Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.17 Вписанные и описанные тела

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2401

Куб описан около сферы радиуса 3. Найдите объем куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна $2⋅3 = 6.$ Тогда объем куба равен $63 = 216.$

Ответ: 216

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#19487

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

V = 3V = 3⋅25 =75 ц к

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#21444

Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а ее радиус равен $√ - 10 2.$ Найдите образующую конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $AOB,$ где точка $O$ — центр сферы, точка $A$ принадлежит окружности основания конуса, точка $B$ — вершина конуса. Тогда $AB$ — это образующая конуса.

$PIC$

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, то $BO$ — высота конуса и $BO ⊥ AO.$ Кроме того, $AO$ и $BO$ — радиусы сферы. Тогда для треугольника $AOB$ по теореме Пифагора имеем:

AB2 = AO2 +BO2 √-------- AB = 200+ 200= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#584

В конус вписана пирамида $SABC.$ В треугольнике $ABC$ известно, что $∠ACB = 60∘,$ $AB = 2√3.$ Высота конуса $SH$ равна 9. Найдите объем конуса, деленный на $π.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В основании конуса лежит окружность, которая описана вокруг треугольника $△ABC.$ По следствию из теоремы синусов: $AB sin∠ACB--= 2R$ , где $R$ — радиус описанной окружности, $⇒$ $2√3 2√3 sin-60∘-= -√3-= 4= 2R 2$ $⇒$ $R = 2$ . Зная радиус окружности, лежащей в основании конуса, можем найти его объем: $1 2 1 Vкон. = 3SH πR = 3 ⋅9⋅π⋅4 =12π$ $⇒$ $V-кон.= 12 π$ .

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1062

Куб описан около шара, объем которого равен $3π.$ Найдите объем куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как объем шара равен $3π$ и вычисляется по формуле $V = 4πR3, 3$ то

3π 9 R3 = 4π-= 4 3

Тогда объем куба равен

3 3 9 V = (2R ) = 8R = 8⋅4 = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1063

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен $7 π$ . Найдите объем призмы.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Пусть радиус основания цилиндра равен $R$ , а сторона основания призмы $a$ . Тогда $a = 2R$ . Пусть $h$ – высота цилиндра. Тогда боковое ребро призмы также равно $h$ . Следовательно, объем цилиндра

2 2 2 Vц = πR ⋅ h ⇒ 7π = πR ⋅ h ⇒ R ⋅ h = 7

Объем призмы:

V = a2h = (2R )2h = 4R2h = 4 ⋅ 7 = 28. п

Ответ: 28

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1889

Найдите объем вписанной в сферу правильной четырехугольной призмы, две грани которой отсекают от сферы сегменты с высотой $1- h = 4R$ ( $R$ – радиус сферы) и объемом $11π- 3$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$( ) ( )2 ( ) V = πh2 R − 1h = π 1R R − 1-1R = π --11--R3 = 11-π сегм. 3 4 3 4 16 ⋅ 12 3$ $⇒$ $R = 4$ . Чтобы найти объем параллелепипеда, найдем площадь грани параллелепипеда, которая вписана в окружность основания сегмента, и умножим ее на длину ребра, перпендикулярного этой грани. Грань, вписанная в окружность основания сегмента, является квадратом. Можем найти диагональ этого квадрата.

$PIC$

Половину диагонали найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $( )2 ( )2 2 1- d- R = R − 4 R + 2$ $⇒$ $√ -- d = 2 7$ $⇒$ $( ) 1-2 3- 1- 3- V = 2d 2 4R = 2 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅2 ⋅ 4 = 84$ .

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2245

$SABCD$ – прямоугольная пирамида, вписанная в цилиндр, а $ABCD$ – квадрат, $SB$ – высота. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36π$ , а его объем равен $72 π$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если разделить объем цилиндра на площадь боковой поверхности, то можно найти радиус окружностей, лежащих в основаниях цилиндра:

--Vцил.- πR2H--- R- 72π- S = 2πRH = 2 = 36π = 2 бок.пов.

$⇒$ $R = 4$ . Зная радиус, можно выразить высоту: $2π4H = 36π$ $⇒$ $H = 4,5$ . Так как точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной вокруг него окружности, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей, тогда объем пирамиды равен:

1- 1- 1- 1- 2 VSABCD = 3H 2(2R )(2R ) = 3 4,52 8 = 48

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2249

У правильной четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ сторона основания равна $√-- 2 3$ , а площадь одной из боковых граней равна $12$ . Найдите радиус сферы, описанной около $ABCDA1B1C1D1$ .

Показать ответ и решение

Так как данная четырёхугольная призма – правильная, то её боковые грани – прямоугольники, следовательно, боковое ребро этой призмы (например, $BB1$ ) равно $√ -- √ -- 12 : (2 3) = 2 3$ .

$PIC$

Пусть точка $O$ – середина $B1D$ , тогда $O$ – центр описанной около $ABCDA1B1C1D1$ сферы. Тогда искомый радиус равен половине $B D 1$ .

