Тема 5. Задачи на теорию вероятностей

5.05 Задачи повышенного уровня сложности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33

У странной Кати есть 10 чёрных и 10 синих ручек. Она раскладывает ручки в два кармана по 10 в каждый таким образом, чтобы при случайном выборе кармана и вытаскивании из него ручки наугад, вероятность получить синюю ручку была максимально возможной. Какую вероятность вытащить синюю ручку она получит?

Показать ответ и решение

Пусть в первом кармане $s$ синих ручек, тогда в другом кармане $10− s$ синих ручек.

Вероятность вытащить синюю ручку из первого кармана равна

0,5 ⋅ s-, 10

где 0,5 – вероятность выбора первого кармана.

Вероятность вытащить синюю ручку из второго кармана равна

10 − s 0,5⋅ -10--

Тогда вероятность вытащить синюю ручку равна

0,5⋅-s +0,5⋅ 10−-s = 0,5⋅ s+-10−-s = 0,5 10 10 10

(независимо от того, как именно разложены ручки, но при соблюдении условия «по 10 в каждом кармане»).

Ответ: 0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38

Монетку подбросили 1001 раз. Какова вероятность того, что выпало более 500 орлов? Ответ округлите до десятых.

Показать ответ и решение

Вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения более 500 решек (орёл и решка «равноправны»). Но «выпало более 500 решек» $=$ «выпало менее 501 орла». Таким образом, вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения менее 501 орла.

Но события «выпало более 500 орлов» и «выпало менее 501 орла» в объединении содержат все возможные исходы серии из 1001 подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна 1.

Таким образом, вероятность события «выпало более 500 орлов» равна $0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39

За круглый стол в случайном порядке рассаживаются Белоснежка, злая ведьма и 5 гномов (двое охраняют мероприятие). Найдите вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма не будут сидеть вместе. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Проще сначала найти вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма окажутся сидящими вместе. Пусть Белоснежка села на любое место, тогда чтобы злая ведьма села рядом с ней, ей нужно сесть на 2 места из оставшихся 6 (одно слева от Белоснежки, а другое справа). Тогда вероятность того, что злая ведьма сядет рядом с Белоснежкой равна

2= 1 6 3

А тогда вероятность того, что они не окажутся рядом равна

1 2 1− 3 = 3

После округления окончательно получаем $0,67.$

Ответ: 0,67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41

Каждый день Игорь ходит в магазин. По пути он переходит улицу по пешеходному переходу со светофором. Светофор работает в режиме: красный свет горит 170 секунд, зеленый свет горит 30 секунд. Сколько секунд в среднем Игорь стоит на этом светофоре? (Считаем, что Игорь переходит дорогу только на зелёный, причём делает это мгновенно).

Показать ответ и решение

Можно считать, что подходя к светофору, Игорь с равными вероятностями может видеть каждое из 170 красных чисел и с такими же вероятностями каждое из 30 зелёных чисел, то есть всего возможно 200 различных исходов.

При этом в этих исходах время ожидания: 1 секунда, 2, 3, ..., 170 секунд, 0 секунд, 0, ..., 0 секунд. Тогда в среднем Игорь тратит на ожидание

1+-2+-...+170-+0-+...+-0-= 1+-2+-...+170-= 72,675 секунд 200 200

Ответ: 72,675

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42

Антон играет в компьютерную игру, которая заключается в том, что компьютер выдаёт ему натуральное число от 1 до $N.$ Если число чётное — Антон выиграл, если нечётное – выиграл компьютер. Антон знает, что вероятность выпадения любого чётного числа равна $0,02,$ а вероятность выпадения любого нечётного числа равна $0,04.$ Найдите $N.$

Показать ответ и решение

Возможны два случая: 1) $N$ — чётное $(N = 2n);$ 2) $N$ — нечётное $(N = 2n+ 1).$

1) Чётных и нечётных чисел в игре одинаково и равно $n,$ тогда, так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до $N$ равна 1,

n⋅0,02+ n⋅0,04= 1

В итоге $n⋅0,06 = 1,$ но тогда $n = 530$ – не натуральное число, следовательно, случай 1) не подходит.

2) Нечётных чисел в игре больше чем чётных на одно, тогда чётных чисел в игре $n,$ следовательно, так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до $N$ равна 1,

n⋅0,02 +(n +1)⋅0,04= 1

В итоге $n⋅0,06= 0,96,$ тогда $n = 16,$ следовательно, $N =33.$

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#878

Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на 3? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна $1 -- 6$ . Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на $3$ остаток $0$ , два числа, дающих при делении на $3$ остаток $1$ и два числа, дающих при делении на $3$ остаток $2$ .

Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на $3$ остаток $1$ , равна $1 3-$ . С другими остатками аналогично.

Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на $3$ которых будут содержать единственный $0$ и два одинаковых числа?

Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на $3$ которых будут иметь вид:

0, 1, 1 1, 0, 1 1, 1, 0 0, 2, 2 2, 0, 2 2, 2, 0.

Вероятность любого из выписанных исходов равна

1-⋅ 1-⋅ 1-. 3 3 3

При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна

6 ⋅ 1-⋅ 1-⋅ 1-= 2. 3 3 3 9

После округления получим ответ $0,22$ .

Ответ: 0,22

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#890

Тимур считает вероятность наступления некоторого события $A$ в случае, если он подбросит правильную игральную кость сто раз. У него получилось, что вероятность наступления события $A$ равна $0,045$ . Известно, что Тимур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Учитель задумался, насколько ошибся Тимур (учителя интересует ответ, округлённый до десятых). Какой результат должен получить учитель?

Показать ответ и решение

Рассмотрим ситуацию, когда $P (A) = 0$ (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит $0,045$ . Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит $0,045$ , но все числа, не превосходящие $0, 045$ , при округлении до десятых дают $0$ . Таким образом, ответ: $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#909

Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник $ABCD$ , причём $AB = 5$ , $BC = 6$ , $CD = 4$ , $AD = 10$ . В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.

Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника $ABCD$ , проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину $B$ ?

Показать ответ и решение

Через вершину $A$ проходят стороны $AB$ и $AD$ , их сумма: $AB + AD = 15$ .

Через вершину $B$ проходят стороны $AB$ и $BC$ , их сумма: $AB + BC = 11$ .

Через вершину $C$ проходят стороны $BC$ и $CD$ , их сумма: $BC + CD = 10$ .

Через вершину $D$ проходят стороны $CD$ и $DA$ , их сумма: $CD + DA = 14$ .

Обозначим вероятность выбора вершины $A$ через $P (A)$ (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем:

P (A) = 15k, P (B) = 11k, P (C ) = 10k, P(D ) = 14k,

но $P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (D ) = 1$ , тогда $k = 0,02$ , откуда находим: $P (B ) = 0,22$ .

Ответ: 0,22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#921

Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна $0,6$ ; вероятность выпадения числа, делящегося на $3$ , равна $0,3$ ; вероятность того, что выпадет $1$ или $5$ , равна $0,22$ . Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число $3$ . Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Вероятность выпадения числа $n$ обозначим через $P ({n})$ , вероятность выпадения одного из чисел $m$ и $n$ обозначим через $P ({m; n} )$ , а вероятность выпадения одного из чисел $m$ , $n$ и $k$ обозначим через $P ({m; n; k})$ . Тогда

P ({2;4;6} ) = 0, 6 ⇔ P ({1;3;5}) = 1 − 0,6 = 0, 4

При этом $P ({1;5}) = 0,22$ , но ведь $P({1; 3;5}) − P({1;5 }) = P({3} )$ , следовательно,

P ({3 }) = 0,4 − 0,22 = 0,18.

Ответ: 0,18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1384

Чтобы поступить в университет на механико-математический факультет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и физика, и не менее 75 баллов за внутренний экзамен по математике. Чтобы поступить на факультет вычислительной математики и кибернетики, нужно набрать не менее 75 баллов за ЕГЭ по каждому из четырех предметов – математика, русский язык, физика и информатика, и не менее 60 баллов за тот же внутренний экзамен по математике, что и на механико-математический факультет. Вероятность того, что абитуриент Cubert получит не менее 75 баллов за ЕГЭ по математике, равна 0,8, по русскому языку – 0,9, по физике – 0,85, по информатике – 0,7. Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 60 баллов равна $0,9$ . Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 75 баллов равна $0,7$ . Найдите вероятность того, что Cubert’у хватит баллов хотя бы на один из двух упомянутых факультетов. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на механико-математический факультет равна

0,8 ⋅ 0,9 ⋅ 0,85 ⋅ 0,7 = 0, 4284.

Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на факультет вычислительной математики и кибернетики равна

0,8 ⋅ 0,9 ⋅ 0,85 ⋅ 0,7 ⋅ 0,9 = 0,38556.

Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на оба факультета равна

0,8 ⋅ 0,9 ⋅ 0,85 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 = 0,29988,

тогда вероятность того, что ему хватит хотя бы на один факультет равна

0,4284 + 0,38556 − 0, 29988 = 0,51408.

После округления окончательно получаем $0,51$ .

Ответ: 0,51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2182

Артур считает вероятность наступления некоторого события $A$ в случае, если он подбросит правильную игральную кость дважды. У него получилось, что вероятность наступления события $A$ равна $0,01$ . Известно, что Артур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Насколько ошибся Артур? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

При подбрасывании правильной игральной кости дважды можно получить $6 ⋅ 6 = 36$ различных исходов. Так как вероятность – это отношение числа подходящих исходов к числу всевозможных исходов, то результат Артура мог быть либо $0$ , либо его можно было представить в виде дроби

N --, 36

где $N ∈ ℕ$ – число подходящих исходов.

Таким образом, в случае, если $P(A ) ⁄= 0$ , то минимальное значение, которое могла принять $P (A)$ , составляет

1 1 ---> ---= 0,02. 36 50

Таким образом, ответ Артура ближе к $0$ , чем к любому числу вида $N-- 36 ,$ где $N ∈ ℕ$ , следовательно, чтобы ошибка Артура была минимальной, необходимо, чтобы было выполнено $P (A ) = 0$ . Тогда ошибка Артура составит $0,01$ .

При этом такое действительно возможно, если, например, $A =$ “В сумме за два подбрасывания выпадет $13$ ”. В итоге, ответ: $0,01$ .

Ответ: 0,01

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2387

Миша и Маша играют в игру: Миша пишет на доске натуральное число $a$ , а Маша – натуральное число $b$ . Затем Миша стирает свое число и вместо него записывает модуль суммы $a$ и $b$ , а Маша – стирает свое и пишет модуль разности $a$ и $b$ . Затем с новыми числами они проделывают то же самое. Найдите вероятность того, что через 100 таких действий произведение чисел, записанных на доске, будет кратно 4.

Показать ответ и решение

Рассмотрим все возможные варианты:
1) Миша написал четное число, Маша – нечетное. Тогда на втором шаге на доске будут написаны нечетное и нечетное числа. На третьем шаге: четное и четное числа. На четвертом, пятом и т.д.: четное и четное. Тогда на 100 шаге произведение этих чисел будет всегда делиться на 4.
2) Миша написал четное, Маша – тоже четное. Тогда аналогично первому случаю на всех последующих шагах на доске тоже будут написаны два четных числа, следовательно, на 100 шаге их произведение всегда будет делиться на 4.
3) Миша и Маша написали нечетные числа. Тогда на втором шаге на доске будут написаны четные числа, как и на всех следующих шагах (аналогично второму случаю). Следовательно, на 100 шаге их произведение будет всегда делиться на 4.
Таким образом, в любом случае произведение чисел будет делиться на 4. Значит, вероятность этого события равна 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#13130

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Показать ответ и решение

Пусть $p$ — доля яиц, закупаемых у первого домашнего хозяйства. При этом мы знаем, что всего у агрофирмы доля яиц высшей категории равна 35%. Можем составить уравнение и найти $p$

p⋅0,4+ (1− p)⋅0,2 = 0,35 ⇔ p = 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#13135

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Показать ответ и решение

4 июля погода будет хорошая с вероятностью 0,8, так как 3 июля погода хорошая. 5 июля погода будет хорошая с вероятностью

0,8⋅0,8+ 0,2⋅0,2= 0,68,

так как с вероятностью 0,8 она останется прежней, если она уже была хорошей, и с вероятностью 0,2 изменится на хорошую, если в предыдущий день она была отличной. По аналогичным соображаениям 6 июля вероятность хорошей погоды равна

0,68⋅0,8 +0,32⋅0,2 =0,608

Тогда вероятность отличной погоды 6 июля равна $1− 0,608= 0,392.$

Ответ: 0,392

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#13155

На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефекта. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Найдем вероятность того, что тарелка с дефектом, а затем вычтем результат из 1.

Пусть произведено $t$ тарелок, из них $0,2t$ с дефектом и $0,8t$ без дефекта. В продажу поступят

0,2t⋅(1− 0,7)= 0,06t

тарелок с дефектом и все тарелки без дефекта.

Тогда вероятность получения тарелки с дефектом при покупке равна

--0,06t---= -6 = 3- 0,8t+ 0,06t 86 43

Отсюда вероятность получения тарелки без дефекта равна

3- 40 1− 43 = 43

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,93.

Ответ: 0,93

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#15806

Службе безопасности стало известно, что среди 1000 участников межгалактической конференции скрывается шпион, проникший в зал под чужой внешностью. Определить, кто из гуманоидов преступник, можно с помощью рамки шпионоискателя. Прибор всегда реагирует на чужака. Однако в 5% случаев сигнализация срабатывает без причины, и невинные гуманоиды могут оказаться в числе подозреваемых. Служба безопасности просит всех участников конференции пройти через рамку шпионоискателя. Проход первого же гуманоида вызывает сигнал тревоги. Какова вероятность того, что в ловушку угодил настоящий шпион? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Нам нужно найти вероятность того, что при условии срабатывания сигнализации первый прошедший гуманоид — настоящий шпион. Для этого нужно поделить вероятность события «первый прошедший гуманоид — настоящий шпион» на вероятность события «на первом прошедшем гуманоиде сработала сигнализация».

Вероятность события «первый прошедший гуманоид — настоящий шпион» равна $0,001,$ так как из 1000 гуманоидов ровно 1 шпион.

Вероятность события «на первом прошедшем гуманоиде сработала сигнализация» равна сумме вероятностей событий «первый прошедший гуманоид — настоящий шпион» и «сигнализация ошибочно сработала не на шпионе». Таким образом, эта вероятность равна

0,001+ 0,05 ⋅0,999

Значит, искомая вероятность равна

0,001 1 100 P = 0,001-+0,05⋅0,999 = 1+-0,05⋅999 = 5095

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,02.

Ответ: 0,02

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#16752

Есть странный шестигранный игральный кубик, на гранях которого написаны какие-то натуральные числа, причем среди них ровно $x$ четных. Реализуется следующий эксперимент: сначала совершают бросок странного кубика. Затем, если на странном кубике выпало четное число, подбрасывают симметричную монетку, если же выпало нечетное число, подбрасывают стандартный игральный кубик с числами от 1 до 6 на гранях. Известно, что вероятность того, что во втором броске выпал орел, либо тройка, либо шестерка, равна $-7. 18$ Сколько четных чисел было написано на странном игральном кубике?

Показать ответ и решение

Так как на первом кубике ровно $x$ четных чисел, вероятность выпадения четного числа равна $x 6,$ а вероятность выпадения нечетного равна $1− x. 6$

Найдем вероятность того, что на втором броске выпал орел. Чтобы вторым броском подбрасывалась монетка, на странном кубике должно выпасть четное число, вероятность этого равна $x. 6$ Вероятность выпадения орла при броске симметричной монетки равна 0,5. Перемножая вероятности вдоль цепочки событий, получим

x x pорел = 6 ⋅0,5= 12

Найдем вероятность того, что на втором броске выпало 3 или 6. Чтобы вторым броском подбрасывался кубик, на странном кубике должно выпасть нечетное число, вероятность этого равна $1− x. 6$ Вероятность выпадения 3 или 6 при броске стандартного кубика равна $2 1 6 = 3.$ Перемножая вероятности вдоль цепочки событий, получим

( x ) 1 1 x p{3;6} = 1 −-6 ⋅3 = 3 − 18

События несовместны, следовательно, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Тогда приравняем сумму вероятностей к $-7 18$ и найдем $x:$

( ) pорел+ p{3;6} = x-+ 1 − x- = 7- ⇔ 12 3 18 18

( 1 1) 1 x 1 ⇔ x 12 − 18 = 18 ⇔ 36 = 18 ⇔ x = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#17041

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. Из первого хозяйства 40% яиц — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Показать ответ и решение

Пусть $p$ — доля яиц, закупаемых у первого домашнего хозяйства. При этом мы знаем, что всего у агрофирмы доля яиц высшей категории равна 35%. Можем составить уравнение и найти $p:$

p⋅0,4 +(1− p)⋅0,2 =0,35 ⇔ p= 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80081

В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Показать ответ и решение

Мы не знаем вероятность победы команды А ни в каком раунде (прямым текстом в условии об этом не говорится), но мы можем выстроить гипотетический порядок побед и поражений команды А, чтобы компенсировать этот недостаток информации.

Как, а главное, зачем это сделать?

Смотрим в условие: «Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее.» То есть в любом возможном исходе все 6 команд так или иначе встают в некоторую турнирную таблицу — от самой слабой команды до самой сильной.

Ещё раз, все команды разной силы, ничья невозможна, значит, можем выстроить следующие цепочки событий в тр̈eх благоприятных для нас ситуациях:

1. 3 раза подряд победа за А.

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (А), (не А), (не А).

2. 4 раза подряд победа за А.

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (А), (не А).

3. 5 раз подряд победа за А.

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (не А), (А).

Теперь внимательно изучим каждый случай:

1. Как вы понимаете, мы не знаем точное ранжирование сил команд, но нам важно, чтобы команда А попала ровно на 3 место по силе, места 1, 2 и 6, 5, 4 могут быть заняты кем угодно. Что значит это "кем угодно"? Что нужно учесть все варианты расположения остальных 5 команд:

3!⋅1⋅(1⋅2) = 12.

Это число исходов, где команда А третья из шести по силе.

Резонный вопрос: а что это за $(1⋅2)$ ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем, что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда более сильная, а другая менее, и тот, где ситуация обратна.

Теперь заметим самую хитрую мелочь: вероятность выиграть в этих 12 исходах у команды А нулевая. Почему?

Да потому что если команда А третья по силе, то как же она выступит в 4 раунде, когда осталась только она, команда сильнее её и команда сильнее их обеих? Очевидно, она проиграет в раунде с обеими более сильными командами.

Таким образом, вероятность победы в первом случае равна 0.

2. По аналогичному принципу ищем число исходов, где команда А вторая по силе:

4!⋅1⋅(1⋅2) = 48.

Резонный вопрос: а что это за $(1⋅2)$ ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда сильнее А, а другая слабее, и тот, где ситуация обратна.

Опять же вопрос: а какова вероятность, что с наличием одной более слабой и одной более сильной команды в оппонентах команда А победит? С вероятностью $0,5.$ Либо она сыграет со слабой и победит, либо сыграет с сильной и проиграет. Третьего не дано.

3. Ну и самый лёгкий случай: команда А — сильнейшая из шести. Число исходов, где команда А первая по силе:

5!⋅1 = 120.

Раз команда сильнейшая, то она победит в четвёртом раунде с вероятностью 1.

Заметим, что всего исходов при условии, что А выиграла первые три раунда: $120 +48 + 12 = 180.$

Собер̈eм воедино кусочки ответа:

120-⋅1+ 48-⋅0,5 + 12- ⋅0 = 0,8. 180 180 180

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#24278

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Показать ответ и решение

Данная задача является классической задачей на условную вероятность. У нас есть две группы событий: «болен — не болен» и «тест положительный — тест отрицательный». Всего может быть 4 комбинации случаев:

1.: болен и тест положительный (б +);
2.: болен и тест отрицательный (б —);
3.: здоров и тест положительный (з +);
4.: здоров и тест отрицательный (з —).

«Если заболевание есть, то тест подтверждает его в 86% случаев». Эта фраза означает, что условная вероятность того, что тест будет положительным при условии, что человек болен — 86%, или иначе

p(+ |б)= 0,86

Исходя из этой вероятности, нетрудно понять, что с вероятностью 14% тест будет отрицательным при условии, что человек болен, или иначе

p(— |б)= 0,14

«Если нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев». Эта фраза означает, что условная вероятность того, что тест будет отрицательным при условии, что человек здоров — 94% или иначе

p(— |з)= 0,94

Исходя из этой вероятности, нетрудно понять, что с вероятностью 6% тест будет положительным при условии, что человек здоров, или иначе

p(+ |з)= 0,06

«Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование». Эта фраза означает, что вероятность положительного теста 10%, или иначе

p(+)= 0,1

Соответственно, вероятность отрицательного теста равна

p(−) = 1− p(+) = 0,9

«При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?» Просят найти условную вероятность того, что человек болен при условии, что тест положительный, или иначе просят найти

p(б|+ )

Для начала распишем вероятность положительного теста. Тест может быть положительным либо у здоровых пациентов, либо у больных. Тогда по формуле полной вероятности имеем:

p(+ )= p(+ |б)⋅p(б) +p(+ |з)⋅p(з)

Здесь $p(б)$ — вероятность того, что случайно выбранный пациент болен, а $p(з)= 1− p(б)$ — вероятность того, что случайно выбранный пациент здоров. Подставив численные значения известных вероятностей в уравнение выше, найдем $p(б):$

$pict$

Используем свойство условных вероятностей, согласно которому

p(B|A)⋅p(A)= P(A|B)⋅p(B)

Тогда получим окончательно

$pict$

Ответ: 0,43

Предыдущий раздел

Следующий раздел