Тема Росатом

Алгебраические текстовые задачи на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83296

На стадионе имеются две беговые дорожки. Каждая из них является границей квадрата со сторонами 200 м и 300 м соответственно. Квадраты имеют общую вершину А и две стороны меньшего квадрата лежат на сторонах большего квадрата. Два друга Петя и Коля решили пробежаться, но выбрали для этого разные дорожки. Стартовали одновременно из точки А и бежали 3 часа в одном направлении с одинаковой скоростью 100 м/мин. Сколько минут за время тренировки ребята бежали рядом с друг другом?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Назовём общую вершину А, а вершины малого квадрата, лежащие на сторонах большого - B и C. Пусть движение происходит от В к С. Тогда моменты встречи в В определяют начало промежутка в 4 минуты, когда ребята бегут вместе. Как бы найти эти моменты времени для каждого мальчика...

Подсказка 2

Верно, нужно рассчитать, сколько времени потребуется каждому, чтобы добраться до точки В, а затем найти, за сколько минут они пробегут целый круг и вернутся в В. Если мы умножим время, за которое каждый из мальчиков пробегает квадрат на какое-то целое число, и добавим соответствующее время добегания до точки В, то сможем найти все моменты времени, в которые ребята оказывались в этой точке.

Подсказка 3

Получаем 1+3t=2k. Обратите внимание на чётность)

Подсказка 4

Верно, t может быть только нечётным. Иначе говоря, t=2m-1 при нечётном m. Надо только подставить m в начальное уравнение времени касательно t и найти, при скольких m оно меньше 1000. Это и будет количество 4-минутных встреч. И не забудьте прибавить 2 минуты, что ребята вместе пробежали в самом начале!

Показать ответ и решение

Пусть движение происходит в направлении против часовой стрелки. Введём обозначения как показано на рисунке:

$PIC$

Петя бежит по большой дорожке из точки $A$ , Коля — по малой. Моменты времени, в которые Петя и Коля попадают в точку $B$ за $100$ минут бега, описываются сериями: $10+12t,6+ 8k$ (считаем в минутах, $t$ и $k$ — целые). Моменты встречи друзей в точке $B$ определяют начало промежутка времени в $4$ минуты, в течении которого они бегут вместе. Также необходимо учесть, что в самом начале они вместе пробегают отрезок $AC$ за $2$ минуты.

Найдём, когда серии пересекаются: $10 +12t= 6+8k,1+3t= 2k$ . Видим, что если $t$ чётно, то не найдётся такого $k$ , чтобы равенство выполнилось, а если нечётно — найдётся. Значит, $t= 2m − 1$ и серия, описывающая встречи в точке $B,$ имеет вид: $24m − 2$ . За 3 часа встречи происходили при $24m − 2 ≤180 =⇒ m≤ 7$ Значит, они пробегают вместе $2+7⋅4 =30$ минут.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83299

На плоскости нарисовано 300 прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной - на гиперболе $y = 3x+5 x$ в точках с абсциссой $x= n,n= 1,2,3,...,300$ , со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найти площадь $D$ .

Источники: Росатом - 2024, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.

Подсказка 2

Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?

Подсказка 3

Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.

Подсказка 4

Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!

Показать ответ и решение

Обозначим $3+ 5 x$ через $f(x)$ .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой $f(n)− f(n +1)$ (если считать $f(301)= 0$ , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

f(1)− f(2)+f(2)− f(3)+...+ f(299)− f(300)+f(300)− 0= f(1)= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83305

У Пети в семье, помимо папы, мамы и бабушки, есть ещё братья и сёстры. Средний возраст папы, мамы и бабушки на 15 лет больше среднего возраста детей и на 10 лет больше среднего возраста всех членов семьи. Сколько в семье детей?

Источники: Росатом - 2024, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте составим уравнение. Так как речь идёт о среднем возрасте, можно обозначить сумму возрастов взрослых за x, детей - за y, а количество детей через n. Теперь можем составить систему уравнений.

Подсказка 2

Пользоваться дробями нам не очень удобно, а так как ни одна из переменных не равна нулю, можем домножить уравнения на знаменатели дробей. Заметим, что одна из сторон обоих уравнений одинакова. Остаётся только приравнять другие стороны и выразить отсюда n

Показать ответ и решение

Обозначим сумму возрастов папы, мамы и бабушки через $x$ , сумму возрастов детей через $y$ , а количество детей через $n$ . Тогда справедливы следующие равенства:

x y x x+ y 3 = 15 + n,3 = n-+3 +10

Преобразуем равенства:

nx= 3y+45n,nx= 3y+ 30(n+ 3)

Видно, что

45n = 30(n+ 3)

n= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68074

Петя и Вася пригласили одноклассников на свой день рожденья в дом Пети и посадили всех за круглый стол пить чай. Петя отметил для себя наименьшее число стульев, разделяющих его с каждым из приглашенных гостей, кроме Васи. Сложив полученные числа, он получил 60 . Найти число стульев за столом, если известно, что оно четное. Какое наименьшее число стульев разделяло Петю и Васю?

Источники: Росатом-2023, 11.1, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем для начала ввести удобные обозначения для количества людей между Петей и человеком. Заметим, что Петя считал наименьшие расстояния до людей на окружности. Тогда что особенного с подсчётом на ней? Можем ли мы просто пронумеровать подряд людей, и это будет правильно?

Подсказка 2

Верно, когда мы считаем наименьшее число на окружности, например, по часовой стрелке, то при переходе через середину это число уже не будет наименьшим, потому что мы могли пойти против часовой и получить меньшее число. Значит, мы нумеруем людей через подсчитанные расстояния Пети до середины, а потом в обратном порядке. Учитывая, что всего чётное число людей, найти сумму этих расстояний, включая Васю не составляет труда. Чтобы воспользоваться дальнейшим условием задачи, что хорошо ввести?

Подсказка 3

Да, можно ввести то, что спрашивают у нас в задаче. То есть пусть всего людей было 2n, а подсчитанное расстояние до Васи это y. Тогда мы понимаем как записывается то, что посчитал Петя и чему оно равно по условию. Также можно написать условие для расстояния до Васи, снова учитывая, что мы считаем его на окружности. У нас получилась система, решив которую для натурального n, мы получим ответы на задачу.

Показать ответ и решение

Пусть за столом стояло $2n$ стульев (т.е. за столом сидело всего $2n$ человек). На круге точками отмечены стулья. Числом рядом с точкой обозначено количество стульев, разделяющих Петю и человека, сидящего на этом стуле.

Тогда число стульев, посчитанных Петей, включая Васю, равно

2 2(1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+(n− 2))+ (n− 1)= (n− 1)(n− 2)+(n− 1)=(n− 1)

Обозначим $K B$ число стульев, вычисленное для Васи. Тогда

({ 2 ({ 2 (|{ 2 (n − 1) − KB =60 ⇔ KB =(n− 1) − 60 ⇔ KB =√-(n − 1) − 60√- ( 0≤ KB ≤(n− 1) ( 0≤ (n − 1)2− 60≤ (n− 1) |( 1+ 60≤ n≤ 3+-2241

Учитывая, что $n∈ ℕ$ , $8< 1+ √60$ , $√--- 8< 3+--241< 10 2$ , получим единственное натуральное решение двойного неравенства: $n = 9$ . Тогда число стульев за столом равно $2n = 18$ , а количество стульев, разделяющих Петю и Васю, $KB = (n− 1)2− 60= 64− 60=$ $=4.$

Ответ: за столом 18 стульев, разделяло минимум 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76628

Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в 4 раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более 1 км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (время нахождения автобуса на остановке не учитывать)

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это задача на движение и скорости. Значит, здесь можно ввести достаточное количество переменных и тождественными преобразованиями/оценками получить всё, что нам нужно. Если расстояние до остановки, которая сзади Пети - x, а расстояние между остановками равно а (в момент того, как Петя увидел автобус), то нам надо понять, для каких а как надо поступать Пете, чтобы точно сесть на автобус.

Подсказка 2

Это зависит от неравенства со скоростями. Пете удобно бежать к задней остановке, если x/v ≤ (1 - x) / (4v), где v - скорости Пети. То есть когда расстояние до остановки сзади не больше 1/5. Попробуйте написать такое же неравенство, когда ему надо бежать к передней остановке и понять, как оба этих неравенства ограничивают а.

Подсказка 3

(a - x)/v ≤ (1 - x - a)/(4v). Остаётся только написать пример, когда это достигается, но это очевидно делается, если понять, когда в каждом нашем неравенстве достигается равенство.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A$ — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, $P$ — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, $B$ — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, $C$ — положение следующей за $B$ остановки, $a$ — расстояние между остановками, $X$ — расстояние между точками $B$ и $P$ , $v$ — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке $B$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

x≤ 1−-x⇒ x ≤ 1 v 4v 5

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке $C$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

a−-x 1− x-+a 1 v ≤ 4v ⇒ a− x≤ 3

Наибольшее допустимое значение $a$ соответствует пересечению прямых $1 x= 5$ и $1 a= x+ 3.$ В итоге находим $-8 amax = 15.$

Ответ:

$-8 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76639

Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома – два заказа, и т.д. от жителей шестого – шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть точка О - выбранная нами. Обозначим расстояние от О до i-того дома за d_i. Какую сумму мы хотим минимизировать? Что интересного можно заметить среди коэффициентов?

Подсказка 2

Заметим, что 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Как тогда можно преобразовать нужную нам сумму? Как можно оценить слагаемые, если смотреть на расположение домой как на выпуклый многоугольник?

Подсказка 3

Мы хотим минимизировать (d1 + d7) + 2(d2 + d7) + 4(d4 + d7) + 5(d5 + d7) + 6(d6 + d7). Каждое слагаемое можно оценить с помощью диагонали в выпуклом многоугольнике, который образуют дома.

Подсказка 4

Получается, что минимизировать нужную нам сумму получится только в случае, если слагаемые будут в точности равны диагоналям. Осталось лишь понять, в какой точке О это возможно!

Показать ответ и решение

Пусть $O$ – произвольная точка привоза товара, $d ,d,,...,d 1 2 7$ – расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:

∑ =1 ⋅d1+ 2d2+3d3+ 4d4 +5d5+ 6d6+ 21d7 =

= (d1+ d7)+ 2(d2+ d7)+4(d4+d7)+ 5(d5+ d7)+ 6(d6+ d7)

$PIC$

Из неравенства треугольника:

d1+d7 ≥ A7A1, d2+ d7 ≥ A7A2, d3+d7 ≥A7A3, d4+ d7 ≥ A7A4,

d5+ d7 ≥ A7A5, d6+d7 ≥ A7A6 (1)

Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.

∑ ≥A7A1 +2 ⋅A7A2 +3 ⋅A7A3 +4 ⋅A7A4 +5 ⋅A7A5 +6⋅A7A6 (2)

Правая часть неравенства $(2)$ не зависит от положения точки $O,$ поэтому

min∑ ≥A7A1 +2⋅A7A2 +3⋅A7A3 +4⋅A7A4 +5⋅A7A5+ 6⋅A7A6

Минимум достигается, когда точка $O$ совпадает с точкой $A7,$ поскольку в ней все неравенства $(1)$ превращаются в равенство.

Ответ: товары следует доставить в седьмой дом

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80501

В бассейне, на соседних дорожках тренируются два пловца Петя и Костя. Петя проплывает дорожку 50 м за две минуты, Костя — за три. Вначале тренировки оба находились на линии старта у края дорожки, спустя 60 мин тренировка закончилась. Сколько раз за это время, включая начало, они находились на одинаковом расстоянии от линии старта?

Показать ответ и решение

За 12 минут и Петя, и Костя возвращаются в начало дорожки. Заметим, что если они находятся на одинаковом расстоянии от линии старта, то именно в этот момент они меняются местами.

За один проплыв бассейна Петя встречается с Костей ровно один раз. Значит, за первые 12 минут они встретятся на старте, между 2 и 4 минутой, между 4 и 6 минутой, $...$ , между 8 и 10 минутой, а на 12 минуте вместе приплывут к старту. Значит, за 60 минут они $4⋅5$ раз встретятся в середине дорожке и 6 раз (но 0, 12, 24, 36, 48 и 60 минуте) на старте.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#67156

Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее $60%$ карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Докажите, что в школе есть ученик, забравший более $58%$ карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.

Источники: Росатом-19, 11.3 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что существует ученик, который взял достаточно много карандашей. Также есть условие про то, что в любой группе из 10 человек есть человек, который взял хотя бы 60 процентов карандашей из их группы. Это наталкивает на мысль упорядочить учеников по убыванию кол-ва взятых ими карандашей и доказывать что-то про ученика, который взял больше всех!

Подсказка 2

Давайте попробуем записать условие про группу из 10 человек, которые идут подряд по убыванию после нашего упорядочивания) Выйдет что-то вида x_k/(x_k + x_{k+1}+..+x_{k+9}) >= 0,6. Во что это можно преобразовать, чтобы получить оценку x_k через другой один x?

Подсказка 3

Например, можно получить что x_k >= 27/2 * x_{k+9}! Мы понимаем, что мы умеем оценивать x_1 через первые 10 иксов. А можем ли мы оценить теперь сумму вообще всех иксов через сумму первых десяти иксов?

Подсказка 4

Можем! С помощью нашего полученного неравенства) Остаётся только использовать обе эти оценки, чтобы получить оценку x_1 через сумму всех иксов, и станет понятно, что задача решилась!

Показать доказательство

Пусть ученики школы упорядочены по убыванию числа взятых ими карандашей: ученик под номером $k$ взял из коробки $x k$ карандашей и

x1 ≥ x2 ≥ ...≥ xk ≥xk+1 ≥ ...

По условию для любого $k$ выполняется неравенство. Преобразуем его

-------xk-------- xk+ xk+1 +...+ xk+9 ≥ 0,6

(1− 0,6)xk ≥0,6(xk+1+ ...+ xk+9)

3 3 27 xk ≥ 2(xk+1+...+xk+9)≥ 2(xk+9 +...+xk+9)= 2-xk+9

То есть $xk+9 ≤ 227xk$ для любого $k.$ Тогда для любого $n$

x2 +x3+ ...+ xn = (x2+ x3+ ...+ x10)+ (x11+ x12+ ...+ x19)+

( ( )2 ) + ...≤ (x2 +x3+ ...+ x10)⋅ 1+ -2 + 2- +... 27 27

По условию

x1 ≥ 0,6(x1+ x2 +...+ x10)

0,4x1 ≥ 0,6(x2+ ...+x10)

2 x2+ ...+ x10 ≤ 3x1

Суммируя прогрессию, получим неравенство.

27 27 2 18 x2+ x3+...+xn ≤25 (x2+ x3+ ...+x10)≤ 25 ⋅3x1 = 25x1 =⇒

=⇒ x1+ x2+ x3+...+xn ≤ 4235x1

Если в школе $n$ учеников, то

x1 ≥ 25-(x1+ x2+ x3+...+xn)> 43

> 0,58 ⋅(x + x +x +...+ x ) 1 2 3 n

Итого, ученик под номером $1$ забрал более $58%$ карандашей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89256

На проволоку в форме окружности радиуса 6 нанизаны 5 одинаковых бусинок, равноотстоящих друг от друга. В некоторый момент времени 4 бусинки начали двигаться со скоростью $π 2(1∕$ сек) в направлении против часовой стрелки, а оставшаяся бусинка с той же скоростью в обратном направлении. После столкновения любых двух бусинок величина скорости их движения сохраняется, а направление мгновенно меняется на противоположное. Сколько столкновений произойдет между бусинками за 48 секунд?

Показать ответ и решение

Для начала решим задачу в общем виде. Пусть $m = 5$ (бусин всего) , $v = π(1∕ 2$ сек), $R= 6$ и $T = 48$ (сек). Рассмотрим столкновение двух бусинок $A$ и $B$ .

До столкновения бусинки двигались навстречу друг другу. После столкновения — наоборот, удаляются друг от друга.

Так как бусинки по виду одинаковые, то поменяв на правом рисунке буквы $A$ и $B$ местами, можно интерпретировать столкновение как переход бусинки $A$ через бусинку $B$ (так как бусинка $A$ теперь движется так, будто продолжает движение бусинки $B$ ). За один оборот окружности по часовой стрелке образ бусинки $A$ совершает $(m − 1)$ столкновение. С учётом относительности движения один оборот совершается за $2πR πR- 2v = v$ сек. Если число $T$ ему кратно, то за время $T$ совершается $T⋅v πR$ полных оборотов, что сопровождается $T⋅v πR ⋅(m − 1)$ столкновениями. Итого:

T ⋅v ⋅(m − 1) k= ----πR----

Возвращаясь к замене переменной, получаем ответ:

π k= 48⋅2 ⋅(5−-1)-=16. π ⋅6

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92070

Координаты $(x;y)$ вершин треугольника $ABC$ являются решениями уравнения

|cos(x − 2y)|= −|cos(x+ y)|.

Найти наименьшее возможное значение площади треугольника.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

{ cos(x− 2y)= 0 { x − 2y = π +πm { x = π+ π(m +2k) cos(x+ y)= 0 → x+ y = π+ 2πk,k,m ∈Z → y 2= π3(k − m ) ,m,n ∈Z(∗) 2 3

Решения расположены в узлах «косой» решетки на плоскости образованной семейством прямых

L :x +y = π+ πk и L :x − 2y = π +πm k 2 m 2

Если две вершины, например, $A$ и $B$ , искомого треугольника $ABC$ наименьшей площади лежат на прямых семейства $Lk$ , то $A$ и $B$ являются соседними вершинами решетки (в противном, его площадь может быть уменьшена) и

π π π√2- |xA− xB|= 3,|yA− yB|= 3 → AB =--3-

Вершина $C$ находится на соседней (параллельной) прямой из семейства $Lk$ (иначе площадь может быть уменьшена). Поскольку расстояние между соседними прямыми из семейства $Lk$ одинаковое и равно $π√2$ , площадь треугольника $ABC$ равна $2 S1 = π6$ . Если две вершины, например, $B$ и $C$ , находятся на прямой семейства $Lm$ и являются соседними узлами решетки, то

√- |xB − xc|= 2π,|yB − yC|= π → AB = π-5 3 3 3

Вершина $A$ находится на соседней (параллельной) прямой семейства $Lm.$ Поскольку расстояние между соседними прямыми из семейства $L m$ одинаковое и равное $√π 5$ , площадь треугольника равна