Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Аксиоматическая вероятность, случайные величины и их моменты (мат.ожидание)

Тема Количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Аксиоматическая вероятность, случайные величины и их моменты (мат.ожидание)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86097

Если сегодня плохая погода, то завтра с вероятностью 1 будет хорошая погода. Если сегодня хорошая погода, то завтра хорошая погода будет с вероятностью 0,4. Какова вероятность, что 7 марта будет хорошая погода, если 3 марта плохая и хорошая погоды равновероятны? (Погода одинаковая весь день и может быть только плохой или хорошей).

Источники: Бельчонок - 2024, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть P_n - вероятность хорошей погоды в n-ый день. Как выразить его с помощью P_{n-1}?

Подсказка 2

Заметим, что формула должна быть такой: Если в n-1-й день погода плохая, то в n-й она точно хорошая, а если хорошая, то в n- м дне будет хорошей с вероятностью 0,4.

Подсказка 3

P_n = 0.4 * P_{n-1} + (1 - P_{n-1})

Показать ответ и решение

Обозначим $P n$ вероятность хорошей погоды в день $n$ считая $3$ марта за первый день. Тогда

Pn = 0,4Pn−1+ (1− Pn−1)= 1− 0,6Pn

(Если в $n− 1$ -й день погода плохая, то в $n$ -й она точно хорошая, а если хорошая, то в $n$ -м дне будет хорошей с вероятностью $0,4$ ). По условию $P1 = 1 2$ . Находим последовательно

P2 =0,7

P = 0,58 3

P4 = 0,652,P5 =0,6088

Ответ:

0,6088

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#72116

Василий пытается отправить СМС в условиях слабой мобильной связи. Телефон делает попытки отправить СМС до тех пор, пока это не удастся. Известно, что вероятность удачной попытки равна $0,05$ независимо от предыдущих попыток. Найдите математическое ожидание числа сделанных попыток.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В нашей задаче удобно воспринимать математическое ожидание как среднее значение попыток для отправки 1 сообщения! Тогда какое количество сообщений в среднем будет отправлено, например, за 100 попыток отправки?

Подсказка 2

Верно, 5. Поскольку все попытки независимы и каждая отправка с равной вероятностью доходит до получателя! В таком случае, если за 100 попыток в среднем удачными окажутся 5 сообщений, то есть они будут отправлены, то сколько попыток приходится на 1 отправленное сообщение?

Показать ответ и решение

Вероятность отправки СМС равна $0,05.$ Это значит, что из $100$ попыток отправить СМС в среднем удачными окажутся $5.$ То есть, чтобы отправить $1$ СМС нужно сделать в среднем $20$ попыток. Значит, математическое ожидание числа сделанных попыток равно $20.$

Ответ:

$20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72119

Бросаются две игральные кости. Выясните какие из следующих событий являются независимыми:

A — на первой кости выпало 6;

B — на второй кости выпало не более 2;

C — сумма очков на костях равна 7;

D — разность очков на первой и второй кости равна 1;

E — очки на костях различаются на 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, вспомним определение независимых событий: P(A∩B) = P(A) * P(B). Для удобства найдем вероятность каждого события, ведь сделать это можно комбинаторно! И давайте просто проверять равенство, которое написано выше!

Подсказка 2

Да, А и B независимы! Это можно понять даже проще, то что выпало на первом кубике никак не зависит от того, что выпало на втором кубике) Остальные равенство проверяются аналогично, достаточно понять, какие комбинации чисел на кубиках они задают)

Показать ответ и решение

По определению события $A$ и $B$ являются независимыми, если

$P(A ∩B )= P(A )⋅P (B )$

Для начала найдем вероятности всех событий как отношение количества благоприятных исходов ко всем $36$ исходам:

