Тема backlog (работа над имеющимися решениями)

backlog (работа над имеющимися решениями)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#122940Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике $ABC$ окружность девяти точек касается (a) вписанной окружности; (b) трёх вневписанных окружностей. Точка касания вписанной окружности треугольника с окружностью девяти точек называется точкой Фейербаха.

Показать доказательство

Докажем утверждение для вписанной окружности. Для вневписанных рассуждения аналогичны. Пусть $a,A ,A 1 2$ — длина отрезка $B,$ точка касания вписанной со стороной $BC$ и середина стороны $BC$ соответственно. Аналогично определим $b,B1,B2;c,C1,C2.$

$PIC$

Отрезки $AB1$ и $AC1$ равны $p − a,$ где $p$ — полупериметр треугольника $ABC.$ Без ограничений общности, можем считать, что $a ≥b≥ c,$ следовательно,

A1A2 = b−-c; B1B2 = a− c; C1C2 = a−-b. 2 2 2

Тогда, по обратной слабой теоремы Кэзи, касание эквивалетно выполнению соотношения

a⋅(b − c)− b⋅(a− c)+ c⋅(a− b)= 0,

которое верно при любых $a,b,c$ после приведения общих слагаемых.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#122941Максимум баллов за задание: 7

Хорды $AC$ и $BD$ окружности $Ω$ пересекаются в точке $X.$ Докажите, что радикальная ось окружностей, вписанных в криволинейные треугольники $AXB$ и $CXD,$ проходит через середины дуг $BC$ и $DA.$

Показать доказательство

Пусть $ω ,ω 1 2$ — окружности вписанные в криволинейные треугольники $AXB,$ $CXD$ соответственно, $M$ — середина меньшей дуги $BC$ окружности $Ω,$ $V,U$ — точки касания $ω1$ c прямыми $AC$ и $BD$ соответственно. Достаточно доказать, что длины касательных из точки $M$ до окружностей $ω1$ и $ω2$ равны.

$PIC$

Найдем длину касательной из $M$ к $ω1$ (обозначим её длину за $t$ ). По теореме Кэзи для $B$ , $M$ , $C$ , $ω1,$ имеем

t⋅BC = MB ⋅CV + MC ⋅BU,

а поскольку $XU = XV$

t= MB--⋅(BX-+-CX). BC

Аналогично, длина касательной из $M$ к окружности $ω2$ будет равна тому же, что завершает доказательство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#122942Максимум баллов за задание: 7

Окружности $ω ,ω 1 2$ касаются внешним образом в точке $I$ , а также обе касаются внутренним образом некоторой окружности $ω.$ Внешняя касательная к $ω1$ и $ω2$ пересекает $ω$ в точках $B$ и $C,$ а общая касательная в точке $I$ — в точке $A,$ по ту же сторону от $BC,$ что и $I.$ Докажите, что $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC.$

Показать доказательство

Пусть $ω 1$ и $ω 2$ касаются прямой $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно, прямая $AI$ пересекает $BC$ в точке $L.$ Заметим, что $LX = LY = LI,$ как длины касательных. Тогда, по теореме Кэзи для $ω1,$ $ω2,$ $A,$ $C,$ имеем

AI ⋅CX +AI ⋅CY = AC ⋅XY.

Из $LX = LY$ следует, что $CX + CY = 2⋅CL,$ следовательно, соотношение переписывается в условие

AI-= -AC-, 2IL 2CL

что равносильно основному свойству биссектрисы для треугольника $ALC.$ Таким образом, $CI$ — биссектриса треугольника $ABC.$ Аналогично $BI$ — биссектриса угла $ABC,$ т.е $I$ является центром вписанной окружности треугольника.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#122943Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D.$ Рассмотрим окружность, касающуюся отрезка $AD$ в точке $M,$ отрезка $BD$ и окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Докажите, что прямая, проходящая через $M$ параллельно $BD,$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

Показать доказательство

Обозначим нашу окружность за $ω,$ а за $N$ точку касания $ω$ и отрезка $BD.$ Напишем теорему Кэзи для точек $A,$ $B,$ $C,$ и окружности $ω.$ Получаем:

AB ⋅CM = BN ⋅AC + AM ⋅BC.

Распишем отрезки $BN$ и $AM,$ как $BD − DN$ и $AC − MC$ соответственно. А отрезок $DN$ равен отрезку $DM,$ поэтому его можно записать как $CM − CD.$ Подставляем в наше равенство:

AB ⋅CM = (BD − CM +DC )⋅AC+ (AC − CM )⋅BC.

