Тема ДВИ по математике в МГУ

Оптимизация на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91957

Числа $a,b,c$ положительны и удовлетворяют соотношению

a+ b+c= 1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения

1+a-⋅ 1+-b⋅ 1+-c 1− a 1− b 1− c

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Заменим все единицы на $a+ b+ c.$ Тогда

(a-+b)+(a+-c) (b-+a)+-(b+-c) (c+a)+-(c+-b) b+c ⋅ a+ c ⋅ a+ b

Обозначим знаменатели новыми неизвестными: $b+c= x,$ $a+ c= y,$ $a+ b=z.$ Получается

(a+-b)b++-(ca+c)⋅ (b+-aa)++(cb+c)⋅ (c+-aa)++(bc+b)= y-+xz ⋅ x+y-z⋅ x+z-y

По неравенству о средних

y+ z ≥2√yz, x+z ≥2√xz, x +y ≥2√xy

Подставив эту оценку в полученное выражение, получаем

y+-z⋅ x+-z⋅ x-+y ≥ 8xyz-= 8 x y z xyz

При $x= y = z$ достигается равенство, так как в этом случае достигается равенство в неравенстве о средних. Сделав обратную замену, получаем $b+c =a +c= a+ b,$ что эквивалентно $a= b= c.$ Так как $a +b+ c= 1,$ то $a= b= c= 1. 3$

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92347

Числа $a,b,c,d$ положительны и удовлетворяют соотношению $a+b+ c+ d= 1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

a2 b2 c2 d2 1− a-+ 1−-b + 1− c-+ 1− d

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $1− a =x,$ $1− b= y,$ $1− c=z,$ $1− d= w.$ Тогда $x +y+ z+ w= 3,$ и каждое из чисел $x,y,z,w$ положительно. Подставим замену в исходное выражение

a2 b2 c2 d2 (1− x)2 (1− y)2 (1− z)2 (1 − w)2 1−-a + 1−-b + 1−-c + 1−-d =-x- + --y---+ --z---+ --w----

Раскроем скобки в каждом числителе и разделим почленно, тогда получится следующее:

1+ 1 + 1 + 1+ (x+ y+z +w)− 4⋅2= 1 + 1+ 1+ 1-− 5 x y z w x y z w

По неравенству между средним гармоническим и средним арифметическим:

4 1x + 1y + 1z + 1w x+-y+-z+w-≤ -----4------

Таким образом, $1x + 1y + 1z + 1w − 5≥ 136− 5= 13.$ Равенство достигается при $x = y = z = w= 14.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что функция $f(x)= x1−x-$ выпукла на промежутке $(0;1)$ , так как

′ ---1-- f (x) =(x− 1)2

2 f′′(x)= (1-− x)3

Ясно, что при $0 <x <1$ $f′′(x)> 0.$ Так как $a,b,c,d> 0$ и $a+b +c+ d= 1,$ то все эти числа принадлежат промежутку $(0;1).$ Тогда по неравенству Йенсена для функции $f(x)= 1x−x$ получаем

-a2- +-b2-+ -c2-+ -d2- ≥--a2+-b2+-c2+-d2-- 1− a 1 − b 1− c 1− d 1 − (a2+b2+ c2+d2)

Оценим снизу $2 2 2 2 a + b + c+ d :$ по неравенству Коши-Буняковского-Шварца $√ √ -2--2---2--2- a+ b+ c+d ≤ 4 a +b + c +d ,$ откуда $2 2 2 2 1 a + b +c + d ≥ 4.$ Подставим оценку в последнее полученное выражение:

2 2 2 2 1 1-a− (+a2b+b+2+c+c2d+d2) ≥ 1−41 = 13 4

Равенство достигается при $a= b= c= d= 1. 4$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Если знать неравенство Седракяна (так же известное, как неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей)

2 2 a1-+ a2-+...+ a2n-≥ (a1-+a2+-...+-an)2, b1 b2 bn b1+ b2 +...+ bn

то сразу же получаем

-a2-- -b2-- -c2-- -d2-- -----a-+b+-c+d------- 1 1− a + 1− b + 1− c + 1− d ≥ 1− a+1 − b+ 1− c+1− d = 3

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73449

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

По неравенству о средних

2 b2 √- 3b2 2 ab≤ a + 4 , 3bc ≤-4-+ c,

то есть

√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2 +c2 = 1.