6 1 12 1 6 1 5 6 1 P(A)= 36 = 6, P(B)= 36 = 3, P (C )= 36-= 6, P(D)= 36, P (E )= 36-= 6

P(A∩ B)= 326 = 16 ⋅ 13

следовательно, $A$ и $B$ являются независимыми

P(A∩ C)= -1 = 1 ⋅ 1 36 6 6

следовательно, $A$ и $C$ являются независимыми

P(A ∩D )= 1-⁄= 1⋅ 5- 36 6 36

следовательно $A$ и $D$ не являются независимыми

-1 1 1 P(A∩ E)= 36 =6 ⋅6

следовательно, $A$ и $E$ являются независимыми

2 1 1 P(B ∩C)= 36 =6 ⋅3

следовательно, $B$ и $C$ являются независимыми

P(B ∩ D)= 2-⁄= 1 ⋅ 5 36 3 36

следовательно, $B$ и $D$ не являются независимыми

P(B ∩E)= -2 = 1 ⋅ 1 36 3 6

следовательно, $B$ и $E$ являются независимыми

P(C ∩D )= 1-⁄= 1 ⋅ 5 36 6 36

следовательно, $C$ и $D$ не являются независимыми

P(C ∩E)= -2 ⁄= 1 ⋅ 1 36 6 6

следовательно, $C$ и $E$ не являются независимыми

События $E$ и $D$ не могут произойти одновременно.

Ответ:

$A и B, A и C, A и E, B и C, B и E$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#48860

Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального числа $n$ событие $An$ наступает, если эта сумма равна $n$ . Найти вероятность события $A11$ .

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Используем рекуррентную формулу для поиска вероятности $A n,k$ — получить сумму $n$ за $k$ бросков

∑6 ( ) P(An,k)= P(An−i,k−1)⋅ 16 = 16 P(An−6,k−1)+ ...+P (An− 1,k− 1) i=1

Действительно, нам нужно откатиться на один бросок назад, в котором с равными вероятностями выпадают $1,2,3,4,5,6$ . Посчитаем таблицу вероятностей $A n,k$ (не будем явно прописывать знаменатели $6− k$ , оставим только числители)


$k∖n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$

$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$2$	$0$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

$3$	$0$	$0$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$	$21$	$25$	$27$	$27$

$4$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$4$	$10$	$20$	$35$	$56$	$80$	$104$

$5$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$5$	$15$	$35$	$70$	$126$	$205$

$6$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$6$	$21$	$56$	$126$	$252$

$7$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$7$	$28$	$84$	$210$

$8$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$8$	$36$	$120$

$9$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$9$	$45$

$10$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$10$

$11$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Бросать кубик имеет смысл только от $2$ до $11$ раз, иначе невозможно получить $11$ очков в сумме. Предположим, что каждое количество бросков равновероятно и наступает с вероятностью $110$ , получим формулу

11 P(A11)= 1-∑ P(A11,k) = 10k=2

1 ( 2 27 104 205 252 210 120 45 10 1 ) 1 ( 710 73) = 10-⋅ 62 + 63 +-64-+ 65-+ 66-+ 67-+ 68-+ 69-+ 610 + 611 = 10 ⋅ 611-− 1165

Ответ:

$-1 ⋅( 710-− 1173) 10 611 65$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74788

Двое играют в карточную игру. У каждого есть колода из 30 карт. Каждая карта красная, зелёная или синяя. По правилам красная карта сильнее зелёной, зелёная сильнее синей, а синяя сильнее красной. Карты одного цвета равны. Колода каждого игрока перед началом партии перемешивается и кладётся перед ним рубашкой вверх. После этого оба открывают по верхней карте своей колоды. Если карты разного цвета, то выигрывает тот, чья карта сильнее. Если карты одинаковые, то они уходят в сброс, а игроки открывают ещё по одной карте - и так до тех пор, пока карты не окажутся различными. Если же обе колоды кончились, а победитель не выявлен, объявляется ничья.

Известно, что у первого игрока в колоде по 10 карт каждого цвета. Второй игрок имеет право взять любую колоду из 30 карт. Может ли он подобрать колоду так, чтобы вероятность его выигрыша была больше 1/2?

Источники: ФЕ-2022, 11.5 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разберемся с ответом. Если мы хотим доказывать, что нет, то нам надо доказывать, что для всевозможных колод у второго вероятность будет меньше 1/2. Это вообще непонятно как делать. А вот если же мы хотим доказывать, что ответ - да, то нам надо привести всего одну «хорошую» колоду. Давайте подумаем, если у нас дано количество синих, красных и зеленых карт каждого человека, то как бы для нас удобно было бы выражать вероятность, ведь наши переменные никак друг от друга не зависят(мы хотим выразить в общем случае вероятность и подставить одну и ту же переменную вместо всех для первого игрока в конце).

Подсказка 2

Наверное было бы удобно делать это рекуррентой, поскольку игра идет по шагам. Мы хотим как-то зафиксировать нашу конструкцию. Давайте подумаем как это можно было бы сделать не вводя кучи переменных. Пусть у нас r, g, b — количество соответственно красных, зеленых и синих карт у первого. Тогда, если мы хотим доказать, что при какой-то колоде все хорошо, то либо нам опять рассматривать все колоды и как-то усреднять (что то же самое, что и доказывать, что ответ «нет», в смысле рассмотрения всевозможных колод), либо брать какую-то конкретную колоду, методом крайнего. Какие колоды при этом кажутся интуитивными в таком случае?

Подсказка 3

Во-первых, интуитивной кажется колода копирующая первого игрока, но чисто навскидку, ситуации симметричны и вряд ли там будет строго больше 1/2 вероятность. Давайте также поймем, что скорее всего число 30 здесь просто так, кроме разве что того, что оно кратно 3. А это значит, что по нашему предположению, мы можем масштабировать колоду, при этом не меняя кардинально конструкцию взятия колоды второму, чтобы было выполнено условие. Но тогда это значит, что мы либо берём какую-то фиксированную долю от колоды для каждого цвета, а если так, то нужны еще согласованности с делимостью на эту долю и это как-то все очень шатко, если мы предполагаем, что можно масштабировать. Это наталкивает нас на мысль, что по хорошему бы брать какое то маленькое (чтобы и для маленьких размеров колод, скажем, меньших 30 условие было выполнено) фиксированное число карт одного цвета, тоже самое с другим, и все остальное - третьего цвета.

Подсказка 4

Чтобы можно было брать маленькое число карт в колоде и все работало, хотелось бы брать по 0 или 1 карте каких-то двух цветов, а все остальное отдавать другому. Ну и при этом понятно, что если мы будем выражать реккурентой нашу вероятность, то если мы, скажем, возьмем 1 зеленый, 1 синий и остальное - красным, то нам надо будет еще выражать как-то реккуренту для подсчета, когда у нас 0 зеленых, 1 синий и остальные - красные, 1 зеленых, 0 синих, остальные - красные, а также 0 зеленых, 0 синих, остальные -красные. Что как бы муторно. Тогда давайте возьмем остальные красными, а одну либо синей, либо зеленой.

Подсказка 5

Теперь надо выбрать - зеленая или синяя, но чисто интуитивно, чтобы вероятность была повыше, нам хотелось бы взять карту, как бы посильнее чем остальные, то есть красные. Ну тогда, давайте возьмем синюю. И теперь будем искать вероятность реккурентно. Напишите эти реккуренты, как мы выяснили, для вероятности, когда одна синяя, а остальные красные и когда только красные.

Подсказка 6

Если вероятность победы второго, когда только красные это v(r, g, b), где r, g, b - кол-во красных, зеленых и синих у первого соответственно, то v(r, g, b) = (g * 1 + r * v(r - 1, g, b)) / (r + g + b) - просто перебираем исходы и варианты, когда победим.

Подсказка 7

Напишите такую же рекурренту для u(r, g, b), где это вероятность когда одна синяя и остальные красные(очевидно, она будет выражаться через себя и v(r, g, b)), после чего попробуйте и для v, и для u найти общий вид реккуренты (очевидно, сначала для v, так как она проще и в итоге, искать надо u), перебирая маленькие значения, после чего задача будет решена.

Подсказка 8

Не забудьте доказать эти формулы по индукции, найдя базу и сделав переход (быть может сам переход натолкнет вас на вид, как должны выглядеть v и u).

Показать ответ и решение

Рассмотрим колоду, в которой одна синяя карта, а все остальные красного цвета. Найдём в этом случае вероятность выигрыша второго игрока. Пусть $u(r,g,b)−$ вероятность выигрыша, когда у первого игрока $r$ красных карт, $g$ зелёных, $b$ синих, а у второго одна синяя и все остальные красные (при условии $r+ g+ b>0$ ). Также пусть $v(r,g,b)$ - вероятность выигрыша, когда у второго игрока все карты красные.

Легко видеть, что

g⋅1+ r⋅v(r− 1,g,b) v(r,g,b)= ----r+-g+-b-----

при $r+ g+b> 0$ (если у первого выпала зелёная, то второй выиграл, если синяя, то проиграл, если красная, то игроки потратили по одной красной карте и продолжили игру). Ясно также, что $v(0,0,0)= 0$ (в этом случае будет ничья). Отсюда по индукции получаем, что $v(r,g,b)= gg+b$ при $g+ b> 0$ и $v(r,0,0)= 0$ .

Аналогично

u(r,g,b)= g(r+g+-b−-1)+r(1+(r+-g+-b− 1)u(r−-1,g,b))+-bv(r,g,b−-1)) (r+ g+ b)2

(Здесь мы рассматриваем всевозможные пары ходов: одна из $r+ g+b$ карт первого и одна из такого же количества карт второго. Если у первого выпала зелёная, то второй выиграет во всех случаях, кроме одного; если красная, то второй либо выкладывает синюю и побеждает, либо выкладывает красную и попадает в аналогичную игру с меньшим числом карт; если у первого синяя, то второй имеет шанс на выигрыш, только если выложит синюю и попадёт в новую игру со всеми красными). Кроме этого, $u(1,0,0)=1,$ $u(0,1,0)= u(0,0,1)= 0$ .

Легко проверить (догадаться сложнее... можно, например, угадать формулу, вручную посчитав вероятности для малых $r,g,b$ ), что эти равенства задают формулу

(r⋅(g+1) g⋅b g⋅(g− 1)) 1 u(r,g,b)= g-+b+-1 +g-+b−-1 +--g+-b- ⋅r+-g+b-

при $g+ b>1$ . Тогда

u(n,n,n)= 1 +----12--- > 1 2 6n(4n − 1) 2

при всех $n > 0$ , в том числе и при $n = 10$ .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74911

Все марсиане делятся на одноглазых, двуглазых и трехглазых. Марсианин отдыхает только тогда, когда закрыт хотя бы один его глаз, причем каждую секунду каждый глаз может быть открыт с вероятностью 0.5 независимо от остальных.

Известно, что среди всех марсиан, у которых не меньше двух глаз, каждую секунду в среднем $80%$ отдыхают, а среди тех, у которых не больше двух глаз, каждую секунду отдыхают в среднем $2 3$ марсиан. Найдите долю двуглазых марсиан среди всех марсиан.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны условия на количество отдыхающих в каждую секунду. А можем ли мы посчитать вероятность того, что марсианин отдыхает в данную секунду? Если получится, то можно составить уравнения на данные из условия!

Подсказка 2

Каждый марсианин каждую секунду отдыхает с вероятностью 1-(0.5)^k, где k - количество его глаз. Составим уравнения на данные условия и попробуем сделать какие-нибудь преобразования и выводы!

