Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Алгебраические текстовые задачи на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85548

На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/с модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость каждой из моделей считать постоянной. Время нахождения модели в воздухе определяется только ее техническими параметрами и не зависит от погодных условий.

Источники: ПВГ - 2024, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вопрос задачи «Какая из моделей пролетит большее расстояние...». То есть не обязательно находить каждое расстояние по отдельности. Можно просто выразить их разность!

Подсказка 2

Введите переменные и составьте уравнения по условию задачи. Внимательно посмотрите на уравнение, связанное с расстояниями: может, именно там и скрывается искомая разность, нужно лишь применить в нём имеющиеся знания про разность времени полётов.

Показать ответ и решение

Решим задачу в общем виде. В условии заданы: $u$ м/с - скорость ветра; модель Альфа продержалась в воздухе на $t$ секунд меньше модели Бета; модель Альфа пролетела на $l$ метров дальше.

Пусть $v1$ и $v2$ - скорости при безветренной погоде моделей Альфа и Бета соответственно (в $M ∕c$ ), $t1$ и $t2$ - время (в секундах), которое первая и вторая модели соответственно продержались в воздухе.

Тогда при встречном ветре $(v1− u)t1$ - дальность полета модели Альфа, $(v2− u)t2−$ дальность полета модели Бета. По условию:

t= t2− t1, l=(v1− u)t1− (v2− u)t2 =v1t1 − v2t2 +ut.

При безветренной погоде разность между дальностью полета первой и второй моделей равна

x= v1t1− v2t2 = l− ut.

Таким образом, $x> 0$ , если $l>ut;x< 0$ , если $l< ut;x =0$ , если $l= ut$ . При $u= 3,t=150$ и $l= 500$ получаем $x =500− 450 =50> 0$ . Значит, модель Альфа пролетит дальше на 50 метров.

Ответ: модель Альфа, на 50 м

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85554

Кривая, заданная уравнением $y = x2+ px+ q$ , пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$ , а ось $Oy$ - в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A,B$ и $C$ , а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А, В, С — точки параболы, причём при пересечении с осями Ох и Оу. Тогда про координаты этих точек много уже известно. Подумайте, как называют точки пересечения параболы и оси Охи, и используйте известную теорему для квадратного уравнения.

Подсказка 2

Известная теорема для квадратного уравнения— теорема Виета. Используйте и другие условия задачи, постарайтесь получить значение q - p, ведь только эти переменные изначально даны в условии.

Подсказка 3

Вы уже знаете, что абсциссы А и В — это корни квадратного уравнения и помимо теоремы Виета у них есть явные формулы, используйте это, выражая АВ.

Показать ответ и решение

Из условия вытекает, что $q ⁄= 0$ . Если обозначить $A(x;0),B(x;0),C(0;q),D (x;y) 1 2$ , то, очевидно, что $x= x1+x2- 2$ . Далее

2 2 |DB| = |DC |

2 2 2 2 (x− x2) +y = x + (y − q)

2qy =q2+ 2xx − x2 2 2

Так как $2x= x1+ x2$ , то $2qy = q2+ x1x2$ . Поэтому с учетом теоремы Виета: $x =− p2,y = q+12-$ .

Тогда из условия задачи имеем уравнение

q− p= 2⋅(− 2023)− 1 =− 4047

По формуле корней квадратного уравнения,

-- ∘ ------ |AB|= |x2− x1|=√ D = p2− 4q,

откуда следует

|AB|2 = p2 − 4q = p2− 4p +4⋅4047= (p− 2)2 +4⋅4046≥4 ⋅4046

Данное значение $√---- √ -- |AB |= 2 4046= 34 14$ достигается при $p =2,q = −4045$ .

Ответ:

$2√4046= 34√14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67952

Из пункта $A$ в пункт $B$ по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13:00, а другой на час раньше, при этом в пункт $B$ они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в пункт $B,$ если скорость мотоциклиста в два раза больше скорости велосипедиста?

