных мышат все закрыли левый глаз и ровно $30%$ закрыли правый глаз. Значит, ровно $30%$ черных мышат не подглядывали. Тогда и среди всех мышат ровно $30%$ не подглядывали. А $30%$ от 400 мышат составляют $400⋅30:100 =120$ мышат, все же остальные $400− 120= 280$ мышат подглядывали.

Ответ: 280

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33079

Известно, что в Ромашковой долине $30%$ хищников — полицейские, а $40%$ полицейских — хищники. Кого в Ромашковой долине больше: хищников или полицейских?

Показать ответ и решение

В задаче в обоих случаях идет речь о хищниках, являющихся полицейскими. При этом по условию доля таковых среди хищников меньше (составляет $30%$ ), чем среди полицейских (составляет $40%$ ). Значит, так как количество хищников-полицейских одинаково в обоих случаях, целое, от которого считается доля, меньше во втором случае, то есть полицейских в Ромашковой долине меньше, чем хищников.

Ответ: Хищников

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#33080

На доске написана дробь. Лис Ник увеличил ее числитель на $100$ , а знаменатель — на $1$ . Могла ли дробь при этом уменьшиться?

Показать ответ и решение

Например, дробь $200= 200 1$ после описанных операций превращается в дробь $300-=150< 200 2$ .

Комментарий. Как и всегда в таких задачах, достаточно лишь одно примера. При этом если вас смущает то, что изначальная дробь имела знаменатель 1, то, во-первых, смущаться тут не надо, а во-вторых, существуют и примеры других дробей, даже несократимых. Например, дробь $1000 3 > 300$ станет дробью $1100 4 < 300$ , то есть уменьшится.

Ответ: Да, могла

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33081

Дмитрий подарил Елизавете большой арбуз, в котором вода составляла $99%$ массы. К сожалению, Елизавета забыла про подарок, и арбуз всю зиму пролежал у нее в кладовке. Когда она его достала, оказалось, что арбуз немного высох, и вода стала составлять $98%$ массы арбуза. Во сколько раз уменьшилась масса арбуза?

Показать ответ и решение

Мякоть арбуза до высыхания составляла $1%$ . После высыхания масса мякоти не изменилась, но доля увеличилась в $2$ раза до $2%$ . Значит, уменьшилась масса объекта, от которого считалась доля, и ровно в $2$ раза, откуда и ответ.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33082

Совунья каждый день покупала себе в буфете кекс с компотиком суммарно за 50 ропиков. После того, как все цены поднялись на $20%$ , ей тех же денег стало хватать в точности на пол кекса и компотик. Будет ли ей хватать 50 ропиков хотя бы на компотик, если все подорожает еще раз на $20%$ ?

Показать ответ и решение

Так как цены поднялись на $20%$ , то за тот же кекс с компотиком Совунье пришлось бы заплатить уже $50⋅120:100= 60$ ропиков. Она же за 50 ропиков покупает пол кекса и компотик, значит, пол кекса сейчас стоит 10 ропиков, а компотик — $50− 10 =40$ ропиков. Если цена на компотик поднимется еще на $20%$ , то он будет стоить $40⋅120 :100= 48$ ропиков, значит, Совунье все еще будет хватать 50 ропиков на компотик.

Ответ: Да, будет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33083

Перед Крошем стояли два одинаковых стакана — один с кофе, другой с молоком, заполненные наполовину. Сначала он перелил чайную ложку молока в стакан с кофе, перемешал, и затем точно такую же чайную ложку смеси кофе и молока перелил обратно в стакан с молоком. Чего оказалось больше: кофе в молоке или молока в кофе?

Показать ответ и решение

Заметим, что изначально молока и кофе было одинаково. После двух операций в стаканах снова оказалось одинаковое количество напитка. Значит, сколько бы кофе ни оказалось в молоке, точно такая же часть молока оказалась в кофе. Поэтому кофе в молоке и молока в кофе одинаковое количество.

Ответ: Того и другого поровну

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33318

Однажды Нюша ехала из деревни в Ромашковую долину на поезде. За первый час поезд проехал $30%$ всего пути. Нюша посчитала, что если проехать еще $70$ км, то поезд пройдет $65%$ всего пути. Сколько километров составляет весь путь из деревни в Ромашковую долину?

Показать ответ и решение

Разница между $65%$ и $30%$ составляет $35%$ . Именно такую часть пути в процентах пройдет поезд, если он проедет $70$ км. Значит, $70$ км составляют $35%$ всего пути из деревни в Ромашковую долину. Тогда весь путь мы найдем как $70:35⋅100 =200$ км.

Ответ: 200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33319

В течение года цену на пончики два раза поднимали на $50%$ , а перед Новым Годом стали продавать за полцены. Сколько сейчас стоят пончики, если в начале года один пончик стоил $24$ ропика?

Показать ответ и решение

Способ 1. Вначале $50%$ от $24$ ропиков составляют $24⋅50 :100 =12$ ропиков. Значит, после увеличения цены первый раз на $50%$ пончики стали стоить $24+ 12= 36$ ропиков.

Во второй раз $50%$ от $36$ ропиков составляют уже $36⋅50:100= 18$ ропиков, поэтому после увеличения цены во второй раз на $50%$ пончики стали стоить $36+ 18 =54$ ропика.

Наконец, после того, как они подешевели в два раза, пончики стали стоить $54:2 =27$ ропиков, что и является ответом на нашу задачу.

Способ 2. Увеличение на $50%$ — то же самое, что увеличение в полтора раза. Значит, сначала цена два раза увеличилась в полтора раза, а потом уменьшилась в два раза.

После первого увеличения цена стала равна $24⋅3:2= 36$ ропиков, после второго — $36⋅3:2= 54$ ропика, и после уменьшения в два раза получается $54:2= 27$ ропиков.

Ответ: 27

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33320

После повышения зарплата Совуньи увеличилась на $20%$ , а после выговора — уменьшилась на $20%$ . На сколько процентов изменилась зарплата Совуньи по сравнению с первоначальной и в какую сторону?

Показать ответ и решение

После повышения новая зарплата стала составлять $120%$ от старой. После выговора зарплата уменьшается на $20%$ , но эти проценты считаются от новой зарплаты. Поэтому зарплата уменьшилась на $120% ⋅20 100= 24%$ , значит, стала составлять $120% − 24% = 96%$ от первоначальной. Таким образом, зарплата по сравнению с первоначальной уменьшилась на $100%− 96%= 4%$ .

Ответ: Уменьшилось на 4%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#33706

Лосяш решил похудеть. Диетологи порекомендовали употреблять ему не больше $60$ граммов жира в день. Сколько килограммов молока жирностью $2,5%$ Тор может выпить за день, чтобы не превысить рекомендации диетологов?

Показать ответ и решение

Посчитаем, сколько жира содержится в одном килограмме молока. Так как один килограмм молока составляет $100%$ , а жир в нем составляет $2,5%$ , то массу жира мы найдем, поделив килограмм молока на $100%$ и умножив на $2,5%$ . Сразу переведем килограмм молока для удобства в граммы ( $1килограмм= 1000 грамм ов$ и будем проводить вычисления в граммах:

1000граммов:100%⋅2,5% = 25 граммов.

Итак, в одном килограмме такого молока содержится $25$ граммов жира. Лосяшу можно употребить $60$ граммов жира. Значит, Лосяшу можно употребить в $60= 12 =2,4 25 5$ раз больше молока, чем один килограмм. Таким образом, Лосяш может употребить $2,4$ килограмма молока жирностью $2,5%$ .

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#33707

Пин с Ёжиком летят с Марса на Землю с постоянной скоростью. Спустя $3$ часа после начала пути, смешарики преодолели $30%$ всего пути. Сколько часов займет оставшийся путь, если скорость не изменится?

Показать ответ и решение

По условию сказано, что $30%$ пути были преодолены за $3$ часа. Чтобы из $30%$ получить $100%$ , нужно умножить их на $100% = 100- 30% 30$ . Значит, эти $3$ часа надо умножить на $100 30$ :

3часа⋅ 100-= 10часов. 30

Итак, весь путь занимает $10$ часов. Так как $3$ из них смешарики уже летели, им осталось лететь $10− 3= 7$ часов. $▸$

Следующая задача уже требует навыка введения переменных. Не надо пугаться вычислений с буквами, они зачастую даже понятнее, чем вычисления с конкретными числами. Главное рассуждать достаточно общо и не на частных примерах, чтобы ваше решение покрывало все возможные случаи. Именно ради этого мы и вводим переменные, обозначая неизвестные величины буками.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33708

Одно число было в $5$ раз больше другого. Большее число увеличили на $40%$ , а меньшее уменьшили на $30%$ . Во сколько раз теперь большее число больше меньшего?

Показать ответ и решение

Обозначим меньшее из исходных чисел через $x$ . Тогда большее было равно $5x$ . После увеличения на $40%$ большее число увеличилось в $140% 100% = 1,4$ раз и стало равно $5x⋅1,4= 7x$ . Меньшее число уменьшилось на $30%$ и стало составлять $100%-−-30%- -70%- 100% = 100% =0,7$ от исходного, то есть стало равно $0,7x$ . Найдем отношение новых чисел: $7x :0,7x= 10$ . Значит, большее число больше меньшего в $10$ раз.

Ответ: 10

Предыдущий раздел

Следующий раздел