Подсказка 3

Составим систему и при её решении сделаем замену отношения количеств марсиан :) Таким образом мы сможем посчитать, чему отношение одноглазых к двуглазым и трехглазых к двуглазым! Теперь узнать долю двуглазых не составит труда)

Показать ответ и решение

Пусть $n k$ — количество марсиан, у которых $k$ глаз $(k= 1,2,3).$ Такой марсианин каждую секунду отдыхает с вероятностью $1− 0.5k,$ поскольку события "марсианин отдыхает"и "все глаза марсианина открыты"образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Сначала рассмотрим случай, когда $n2 ⁄= 0.$

Тогда вероятность того, что наугад выбранный марсианин, у которого не больше двух глаз, отдыхает, равна

2 (1− 0.5)n1+(1− 0.52)n2 n + 0.5n 3 = ------n1+-n2-------= 1− 0.5⋅-1n1+-n22

Аналогичная вероятность для марсиан, у которых не меньше двух глаз, равна

( ) ( ) 0.8= -1− 0.52-n2+-1−-0.53n3-= 1− 0.25 ⋅ n2+0.5n3 n2+ n3 n2+n3

Разделим числители и знаменатели полученных дробей на $n ⁄= 0 2$ и обозначим $x= n1,y = n3+-n2 n2 n2$ $($ тогда искомое отношение $n--+nn2+-n- 1 2 3$ преобразуется к виду $x-+1y+-1).$ Получим систему уравнений

( ( |{ 0.5x +0.25 = 1(x +1) |{ x= 0.5 1 6 |( 3 =⇒ |( 2 =⇒ x+-y+-1 = 13 0.125y+ 0.25= 0.2(y+1) y = 3

Теперь рассмотрим случай, когда $n2 = 0.$ Тогда доля отдыхающих марсиан среди тех, у кого не больше двух глаз, должна быть равна доле отдыхающих одноглазых марсиан, т.е. $0.5.$ Однако, согласно условию, эта доля равна $2 3 ⁄= 0.5$ — получили противоречие, значит, $n2 ⁄= 0.$

Ответ:

$-6 13$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76631

Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой $L.$ Старт для прыжков находится в точке $A$ прямой $L,$ длина одного прыжка $h,$ направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии $3h$ от $A.$

Источники: Росатом-2022, Москва,11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти вероятность какого-то сложного события. Понятно, что она состоит из суммы вероятностей более простых событий, которые входят в сложное. Будет удобно ввести величину, к примеру, p(n,k) — вероятность того, что сделав k прыжков, блоха окажется в точке с координатой nh.

Подсказка 2

Понятно, что p(n,k) определяется рекуррентно через р(n-1, k-1) и p(n+1, k-1), а также мы знаем, чему равно p(n,n). Теперь осталось понять, для каких n и k нам нужны значения p(n,k), и вычислить их.

Подсказка 3

Будет достаточно p(n, k) для n от 4 до 8 и k от 3 до 8. Останется сложить все нужные величины и не забыть, что количество прыжков — от 4 до 8 — равновероятно.

Показать ответ и решение

Обозначение: $pk n$ — вероятность того, сделав $k∈{1,2,...$ } прыжков блоха отклоняется от $A$ на величину $nh,n ∈{±1,±2,...}$ (отрицательные $n$ указывают, что блоха находится слева от $A,$ положительные — справа, число $n = 0$ соответствует точке $A$ ).

Свойства $k pn :$

1) $k pn =0$ для $n 1 n >0,k< n,pn = 2n$

2) $pkn =pk−n$ (равновозможность направления прыжка)

3) попасть на $(k+1)$ прыжке в положение $nh$ возможно по условию только из положений $(n− 1)h$ и $(n+ 1)h$ с вероятностью $0,5,$ поэтому

( ) pkn+1= 1pkn−1+ 1pkn+1 = 1 pkn−1+ pkn+1 2 2 2

4) при фиксированном $k≥ 1$ и всех, для $n >k ⇒ pkn = 0.$ Ниже приведена часть таблицы для определения $pkn$

$PIC$

Вероятности, что Кузя закончил прыжки в точке $3h,$ записаны в столбце с номером $n= 3$ и строками от $k =4$ до $k= 8$ (отмечены желтым). Но Кузя побывал в точке $3h,$ и, если он закончил движение в точках расположенных правее $3h$ (до $8h$ включительно), соответствующие позиции отмечены зеленым. Однако Кузя мог, побывав в точке $3h,$ закончить движение и в симметричных относительно $3h$ точках (т.е. слева от $3h,$ но с теми же вероятностями, что и справа от $3h$ ), поэтому отмеченные зеленым вероятности надо умножить на $2.$ Для $n= −3$ числа те же.

Считаем, что количество прыжков от $4$ до $8$ равновероятно (с вероятностью $1∕5$ ). Тогда суммируем вероятности, отмеченные желтым, добавляем удвоенные вероятности, отмеченные зеленым, результат умножаем на $2$ и на $1∕5.$ Получим

2(-1 5- 1- ( 3- 1-) 21- (-7- -1-) (-7 -1 -1-) ) 73- 5 16 ⋅2+ 32 + 32 ⋅2+ 32 + 64 ⋅2+ 128 + 128 + 128 ⋅2+ 64 + 32 +256 ⋅2 = 160

Ответ:

$-73 160$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#46109

Васе предложили участвовать в соревнованиях по стрельбе из рогатки, пневматического пистолета и ружья. Вероятность поражения мишени из рогатки равна $0,2$ , из пистолета — $0,7$ , из ружья — $0,8$ . Вася стрелял из каждого оружия по два раза. Найти вероятность того, что он допустил только один промах.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Так, у нас здесь несколько вариантов условий для промаха - промахнуться можно из ружья, из рогатки, из пистолета. Подсчитайте вероятность ошибки в каждом из случаев по отдельности!

Подсказка 2!

Подумаем, совместны ли эти случаи, могли ли они произойти одновременно? Или нет? Если нет, то мы можем их сложить и получить полную вероятность!

Показать ответ и решение

Возможны три несовместных случая, разберём каждый и сложим вероятности.

Вася промахнулся только один раз — из рогатки. С учётом порядка этого промаха из двух выстрелов имеем вероятность
$P(A)= 2⋅0.2⋅0.8⋅0.72⋅0.82$
Вася промахнулся только один раз — из пистолета. Аналогично получаем
$P(B)= 2⋅0.7⋅0.3⋅0.22⋅0.82$
Был только один промах — из ружья. Здесь
$P(C)= 2⋅0.2⋅0.8⋅0.22⋅0.72$

В итоге $P(промах ровно один)= P(A )+P(B)+ P(C)= 0.117376.$

Ответ:

$0.117376$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#46110

Петя и Вова играют в кости на деньги. Ведущий игру Петя выигрывает, если при бросании им двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не превосходит $4$ и проигрывает во всех остальных случаях. Проиграв, Петя отдаёт Вове $1$ рубль, выиграв — получает от Вовы $k$ рублей. Игра считается справедливой, если среднее значение выигрыша каждым игроком равна нулю. Найти значение $k,$ при котором игра будет справедливой.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для начала оценим, какая вообще вероятность выигрыша Пети в раунде? Сколько исходов в его пользу?

Подсказка 2!

Верно, 1/6! Теперь попробуйте подсчитать средний выигрыш Пети, то есть его матожидание. Что для этого нужно? Верно, умножаем вероятность на значение выигрыша!

Подсказка 3!

Осталось подставить числа из условия и оценить к

Показать ответ и решение

Заметим, что Петя выигрывает с вероятностью $p= 1 6$ (подходят исходы $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2)$ — их $6$ из $36$ ). Справедливая цена игра означает, что Петя имеет нулевой средний выигрыш, то есть

p⋅k+ (1 − p)⋅(− 1) =0

1− p k = p = 5

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100250

Некоторый учёный сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика $3$ года, средний срок службы передатчика $5$ лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, некоторый ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен $3$ года $8$ месяцев. Не ошибся ли некоторый учёный в своих расчетах?