Так как $BD$ – диагональ квадрата со стороной $√ -- 2 3$ , то $√ -- √ -- √ -- BD = 2 3 ⋅ 2 = 2 6$ . По теореме Пифагора $2 2 2 B1D = BD + B1B$ , тогда

√ -- √ -- B1D2 = (2 6)2 + (2 3)2 = 24 + 12 = 36 ,

откуда находим: $B1D = 6$ , следовательно, искомый радиус равен $6 : 2 = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2398

Дан шар, диаметр которого равен $9$ . Плоскость $α$ пересекает диаметр $SZ$ шара под углом $90 ∘$ и делит его точкой пересечения в отношении $1 : 2$ , считая от вершины $S$ . Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $S$ , в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью $α$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $O$ – центр шара, $Q$ – точка пересечения $SZ$ и плоскости $α$ . Пусть $SABCD$ – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью $ASC$ .

$PIC$

Так как $SQ : QZ = 1 : 2$ , то $SQ : SZ = 1 : 3$ , следовательно, $SQ : SO = 2 : 3$ , следовательно, $OQ : SO = 1 : 3$ . Тогда

∘ -------(------)-- √ -- √ -- ∘ ------------ 1 2 2 2 2 2 9 √-- AQ = AO2 − OQ2 = AO2 − -AO = ----AO = -----⋅--= 3 2 3 3 3 2

Следовательно, $√ -- AC = 6 2$ . Следовательно, $√ -- AB = AC : 2 = 6$ .
Также

2 2 9 SQ = -SO = --⋅--= 3 3 3 2

Заметим, что $SQ$ – высота пирамиды, так как $SQ ⊥ α$ . Следовательно,

V = 1-⋅ SQ ⋅ AB2 = 36. 3

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2403

Шар вписан в куб, площадь поверхности которого равна $9- π .$ Найдите площадь поверхности шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как все грани куба – равные квадраты, то площадь одной грани равна $9:6 = 3-= a2, π 2π$ где $a$ — сторона куба. Следовательно, радиус шара равен половине от $a:$ $R = 1a. 2$ Значит, $R2 = 14a2 = 83π.$ Тогда площадь поверхности шара равна

2 3 S = 4πR = 4⋅π ⋅8π = 1,5

Ответ: 1,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16746

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда высота цилидра равна $2R,$ а радиус равен $R,$ так как шар вписан в цилиндр. Выразим площади поверхностей цилиндра и шара через $R.$ По формуле площади поверхности цилиндра имеем:

2 Sц = 2Sосн+ Sб =2πR + 2R⋅2πR = = 2πR2 +4πR2 = 6πR2

Следовательно,

2 S-ц 18 πR = 6 = 6 = 3

По формуле площади поверхности шара получаем

Sш = 4πR2 =4 ⋅3= 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#17237

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 19. Найдите объем цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим через $S$ площадь круга-основания, через $h$ — высоту цилиндра.

Тогда объем цилиндра равен

1 Vцилиндра = Sh = 3⋅3Sh = 3⋅Vконуса = 57

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22190

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $√ - 27 2.$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле

Sбокц. =2πRh,

где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Площадь же боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

Sбокк. = πRl,

где $R$ — радиус основания, $l$ — образующая конуса.

В данной нам задаче $h = R.$ Выразим теперь $l$ через $R.$ На картинке это образующая $OA,$ которую можно вычислить по теореме Пифагора для треугольника $AOH :$

OA =∘OH2--+-HA2-= ∘R2--+R2-= R√2.

Получим, что площадь боковой поверхности цилиндра равна

Sбок ц. = 2πRh = 2πR2,

а площадь боковой поверхности конуса равна

Sбок к. = πRl =√2-πR2,

то есть площадь боковой поверхности конуса в $√- 2$ раз меньше, чем площадь боковой поверхности цилиндра, то есть равна

√- 27-2- √2 = 27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#22191

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Поскольку радиус основания конуса равен радиусу шара, это значит, что основанием конуса служит большой круг шара, то есть круг, который содержит в себе центр шара. Таким образом, высота такого конуса так же равна радиусу шара $R.$ По формуле объёма конуса получим

V = 1πR3 конус 3

При этом объём шара равен $4πR3, 3$ то есть в 4 раза больше:

Vшар = 19⋅4 =76

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22193

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара по формуле равна $S = 4πR2,$ что по условию равно 26. Заметим, что радиус шара и радиус основания цилиндра совпадают, а высота цилиндра в два раза больше радиуса. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна

S1 = 2πR⋅2R = 4πR2

Площадь основания цилиндра равна $2 πR ,$ тогда площадь полной поверхности цилиндра равна

S1+ 2⋅πR2 = 6πR2 = 1,5S1 = 1,5 ⋅26 = 39

Ответ: 39

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22838

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 16. Найдите объём цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh,

где $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh,

где $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vц = 3Vк = 3⋅16= 48

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#40310

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 30. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь поверхности шара по формуле равна $S = 4πR2,$ что по условию равно 30. Заметим, что радиус шара и радиус основания цилиндра совпадают, а высота цилиндра в два раза больше радиуса. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна