Тема ДВИ по математике в МГУ

Логарифмы на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91954

Решите неравенство

( 2 ) logx+3 x − 7x +12 ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что следует сделать в первую очередь, если перед нами — логарифм, в аргументе и основании которого выражение с переменной? А как можно преобразовать выражение такого вида?

Подсказка 2

Сразу записываем ОДЗ и используем метод рационализации! Чему равносильно выражение из условия?

Подсказка 3

(x+2)(x²- 7x + 12 - (x+3)²) <= 0. Осталось лишь решить его и пересечь с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сначала найдем ОДЗ:

( x+ 3> 0 |{ |( x+2 3⁄= 1 x − 7x+12 >0

Решая эту систему, получаем, что $x ∈(−3;−2)∪(−2;3)∪(4;+∞ ).$ Теперь применим метод рационализации. Тогда получится неравенство

2 2 (x+ 2)(x − 7x+ 12 − (x+ 3) )≤ 0

Во второй скобке приводим подобные:

(x +2)(−13x+ 3)≤ 0

Решая это неравенство, получаем, что $x∈ (− ∞;−2]∪[ 313;+∞ ).$ Остается пересечь это множество с ОДЗ. Получается, что $x ∈(−3;−2)∪[ 313;3)∪(4;+ ∞).$

Ответ:

$(−3;−2)∪[ 3;3)∪(4;+∞) 13$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91977

Решите неравенство

log 2 (x−1) log2 (x+1) 8 x−1 + 8 x −1 ≤ 6.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём как всегда с ОДЗ! Но что же делать дальше? Можно заметить, что основание обоих логарифмов равно произведению их аргументов: (x - 1)(x + 1) = x² - 1, как нам это поможет?

Подсказка 2

Сделаем замену: t = 8^(log_(x² - 1) (x - 1)). Умножьте обе части неравенства на t > 0 и по свойствам степеней преобразуйте наше выражение. Что у нас остаётся?

Подсказка 3

Перед нами всего лишь квадратичное неравенство, а с этим вы отлично умеете работать!

Подсказка 4

Осталось сделать обратную замену! Чтобы перейти к сравнению показателей степеней, удобно представить 8 и, получившееся в одной из частей двойного неравенства, 4 как степени двойки. Метод рационализации поможет нам добить задачу.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x − 1 >0 ( x2− 1⁄= 1

( { x> 1 ( x⁄= ±√2-

x ∈(1;√2)∪ (√2;+ ∞)

Домножим обе части исходного неравенства на $8logx2−1(x−1)$

82logx2−1(x−1)+8logx2−1(x+1)+logx2−1(x−1) ≤ 6⋅8logx2−1(x−1)

82logx2−1(x−1)+ 8logx2−1(x2−1) ≤6⋅8logx2−1(x− 1)

82logx2−1(x−1)− 6⋅8logx2−1(x−1)+ 8≤ 0

Сделаем замену $logx2−1(x−1) t= 8 ,$ получим

2 t − 6t+ 8≤ 0

(t− 2)(t− 4)≤ 0

t∈[2;4]

Тогда при обратной замене

2≤ 8logx2−1(x−1) ≤4

1 ≤logx2−1(x − 1)≤ 2 3 3

1≤ log 2 (x− 1)3 ≤2 x− 1

Решим неравенства по-отдельности:

1 ≤log2 (x − 1)3 x −1

Применим метод рационализации

(x2− 2)((x− 1)3− (x2 − 1))≥0

(x2− 2)(x3− 4x2 +3x)≥ 0

√- √- x(x− 2)(x+ 2)(x − 1)(x − 3)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

√- x∈ (1; 2)∪ [3;+∞)

3 logx2−1(x− 1) ≤ 2

Применим метод рационализации

2 3 2 2 (x − 2)((x − 1) − (x − 1))≤ 0

(x2− 2)(− x4+x3 − x2+ 3x− 2)≤ 0

(x− √2)(x +√2-)(x− 1)2(x2 +x+ 2)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

x∈(√2;+∞ )

Пересекаем полученные полученные значения и получаем итоговый ответ

x ∈[3;+∞ )

Ответ:

$[3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92259

Решите неравенство

( 1) ( 1) log9 x + 3 − log3 x− 3 ≥ 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое неравенство. Что делаем первым делом?

Подсказка 2

Записываем ОДЗ, конечно! Теперь на этом множестве можем совершать преобразования. Как будем действовать?

Подсказка 3

Основание первого логарифма является квадратом основания второго логарифма! Можем по свойству логарифмов вынести этот квадратик ;)

Подсказка 4

Чтобы избавиться от неприятного множителя 1/2, мы можем просто домножить обе части неравенства на 2. Тогда у второго логарифма появится коэффициент 2, который уже можем занести в степень аргумента!

Подсказка 5

Получили разность логарифмов с одинаковыми основаниями. Победа! Теперь после преобразования разности логарифмов к логарифму частного мы получим элементарное логарифмическое неравенство!

Подсказка 6

Задача свелась к простому дробно-рациональному неравенству. Остается его решить классическим методом интервалов и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x+ 1> 0 (1 ) x− 31> 0 ⇐⇒ x ∈ 3 ;+ ∞ 3

Умножим наше неравенство на $2,$ преобразуем выражения под знаком логарифма:

2 log (3x+-1)− 2log ( 3x-− 1) ≥ 2 9 3 3 3

(3x +1) log3 --3-- − 2(log3(3x − 1)− 1)≥2

log3(3x +1)− 1− 2 log3(3x− 1)+2 ≥2

( ) log3 -3x+-12 ≥1 =log33 (3x− 1)

Так как функция $log3t$ монотонно возрастает, то

--3x+1---≥ 3 9x2− 6x+ 1

Домножим на положительный (с учетом ОДЗ!) знаменатель:

2 3x+ 1≥27x − 18x +3

2 27x − 21x+ 2≤0

По обратной теореме Виета у квадратного трехчлена в левой части $19,23$ — все его корни. Тогда

[ 1 2] x∈ 9;3

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(1;2] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92344

Решите неравенство

-2x-- logx 3− x ≤ 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое неравенство, поэтому не забываем про ОДЗ ;) И в аргументе, и в основании логарифма стоят выражения с неизвестной, какой тогда метод решения удобно применить?

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| -2x-> 0 |{ 3−x ⇐⇒ x∈ (0;1)∪(1;3). ||( x≥ 0 x⁄= 1

Применим метод рационализации:

(-2x- 2) (x− 1) 3− x − x ≤ 0

(x− 1)(3− x)(2x+ x3− 3x2)≤ 0

x(x − 1)2(3− x)(x− 2)≤0

x∈ [0;2]∪ [3;+∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (0;1)∪(1;2].$

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92363

Решите неравенство

(2 ) ( 2 ) logx− 1(2x− 5)+ log4x2− 20x+25 x − 2x+ 1 − log2x−5 4x − 20x+ 25 ≤0.

Показать ответ и решение

Сначала запишем ОДЗ:

(| x− 1 ⁄=1 ||||| |||{ x−2 1 >0 | 4x2− 20x+ 25 ⁄=1 ||||| 4x − 20x+ 25 >0 |||( 2x2− 5 ⁄=12x− 5> 0 x − 2x+ 1> 0

Так как $x2− 2x+1 =(x− 1)2,$ $4x2− 20x +25= (2x − 5)2,$ то получаем система, указанная выше, эквивалентна следующей:

(| x⁄= 2 |||{ x> 1 | 2x− 5 ⁄=− 1 |||( 5 x⁄= 3x> 2

Из третьего неравенства получаем, что $x ⁄=2.$ Тогда, пересекая все неравенства, получаем $x∈ (2,5;3)∪(3;+ ∞).$

Теперь преобразуем исходное неравенство:

( 2) ( 2) logx−1(2x− 5)+ log(2x−5)2 (x− 1) − log2x−5 (2x− 5) ≤ 0

С учетом ОДЗ и свойств логарифма получаем:

logx−1(2x− 5)+ log2x−5(x− 1)− 2log2x−5(2x − 5)≤ 0

logx−1(2x − 5)+ log2x−5(x− 1)− 2≤ 0

Пусть $logx−1(2x− 5)= t.$ Тогда уравнение принимает вид:

t+ 1− 2≤0 t

Приводим к общему знаменателю:

t2−-2t+-1≤ 0 t

(t−-1)2 t ≤ 0

Решив данное неравенство, получаем $t< 0$ или $t= 1.$ Из $t= 1$ получаем $logx−1(2x− 5)= 1,$ откуда $x= 4.$ Теперь сделаем обратную замену для $t<0$ :

logx−1(2x− 5)<0

По методу рационализации:

(x − 2)(2x− 6)< 0

Решаем неравенство и получаем, что $x∈ (2;3).$ Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (2,5;3).$

Ответ:

$(2,5;3)∪ {4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89776

Решите неравенство

∘ -2--- logx2− 1(x− 1)≥logx2−1 x-+ 1. 2

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Перекиньте все в одну сторону и воспользуйтесь методом рационализации. Не забудьте пересечь результат с ОДЗ, и задачка убита)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 1> 0 |||{ 2 | x − 1⁄= 1 |||( xx−2 1> 0 2 +1> 0

{ x >1 x ⁄=√2-

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(x2− 1− 1)((x− 1)2 − (x2+ 1)) ≥ 0 2

√ - √- (x − 2)(x+ 2)x(x− 4)≥0

По методу интервалов решаем неравенство и пересекаем с ОДЗ:

√- x∈ (1; 2)∪ [4;+∞)

Ответ:

$(1;√2-)∪[4;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90017

Решите неравенство

√ --- log 3−x(3+ x)≤2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте избавимся от иррациональности в основании логарифма. Нам достаточно поделить левую и правую части неравенства на 2 и внести 1/2 в основание логарифма. Что дальше можно сделать?

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам добить задачу окончательно!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

log3− x(3+ x)≤ log3−x(3− x)

По методу рационализации это равносильно

(| 3 − x >0 |||{ 3 − x ⁄=1 | 3 +x >0 |||( (3− x− 1)(3+ x− 3 +x)≤ 0

(|{ −3< x< 3 x⁄= 2 |( (2− x)x≤ 0

По методу интервалов получаем ответ $x∈ (− 3;0]∪(2;3)$ .

Ответ:

$(−3;0]∪ (2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90018

Решите неравенство

x logxlog3(2 − 1)≥ 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем представить 0 как логарифм с основанием x и аргументом 1 и применить метод рационализации.

Подсказка 2

Теперь снова повторим сходные действия: представим 1 как логарифм с основанием 3 и таким же аргументом и применим метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

При $0< x< 1$ получаем, что

x 0< log3(2 − 1)≤ 1

x 1 <2 − 1≤ 3

1< x< 2

решения неравенства не входят в рассматриваемый промежуток.

При $x> 1$ получаем

log3(2x− 1)≥1

2x− 1 ≥3

x≥ 2

и записываем это в ответ.

Ответ:

$[2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90020

Решите неравенство

√ -3+log x 1+log x ( x) 3 ≥ 3 3 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем упростить неравенство: как можно получить одинаковые основания? Заменим √х на 3 в некоторой степени по основному логарифмическому тождеству.

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам перейти к сравнению степеней, какую замену теперь можно сделать?

Подсказка 3

Пусть t = log₃(x), остаётся лишь решить обычное квадратное неравенство. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

По основному логарифмическому тождеству и свойствам степеней получаем

log(√x)⋅(3+log x) 1+logx 3 3 3 ≥ 3 3

В силу возрастания показательной функции с основанием 3 неравенство равносильно

log (√x)⋅(3 +log x)≥ 1+ log x 3 3 3

По свойствам логарифмов это эквивалентно

log x ⋅(3+ log x)≥ 2(1+ log x) 3 3 3

После замены $t= log3x$ получаем неравенство

t2+ t− 2≥0

t ≥1 или t≤− 2

После обратной замены

1 x≥ 3 или 0< x≤ 9

Ответ:

$(0;1 ]∪[3;+∞ ) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90039

Решите неравенство

log √x x 3 > 9.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 231, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте подумаем, что можно сделать? Как можно изменить неравенство? Может быть что-то сделать с основанием х?

Подсказка 2:

Пусть t равен логарифму по основанию 3 от х. Тогда можем заменить x в основании на 3^t, а степень на t/2. Что теперь можно сделать?

Подсказка 3:

Применим метод рационализации, представим 9 справа как 3². Тогда получим t² > 4. Найдём t и сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения:

x> 0

Прологарифмируем неравенство

log xlog3√x-> log 9 ⇐⇒ log √x ⋅logx > 2 3 3 3 3

2log3√x-⋅log3−4> 0 ⇐⇒ log23x− 4> 0

( ) (log3x− 2)(log3x+ 2)> 0 =⇒ (x− 9) x − 1 > 0 9

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем, что

( ) x∈ 0;1 ∪ (9;+∞ ) 9

Ответ:

$x ∈(0;1) ∪(9;+ ∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90688

Решите уравнение

| 2 2 | 2 2 |log3x− log2x2|=log3x+ log2x2 − 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в котором есть модуль, быть может, тогда раскроем его? Какие случаи нужно разобрать?

Подсказка 2

Разберите случаи, когда подмодульное выражение не меньше нуля и когда оно меньше нуля!

Подсказка 3

Заметим, что многие слагаемые с двух сторон сокращаются, что делает решение простым ;) А какие значения могут принимать логарифмы?

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2x> 0 { 2x⁄= 1 =⇒ x ∈(0;1) ∪( 1;+ ∞) |( 2 2 x> 0

Разберем случаи.

$1)log2x − log2 2 ≥0: 3 2x$

2 2 2 2 log3x − log2x2= log3x +log2x2− 2

⌊ x =1 — не подходит log22x2= 1 =⇒ log22x= ±1 =⇒ |⌈ x = 1 4

$2)log23x − log22x2 <0:$

− log23x+ log22x2= log23x+ log22x2− 2

⌊ x= 3 — не подходит log23x= 1 =⇒ log3x= ±1 =⇒ |⌈ 1 x= 3

Ответ:

$1 , 1 4 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90019

Решите неравенство

( 2 2 )x2−2x 2log2 x− log2x +1 ≤ 1.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: это сумма квадратов, она больше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда!

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобке в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ: у аргумента логарифма тоже есть ограничения.

Показать ответ и решение

С учётом $x> 0$ и замены $t=logx 2$ , для ОДЗ получим $2t2− 2t+ 1> 0$ , что выполнено всегда. Рассмотрим случаи

1.: $2t2− 2t+ 1> 1⇔ t∈ (− ∞,0)∪(1,+ ∞)⇔ x ∈(0,1)∪ (2,+∞ )$ . В этом случае неравенство эквивалентно $x2 − 2x≤ 0$ , то есть $x ∈[0,2]$ , в итоге $x ∈(0,1)$ .
2.: $2 2t − 2t+ 1= 1⇔ x= 1,2$ — подходят оба значения.
3.: $2 2t − 2t+ 1< 1⇔ x∈ (1,2)$ , тогда $2 x − 2x≥ 0⇔ x∈ (−∞,0]∪[2,+ ∞)$ , здесь решений не будет.

Ответ:

$(0;1]∪{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90021

Решите неравенство

√--- √--- log 6−x(6+x)+ log 6+x(6 − x)≤ 5.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда, с ОДЗ! Следующим шагом стоит избавиться от корней в основании логарифмов, какое свойство нам в этом поможет?

Подсказка 2

Попробуйте сделать замену: t = log₆₋ₓ(6 + x), после применения свойства логарифмов перед нами будет обычное рациональное неравенство, решите его!

Подсказка 3

Аккуратная работа с обратной заменой поможет нам добить задачу

Показать ответ и решение

После замены $t= log (6+ x) 6−x$ по свойствам логарифмов получаем неравенство

2 2t+ t ≤5

2 5 t-−-2t+1 ≤0 t

По методу интервалов

t< 0 или 1≤ t≤ 2 2

По методу рационализации на ОДЗ $x∈ (− 6;6)∖{−5;5}$ получаем

(6− x− 1)(6+ x− 1)< 0 или (6− x− 1)((6+x)− (6− x)2)≤0,(6− x − 1)((6+ x)2− (6− x))≥ 0

(5 − x)(5 +x)< 0 или (x− 5)(x2− 13x +30)≤ 0,(x− 5)(x2+13x+ 30)≤0

Первое условие после пересечения с ОДЗ дает решения $5< |x|<6,$ которые сразу заносим в ответ. Если же первое условие не выполнено, то $x − 5≤ 0,$ поэтому второе условие при $x ⁄= 5$ ( $x= 5$ всё равно не входит в изначальную ОДЗ) эквивалентно системе

x2− 13x+ 30 ≥0,x2+ 13x+ 30≥ 0

решения которой

x∈ [−3;3]

тоже добавляем в ответ.

Ответ:

$(−6;−5)∪[−3;3]∪(5;6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90022

Решите неравенство

log √x -2- x 2 ≥ √x .

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством, чтобы 1/√х представить в виде 2 в некоторой степени. Точно также и х в левой части можно записать как степень двойки.

Подсказка 2

Внимательно поработайте со свойствами степеней, чтобы перед нами осталось сравнение 2 в некоторых степенях. Теперь можно перейти и к сравнению показателей!

Подсказка 3

Сделайте замену t = log₂(x) и решите получившееся рациональное неравенство. Осталось сделать обратную замену, пересечь результаты с ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся, что $x =2log2x,$ тогда $-1-=x− 12 = 2− 12log2x. √x$ Исходное неравенство примет вид

1log2x 1− 1 logx 22 2 ≥ 2 2 2

Так как основание больше 1, то можем перейти к неравенству на степени с сохранением знака неравенства

1log2x≥ 1− 1log x 2 2 2 2

(log2x+2)(log2x− 1)≥0

Перейдём к равносильному неравенству с учётом ОДЗ

{ x> 0 ( 1] (x− 1∕4)(x − 2)≥ 0 ⇐⇒ x ∈ 0;4 ∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1 ]∪[2;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90038

Решите неравенство

( 2 3) logx x + 2 ≤ 4logx2+32(x).

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что аргумент одного логарифма равен основанию другого, как в таком случае мы можем сделать логарифмы одинаковыми?

Подсказка 2

Можно заменить логарифм справа на t, тогда слева будет 1/t! Данное неравенство относительно t легко решается методом интервалов

Подсказка 3

После обратной замены можно заметить, что основание логарифма больше единицы, поэтому от сравнения логарифмов (все числа представляем в виде логарифмов по основанию х² + 1,5) можно перейти к сравнению их аргументов без смены знака. Таким образом получаем дробно-рациональные неравенства относительно х, решаем их, пересекаем с ОДЗ и получаем ответ)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| x> 0 ||||| 2 3 { x + 2 > 0 ⇐⇒ x∈ (0;+∞ ) {1} |||| x⁄= 1 ||( x2+ 3⁄= 1 2

Сделаем замену

( ) t= log 2 3x =⇒ logx x2+ 3 = 1,t⁄= 0 x+ 2 2 t

Тогда получаем

1 4t2− 1 t ≤ 4t =⇒ t ≥ 0

(2t− 1)(2t+ 1) -----t-----≥ 0

Решая методом интервалов последнее неравенство получаем, что

[ ) [ ) t∈ − 1;0 ∪ 1;∞ 2 2

Сделаем обратную замену.

⌊ − 1 ≤log 2 3x <0 || 2 x +2 ⌈ log 3x≥ 1 x2+ 2 2

Из второго неравенства получаем, что

∘ ----3 3 x ≥ x2+ 2 =⇒ x2 ≥x2+ 2 -неверное неравенство

Рассмотрим первое неравенство:

( ( ||{ logx2+32 x ≥− 12 |{ x≥ ∘--1--- || =⇒ |( x2+ 32 ( logx2+32 x <0 x< 1

( 3 ( ||{ x4+-2x2−-1≥ 0 ||{ 2x4+-3x2-− 2 ≥0 | x2 + 32 =⇒ | 2x2+ 3 |( x< 1 |( x< 1

( ||{ (x2+-2)(2x2− 1)≥ 0 | 2x2+3 |( x <1

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

( √-] [√ - ) x∈ −∞;− -2- ∪ --2;∞ 2 2

Объединяя с ОДЗ, получаем

[√- ) x∈ -2;1 2

Ответ:

$x ∈[√2;1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90041

Решите неравенство

log3(1− x)− log3(1+ x)+log1+x(1− x)− 1≤ 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы сделать их основания одинаковыми. При этом в нашем выражении появятся дроби – их можно просто привести к общему знаменателю

Подсказка 2

Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые, чтобы разложить выражение на множители, после останется лишь применить метод рационализации и пересечь решение с ОДЗ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| 1− x> 0 { 1+ x> 0 =⇒ x ∈(−1;0)∪(0;1) |( 1+ x⁄= 1

На ОДЗ верны следующие преобразования

log1+x(1−-x) ---1-- log1+x(1−-x)⋅log1+x-3 log1+x3 log1+x3 −log1+x 3 + log1+x3 − log1+x3 ≤ 0

log (1− x)(1+ log 3)− (1+log 3) (1+log 3)(log (1− x)− 1) ---1+x--------log1+x3---------1+x-- ≤0 =⇒ -----1+x-log--1+x3---------≤ 0 1+x 1+x

(1−-log1+x 13)(log1+x(1−-x)− log1+x(1+x)) log1+x3− log1+x1 ≤ 0

Используем метод рационализации

( 1) ( ) (1+x-− 1)-1+-x−-3-⋅(1+-x−-1)(1−-x−-(1+-x))-≤0 =⇒ 2x2 2 +x ≥0 (1+ x− 1)(3− 1) 3

Решая последнее неравенство методом интервалов и объединяя с ОДЗ, получаем, что

[ 2 ) x ∈ − 3;0 ∪(0;1)

Ответ:

$x ∈[− 2;0)∪(0;1) 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63857

Решите неравенство

( logx log 2 ) logx−1 4 3 − 6x 3 + 10 ≤0

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В самом начале запишите ОДЗ. А теперь давайте поработаем с аргументом логарифма. Преобразуйте степени так, чтобы у нас в показателях степеней везде были одинаковые логарифмы от чисел, а чтобы переменная х была только в основаниях степеней!

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на то, какой формулой сокращенного умножения мы можем воспользоваться в аргументе логарифма, чтобы нам стало чуть-чуть удобнее с ним работать! Да, мы не можем разложить все на множители, но тем не менее есть способы упростить себе жизнь!

Подсказка 3

Верно, мы можем выделить полный квадрат! Дальше просто действуем по методу рационализации, вспоминаем про то, что квадрат не может принимать отрицательные значения и добиваем задачу!

Показать ответ и решение

В силу тождества $xlog32 = 2log3x$ неравенство эквивалентно

(( log x )2 ) logx−1 2 3 − 3 +1 ≤0

Тогда на ОДЗ:

{ x− 1> 0 x− 1⁄= 1

неравенство по методу рационализации сводится к

( )2 (x− 2) 2log3x− 3 ≤ 0

откуда либо

2log3x− 3= 0 ⇐⇒ log3x= log23 ⇐⇒ x= 3log23,

либо

x≤ 2

Пересекаем с ОДЗ и получаем ответ.

Ответ:

$(1;2)∪ {3log23}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#64114

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$ с наименьшим возможным значением $y$ , удовлетворяющие неравенству

( 2 7) logx2−y x− y + 4 ≥ 1

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От чего зависит сохранение или изменение знака неравенства в работе с логарифмами? Рассмотрите соответствующие два случая в зависимости от основания log.

Подсказка 2

Попробуйте графически изобразить неравенство равносильное нашему для случая, когда основание логарифма больше 1. Для этого выделите полные квадраты. Значение у должно быть наименьшим, значит нас интересует самая нижняя точка графика. Удовлетворяет ли она условию, заданному основанием логарифма?

Подсказка 3

Рассмотрите второй случай: основание log меньше 1. Обратите внимание, могут ли при этом получиться у меньшие или равные найденного ранее минимума? Запишите итоговый ответ.

Показать ответ и решение

При $y < x2− 1$ неравенство равносильно $x− y2+ 7≥ x2− y 4$ , то есть

1 2 1 2 3 2 (x −2) + (y −2 )≤ (2)

Это неравенство задаёт круг с центром $1 1 (2; 2)$ и радиусом $3 2.$ Самая нижняя точка имеет координаты $1 (2; −1)$ и удовлетворяет ограничению $2 y <x − 1$ .

$PIC$

При $y > x2− 1$ для каждой пары $(x,y)$ , удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо $y > −1$ . Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки $(1; −1). 2$

Ответ:

$(1;−1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#31472

Решите неравенство:

log2x 16 − log4x8≤ 1.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала, конечно же, находим ОДЗ! Но, заметим, что основания двух логарифмов разные, и при этом каждый из них содержит x. Что можно сделать, чтобы было удобнее работать с x?

Подсказка 2

Да, по свойству логарифмов мы можем перевернуть каждый из них и x перейдет в аргумент! Что будем делать дальше, чтобы получить какое-то хорошее неравенство, где например, можно было бы сделать замену?

Подсказка 3

Конечно, давайте распишем каждый из логарифмов таким образом: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Дальше давайте просто сделаем замену вида: t = logₐx, решим неравенство и пересечём ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: $x∈ (0;1)∪ (1;1)∪ (1;+∞ ) 4 4 2 2$ . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

---1-- ---1- ----1--- ---1---- ---4--- ---3--- log162x −log84x ≤ 1⇔ 14 +log24x − 23 + log23x ≤ 1⇔ 1 +log2x − 2+ log2x ≤ 1

Заменим $log2x$ на $t$ и получим дробно-рациональное неравенство:

2 2 --4-− --3-≤ 1⇔ ---t+-5---− -t-+3t+-2-≤ 0⇔ -t-+-2t−-3-≥ 0⇔ 1 +t 2+ t (t+ 1)(t+2) (t+1)(t+ 2) (t+1)(t+2)

(t− 1)(t+3) ⇔ (t+1)(t+2) ≥ 0 ⇔ t∈ (−∞;−3]∪ (−2;−1)∪[1;+ ∞)

Теперь сделаем обратную замену и получим:

1 1 1 1 1 1 log2x ∈(−∞;log2 8]∪(log24;log22)∪ [log22;+∞ ) ⇔ x∈ (0;8]∪ (4 ;2)∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1]∪ (1;1)∪ [2;+∞ ) 8 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#64394

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению

( 4 2 ) ( 2 ) log2x2y+1 x + y +1 = logy4+x2+1 2xy +1

Источники: ДВИ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас переменные стоят как в основаниях логарифмов, так и в аргументе — работать с этим не очень удобно, поэтому давайте облегчим себе задачу: применим формулу перехода к новому основанию, чтобы логарифмы стали натуральными и перемножим имеющуюся пропорцию крест-накрест.

Подсказка 2

Воспользуйтесь монотонностью логарифмов и попробуйте поработать с аргументами. Мы хотим доказать, что каждый множитель слева больше или равен одному из множителей в правой части. В каком случае тогда возможно равенство произведений?)

Подсказка 3

Итак, у нас либо есть парочка логарифмов равных нолю, либо два неравенства обращаются в равенства! Рассмотрите каждый из этих случаев и сделайте выводы.

Показать ответ и решение

Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:

4 2 2 2 2 x − 2x y+y = (x − y) ≥ 0

4 2 2 x + y + 1≥ 2x y+ 1

Аналогично $x4+ y2 +1 ≥2xy2+1.$

Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом на ОДЗ ( которое можно задать условием $x⁄= 0,y ⁄= 0$ ) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что

log (x4+ y2+ 1) ≥log (2x2y+1)= 1= 2x2y+1 2x2y+1

= 1= log (y4+ x2 +1)≥ log (2xy2 +1) y4+x2+1 y4+x2+1

Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов $(x2− y)2,(y2− x)2$ в ноль. В итоге получаем $x =y2 = x4,y = x2 =y4,$ так что $x =y =0$ или $x= y = 1$ . С учётом ОДЗ пишем ответ.

Ответ:

$(1,1)$

Предыдущий раздел

Следующий раздел