Все что с отрезком $CM$ переносим в левую часть, а все что с отрезком $AC$ в правую и получаем:

CM ⋅(AB + AC+ BC )=AC ⋅(BD +CD + BC ).

Это равенство можно переписать так:

CD- = CD-⋅ pABC-. CM AC pBDC

Где $pXY Z$ — периметр треугольника $XY Z.$ Заметим, что в правой части (из формуле площади $S =p ⋅r$ ) написано просто отношение радиусов вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $BDC.$ А значит при гомотетии с центром в точке $C,$ который переведет вписанную окружность треугольника $BDC$ в вписанную окружности треугольника $ABC,$ точка $D$ перейдет в точку $M,$ следовательно касательная из $M$ к вписанной окружности треугольника $ABC$ будет параллельна $BD,$ что и требовалось.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#123022Максимум баллов за задание: 7

Теорема Геринга. Пусть $V 1$ и $V 2$ — подмножества вершин графа $G$ , а $k∈ ℕ.$ Тогда верно одно из двух Утверждений:

Утверждение 1. В $G$ найдётся $(V1,V2)$ -разделяющее множество мощности $≤k − 1.$

Утверждение 2. В $G$ найдётся $k$ непересекающихся путей из $V1$ в $V2$ (в том числе по вершинам множеств $V1$ и $V2).$

(a) Докажите, что оба условия не могут выполняться одновременно.

(b) Докажите, что если Утверждение 1 неверно, то верно второе, индукцией по количеству вершин. Преобразуйте граф так, чтобы $1$ -е утверждение не выполнялось, и при убирании некоторого ребра $xy$ существовало $(V1,V2)$ -разделяющее множество $Z$ , где $|Z|<k.$ Исследуйте множества $Z∪ x$ и $Z∪ y.$

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#123031Максимум баллов за задание: 7

Теорема Менгера. Пусть $a$ и $b$ — две вершины связного графа $G,$ не соединенные ребром. Тогда наименьшее количество вершин $(a,b)$ -разделяющего множества, не содержащего вершин $a$ и $b,$ равно наибольшему количеству непересекающихся путей между $a$ и $b.$

Показать доказательство

Решение скрыто

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#123048Максимум баллов за задание: 7

Теорема Кёнига. Наибольшее количество рёбер в паросочетании в двудольном графе равно наименьшему количеству вершин в вершинном покрытии графа $G$ (вершинное покрытие — это такое множество вершин, что каждое ребро содержит хотя бы одну из них).

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#123050Максимум баллов за задание: 7

Теорема Дирака. Пусть $k ≥2$ . В $k$ -связном графе для любых $k$ вершин существует простой цикл, содержащий все эти вершины.

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#123070Максимум баллов за задание: 7

(a) Докажите с помощью теоремы Лагранжа, что если первая производная функции монотонно возрастает, то функция выпукла.

(b) Если вторая производная неотрицательна, то функция выпукла.

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#123071Максимум баллов за задание: 7

Неравенство Йенсена. Докажите, что если функция удовлетворяет условию выпуклости

αf(x)+(1− α)f(y)≥f(αx+ (1− α)y),

то для любых неотрицательных $αj,$ сумма которых равна 1, и $xj$ из отрезка выпуклости, выполняется неравенство

α1f(x1)+ α2f(x2)+...+αnf(xn)≥f(α1x1+ α2x2+ ...+ αnxn).

Следствие. Если функция выпукла вверх, то выполнено неравенство

α f(x )+ α f(x )+...+αnf(xn)≤f(α x + αx + ...+ αnxn). 1 1 2 2 1 1 22

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#123075Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,$ $b,$ $c$ — неотрицательные числа. Докажите неравенство

-----a------ -----b------ -----c------ √4b2+-bc+-4c2 + √4c2+ca+-4a2 + √4a2+-ab+4b2 ≥ 1.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#123079Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,a ,...,a 1 2 n$ принадлежат промежутку $(1∕2,1].$ Докажите неравенство

---a1a2...an----- (1−-a1)(1− a2)...(1−-an) (a1+ a2+...+an)n ≥ (n− a1 − a2− ...− an)n .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#123081Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,$ $b$ и $c$ докажите неравенство

∘---- ∘ ---- ∘---- --a- + -b--+ --c- ≤ 3√-. a +b b+ c c +a 2

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#68563Максимум баллов за задание: 7

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $J$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC.$ Точки $M$ и $N$ — середины $JD$ и $JE.$ Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз есть центр вневписанной окружности и какие-то серединки, то можно отметить и центр вписанной, и середину дуги BC и воспользоваться леммой о трезубце! Что теперь можно заметить на картинке?