Равенство достигается при

2 b2 3b2 2 a = 4 ,-4-=c .

Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные

√ - √- √- a =--2,b= -2,c= -6. 4 2 4

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из условия имеем

( |||{a2+ b2+ c2 = 1 a,b,c> 0 |||( √- ab+bc 3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости

1 √3 ⃗x= (a,c);⃗y = (2b,2-b)

Для них выполнено

b2 3b2 1 √- |⃗x|2 = a2+ c2, |⃗y|2 =-4 +-4-= b2, ⃗x⋅⃗y = 2(ab+bc 3)

Тогда условие задачи перепишется как

( |||{|⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 2 ⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно,

⃗x ⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤ |⃗x|⋅|⃗y|

По неравенству о средних $2|⃗x||⃗y|≤ |⃗x|2+|⃗y|2 = 1$

В итоге получается, что

√- ab +bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤21 = 1 2

При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $√- a= b2,c= -32b$ и $b2 =|⃗y|2 = 12$ . То есть подойдут, например,

√- √- √- a = -2,b= -2,c= -6- 4 2 4

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89779

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

abc =(a− 1)(b− 1)(c− 1).

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a2+ b2+c2$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

В данном в условии соотношении раскроем скобки

abc= abc− ab− bc− ac+a +b+ c− 1.

ab+ bc+ac= a+ b+ c− 1.

Стало быть,

a2+b2+ c2 = (a+ b+ c)2− 2(ab+ bc+ac)=

= (a+b +c)2 − 2(a+ b+c− 1)=(a+ b+ c− 1)2+ 1≥1.

При этом равенство достигается при $a+b+ c= 1$ , например, при $a =b= 0$ и $c= 1$ . Нетрудно заметить, что при таких значениях $a,b,c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a2+b2+ c2$ равно 1 .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91242

Найдите наименьшее возможное значение выражения

-c−-b--- ---2b--- ---4c--- a+2b+ c + a+ b+2c −a +b+ 3c

при положительных $a,b,c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Положим

x= a+ 2b+c, y = a+b+ 2c, z = a+ b+3c

Тогда $x,y,z$ также положительны,

c= z− y, b= x+ z− 2y, c− b= y− x

и исходное выражение переписывается как

--c− b--+---2b---− ---4c----= y-− x + 2x-+2z−-4y− 4z−-4y-= a+ 2b+c a +b+ 2c a+ b+3c x y z

y x z y −9+ x + 2y +2y +4z

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

y + 2x≥ 2√2 и 2 z+ 4y≥ 4√2 x y y z

Причем равенства достигаются при $y = x√2$ и $z = y√2,$ то есть при

{ a+ b+ 2c=(a+ 2b+c)√2 a+ b+ 3c=(a+ b+ 2c)√2

Вычитая из второго уравнения первое, получаем $c=(c− b)√2,$ откуда $b√2= c(√2-− 1),$ то есть $c= b(2+ √2).$ Подставляя $c= b(2 +√2)$ в любое из двух уравнений, получаем $a(√2− 1)=b(3− 2√2 ),$ то есть $a= b(√2-− 1).$ Таким образом, например, при $a =√2-− 1, b=1, c=2 +√2-$ равенства $y = x√2$ и $z = y√2$ имеют место и, стало быть, исходное выражение достигает своего наименьшего значения $− 9+2√2 +4√2-= 6√2-− 9.$

Ответ:

$6√2 − 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#91243

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

√ -- √-- √ -- a bc+ b ca+ c ab =1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a +b+ c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

√ -- √-- √ -- b+c- c+-a a+-b 1 =a bc+ b ca+ c ab≤a ⋅ 2 +b⋅ 2 + c⋅ 2 = ab+ bc+ ac

При этом равенство достигается при $a =b =c.$ С другой стороны,

2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 (a+b+ c) =a + b +c + 2(ab+ bc+ac)= 2((a − 2ab+ b )+(b − 2bc+c )+ (a − 2ac +c ))+ 3(ab+ bc+ac)≥ 3(ab+bc+ ac)

