Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Тема Задачи с параметром

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104697

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2x x x 4 +5 ⋅4 =a ⋅4 + 6

имеет хотя бы один корень на отрезке $[1;1] 2$ .

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=4x$ и будем искать решения при $2≤ t≤4.$ Тогда уравнение принимает следующий вид:

2 t + (5− a)t− 6= 0

2 at= t+ 5t− 6

Так как $t⁄= 0,$ то

a= t+ 5− 6= f(t) t

Возьмем производную $f(t)$ и покажем, что функция возрастает

′ -6 f(t)=1 +t2 > 0

Так как $f(t)$ непрерывна и монотонно возрастает при $t∈ [2;4],$ то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения от $f(2)$ до $f(4).$

f(2)= 2+ 5− 6= 4 2

f(4)= 4+5− 6 = 7,5 4

Следовательно, нам подходят $a ∈[4;7,5].$

Ответ:

$[4;7,5]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41244

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 1 2 2x + 2x − x − a − 1= 0

имеет единственный корень.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=2x3+ x2− x− 1 2$ и построим её эскиз. Для этого возьмём производную: $f′(x)=6x2+ x− 1= 0 ⇐⇒ (3x− 1)(2x+ 1)=0.$ По знакам производной определяем промежутки возрастания и убывания функции:

$PIC$

Найдём $a∗ = f(13)= 227 + 118 − 43 = − 6554$ и $a∗ = f(− 12)= − 14 + 18 + 12 − 1=− 58.$ При $a< a∗$ и $a >a∗$ прямая $y = a$ пересекает график $y =f(x)$ ровно в одной точке, при других значениях параметра $a$ точек пересечения больше одной.

Ответ:

$(−∞;− 65)∪(− 5;+∞ ) 54 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41245

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx +2 cos 3 +3cos3 =a

имеет решение.

Показать ответ и решение

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения. Но отметим, что это непрерывная функция, поэтому принимает все значения между своими максимумом и минимумом. Остаётся найти их.

После замены $x cos3 = t∈[−1,1]$ получаем задачу исследования

3 3 2 3 2 3 f(t)= 4t− 3t+ 2(2t − 1)+ 3t=4t + 3t − 2

на отрезке $[− 1;1]$ .

Возьмём производную по $t$ :

f′(t)= 12t2+ 6t=0 ⇐ ⇒ t∈ {0;− 12}

Остаётся подставить $t=− 1,t= − 12,t= 0,t= 1$ (максимум и минимум могут достигаться только в этих точках) и получить

fmin = f(− 1)=− 5,fmax =f(1)= 11 2 2

Ответ:

$[− 5;11] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46606

Найти все значения $b$ , при которых уравнение $sinx= 9(2b− 1)2$ имеет корни, а числа $1−-4b 27b4$ являются целыми.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 1 1 2 9(2b− 1) ≤ 1 ⇐ ⇒ |2b− 1|≤ 3 ⇐⇒ 3 ≤ b≤ 3

Далее исследуем функцию $1−4b f(b)= 27b4-$ на отрезке $1 2 [3,3]$

4 3b− 1 f′(b)= 27 ⋅-b5--≥ 0

Получается, что функция возрастает на данном отрезке, её минимальное значение равно $f(13)= −1$ , а максимальное $f(23)< 0.$ Единственное целое значение равно $− 1$ и достигается при $b= 13.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92009

Найти все значения $c$ , при которых уравнение $4sinx+ 9cosx= c$ имеет решение.

Показать ответ и решение

Обозначим за $x= tanx 2$ . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

--8x-- 9−-9x2 9+-8x− 9x2 x2+ 1 + x2 +1 = x2+ 1 =c

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно $x$ .

(9+ c)x2− 8x+ (c− 9)= 0

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит, $2 64− 4c +4⋅81≥ 0$ . Откуда $2 c ≤97$ . Поскольку уравнение $x tan 2 = d$ имеет решение при любом вещественном $d$ , все $c$ , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также несложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что $x cos2 = 0$ . Но тогда $cosx= −1,sinx= 0$ . То есть в этом случае $c=− 9$ , такое число уже входит в полученный отрезок.

Ответ:

$[−√97;√97]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100192

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

-----------1---------- √- √x2-+2x-+5+ √x2+-6x+-18-≤ a

выполняется при всех значениях $x.$

Источники: ПВГ - 2020, 11.5 (pvg.mk.ru))

Показать ответ и решение

Так как знаменатель функции

-----------1---------- f(x)= √x2-+2x+-5+ √x2+-6x+18-

равен

∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x +1)2+22+ (x +3)2+32

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию $∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x+ 1)2+ 22+ (x+3)2+ 32$ можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки $(x;0)$ до точки $A(−1;2)$ и от точки $(x;0)$ до точки $B(−3;− 3)$ . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой $AB$ и оси абсцисс. Это будет точка $x= − 95$ , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

∘-------------- AB = (3− 1)2+ (3 +2)2 = √29.

Поэтому наибольшим значением функции $f(x)= g1(x)$ является $√129$ . Значит,

√a≥ √1- 29

a≥ -1 29

Ответ:

$( 1-;+∞) 29$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47236

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#113664

При каких значениях $a$ существует $b$ такое, что уравнение

2 2 sin bsinx+ cos bcosx =a

не имеет решений?

Источники: ПВГ 2019

Показать ответ и решение

Пользуясь методом вспомогательного аргумента, приходим к уравнению

a= f(b)cos(x− f(b)),

где

∘ --4-----4- f(b)= sin b+ cos b

Если $| a-|≤ 1 f(b)$ при любых $b,$ то найдётся, например, решение $x= f(b)+ arccos-a. f(b)$ А если же при каком-то $b$ выполнено $| a-|> 1, f(b)$ то у уравнения решений нет, так как косинус по модулю не больше единицы.

Неравенство $|a|>|f(b)|=f(b)$ выполнено хотя бы при каком-то $b,$ если $|a|>minf(b).$

∘ ---1--2-- -1- |a|> min 1− 2sin 2b= √2.

В итоге получаем, что $( 1) ( 1 ) a∈ −∞;− √2- ∪ √2;+∞ .$

Ответ:

$(−∞;− 1√-) ∪( 1√-;+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#94923

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#114019

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x?$

Источники: ПВГ 2016

Показать ответ и решение

Пусть $t= 2x− 1.$ Рассмотрим функцию

--t-- f(t)= t2 +4

По неравенству о средних

√--- t2+4 ≥2 4t2 = 4|t|

Тогда

1 t 1 − 4 ≤ t2+4-≤ 4

Значения $± 14$ достигаются при $t= ±2.$ Следовательно, множество значений функции

2x−1 t g(t)= 164x2−4x+5-= 16t2+4

есть полуинтервал $[ ] 12;2.$

Ответ:

$a ≥2, b< 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45585

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 ln(x+ a)− 4(x+ a)+ a= 0

имеет единственный корень?

Источники: ОММО-2015, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

После замены $t= x+ a$ получаем уравнение $a= 4t2 − lnt.$ Исследуем множество значений $f(t)= 4t2− ln t$ . Возьмём производную

′ 1 8t2− 1 f(t)= 8t− t =--t--

На области определения $t> 0$ получаем $′ f(t)<0$ при $1 t< √8$ , $′ 1 f (√8-)=0$ , $′ f (t)> 0$ при $1 t> √8.$ Тогда функция имеет единственный минимум в точке $1 t∗ = 2√2,$ а при $t→ 0$ и $t→ +∞$ она стремится к $+∞$ . Тогда ясно, что при $a< f(t∗)$ решений нет. В случае же $a >f(t∗)$ за счёт выбора $x =t− a$ можно подобрать соответствующие для $t$ два решения, при $a =f(t∗)$ ровно одно.

В итоге подходит только $a= f(t∗)= 1+3l2n2$ .