Источники: ПВГ-2023, 10.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интуитивно кажется, что велосипедист не может останавливаться на 2 часа: ведь он и так медленный, куда ему еще останавливаться....Попробуйте строго доказать это)

Подсказка 2

Если велосипедист останавливался на 2 часа, то уже не важно, раньше он выехал или позже: он будет ехать меньше времени, чем мотоциклист, а т.к. он еще и медленнее, то они точно не приедут в одно время) Осталось разобрать всего два случая: когда он выехал раньше, или когда мотоциклист выехал раньше.

Показать ответ и решение

Можно рассмотреть четыре случая (они соответствуют тому, что кто-то один из двоих стартовал первым, и кто-то один из двоих сделал остановку).

Но можно заметить, что если остановку делал велосипедист, то не важно, выехал он раньше или позже мотоциклиста, в движении он находился меньше времени, чем мотоциклист, и поэтому в В приедет позже. Значит, остановку делал мотоциклист. Тогда, обозначая через $t$ время движения велосипедиста и через $V$ его скорость, получаем два случая:
а) Если велосипедист выехал раньше, то $Vt= 2V(t− 3),$ откуда $t=6.$ Поэтому время финиша равно $12:00+ 6= 18:00.$
б) Если мотоциклист выехал раньше, то $Vt= 2V(t− 1),$ откуда $t= 2.$ Тогда время финиша равно $13:00+ 2= 15:00.$

Ответ:

$15:00$ или $18:00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90896

Велотрек имеет форму окружности. Из его диаметрально противоположных точек одновременно стартуют два велосипедиста, которые двигаются против часовой стрелки с постоянными скоростями. Сколько полных кругов проедет каждый велосипедист до того момента как они поравняются первый раз после старта, если отношение их скоростей равно $32 31$ .

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — длина круга, а $v$ — скорость более медленного. Тогда они встретятся через $-S2---= 31S- 3231v−v 2v$ времени. За это время медленный проедет 15 с половиной кругов, а быстрый 16.

Ответ: медленный проедет 15 с половиной кругов, а быстрый 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31286

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: экономисты, историки и филологи. На каждых двоих филологов приходится 3 человека, считающихся экономистами или историками, а на каждых пятерых экономистов приходится 7 человек, считающихся историками или филологами. Найдите количество историков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем переменные для количеств экономистов (x), историков (y) и филологов (z), и составим уравнения.

Подсказка 2

Уравнения составлены, но у нас три неизвестные и два уравнения - однозначно найти все не получится. Хочется выразить все переменные через одну, например, через z.

Подсказка 3

Все переменные - целые. Значит, мы можем воспользоваться делимостью! Действительно, если 11z = 24y и 25z = 24x, то z должно делиться на 24. Вспомним условие: школьников всего <= 100. Какие ограничения оно накладывает?

Подсказка 4

Из условия следует, что x + y + z <= 100. Осталось доказать, что при слишком больших z (z >= 48) это условие не будет выполняться.

Показать ответ и решение

Пусть экономистов, историков и филологов соответственно $x$ , $y$ и $z$ , тогда:

{ -z-= 2 { 3z = 2x+ 2y { 11z = 24y x+xy 35 =⇒ =⇒ z+y = 7 5z = 7x− 5y 25z = 24x

Все числа натуральные, потому $z$ кратно 24. Если $z ≥48$ , то $y ≥ 22,x ≥50$ , откуда сумма больше 100, а иначе $z = 24,y =11,x= 25$ .

Ответ:

$11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67534

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: физики, химики и биологи. На каждых двоих биологов приходится 5 человек, считающихся физиками или химиками, а на каждых троих физиков приходится 7 человек, считающихся химиками или биологами. Найдите количество химиков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,y,z$ — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Тогда по условию задачи получим систему уравнений:

({ 5x= 2(y+z) ( 7z = 3(x+y)

( { 5x − 2y = 2z ( 7z =3x+ 3y

( { 5x− 14z3-+2x= 2z|⋅3 ( 7z y = 3 − x|⋅21

({ 21x= 20z ( 21y = 49z− 20z = 29z

({ 21x= 20z ( 21y = 29z.