При этом равенство, опять же, достигается при $a= b= c.$ Таким образом,

√- √ --------- √ - a+b +c≥ 3⋅ ab +bc+ ac ≥ 3

и равенство достигается при $-1 a =b= c= √3.$ Остается убедиться, что при таких значениях $a, b, c$ данное в условии соотношение имеет место. Стало быть наименьшее значение выражения $a+ b+ c$ равно $√- 3.$

Ответ:

$√3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91244

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам $0< a< 1$ , $0< b< 1$ , $0< c< 1$ . Найдите наибольшее возможное значение выражения

∘4------ 4∘------ 4∘ ------ a(1− b)+ b(1− c)+ c(1− a).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных $x , x , x , x 1 2 3 4$ справедливо

x + x +x + x x1+x2+ x3+x4 √x-x-+ √x-x- √------- -1---24-3---4= --2---2--2--≥ --1-22---3-4≥ 4x1x2x3x4

Стало быть,

------ ------ ------ 4∘a(1− b)+ 4∘ b(1− c)+∘4c(1 − a)=

(∘ ----------- ∘ ----------- ∘ ----------) √2 4 a(1− b)⋅ 1⋅ 1+ 4b(1− c)⋅ 1⋅ 1 + 4c(1 − a⋅ 1 ⋅ 1 ≤ 2 2 2 2 2 2

√-( a+ (1− b)+ 1+ 1 b+ (1 − c)+ 1+ 1 c+ (1 − a)+ 1+ 1) √- 2 ------4---2--2+ ------4---2--2+ -------4--2--2 = 322

Равенство достагиается при $a= b= c= 1 2$

Ответ:

$3√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91247

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

-1-- -1-- -1-- 1+ a + 1+ b + 1+ c = 1.

Найдите наибольшее возможное значение выражения

a b c 2+-a2 + 2+-b2 + 2+-c2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть

-1-- -1-- --1- x = 1+ a, y = 1+ b, z = 1+ c.

Тогда $x +y +z = 1$ и

1− x 1− y 1− z a = -x--, b=-y--, c=--z-.

Теперь выразим каждую дробь из искомой суммы через новые переменные:

--a--= ---1−xx---= --x−-x2--= − 1+ --13x+-13--- 2+ a2 2+ (1−xx)2 3x2− 2x+ 1 3 3x2− 2x +1

Так как

( )2 3x2− 2x +1 =3 x− 1 + 2≥ 2, 3 3 3

то

1 1 − 1+ --3x+-3---≤− 1+ 1 (x+ 1) 1-= − 1+ 1 (x+ 1) 3 3x2− 2x +1 3 3 23 3 2

Складываем три неравенства и получаем оценку уже для всей суммы трёх дробей:

a b c 1 2-+a2 + 2+-b2 + 2+-c2-≤ −1+ 2(x+ y+ z+3)= −1+ 2= 1

Наибольшее значение достигается при $x= y = z = 13,$ то есть при $a= b= c= 2.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#73450

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $(0,π), 2$ при которых достигается минимум выражения

( √ - )( √- )2 ( )4 √---3siny--+ 1 -2sinx-+ 1 sin√(x+-y)+1 2sin(x +y) 3 siny 7 3sinx

Источники: ДВИ - 2018, задача 8 (cpk.msu.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: $a+ b≥ 2√ab.$ Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка $( π) 0,2 ,$ а значит аргументы синусов лежат в промежутке $(0,π),$ то есть значения всех синусов в выражении положительны.

Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на $4$ слагаемых, а третью — на $8,$ то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:

√- ∘ --√------- √--3sin-y--+ 1≥2 √--3siny--, 2sin(x+ y) 2 sin(x+ y)

√ - √ - ∘ √--------- --2sinx +1= --2sinx +3⋅ 1 ≥4 4-2sinx ⋅ 13, 3siny 3siny 3 3siny 3

sin(x+ y) sin(x +y) 1 ∘8sin(x+-y)-1- -7√3sinx + 1= 7√3sin-x + 7⋅7 ≥8 -7√3-sinx ⋅77

Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения $x,y,$ при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:

√ - √- √---3siny--= 1,-2sin-x= 1,sin√(x+-y)= 1 2sin(x +y) 3siny 3 7 3sinx 7

Из второго равенства, учитывая, что $x∈ (0,π), 2$ получаем $x =arcsin(sin√y). 2$

В третье равенство подставим $x= arcsin(si√n2y)$ и получим: $∘ -- sin(y+ arcsin(si√n2y))= 32siny.$ Раскроем синус суммы: $∘ -- sinycos(arcsin(si√n2y))+ cosysin(arcsin(sin√y2 ))= 32 siny.$ Пользуясь равенствами $cos(arcsint)= √1−-t2-$ при $t∈[0,1]$ и $sin(arcsint)=t$ получим:

∘ -------- sin2y siny ∘ 3- sin y 1− --2- +cosy⋅√2--= 2 siny

По условию $y ∈ (0,π2),$ то есть $siny ⁄= 0,$ а значит на него можно сократить:

∘-------- sin2y cosy- ∘ 3- 1− 2 + √2- = 2

Приведём уравнение к следующему виду (основное тригонометрическое тождество и домножение на $√ - 2$ ):

∘ ------- √- 1+ cos2y = 3 − cosy

Заметим, что правая часть всегда больше $0,$ то есть мы можем возвести в квадрат без накладывания дополнительных ограничений:

2 √- 2 1+ cosy =3− 2 3cosy+ cos y

Полученное уравнение имеет решение $cosy = √1, 3$ то есть $y =arccos√1, 3$ откуда $x= arcsin 1√-. 3$

Ответ:

$y =arccos√1,x= arcsin 1√ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90944

Найдите наибольшее из значений функции

----9x----- 4x− 6x +9x

и точку $x$ , в которой это значение достигается.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Разделим числитель и знаменатель на $9x$ :

-------1------- ( 2)2x ( 2)x 3 − 3 + 1

Сделаем замену $( )x t= 23 ,t> 0.$ Тогда получаем, что нужно найти наибольшее значение у следующей функции

-2-1--- t − t+ 1

Наибольшее значение достигается при наименьшем значении знаменателя. Тогда

t2− t+1 → min

( )2 t2− t+1= t− 1 + 3 ≥ 3 2 4 4

Тогда наименьшее значение равно $3 4$ и достигается при $t= 1. 2$ Следовательно наибольшее значение равно $1-= 4 34 3$ и достагается при $1 x =log232$

Ответ:

$min = 4, 3$ при $x= log 1 23 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90852

Найдите наибольшее значение выражения

∘ ---------- ∘---------- ∘ ---------- (x − 1)(y − x)+ (7− y)(1− x)+ (x − y)(y − 7)

при $x∈ [−2;3]$ и $y ∈[0;11]$ .

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2007, задача 5 (см. www.mathnet.ru)

Показать ответ и решение

Пусть среди $a= x− 1, b= y− x, c=y − 7$ нет нулевых. Тогда поскольку из ОДЗ $ab≥ 0, ac ≥0, bc≤ 0$ , то $a$ и $b$ имеют один знак, $a$ и $c$ имеют один знак, но $b$ и $c$ имеют разные — противоречие.

Значит, среди скобок есть нулевая, разберём 3 случая:

I.

$a= x− 1= 0, x= 1$

Выражение примет вид $∘ ---------- ∘---------- (1 − y)(y − 7)= − y2+8y− 7$ . Максимум такого выражения достигается в вершине $yB = 4∈ [0,11]$ и равен $√---------- −16+ 32− 7 =3$ .

II.

$b= y− x= 0, x= y$

Поскольку переменные равны, то каждая из них принимает значения на $[0,3]$ , а выражение примет вид $∘ (7−-x)(1−-x)= √x2−-8x-+7-$ . Поскольку вершиной будет $xB = 4$ , то выбрать надо наиболее отдалённую от неё точку $x= 0$ , в которой получим $√7< 3$ .

III.