Ответ:

$1+3ln2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90805

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

( a) sin x+ x = x+ 1

имеет бесконечно много решений.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 4, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Отметим сразу, что уравнение может иметь решения только при $x ∈[−2;0).$

При $a= 0$ уравнение имеет вид:

sinx =x +1

Последнее уравнение на промежутке $[−2;0)$ не имеет бесконечного количества решений, поскольку графики функций $f(x)=sinx$ и $g(x)=x +1$ пересекаются на этом промежутке в одной точке.

Рассмотрим теперь случай, когда $a⁄= 0.$ Пусть $t= arcsin(x+1).$ Тогда $x$ — корень уравнения, если

a x+ x = t+ 2πk, k∈ℤ

a x + x − arcsin(x +1)= 2πk

Поскольку функции $f(x)=x, g(x)= arcsin(x+1)$ непрерывны и ограничены при $x∈ [− 2;0),$ а функция $a q(x)= x$ непрерывна и неограничена при $x∈ [− 2;0),$ то функция $F(x)=x + ax − arcsin(x +1)$ также непрерывна и неограничена при $x∈ [−2;0).$ Следовательно, при $a ⁄=0$ функция $F(x)$ принимает значения, кратные $2π,$ бесконечное число раз, и исходное уравнение имеет в этом случае бесконечно много решений.

Ответ:

$(−∞;0)∪ (0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#73117

Найдите все положительные значения параметра $a,$ при которых среди чисел последовательности

2 ----10---- xn = −n + 10n+22+ |5n− 31|+ a, n= 1,2,...

есть ровно два максимальных элемента.

Источники: ПВГ 2012

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $f(x)= −x2+ 10x+ 22$ и $g(x)= --10---. |5x−31|+a$ Функция $f$ возрастает на промежутке $(− ∞;5)$ и убывает на промежутке $(5;+∞ ),$ а фунция $g$ при всех значениях параметра $a$ возрастает на промежутке $31 (−∞; 5 )$ и убывает на промежутке $31 (5 ;+ ∞)$ (при этом $31 31 f( 5 + x)= f( 5 − x)$ ).

Следовательно, максимальными членами последовательности могут быть $10- x5 = 3+ 6+a$ и $10- x6 = 2+ 1+a.$ Так как последовательность имеет два максимальных члена, получаем равенство $-10- -10- 2 3+ 6+a = 2+ 1+a ⇒ a + 7a− 44 =0 ⇒ a= −11$ или $a =4.$

Ответ:

$a =4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#76151

Найти все значения $a$ , при которых уравнение $sinx= (4a− 2)2$ имеет корни, а числа $1−-4a- 27a4$ являются целыми.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 || 1|| 1 1 3 (4a− 2) ≤1 ⇐⇒ ||a− 2||≤ 4 ⇐⇒ 4 ≤ a≤ 4

Далее исследуем функцию $f(a) = 1−274aa4$ на отрезке $[14,34]$

f′(a)= -4 ⋅ 3a-−5 1-=0 ⇐ ⇒ a = 1 27 a 3

Где $a= 13$ является точкой минимума. Отсюда $f$ может принимать только значения между $f(13)= −1$ и $max{f(14),f(34)}= 0$ . При этом значения эти достигаются только в точках $13$ и $14$ и нигде более функция целые значения принимать не может.

Ответ:

$1,1 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#105474

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2( 2x−x2) √- (2x−x2+1) 2cos 2 = a+ 3sin 2

имеет хотя бы одно решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=22x−x2.$ Так как $2x− x2$ — это парабола с ветвями вниз, то максимум достигается в вершине, в данном случае при $x =1,$ тогда $t∈(0;2].$ Преобразуем наше уравнение:

2 √ - 2 cos t= a+ 3sin2t

√ - 1+cos2t=a + 3sin2t

1− a =√3-sin2t− cos2t

( ) 1−-a= sin 2t− π 2 6

Учитывая ограничение на $t,$ правая часть может принимать значения $( ] − 1 ;1 , 2$ тогда $a∈ [−1;2).$

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#78979

Числа $x ≤0,y > 0$ — решения системы уравнений

({ 2 2 10p−-p2 3x2 − 8xy− 3y2 = 14p0−2p+9 ; ( x − 5xy+ 6y = 4p2+9,

$p$ — параметр. При каких $p$ выражение $2 2 x + y$ принимает:

(a) наибольшее значение;

(b) наименьшее значение?