Подсказка 2

А вот что: т.к. середина дуги BC (пусть это W) является серединой отрезка между центрами вписанной и вневписанной окружностями, то WM и WN - средние линии в соответствующих треугольниках! А что еще про WM и WN можно сказать тогда?

Подсказка 3

Что они равны, т.к. соответствующие им основания - радиусы вписанной) А теперь вспомним, что WB = WC. Посчитайте уголки BWM и CWN, и тогда дальше досчитаются все уголки)

Показать доказательство

Первое решение. Пусть $J$ и $J A$ — центры вписанной и вневписанной окружностей $△ABC$ соответственно, a $W$ — точка пересечения описанной окружности $△ABC$ с биссектрисой $AJ$ . Тогда по лемме о трезубце $W C = W B =W J = W JA$ . Проведем радиусы $EJ$ и $JD$ . Рассмотрим $△JDJA$ и $△JEJA$ . $W M$ и $W N$ являются средними линиями этих треугольников соответственно (так как $DM = MJA$ и $EN = NJA$ по условию). Так как $EJ =JD$ (как радиусы), то и $WN = W N.$

Пусть $∠A= α, ∠B = β, ∠C = γ.$

$PIC$

Посчитаем $∠BW M$ .

∠BW M = ∠AW M − ∠AW B =∠AJD − ∠AW B =

= ∠AJD − ∠C = 90∘ − α-− γ = β − γ . 2 2 2

Посчитаем $∠NW C$ .

∠NW C =∠AW C− ∠AW N =∠B − ∠AJE =

= β− (90∘− α)= β − γ. 2 2 2

Отсюда получается, что $△CNW = △W P B =⇒ ∠PCW = ∠W BP =⇒ CW P B$ — вписанный $=⇒ P$ лежит на описанной окружности $△ABC.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Достаточно доказать, что

∠ABP + ∠ACP = 180∘.

Пусть $D′$ — отражение точки $D$ относительно $B,$ тогда $BP$ является средней линией треугольника $D′DJ,$ а значит, $∠DBP =∠DD ′J.$ Аналогично, если $E ′$ — отражение $E$ относительно $C,$ то $∠ECP = ∠EE′J,$ то есть достаточно проверить, что точки $D ′,A,E′,J$ лежат на одной окружности.

$PIC$

Учитывая, что $J$ лежит на биссектрисе угла $A,$ для этого достаточно показать, что $′ ′ D J =JE$ и $′ ′ AD ⁄=AE .$ Последнее верно, если треугольник $ABC$ неравнобедренный, поскольку

′ ′ AD − AE =2(BD − CE )⁄= 0.

Докажем, что $D ′J = JE′.$ Действительно, пусть $F$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC,$ тогда $D′$ и $F$ симметричны относительно биссектрисы $BJ$ внешнего угла $B,$ то есть $′ D J =F J.$ Аналогично, $′ F J = E J.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#127154Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары действительных чисел $(x,y),$ удовлетворяющих равенству

π ( ( 2 2)) 2 − arcsin 1 +log2 x + y = 1+ log2(xy).

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#141563Максимум баллов за задание: 7

Определите все натуральные числа $n,$ имеющие ровно $√n-$ натуральных делителей (включая $1$ и само число $n).$

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#141565Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что в разложение произведения десяти последовательных трёхзначных чисел на простые множители входит не больше $23$ различных простых чисел.

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#141573Максимум баллов за задание: 7

Собственным делителем числа называется любой его натуральный делитель, кроме $1$ и самого числа. С составным натуральным числом $a$ разрешается проделывать следующие операции: разделить на наименьший собственный делитель или прибавить любое натуральное число, делящееся на его наибольший собственный делитель. Если число получилось простым, то с ним ничего нельзя делать. Верно ли, что с помощью таких операций из любого составного числа можно получить число $2011?$

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#141568Максимум баллов за задание: 7

Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая $1$ и само число) оканчивается ровно на $2001$ ноль?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#141574Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел: $(8,9);$ $(288,289).$

Показать доказательство

Решение скрыто