Тема Задачи с параметром

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#84369

Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых из неравенства

2 x +a ≤0

следует неравенство

(x+ 2a)⋅√3-− x≤ 0

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поймём, что данное следствие реализуется, если множество решений первого неравенства полностью содержится в множестве решений второго. Посмотрим, как выглядят эти множества решений.

Решим второе неравенство

√---- (x+ 2a)⋅ 3 − x≤ 0

⌊ 3 − x =0 || ( |⌈ { 3− x> 0 ( x+ 2a ≤0

⌊ x =3 ||| ({ ⌈ x< 3 ( x≤ −2a

x ∈{3}∪(−∞, min(3,−2a)]

Теперь рассмотрим решение первого неравенства в зависимости от $a$

x2 ≤− a

При $a> 0: x∈ ∅.$ Видно, что

∅ ∈{3}∪(−∞, −2a]

Значит, $a> 0$ подходят.

При $a= 0: x= 0.$ Видно, что

{0}∈ {3} ∪(−∞,0]

Значит, $a= 0$ подходит.

При $[ √---√--] a< 0: x∈ − −a, −a .$ Посмотрим как должны располагаться множества на числовой прямой

$PIC$

Из этого понимаем, что нужные $a$ будут удовлетворять условию

√ --- −a≤ min(3,−2a)

( { √−a-≤3 ( √--- −a ≤− 2a

Решаем систему с учётом, что $a< 0,$ получаем

({ a ≥− 9 1 ( a ≤− 4

В итоге, объединив все случаи, получаем $a∈ [−9,−0,25]∪[0,+ ∞).$ _____________________________________________

Второе решение.

Введем плоскость $xOa$ . В ней решением неравенства при конкретном $a$ будет пересечение прямой $a= a0$ с областью, которая задается неравенством. То, что одно уравнение является следствием другого, означает, что пересечение прямой $a =a0$ с множеством, задаваемым вторым неравенством, будет полностью содержать в себе пересечение прямой $a =a0$ с множеством, задаваемым первым неравенством.

Неравенство $2 x + a≤ 0$ задает область "под параболой" $2 a =− x$ .

Неравенство $√ ---- (x+ 2a) 3− x ≤0$ представим в виде равносильной совокупности:

⌊ |( 3− x= 0 ||⌈{ 3− x >0 ( x+ 2a ≤0

Эта система на плоскости представляет собой вертикальную прямую $x= 3$ и область, лежащую "ниже"прямой $a= − x2$ и "левее"c $x = 3:$

$PIC$

Теперь проанализируем решения неравенств при каждом $a$ .

1 случай.) $a> 0$ .

При таких значениях $a$ первое неравенство не имеет решений. Значит, любое другое неравенство будет его следствием.

2 случай.) $a= 0$ .

Решением первого неравенство будет ${0}$ , а решением второго $(−∞;0]$ . Т.е. второе неравенство является следствием первого.

3 случай.) $0> a> −0.25$ .

Как мы видим из рисунка, существуют точки "внутри"параболы, которые не принадлежат области второго неравенства. Т.е. второе неравенство не будет следствием первого.

4 случай.) $− 0.25≥ a≥ −9$ .

При таких значениях $a$ все решения первого неравенство лежат внутри множества решений второго. Т.е. второе неравенство —- следствие первого.

5 случай.) $− 9> a$ .

При таких значеиях $a$ среди решений первого неравенства есть решения $> 3$ . Но у второго неравенства таких решений быть не может. Т.е. второе неравенство не является следствием первого.

Итого получаем $a∈ [− 9;−0.25]∪[0;+ ∞)$

Ответ:

$[−9;− 0,25]∪[0;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98817

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2− x+ a≤ 0 x2+ 2x− 6a ≤0

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенства:

(| a≤ −x2+ x= − (x− 1)2+ 1(1) { 2 4 |( a≥ x2+2x-= (x+1)2+1-(2) 6 6

Найдем точки пересечения парабол.

x2+2x-= −x2+ x 6

2 2 x + 2x = −6x +6x

7x2− 4x =0

x= 0 или x= 4 7

С помощью найденных точек пересечения понимаем, что параболы пересекаются правее вершины параболы (2). Следовательно, получаем эскиз графиков в плоскости $xOa$ выглядит так:

$PIC$

Решением системы неравенств является область между параболами, включая их границы (так как неравенства нестрогие). Понимаем, что $a =0$ подходит, а также подходит вершина второй параболы при

( )2 a= − 1 + 1= 1 2 2 4

Ответ:

$0; 1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69289

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...

Подсказка 2

Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?

Подсказка 3

Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?

Подсказка 4

Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...

Подсказка 5

Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?

Подсказка 6

Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.

Подсказка 7

Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70385

Найти все значения параметра $a,$ при которых уравнение

--a2+x2-− 4x−-6a−-23-- √a2+-ax− 2x2−-2a−-x+1-= 0

имеет единственное решение.

Источники: САММАТ-2023, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами обычное уравнение f(x)/g(x) = 0, давайте вспомним, какой равносильный переход позволит нам работать отдельно с числителем и знаменателем. Какое условие поможет нам избавиться от корня?

Подсказка 2

Мы получили какие-то страшные выражения, содержащие x^2 или a^2. В них часто спрятана формула окружности или произведение скобок с выражениями, с которыми удобно работать. Попробуйте понять, что спрятано в наших выражениях. Чтобы увидеть формулу окружности, стоит повыделять полные квадраты, а если вы считаете, что выражение получено перемножение некоторых скобок, то попробуйте решить квадратное уравнение относительно x или a.

Подсказка 3

Ура, теперь когда мы упростили исходную задачу, пора выбрать сторону: алгебра или геометрия? Давайте подумаем, сможем ли мы свести каждое наше выражение к некоторым геометрическим объектам, а сможем ли мы легко найти корни уравнения и подставить их в неравенство?

Подсказка 4

Перед нами же уравнение окружности (a-3)^2+(x-2)^2=36 и некоторые области, ограниченные прямыми (a-x-1=0 и a+2x-1=0), так давайте же попробуем нарисовать их в xOa.

Подсказка 5

Когда мы нарисовали нашу картинку, дать ответ уже совсем просто, ведь для каждой пары (x, a) мы можем точно сказать, подходит она нам или нет. Если мы зафиксируем какое-либо a_0, то есть будем жить в горизонтальной прямой a=a_0, то любое пересечение с нашим графиком даст нам решение (x, a_0). Остаётся понять, когда наша горизонтальная прямая имеет ровно 1 пересечение. Не забывайте думать про те области, в которых ваш график не нарисован, часто бывает, что мы не видим пересечения, просто потому что оно где-то далеко и мы его не нарисовали.

Показать ответ и решение

Область допустимых значений уравнения определяется неравенством

2 2 a + ax− 2x − 2a− x+ 1> 0

Выражение слева представляет собой квадратный трёхчлен относительно $a.$ Найдем его корни, получим

a2+ a(x − 2)− 2x2− x+ 1= 0⇒

D = (x− 2)2− 4⋅(− 2x2− x+ 1)= x2− 4x+ 4+ 8x2+4x− 4= 9x2 ⇒

a1 = 2−-x+3x-= x+1, a2 = 2− x-− 3x-=− 2x +1 ⇒ 2 2

a2+ a(x− 2)− 2x2− x +1= (a− x− 1)(a+2x − 1)

Поэтому неравенство равносильно неравенству

(a− x− 1)(a+ 2x− 1)> 0,

или совокупности систем неравенств

{ { a − x− 1> 0 или a− x− 1< 0 a +2x− 1> 0 a+ 2x− 1< 0

Первая система неравенств определяет область декартовой плоскости $Oxa$ — внутреннюю часть угла, расположенного выше прямых, а вторая — ниже прямых, определяемых уравнениями $a− x − 1 =0$ и $a+ 2x− 1= 0.$

$PIC$

Уравнение

a2+ x2 = 23 +4x+ 6a,⇒ a2− 6a+ x2− 4x− 23= 0⇒

a2− 6a+9 +x2− 4x+ 4− 36= 0,⇒ (a − 3)2+(x− 2)2 =36

определяет окружность с радиусом $R = 6$ и центром в точке с координатами $x= 2,$ $a= 3.$

Найдем точки пересечения этой окружности с найденными прямыми.

1.

${ 2 2 { 2 { 2 (a − 3) + (x− 2) =36 ⇒ 2(x− 2) =36 ⇒ (x − 2) = 18 ⇒ a− x− 1= 0 a= x+ 1 a= x+ 1$

${ √- x− 2= ±3 2 ⇒ x =2− 3√2,a = 3− 3√2 a= x+ 1 1 1$ , или $x = 2+3√2,a = 3+ 3√2 2 2$

2.

${ (a − 3)2+ (x− 2)2 =36 { (− 2x − 2)2+ (x− 2)2 =36 a+ 2x − 1 =0 ⇒ a= −2x+ 1 ⇒$

${ { 4x2+8x+ 4+ x2− 4x +4= 36 ⇒ 5x2+ 4x− 28=0 ⇒ x3 =− 14= −24 , a= −2x+ 1 a= −2x+1 5 5$ $a3 = 33= 63 5 5$ или $x4 = 2,a4 = −3$

Уравнение будет иметь единственное решение, если горизонтальная прямая с уравнением $y = a$ пересекает объединение двух дуг окружности, лежащих в двух указанных выше угловых областях только в одной точке (смотри рисунок). Таким образом, искомое множество значений параметра $a$ есть объединение $(− 3;3− 3√2)∪$ $(63;3+ 3√2]∪ {9} 5$

Ответ:

$(− 3;3− 3√2)∪ (63;3+ 3√2-]∪{9} 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85347

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При $x≤ −1$ получаем $f(x)= x− 2 − (2x+ 2)= −x − 4$

При $x> −1$ получаем $f(x)= x− 2+2x+ 2= 3x$

$PIC$

Найдём значения параметра $a$ , при которых прямая $y =a$ пересекает график $f(x)$ в нечетном числе точек.

При $a< 0$ пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При $a= 0$ получаем $2$ решения.

При $0< a< 3$ получаем $4$ решения.

При $a= 3$ получаем $3$ решения.

При $a> 3$ получаем $2$ решения.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41246

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система неравенств

( 3a+ 2x≥ x2, |{ √- |( a ≤2 x, 2a+ x≤ 5

имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого такого значения $a.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала заметим, что в каждом неравенстве можно оставить параметр в одной стороне, а всё остальное перенести в другую сторону. Почему это хорошо?.. А потому что теперь мы можем удобно изобразить задачу в плоскости xOa! Как тогда переформулировать задачу в терминах графиков?

Подсказка 2

Получается, что решения будут в области выше графика параболы, но ниже графиков прямой и корня! Эта область ограничена сверху точкой пересечения графиков прямой и корня, а снизу — вершиной параболы. Как теперь действовать?

Подсказка 3

Осталось просто найти координаты нужных точек и рассмотреть интервалы для параметра, в каждом из которых решение системы ищется одинаковым образом :)

Показать ответ и решение

Перепишем систему в более удобном для построения графиков виде:

(| x2−2x- |{ a≥ √ 3 =f(x) ||( a≤ 25−xx= g(x) a≤ 2 = h(x)

То есть нас удовлетворяет область выше графика $f(x)$ и ниже графиков $h(x)$ и $g(x)$ :

$PIC$

Легко видеть, что тогда решения будут при $a∈ [YA,YB]$ (ординаты точек, отмеченных на чертеже, здесь $A$ — вершина параболы). Осталось только найти эти координаты.

1 xверш = 1 =⇒ f(xверш)= f(1)= −3 = YA

√- √ - g(x)=h(x) ⇐⇒ 4 x= 5− x ⇐⇒ x= 1 =⇒ YB = 2 1= 2

Здесь единственность решения следует из того, что одна функция возрастает, а вторая убывает.

Теперь укажем решения системы для каждого $a$ .

При $1 − 3 ≤a ≤0$ это будет отрезок между корнями уравнения $f(x) =a$ , то есть $√----- x2− 2x − 3a= 0 ⇐⇒ x= 1± 1+ 3a.$

При $0≤ a≤ a∗$ это будет отрезок между корнем уравнения $a =g(x)$ и бОльшим корнем $a= f(x)$ , где $a∗$ это ордината точки пересечения $h(x)$ и $f(x)$ .

√--------- h(x)= f(x) ⇐⇒ 2(x2− 2x)= 3(5− x) ⇐ ⇒ 2x2− x− 15= 0 ⇐ ⇒ x = 1±--1+-4⋅2⋅15-= 1±-11- 4 4

Больший корень $x =3$ . Ордината $h(3)=f(3)= 1$ .

При $0≤ a≤ 1$ искомый отрезок это $[a2;1+√1-+-3a]. 4$

При $1≤ a≤ 2$ решением является отрезок между корнем $a= g(x)= 2√x$ и $a =h(x)= 5−-x 2$ . То есть между $x = a2- 4$ и $x =5− 2a.$

Ответ:

При $− 1≤ a≤ 0 3$ решение $[1− √1-+-3a;1+ √1+-3a]$

При $0≤ a≤ 1$ решение $a2 √----- [4 ;1+ 1 +3a]$

При $1≤ a≤ 2$ решение $a2 [4 ;5− 2a]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#42937

При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства

2 |x − a|≤ 3− x

образуют отрезок длины $1?$

Показать ответ и решение

Графически в координатах $xOy$ правая часть — парабола с вершиной $(0,3)$ и ветвями вниз, левая — галка с вершиной на $Ox$ , поэтому чтобы решения были отрезком, концы его должны быть общими точками графиков. В силу симметрии достаточно рассматривать $a≥ 0$ , сначала рассмотрим случай, когда одна ветка пересекает параболу в двух точках

$PIC$

−x+ a≤ 3− x2 ⇐ ⇒ x2− x+ a− 3≤ 0

Корни имеют вид $t,t+ 1$ , тогда $2t+ 1= 1 =⇒ t =0$ , откуда

a− 3= t(t+ 1)=0 =⇒ a= 3

Далее пусть вершина галки внутри параболы, тогда при $a≥ 0$ точка пересечения с параболой будет иметь абсциссу, большую единицы, поскольку $3 − 12 = 2$ — выше прямой $y =x$

$PIC$

Но тогда обе точки пересечения с параболой должны иметь положительные абсциссы, чтобы выполнилось нужное нам условие на разность $1$ . Однако такое невозможно (меньшая точка всегда имеет отрицательную), поэтому вершина уголка не может быть внутри параболы. Осталось вспомнить про симмметрию и записать ответ.

Ответ:

$±3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45000

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

log1− x(a− x+ 2)=2

имеет хотя бы один корень на $(−1;1).$

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $1− x> 0,1 − x ⁄=1,a− x+ 2> 0.$

По определению логарифма уравнение сводится к $2 a− x +2 =(1− x)$ , то есть $2 a= x − x− 1$ .

$PIC$

Если нарисовать условия в системе координат $xOa$ , можно заметить, что у нас есть хотя бы один корень на интервале $(−1;1)$ при $a ∈[a0;1)$ , где $a0$ - значение $a$ в вершине параболы, то есть $a0 = 14 − 12 − 1 =− 54$ .

Осталось не забыть, что по ограничениям $x ⁄= 0$ , то есть при $a =− 1$ решений всё-таки нет.

Ответ:

$[− 5;−1)∪(−1;1) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91916

Найти все значения $a$ , при которых уравнение

(2 ) (a +1− |x+2|)x + 4x+ 1− a =0

имеет ровно три корня.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

a= |x +2|− 1 2 a= x + 4x +1

Введем систему координат, в которой осью абсцисс является ось $Ox$ , а осью ординат-ось $Oa$ , и построим графики функций, заданных двумя полученными формулами.

$PIC$

Пусть $E$ -искомое множество значений $a.$ Тогда $a0 ∈E$ в том и только в том случае, если горизонтальная прямая $a= a0$ пересекает объединение построенных графиков в трех точках (каждая из этих трех точек принадлежит прямой $a= a0$ и хотя бы одному из графиков двух наших функций. Этим свойством обладает лишь прямая $a= −1$ , имеющая одну общую точку с графиком первой функции и две общие точки с графиком второй функции.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45584

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x x x x 2 16 − 6⋅8 + 8⋅4 + (2− 2a)⋅2 − a + 2a− 1 =0

имеет ровно три различных корня.

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то страшное уравнение дали... Давайте попробуем хоть что-то поделать с ним! Как говорится: "Дорогу осилит идущий" :)

Подсказка 2

Верно, давайте просто заменим 2^x на t, где t>0, и будем уже для этого уравнения решать задачу. Понятно, что нам не дали бы такую бяку, если бы она не раскладывалась во что-то хорошее. Давайте попробуем это сделать. Видим, что двойку в одном слагаемом можем вынести. Получается удвоенное произведение. А не соберутся ли там хорошо полные квадраты? Тогда стало бы совсем легко.

Подсказка 3

Точно, там хорошо собирается разность квадратов, с которой дальше уже можно работать! Хм... Видим, что произведение двух скобок равно нулю. И в них параметр а входит везде в первой степени. Тогда каким способом можно добить эту задачу?

Подсказка 4

Да, можно графически порешать в плоскости tOa. Осталось только аккуратно построить графики и выяснить подходящие значения а.

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x > 0$ нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

4 3 2 2 t − 6t + 8t − 2(a − 1)t− (a− 1) = 0

2 2 2 2 2 (t − 3t) − (t+ a− 1) = 0 ⇐⇒ (t− 2t+a− 1)(t − 4t− a+ 1)=0

Первое решение.

Построим графики

a =− (t2− 2t− 1)= −(t− 1)2 +2,a= t2− 4t+1 =(t− 2)2− 3

в координатах $tOa$ и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области $t> 0$ ровно в трёх точках:

$PIC$

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые $a= 2$ и $a= −3$ . Пересекаются параболы при

2 2 2 −(t − 2t− 1)= t − 4t+ 1 ⇐⇒ 2t− 6t= 0 ⇐ ⇒ t∈ {0;3}

При $t= 0$ получаем

a= 0− 0+1

При $t= 3$ получаем

a =9− 12+ 1= −2

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

t2− 2t+ (a− 1)= 0

t2− 4t− (a− 1)= 0

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть $4$ положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

4(1− a+ 1)>0,4(4+ a− 1)> 0

При $a= 1$ среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же $t> 0$ верно

2 2 t − 2t+a − 1 =0,t − 4t− a+1 =0

Отсюда

2 4t− 2t= 2(1− a) ⇐ ⇒ t= 1− a =⇒ (1− a) − 3(1− a)= 0 =⇒ a= 1,a =−2

Эти значения исключим из ответа.

Ответ:

$(−3;−2)∪(−2;1)∪ (1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#49603

При каких значениях параметра $a$ уравнение

3 2 x + ax +13x− 6= 0

имеет единственное решение?

Источники: ОММО-2016, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если смотреть на левую часть как на функцию от x с параметром a, то становится как-то страшно. Но мы видим, что как функция относительно переменной a она линейна. Что тогда хочется сделать?

Подсказка 2

Можно выразить a через x и построить график этой функции в плоскости xa. Тогда точки пересечения горизонтальной прямой a=const - это в точности корни x нашего уравнения. Постройте график и найдите все такие прямые, которые пересекают график ровно в одной точке!

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению $a= f(x)= −x3−13x+6= −x − 13-+-6 (∗) x2 x x2$ .

Заметим, что $f(x)→ +∞$ при $x → −∞$ и $f(x)→ −∞$ при $x → +∞$ . Также $f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x =0$ .

Производная функции $f(x)$ равна $′ 13 12 x3−13x+12 f(x)= −1+ x2 − x3 = − x3$ . Находим нули числителя: $3 2 2 2 (x − x)+ (x − x)− (12x+ 12) =0 ⇐⇒ (x− 1)(x +x − 12)= 0 ⇐⇒ x∈ {− 4;1;3}$ .