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Данная система имеет вид

$pict$

Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, т.к. $x≤ 0,y > 0,$ следовательно $x− 2y < 0$ и $x− 3y <0$ ), получим $3x+y x−2y =p.$ Отсюда

x 2p+1 y = p−-3 ,

(2)

где $− 12 ≤ p< 3,$ т.к. $xy ≤ 0.$ Подставив соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$ получаем

x2 =-(2p+-1)2-, y2 =-(p-− 3)2, 7(4p2+ 9) 7(4p2+ 9)

откуда

2 2 5p2− 2p+-10 x + y = f(p)= 7(4p2+ 9)

Исследовав функцию $f(p)$ на максимум и минимум при $[ ) p∈ − 12,3$ получаем, что

fmax = 7-(p= − 1), fmin = 1 (p= 1) 40 2 7

Ответ:

(a) $1 − 2$

(b) $1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33955

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

5√---- 2 5√------- 1∘0-2-------- 3 x +4− 7a ⋅ 32x+ 96= x + 7x +12

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1985 (см. pk.cs.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $14a2 = b$ , тогда уравнение имеет вид

5√---- 10∘-2-------- 5√ ---- 3 x+ 4− x + 7x+ 12 − b⋅ x+3 =0

Так как $x+ 3= 0$ не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на $5√x+-3$ , получим

5∘ x+-4- -10∘-(x+-4)(x+-3) b= 3 x+ 3 − 5√x+-3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Заметим, что $10√(x+4)(x+3) ∘ ---- ---5√x+3---⁄= 10 xx++43$ , так как $x+ 3$ может быть как положительным, так и отрицательным.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделаем замену $10√-------- t= --(x5√+x4)+(x3+3)$ , тогда $∘ x+-4- t2 = 5 x+-3$ , следовательно, уравнение примет вид

b= 3t2− t

Исследуем замену:

( 10∘---------- ∘ ----- ∘ ------- ||||{ --(x1+0√-4)(x+2-3)= 10x-+4 = 101+ -1--, x> −3 t= ∘(--x+-3)-- x∘-+3-- ∘-x+-3-- ||||( 10(x∘+-4)(x+-3)= − 10 x+4-= − 101 +-1-, x≤ −4 −(10− (x +3))2 x+3 x +3

Если обозначить $p(x)= 1+ x+13-$ — убывающая функция, то

({ 1∘0--- t= p∘(x), x >− 3 (убывает, как композиция возраст. и убы в.) ( − 10p(x), x ≤− 4 (возрастает, как композиция убы в. и убыв.)

Изобразим график функции $y =p(x)$ :

$PIC$

Заметим, что одному значению $x$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $p.$

При $x∈ (−3;+ ∞)$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ , значит, $y =t(p(x))$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ .

При $x∈ (−∞;− 4]$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $1$ до $0$ , значит, $y = t(p(x))$ принимает значения от $− 1$ до $0$ .

Следовательно, график $y = t(x)$ выглядит следующим образом ( $y = −1$ и $y = 1$ — горизонтальные асимптоты):

$PIC$

Значит, область значений $t∈ (− 1;0]∪(1;+ ∞)$ , причем заметим, что одному значению $p$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $t$ .

Изобразим график функции $b= b(t)= 3t2− t$ при $t∈ (−1;0]∪(1;+∞)$ в системе координат $tOb$ и найдем такие положения горизонтальной прямой $b =b0$ , при которых она с графиком функции $b= b(t)$ имеет ровно одну точку пересечения: