25.01 Делители числа

def simple(x):# Функция,которая проверяет является число простым или нет
    return x > 1 and all(x % y for y in range(2,int(x**0.5)+1))
def divs(x):# Функция,которая возвращает делители определённого числа
    d = set()
    for i in range(2,int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            d |= {i,x//i}
    return sorted(d)
ans = []
for x in range(173225,217438):
    d = [i for i in divs(x) if simple(i)] #В списке d будут храниться делители числа x,которые при этом являются простыми числами
    if len(d) == 2 and (d[0] % 10 == d[1] % 10) and d[0]*d[1] == x:
        ans += [x]
print(len(ans),min(ans))

maxim = 0
minim = 10000000
count = 0
for i in range(1072, 8794):
    if i % 101 == 0 and i % 11 != 0:
        if i % 13 != 0 and i % 17 != 0:
            count += 1
            maxim = max(maxim, i)
            minim = min(minim, i)
print(count, int((maxim + minim) / 2))

def is_prime(n): # функция на проверку того, что число - простое
    for j in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % j == 0:
           return False
    return True

# Два натуральных делителя есть только у простых чисел.
ans = 0  # Будущий ответ
for i in range(12345,54322):
    if is_prime(i):
        ans += 1
print(ans)

# Заметим, что 7 нечетных делителей имеют числа вида (p**6) * (2**x), где p - простое число,
# а x - любое целое неотрицаельное


def simple(x): # функция для проверки, что число - простое
    for d in range(2,int(x**0.5)+1):
        if x % d == 0:
            return False
    return True
count = 0 # cчётчик чисел
simple_numbers = [x for x in range(3,int(123456789 ** (1/6))+1) if simple(x)] # список, в котором хранятся простые числа от 3 до корня 6-ой степени правой границы
for number in simple_numbers: # проход по простым числам
    for i in range(20): # проход по различным степеням для двойки
        if 1000 <= number**6 * 2**i <= 123456789: # проверка по условию
            count += 1
print(count) # вывод ответа

Заметим, что натуральных делителей имеют только простые числа в степени.

def is_prime(n):
    if n == 1: return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

for i in range(int(123456789 ** (1 / 10)), int(987654321 ** (1 / 10)) + 1):
    if (123456789 <= i ** 10 <= 987654321) and is_prime(i):
        print(i**10)

Если сумма цифр числа некратна , значит и само число некратно . Ровно делителей, некратных , имеют числа вида , где - простое число (не ), а - любое целое неотрицательное число. Теперь напишем программу.

# Функция, проверяющая, простое ли число
def is_prime(n):
    for x in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % x == 0:
            return False
    return True


ans = set()
start = 1234567
end = 7654321
# Так как мы будем возводить простое число p в 6-ю степень,
# перебирать числа будем до корня 6-й степени из самого большого доступного числа
for p in range(2, int(end ** (1 / 6)) + 1):
    # Если число простое и не равно 3, его можно возводить в 6-ю степень
    if is_prime(p) and p != 3:
        # Подбираем степень для 3, реализовывая формулу (p ̂ 6) * (3 ̂ x)
        for j in range(16):
            num = (p ** 6) * (3 ** j)
            # Полученное число имеет ровно 7 НЕ кратных 3-м делителей
            if start <= num <= end:
                ans.add(num)

print(len(ans))

делителей, каждый из которых оканчивается на или , имеет либо число , либо числа вида , где - простое число, не равное , а — любое целое неотрицательное число. Заметим, что удовлетворяет виду , поэтому достаточно рассмотреть только числа такого вида. Напишем программу.

def is_prime(n):
    if n == 1: return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

ans = 0
# Запустим цикл for только по числам, кратным 5
for i in range(12345680, 87654321, 5):
    t = i//5
    if t ** (1 / 4) == int(t ** (1 / 4)) and is_prime(int(t ** (1 / 4))):
        ans += 1
print(ans)

def count_del(x):
    ans = [1, x]
    for i in range(2, int(x ** 0.5) + 1):
        if x % i == 0:
            ans += [i]
            if i != x // i:
                ans += [x // i]
        if len(ans) > 64:
            return False
    return len(ans) == 64
ans = []
for i in range(101010101, 1010100, -1):
    if count_del(i):
        ans += [i]
    if len(ans) == 5:
        print(*reversed(ans))
        break

def count_div(n):
    k = 0
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            k += 1
            if i != n // i:
                k += 1
    return k


ans = 0
for i in range(100100, 300100 + 1):
    if count_div(i) == 4:
        ans += 1
print(ans)

def divs(n): # функция, которая возращает количество делителей числа
    k = 0
    for i in range(1, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            k += 1
            if i != n // i:
                k += 1
        if k > 5: # для оптимизации выходим из функции для текущего числа натуральных делителей, включая 1 и само число больше 5
            return 0
    return k

ans = 0
for i in range(100010, 321342):
    if divs(i) == 5:
        ans += 1
print(ans)

def is_prime(n):
    if n == 1:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True


ans = 0
# Запустим цикл for только по числам, кратным 5
for i in range(28916485, 49716586, 5):
    t = i//5
    if t ** (1 / 4) == int(t ** (1 / 4)) and is_prime(int(t ** (1 / 4))):
        print(i)

def count_divs(n): # функция для подсчёта количества делителей числа
    counter = 0
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            counter += 1
            if i != n//i:
                counter += 1
    return counter


maxim = 0
maxim_counter = 0 # максимальное кол-во делителей определенного числа
for i in range(84052, 84130+1):
    temp = count_divs(i)
    if temp > maxim_counter: # если кол-во делителей текущего числа больше максимального кол-ва делителей
        maxim_counter = temp # обновляем максимальное кол-во делителей
        maxim = i # обновляем число
print(maxim_counter, maxim)

def prime(n):
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True


for i in range(101_000_000, 102_000_000+1):
    n = i
    if n % 2 == 0:
        n = n//2
    else:
        continue
    if n % 2 != 0:
        if n**0.5 == int(n**0.5) and prime(n**0.5):
            print(i)

def divs(x): # функция возращающая список делителей определенного числа
    d = set()
    for i in range(1, int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            d.add(i)
            d.add(x//i)
    return sorted(d)
for x in range(287429, 319267+1):
    d = divs(x)
    if len(d) == 3: # если у определенного числа 3 делителя
        print(d[1]) # вывод второго делителя