Расставляя знаки для производной по методу интервалов, делаем вывод, что функция $f$

на промежутке $(−∞,− 4]$ убывает от $+∞$ до $61 f(−4)= 8$ .
на промежутке $[−4,0)$ — возрастает от $61- 8$ до $+∞$
на промежутке $(0,1]$ — убывает от $+∞$ до $f(1)= −8$ .
на промежутке $[1,3]$ — возрастает от $− 8$ до $f(3)= − 203$ .
на промежутке $[3,+∞ )$ — убывает от $− 203-$ до $− ∞$ .

$PIC$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает каждое своё значение

из промежутка $(−∞;− 8)$ ровно один раз;
$− 8$ - два раза;
из промежутка $20 (−8;−3-)$ - три раза (один раз в точке $x= 1$ , а второй раз - на промежутке $(3,+∞ )$ );
$− 203-$ - два раза;
из промежутка $(− 203 ;681 )$ - один раз
$618-$ - два раза
из промежутка $(681;+ ∞)$ - три раза.

Итак, уравнение $∗ ()$ , а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при $20-61 a∈ (− ∞;−8)∪(− 3 ; 8 )$ .

Ответ:

$(−∞;− 8)∪(− 20;61) 3 8$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#79185

Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений

{ x− y2− a =0 x2− y+a =0

имеет единственное решение.

Источники: Физтех - 2009, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие у нас стандартные методы решения системы? Сложить, перемножить, выразить. Попробуем первый способ. Ого, ушла а-шка, и более того, наше выражение разложилось на множители. Значит, либо x = y, либо x + y + 1 = 0. Чему теперь равносильно условие на одно решение, если х линейно выразился через у?

Подсказка 2

Тому, что суммарно, при подстановке вместо y — х и -(x + 1), во второе (или первое, это не так важно) уравнение системы, получалось ровно 1 решение. Как нам этого добиться?

Подсказка 3

Верно, посчитаем дискриминанты. Один из них должен быть равен нулю, а второй меньше нуля (так как общих корней у уравнений нет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

2 2 x − y + x− y = 0

x= y или x+y +1 =0

Получаем, что система из условия равносильна

⌊ { y = x || x2− x+a =0 ||⌈ { y = −1− x x2+ x+1 +a =0

в силу линейной связи между $x,y$ одно решение должна иметь совокупность

[ x2− x+ a= 0 x2+ x+ 1+ a= 0

Дискриминант первого уравнения равен $1− 4a,$ у второго же он меньше: $1 − 4a− 4.$ Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении $a$ не будет корней):

1− 4a =0

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены $(x,y)$ на $(y,x)$ . То есть если есть решение $(x0,y0)$ , то решением также будет пара $(y0,x0)$ — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было $(x,x):$

2 x − x+ a= 0

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

1− 4a =0

При таком значении параметра получаем систему

{ x− y2 − 1 = 0 x2− y +4 1 = 0 4

Вычитая, получаем

( 1)2 ( 1)2 x− 2 + y− 2 =0

Единственное решение уравнения — это пара $(11) 2;2$ . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое $a$ подходит.

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#47921

При каких значениях параметра $a$ уравнение

||2x-− 1|| |x|+ ||3x − 2||= a

имеет ровно три решения?

Источники: Вступительные на химический факультет МГУ, 2005 год, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для понимания происходящего в этой задаче попробуйте рассмотреть, на какие области эта функция делит плоскость!

Подсказка 2!

Да, это: x∈ (−∞,0) x ∈[0,1/2) x ∈[1/2,2/3) x ∈(2/3,+∞). Тогда проанализируем поведение функции на наших промежутках (Попробуйте понять монотонность, используя производную)

Подсказка 3!

Нам надо понять, когда наша функция пересекает прямую g(x) = a всего один раз! Для этого можно схематично изобразить функцию 9Так как перед этим вы ее проанализировали) и понять, какие точки - точки экстремума (в иных точках у нес будет 2 пересечения минимум)

Подсказка 4!

Альтернативная подсказка: Так как у вас в задаче просят нечетное число решений, попробуйте найти симметрию. То есть пусть х решение, тогда (какая-то дробь) будет тоже являться решением! Поразительно дробь похожа на само уравнение.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разделим всю плоскость на промежутки по нулям модуля, обозначив $|2x−-1|- f(x)=|x|+ |3x− 2|$ .


Промежуток	$x∈ (−∞,0)$	$x ∈[0,12)$	$x ∈[12,23)$	$x ∈(23,+∞)$

Функция $f$ на нём	$− x+ 23xx−−12$	$x + 23xx−−12$	$x− 2x3x−−12-$	$x + 23xx−−12$

Производная $f′$	$− 1− (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$	$1+ (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$

Нули производной	всюду $<0$	$13$	всюду $> 0$	$1$

Поведение функции	убывает	выпукла	возрастает	вогнута

Область значений	$(1,+∞ ) 2$	$[1,2) 2 3$	$[1,+ ∞) 2$	$[2,+∞ )$

Итак, монотонная функция на своей области значений будет иметь ровно одну общую точку с любой горизонтальной прямой $g(x)=a$ , тогда как выпуклая или вогнутая — две точки, кроме точки экстремума, в которой общая точка будет ровно одна.

Используя полученные области значений, можно изобразить функции схематично или вручную пройти по всем границам промежутков... мы используем первый способ:

$PIC$

Нетрудно видеть, что интересующие нас значения $a∈{ 23,2}$ .

Второе решение.

В условии требуется нечётное число решений, так что хочется найти симметрию. Обозначим $f(x)= 23xx−−12$ . Внезапно заметим, что

f(f(x))= 223xx−−12 −-1=-2(2x−-1)− (3x−-2)-= 4x−-2−-3x-+2 =x 323xx−−12 − 2 3(2x− 1)− 2(3x− 2) 6x− 3− 6x +4

Поэтому если у уравнения существует решение $x =x0$ , то $x = 23xx00−−12$ тоже решение. Если для каждого такого $x0$ нет совпадений в паре $(x,f(x))$ , то решений чётное число. Так что для наличия трёх решений необходимо, чтобы среди них было такое $x =t$ , что $t= 23t−t−-12 =⇒ 3t2− 2t− 2t+1= 0 ⇐⇒ t∈ {1;13}.$

При $x =1$ получаем $a= 2$ , при $x = 13$ получаем $a= 23$ . При других значениях параметра ровно трёх решений быть не может.

Осталось проверить, что эти значения параметра подходят...

Интересный факт. Такая симметрия $x <− > f(x)$ сработала, потому что квадрат матрицы

( ) 2 −1 3 −2

равен

(1 0) 0 1

единичной матрице.

Ответ:

${2,2} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79184

Найти все значения параметра $a$ , при которых система неравенств

{ x2+ 2x+a ≤0 x2− 4x− 6a ≤0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите каждое неравенство системы, первое из них приведите к виду а ≤ f(x), второе — к а ≥ g(x).

Подсказка 2

В системе координат хОа выполните построение графиков функций а = f(x), а = g(x).

Подсказка 3

Зафиксируйте область, которая соответствует решению неравенств. То есть определите, какие точки являются множеством решения для каждого из неравенств. ("Выше", "Ниже", "Не выше" или "Не ниже" параболы)

Подсказка 4

Стоит отметить, что множеством решений системы является область, удовлетворяющая обоим неравенствам, так как перед нами система.

Подсказка 5

Посмотрите, при каком а будет единственное решение. Для этого необходимо понять, при каких значениях параметра горизонтальная прямая будет иметь с выделенной областью ровно одну точку пересечения.

Показать ответ и решение

Перепишем исходную систему в виде

(| 2 {a ≤− x2 − 2x |(a ≥ x-− 4x 6

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы $f(x)= −x2− 2x.$
Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы $g(x)= x2− 4x. 6$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g.$ Ее координаты равны

x1 = − 2−⋅2(−1)-=− 1; a1 =f(−1)= 1

Так как $g(−1)= 5< 1= f(− 1), 6$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g,$ включая границы.

Только горизонтальные прямые $l1 :a= 0$ и $l2 :a= 1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l2$ — касательная в вершине параболы $f,$ а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.