Это значит, что минимальные значения могут быть только: $x= 20,y = 29,z =21.$

Ответ:

$29$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47044

Однажды два друга вложили деньги в общее дело: каждый вложил свою сумму, а вместе — $1$ млн руб. За ночь один из них вложил в то же дело дополнительную сумму. Сколько всего денег он вложил в итоге, если его новая доля в общем деле оказалась в $7$ раз больше прежней, тогда как доля другого - в $3$ раза меньше прежней?

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва, конечно же, надо обозначить что-нибудь. Как можно удобно ввести переменные?

Подсказка 2

Поскольку в задаче в основном фигурирует первый друг, то логично обозначить переменными вложенные им суммы. После этого получится система двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую, получаем ответ на задачу!

Показать ответ и решение

Пусть изначально первый вложил $x$ миллионов рублей, а второй $1− x$ миллион рублей. После чего первый вложил ещё $y$ миллионов, тогда получим систему

{ 7x= x+y 1−x 1+1y−x =⇒ 7x+ 1−-x= 1 ⇐⇒ 21x+1 − x =3 ⇐ ⇒ x =0.1 3 = 1+y 3

Из второго уравнения $y =2$ миллиона, тогда всего первый вложил $x+ y = 2.1$ миллионов.

Ответ:

$2 100 000$ рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89258

Незнайка собирается приготовить ко дню своего рождения три бочки малинового морса, смешивая малину с водой, причём процентное содержание малины в бочках будет таково, что если смешать содержимое бочек в отношении $1:2:3$ , то получится $10%$ морс, а если в пропорции $5:4:3$ , то получится $25%$ морс. Каким будет процентное содержание малины в морсе при смешивании равных количеств исходных трёх растворов? Каким планируется содержание малины в третьей бочке?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется понять, а что нам вообще дано изначально. Запишите систему из двух уравнений, пользуясь данными из условия.

Подсказка 2

Пусть p, q, r – объем малины в одном литре растворов в первой, второй и третей бочках соответственно. Как мы видим, у нас получается два уравнения и три неизвестных. Ситуация не из приятных. Но обратите внимание на коэффициенты и свободные члены уравнений. Как мы можем получить значение сразу двух переменных за несколько действий?

Подсказка 3

Мы имеем два уравнения p + 2q + 3r = 6*0,1 и 5p + 4q + 3r = 12*0,25. Умножим первое на 5 и вычтем из него второе. Получили, что 6q + 12r = 0. Что нам дает это уравнение? Вспомните, какие значения могут принимать p, q, r.

Показать ответ и решение

Пусть $p,q,r$ - объемы малины в одном литре (процентное содержание) растворов в первой, второй и третьей бочках соответственно. Заметим, что $0≤ p,q,r≤1$ . Планы Незнайки означают

{ p+ 2q+ 3r= 6⋅0,1, 5p+4q+ 3r= 12 ⋅0,25

p+ q+ r= 0,6= 3⋅0,2

Далее из системы, умножая первое уравнение на 5, и вычитая из полученного второе, получаем

6q+ 12r= 0

q = r= 0

Ответ:

В морсе при смешивании будет $20%$ малины, а в третьей бочке малины не будет ( $0%$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91542

На выборах кандидат получил от $50,332%$ до $50,333%$ голосов. Какое при этом могло быть наименьшее число избирателей?

Показать ответ и решение

Пусть было $n$ избирателей, и за данного кандидата отдано $k$ голосов. Тогда

k 0,50332≤ n ≤0,50333

2k 1,00664≤ n-≤ 1,00666

Если обозначить $m= 2k− n$ , то

0,00664≤ m-≤ 0,00666 n

a) Если $m =1$ , то

150,1< ---1--≤ n≤ ---1--< 150,7 0,00666 0,00664

Целых решений нет.

б) Если $m =2$ , то

--2--- --2--- 300< 0,00666 ≤ n≤ 0,00664 < 302.

Но если $n= 301$ и $m= 2$ , то соответствующего значения $k$ не существует.

в) Если $m =3$ , то

450< ---3--≤ n≤ ---3--< 452 0,00666 0,00664

Значит, $n= 451$ и $k =227$ , и все неравенства выполняются.

Ответ: только 451

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#38867

Коробка с сахаром имеет форму прямоугольного параллелепипеда. В ней находится $280$ кусочков сахара, каждый из которых — кубик размером $1× 1×1$ см. Найдите площадь полной поверхности коробки, если известно, что длина каждой из её сторон меньше $10$ см.

Источники: ПВГ-2017, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас 280 - это объем. То есть перемножение длины, высоты и ширины. Давайте посмотрим, как оно раскладывается!

Подсказка 2!

2) Да, осталось выяснить, почему у нас только один вариант для разбиения множителей на длину, ширину и высоту. (Используем, что они меньше 10)

Показать ответ и решение

Объём коробки равен $280 =23⋅5⋅7$ кубических сантиметров. Из разложения легко видеть, что подойдут стороны $5,7,8,$ для которых площадь равна $2⋅(5⋅7+5 ⋅8+ 7⋅8)= 262$ см $2 .$ Докажем, что длины именно такие. Одна из них кратна $5,$ но меньше $10,$ то есть должна быть равна $5,$ аналогично вторая равна $7,$ а третья неизбежно равна $8.$

Ответ:

$262$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90891

Между пунктами $A$ и $B$ с постоянной скоростью курсирует один автобус (время на остановки пренебрежимо мало). Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 11 км/ч выехал велосипедист и за время пути строго между этими пунктами ровно 5 раз поравнялся с автобусом. В каких пределах может находиться скорость автобуса при этих условиях?

Показать ответ и решение

Пусть время пути велосипедиста равно $t$ часов, тогда расстояние между остановками равно $11t$ км.

Заметим, что пока автобус едет от одной остановки до другой, он может встретить велосипедиста максимум 1 раз. Получается, автобус ехал от одной остановки до другой минимум 5 раз, а значит, он побывал на остановках минимум 4 раза, то есть расстояние, которое он проехал, не меньше $33t$ км.

Предположим, что расстояние, которое проехал автобус за время движения велосипедиста, равно $33t.$

Пусть во время начала движения велосипедиста автобус был на расстоянии $k$ км от остановки, в сторону которой ехал, где $0≤ k< 11t.$ Тогда сначала автобус проехал $k$ км до следующей остановки, за это время он встретил велосипедиста максимум 1 раз. Затем он развернулся и проехал $11t$ км до другой остановки, по пути встретив велосипедиста ровно 1 раз. Далее он ещё раз развернулся и проехал $11t$ км, так же встретив велосипедиста ровно 1 раз. Наконец, автобус развернулся последний раз и до окончания движения велосипедиста проехал ещё $(11t− k)$ км, встретив велосипедиста не более одного раза за это время. Всего получается, что автобус встретил велосипедиста не более четырёх раз, что не равно пяти.

Получили противоречие, а значит, автобус проехал строго больше $33t$ км.

С другой стороны, автобус не мог посетить остановки больше шести раз, так как между двумя остановками он точно встречает велосипедиста. Отсюда расстояние, которое проехал автобус, не больше $77t$ км.

При этом $77t$ км достигается, если автобус выехал из пункта $A$ одновременно с велосипедистом. В таком случае, велосипедист за время пути ровно 5 раз поравнялся с автобусом строго между остановками и 2 раза встретился с автобусом на остановках.

Если скорость автобуса не меньше 66 и не больше 77, то ровно 5 встреч с велосипедистом строго между остановками достигаются, если автобус и велосипедист одновременно отъехали от пункта $A.$

А если скорость автобуса больше 33, но меньше 66, то 5 встреч достигаются, если автобус подъезжал к пункту $A,$ когда велосипедист начал движение между остановками.

Значит, скорость автобуса находится в пределах $(33;77]$ километров в час.

Ответ:

$(33;77]$ км/ч

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90894

Две бригады рабочих выполнили одинаковую работу. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на пять человек больше, то она могла бы закончить работу на два часа раньше. Найдите число рабочих в бригадах, если производительности всех рабочих одинаковы.

Показать ответ и решение

Пусть в первой группе $x$ рабочих, во второй $y$ , а всего работы $S$ . Тогда по условию нам дано.

S S x-+0.5= y-

--S- +2 = S x +5 x

Из второго уравнения следует, что

Sx+ 2x(x +5)= Sx+ 5S

S = 2x(x+-5) 5

Тогда первое уравнение превращается в

2(x-+5)+ 0.5= 2x(x+-5) 5 5y

4(x+ 5)+5 = 4x(x+-5) y

4x(x+ 5) 5x y = 4(x+-5)+5-= x− 4(x+-5)+5-

$y$ должен быть целым, поэтому $4(x5+x5)+5-$ целое. Если $4(x5+x5)+5-= 1$ , то $x= 25$ , если $4(x+5x5)+5 ≥ 2$ , то $5x ≥8(x+ 5)+10$ . Значит единственный ответ $x= 25$ и $y =24.$

Ответ: 25 в первой и 24 во второй

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#34644

На соревнования по лёгкой атлетике ученики школы приехали на автобусе, вмещающем не более 40 человек. Каждый из них участвовал в одном из видов соревнований. При этом $1∕7$ часть учеников завоевали золотые медали, $1∕4$ часть — серебряные и ещё $1∕4$ — бронзовые. На обратном пути медалисты решили собрать деньги и купить по одному торту каждому из спортсменов, оставшемуся без медалей. Сколько тортов им придётся покупать?

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметьте, что информация про автобус говорит нам о том, что человек может быть от 1 до 40... Просто рассмотрите 40 вариантов! Но, конечно же, задача не об этом. Подумайте, как информация про завоеванные медали поможет этот перебор сократить

Подсказка 2

Если нам говорят о том, что 1/n часть учеников что-то там получила, то, выходит, количество учеников мы смогли поделить на n, то есть это количество было кратно n. А условия на кратности уже сильно сокращают варианты для общего количества человек в автобусе!

Показать ответ и решение

Из условия следует, что число учеников должно быть кратно $4$ и $7.$ В силу взаимной простоты этих чисел количество учеников должно быть кратно $28.$ Но раз оно не больше $40,$ то учеников ровно $28.$ Отсюда медали завоевали $28- 28- 7 +2⋅ 4 =18.$ Соответственно без медалей остались $10$ человек, столько и надо купить тортов.

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#44156

Два мальчика в течение нескольких часов ходили кругами вокруг здания, оба по часовой стрелке, каждый с постоянной скоростью. Более быстрый проходил один круг за $5$ минут, более медленный — за некоторое целое число минут. При этом время между встречами тоже равнялось некоторому целому числу минут, причём оно было не меньше $12$ . За какое время более медленный мальчик проходил полный круг?

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Воспользуемся частой идеей про задачи на круговое движение - выразим скорость их сближения через разность скоростей. Для этого нам понадобится время встречи, а еще время обхода круга каждым из них. Одно из них мы знаем, оставшиеся два неизвестных можем обозначить за t и t'.

Подсказка 2!

2) Итак, мы получим уравнение S/t = S/5 - S/t'. Заметим, что так как t' - целое, мы могли бы найти все подходящие t'!

Подсказка 3!

3) Для этого нужно сократить на S и получить несколько вариантов для t'. Останется только их разобрать!

Показать ответ и решение

Время между их встречами равно $t≥ 12$ , а время обхода круга для второго $t > 5 1$ . Запишем скорость сближения через разность их скоростей ( $S$ — длина круга)

S S S t-= 5 − t1 =⇒ 5t1 = (t1− 5)⋅t

Заметим, что $Н ОД(t1,t1− 5)∈{1,5}$ , потому $t1− 5∈{1,5,25}$ , чтобы $5t1$ было ему кратно. Если $t1− 5= 1,t1 = 6$ , то имеем $t= 30$ . Иначе $t1 ≥10$ . В этом случае первый хотя бы в два раза быстрее и время между встречами будет не более $10$ минут, поскольку за это время первый пройдёт два круга, а второй не более одного. Отсюда наш ответ единственный возможный.

Ответ:

$6$ минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44157

Для бригады маляров-учеников была запланирована окраска $360$ кв.м. стен. Перед началом работы один из учеников заболел, и вместо него работал мастер, производительность которого в $3$ раза больше производительности каждого из учеников. Поэтому каждый из учеников в действительности покрасил на $6$ кв.м. меньше, чем планировалось. Все ученики и мастер работали одинаковое время. Сколько учеников работало?

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте посмотрим, если всего учеников x, а покрасить надо было 360, то каждый должен был покрасить по 360/x, а покрасил 360/x - 6.

Подсказка 2!

2) Как бы нам записать, сколько покрасил мастер? Так как его производительность была в три раза больше, давайте считать, что добавление мастера это то же самое, что добавить трех учеников вместо одного! Попробуйте в таком случае записать уравнение на то, сколько в итоге было покрашено детьми и мастером!

Показать ответ и решение

Мастер работает в три раза быстрее, поэтому в суммарной производительности его можно считать за троих учеников.

Если всего учеников изначально было $n$ , то каждый планировал покрасить $360- n$ , а по факту покрасил $360 n − 6$ . Мастер красил вместе с ними как три ученика, а ещё один ученик заболел, поэтому суммарно они покрасили $(360 ) (n+ 3− 1)⋅ n − 6 =360$ . Осталось решить полученное уравнение

(60 ) (n+ 2) n-− 1 = 60

60+ 120− 2− n= 60 n

n2+ 2n− 120= 0

n =10

Изначально было $n =10$ учеников, но так как один заболел, то всего работало $9$ .

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#44155

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса, которые встретились $2$ февраля в $12:00.$ Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всём пути постоянные, и один из них прибыл $3$ февраля в $04:00$ в пункт $B$ , а другой прибыл $3$ февраля в $13 :00$ в пункт $A$ .

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Задачи с датами и временем часто пытаются запутать, давайте попробуем достать из условия то, что мы знаем. После встречи один из автобусов ехал 16 часов, а второй - 25. А время, которое они ехали до встречи мы не знаем, но оно одинаковое! Попробуйте составить уравнение.

Подсказка 2!

2) Верно, мы можем сказать, что 16/t = t/25. (так как каждый из автобусов либо от А до встречи либо от В до стречи проехал за t, а оставшуюся часть за 16 или 25).

Показать ответ и решение

Первый после встречи ехал ещё $16$ часов, а второй — $25$ . Пусть до встречи они ехали $t$ часов, тогда $25= -t t 16$ , как отношение их скоростей (для каждого из двух участков, время езды каждого по которым мы знаем), отсюда $t= 20$ часам и выехали автобусы $1$ февраля в $16:00.$

Ответ:

$1$ февраля, $16:00$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#44158

Для перевозки $60$ тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки $120$ тонн песка оказалось необходимо на $5$ рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Начнем составлять уравнение! Пусть у нас грузоподъемность это t, а рейсов в первом случае (перевозка 60 тонн) будет k. Запишите тогда, что мы исходя из этого можем понять про t и k?

Подсказка 2!

2) Вот что: t(k-1) < 60 <= t(k), так как у нас не хватило k-1 рейса, а k рейсов хватило! Попробуйте теперь записать аналогичное условие для второго случая перевозки 120 тонн.

Подсказка 3!

3) Теперь давайте разделим оба уравнения на t! И попробуем понять, каким может быть в таком случае).

Показать ответ и решение

Пусть грузоподъёмность равна $t$ (тонн/рейсов), а для перевозки $60$ тонн понадобилось сделать $k$ рейсов, тогда в тоннах имеем

{ t(k − 1)< 60≤ tk { 2(k− 1) <2⋅ 60 ≤2k ⇐⇒ 120 t t(k +4)< 120 ≤t(k+5) k +4 < t ≤ k+ 5

Отсюда также выполнены неравенства

{ 2(k− 1)< 120≤ k+5 { 2(k− 1)<k +5 k+ 4< 120t≤ 2k =⇒ k +4 <2k ⇐ ⇒ 4 <k <7 t

При $k= 5$

{ 4t<60≤ 5t [ 40) 9t<120≤ 10t ⇐ ⇒ t∈ 12, 3

При $k= 6$

{ [ ) 5t< 60 ≤6t ⇐ ⇒ t∈ 120,12 10t<120≤ 11t 11

Ответ:

$[120;40) 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#64356

Пункты $A$ , $B$ , $C$ расположены последовательно, причём расстояние $AB$ равно 3 км, а расстояние $BC$ равно 4 км. Из пункта $A$ выехал велосипедист и поехал в пункт $C$ . Одновременно с ним из пункта $B$ вышел пешеход и направился в пункт $A$ . Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты $A$ и $C$ одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта $A$ они встретились.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые и конечные точки у пешехода и велосипедиста разные. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка велосипедиста на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции всего отрезка велосипедиста. А что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

Тогда по условию $XZ =3$ и $TY = 7.$ Из признака подобия $OX-= XZ= 3. OY TY 7$ Отсюда доля пути из $A$ в $C$ , которую проехал велосипедист до его встречи с пешеходом равна $OX- 3- XY = 10$ . Значит, от точки встречи до пункта $A$ расстояние $-3 10 ⋅AC = 2,1.$

Ответ:

2100 метров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#68088

В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 5 кг и 10 кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен 100 кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нём типов, то их суммарный вес будет равен 15 кг. Количество самых тяжёлых из находящихся в контейнере изделий на 5 больше, чем количество всех остальных изделий в нём. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, давайте подумаем про второе условие, а именно, что суммарный вес различных изделий равен 15! А какое условие должно выполняться, чтобы при сложении некоторых из чисел 1, 2, 3, 5, 10 получить 15?

Подсказка 2

Верно, 10 точно есть в нашей сумме! Иначе сумма будет не больше чем 11. Если одно из чисел равно 10, то чему могут равняться другие в нашем наборе?

Подсказка 3

Да, это либо число 5, либо числа 2 и 3! Но может ли выполняться первое условие, что сумма всех наших чисел равна 100, если числа в наборе только 10 и 5? А если 2, 3, и 10?

Подсказка 4

Поскольку десяток на 5 больше, чем других чисел в наборе, то можно явно составить уравнения. Для первого случая: 5x + 10(x+5) = 100; для второго случая: 2x + 3y + 10(x+y+5)=100. Могут ли оба случая выполняться?

Подсказка 5

Первый случай выполняться не может в силу натуральности x, а второй случай может выполняться, нужно лишь найти нужные x и y, а также показать, что других нет!

Показать ответ и решение

Набор по одному изделию каждого вида общим весом $15$ кг можно составить из этих предметов только двумя способами:

10 кг и 5 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 5 кг, по условию самых тяжелых изделий (массой 10 кг) — на 5 штук больше, т.е. $x +5$ . Получим:
$5x+ 10(x +5)= 100$
$15x= 50$ — не имеет целочисленных решений. Значит этот случай невозможен.
10 кг, 2 кг и 3 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 2 кг, $y$ — количество изделий массой 3 кг. Тогда по условию $x +y+ 5$ — количество изделий массой 10 кг. Получим:
$10(x+y +5)+ 2x +3y =100$
$12x+ 13y =50$
$13y = 50− 12x$ справа разность двух четных чисел, следовательно $y$ может быть только четным и натуральным.
При $y = 2$ имеем:
$26= 50− 12x =⇒ x= 2$ (изделий по 2 кг)
$x +y+ 5= 9$ (изделий по 10 кг).
При $y = 4,6,8$ и т.д. получается $13y >50$ , т.е. решение $y = 2$ — единственное.

Ответ:

$2$ изделия по $2$ кг, $2$ изделия по $3$ кг, $9$ изделий по $10$ кг

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#44154

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $121% 3$ . При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на $15%$ , а вес рюкзака второго — на $10%$ . Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Источники: ПВГ-2014, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас очень много условий, завязанных на весах двух рюкзаков, давайте составим с ними уравнения! Обозначим веса рюкзаков за х и у...

Подсказка 2!

2) Запишем веса рюкзаков в конце похода? Это 85x/100 и 90y/100. А вот теперь попробуйте записать первое условие о том, что их суммарный вес уменьшился!

Подсказка 3!

3) Да, мы получим, что суммарный вес стал (x+y)*(300-37)/300! Таким образом мы с двух сторон подсчитали, как изменился вес двух рюкзаков суммарный. Осталось только дорешать!

Показать ответ и решение

Пусть изначально веса рюкзаков были $x,y$ для первого и второго соответственно. Тогда после уменьшения они стали $x⋅0.85,y ⋅0.9$ , откуда выполнено