Теория чисел на КФУ

Подсказка 1

Запишем искомое число в виде 100а+10b+c. Как нам схожим образом записать это число в девятеричной системе?

Подсказка 2

Верно, 81c+9b+a. Приравняем эти выражения и получим уравнение на три неизвестных. Найти и выразить их из него мы не сможем, но можем выявить некоторые характеристики этих чисел. Например, о равенстве каких-то двух переменных. Как бы нам переписать это уравнение так, чтобы какая-нибудь разница равнялась нулю?

Подсказка 3

Конечно, записав 100а-80b =a-b, получим, что разница a и b кратна 10, но так как обе переменные однозначны, то и их разность равна только нулю. Тогда а=b. Подставив в известное нам равенство и пользуясь однозначностью чисел, можем так же точно определить значения наших переменных

Подсказка 1

Пусть х₁ - наибольшее из чисел. Тогда очевидно х₁>P/S. С таким выражением работать куда проще, чем с абстрактным условием на неизвестное число. Перезапишем его в виде Sx₁>P. Как бы нам доказать это неравенство?...

Подсказка 2

Давайте домножим выражение для суммы всех чисел на х₁. Попарного сравним каждое слагаемое со слагаемыми из суммы квадратов. Что получается?

Подсказка 3

Верно, Sx₁ оказывается не меньше суммы квадратов! А теперь можно заменить всё на введённые в условии обозначения и доказать неравенство.

Подсказка 1

Такс, нам говорят, что p простое. Это очень сильное условие, поэтому давайте попробуем перенести p в правую часть, а всё остальное в левую! И после этого попробуем левую часть разложить на множители.

Подсказка 2

Да, она раскладывается не так уж и легко. Так что, попробуйте вынести (x+y), а дальше подобрать не так сложно)

Подсказка 3

В итоге, должно получиться равенство (x+y)(x-y) ² = -p³. А теперь нам сильно помогает условие на простоту p, ведь мы теперь точно понимаем, чему может равняться каждая из скобок! Всего два случая, в первом квадрат это ±p, а во втором ±1. Осталось решить каждый из случаев

Подсказка 4

Верно, для того, чтобы решить каждую систему, достаточно просто сложить или вычесть её уравнения!

Подсказка 1

Может нам как-нибудь немного упростить себе задачу? Например, упростив сумму чисел. Число с 2022 одинаковыми цифрами должно делиться на 3, тогда составим уравнение, где сумма n чисел равна 77...7 и поделим обе части

Подсказка 2

В новом уравнении каждое из чисел сумме в 3 раза меньше соответствующего элемента из первого уравнения, то есть все числа состоят из единиц и нулей и в сумме дают 259259...259. Как могла получится девятка в таком числе?

Подсказка 3

Верно, эти девятки говорят о том, что число получалось из суммы как минимум 9 чисел (при меньшем количестве суммы единиц не могло бы хватить). Остаётся только подобрать подходящий пример)

Подсказка 1

Давайте подумаем даже не про пункты, а про общую идею задачи. Если мы хотим доказывать, что ответ — "да", то надо бы придумывать пример. Пример хотелось бы строить простой, а если числа хотя бы двузначные, то уже суммы цифр какие-то надо считать. Не годится. Поэтому если в каком-то пункте ответ "да", то надо попробовать привести пример с цифрами. Если же ответ — "нет", то первое, что можно сделать с суммой цифр — использовать равноостаточность числа и его суммы цифр по какому-то хорошему модулю.

Подсказка 2

Действительно, в первом пункте легко придумывается пример, а во втором пункте можно использовать факт, что разность числа и его суммы цифр всегда кратна 9. Но вот незадача, вычитаем-то мы не собственную сумму цифр, а сумму цифр числа, следующего по циклу. Что нам нужно сделать с результатами этих разностей, чтобы получить разности числа и его суммы цифр?

Подсказка 1

Если у нас число представляется единственным образом, то это значит, например, что мы не можем как-то уменьшить одно число на 1, увеличить другое на 1 и получить новое разбиение. Положим, что у нас есть числа a₁ < a₂ < … < a₁₀, что тогда можно сказать, в соответствии с нашими рассуждениями выше, об a₁? Перекладывается ли это на a₂?

Подсказка 2

Мы можем сказать, что a₁ = 1, так как если a₁ > 1, то выходит, что мы можем уменьшить на 1 a₁, увеличить на 1 a₁₀, и это будет новым разбиением. Но ведь аналогично можно рассуждать и относительно a₂, a₃, … Когда этот процесс должен закончиться?

Подсказка 3

Мы можем проводить такие рассуждения вплоть до a₉, но вот с a₁₀ так же не получится. Подумайте, может ли a₁₀ быть равен, скажем, 100? А 20? А какие тогда он может принимать значения и почему (рассуждайте похожим образом, как с остальными a_i)?