Тема Курчатов

Курчатов - задания по годам → .06 Курчатов 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Разделы подтемы Курчатов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73406Максимум баллов за задание: 7

В каждой клетке квадратной таблицы размером $200×200$ написали по действительному числу, по модулю не превосходящему $1.$ Оказалось, что сумма всех чисел равна нулю. Для какого наименьшего $S$ можно утверждать, что в какой-то строке или каком-то столбце сумма чисел заведомо окажется по модулю не превышающей $S?$

Источники: Курчатов-2019, 10.5 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задачка на оценку и пример. Кажется одну из этих частей сделать совсем несложно. Что-ж, и правда, легко доказать, что любое значение S < 100 не подойдёт. Для этого достаточно расставить в квадрате 1, 0 и -1.

Подсказка 2

Теперь давайте докажем, что S = 100 подходит. Пойдём от противного. Пусть существует таблица, для которой это не так....

Подсказка 3

Сделаем замечательное наблюдение: мы можем переставлять строки в таблице, а также столбцы, условие от этого никак не меняется!!! Тогда давайте попробуем отсортировать строки нашей таблицы по значениям сумм чисел в этих строках, а затем отсортируем столбцы таблицы.

Подсказка 4

Разобьём нашу таблицу на 4 квадрата. Мы что-то знаем про сумму чисел в верхних и нижних квадратах, а также сумму чисел в левых и правых квадратах. Что-ж теперь самое время писать неравенства и искать противоречия...

Показать ответ и решение

Сначала покажем, что $S < 100$ не подойдет. Разделим таблицу на четыре квадрата $100 ×100.$ Правый верхний квадрат заполним числами $+1,$ а левый нижний - числами $− 1.$ Остальные клетки заполним нулями. Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце сумма равна $± 100.$

Теперь покажем, что $S = 100$ подходит. Предположим, что для некоторой таблицы это не так, то есть суммы во всех её строках и столбцах оказались либо больше $100,$ либо меньше $− 100.$ Заметим, что можно менять местами строки в таблице, не нарушая это свойство и условие задачи.

Поменяем местами строки так, чтобы их суммы убывали сверху вниз. Разделим таблицу на две половины $100× 200,$ верхнюю и нижнюю. Заметим, что либо в верхней половине все строки имеют положительную сумму, либо в нижней - все отрицательную. Тогда в одной из половин сумма по модулю больше $10000.$ Так как общая сумма всех чисел равна нулю, то в другой половине сумма такая же по модулю и противоположная по знаку.

Теперь отсортируем столбцы так, чтобы их суммы убывали слева направо. (Суммы в строках при этом не поменяются.) Аналогично, суммы в правой и в левой половине таблицы оказались по модулю больше $10000.$

Разобьем таблицу на четыре квадрата $100 ×100,$ суммы в них обозначим за $A,B,C,D :$


$A$	$B$

$C$	$D$

A + B > +10000 A + C > +10000 C + D< −10000 B + D <−10000

Заметим, что

2|A|+2|D|≥2A − 2D = (A + B)+(A +C )− (B+ D)− (C+ D)> 40000.

Это означает, что одно из чисел $A$ или $D$ по модулю превосходит $10000.$ Но в каждом из соответствующих квадратов всего $10000$ клеток, и числа в них по модулю не превосходят $1.$ Противоречие.

Ответ:

$100$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76739Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие пары натуральных чисел $m$ и $n$ , что $m2019+ n$ делится на $mn$ .

Источники: Лига победителей - 2017, 9 класс (со степенью 2017), Курчатов - 2019, 11.2 (со степенью 2019)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала не очень понятно, каким должно быть n. Нам интересно именно n, так как оно фиксировано и его степень не меняется. Тогда попробуем понять что-то про n. Для этого посмотрим на выражение, если мы поменяем степень у m.

Подсказка 2

Да, если как-то уменьшать степень у m, то это не особо и меняет картину. А если посмотреть на m + n, при условии, что оно делится на mn? Возможно, отсюда получится вывести общий вид n?

Подсказка 3

Верно, можно действовать по индукции! Причем, индукция будет по степени числа m. Из индукции ясно, что n = km²⁰¹⁹. Остаётся разобраться с тем, каким может быть k

Подсказка 4

Да, k+1 должно делиться на km, из условия задачи. Получается, вариантов не так уж и много, ведь k+1 должно делиться на k, а это возможно только при k = 1.

Показать ответ и решение

Индукцией по $α$ покажем, что если $m α+ n$ кратно $mn$ , то $n$ представимо в виде $km α$ .

База: если $m +n$ делится на $mn$ , то $n$ делится на $m$ , из этого следует требуемое.

Переход: если $α+1 m + n$ кратно $mn$ , то $n= n1m$ , то есть $α m +n1$ кратно $mn1$ , а по предположению $α n1 =km$ , откуда $α+1 n =km$ .

Теперь, возвращаясь к задаче, имеем: $2019 n = km$ . Тогда условие можно записать в виде: $2019 (k+ 1)m$ кратно $2020 km$ . Таким образом, $k+ 1$ делится на $km$ , это возможно лишь при $k= 1$ и $m = 2$ или $m = 1$ , откуда подходят $m =1,n= 1$ или $2019 m = 2,n = 2$ .

Ответ:

$m = 1,n = 1$ или $m = 2,n =22019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78976Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b$ и $c$ таковы, что выполнены равенства

2 2 2 2 2 2 a +ab+ b =1, b+ bc+c = 3, c + ca +a = 4.

Найдите $a +b+ c$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного остановим свой взгляд на равенства из условия. Можно сказать, что нам дали идентичные выражения. Где ещё с таким видом равенств вы могли встречаться?

Подсказка 2

Точно, это же теорема косинусов для угла в 120 градусов. Так давайте же попробуем это изобразить на рисунке. Какая фигура там получается?

Подсказка 3

Верно, получается прямоугольный треугольник, а внутри него точка, из которой все стороны видны под углом 120 градусов. Причём расстояние от точки до вершин треугольника и есть наши a, b, c. А у нас просят найти их сумму. Хм, чтобы тогда хорошо сделать... Что будет с нашими отрезками, если повернуть наш треугольник на 60 градусов вокруг вершины с углом 90 градусов?

Подсказка 4

Верно, если посчитать углы и воспользоваться простым свойствами поворота, то получится, что наши отрезки "выпрямляются". То есть мы получили треугольник с известным углом и смежными сторонами, а напротив как раз то, что надо найти. Осталось только воспользоваться известной теоремой, и победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Отложим из одной точки $T$ отрезки $TA, T B и TC$ с длинами $a, b и c$ соответственно так, чтобы $∘ ∠AT B = ∠BT C = ∠CT A= 120.$

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения $∘ 1 cos120 = −2,$ получаем, что $√ - AB = 1,BC = 3,CA = 2.$ Видим, что по теореме Пифагора треугольник $ABC$ прямоугольный $∘ (∠B = 90 ),$ причем его катет $AB$ в два раза короче гипотенузы $AC,$ откуда следует равенства $∘ ∘ ∠BAC = 60 ,∠BCA =30 .$

Отметим точку $B1$ — середину гипотенузы $AC$ и точку $C1,$ что $△ABC = △AB1C1$ и точки $C1$ и $B$ по разные стороны от $AC :$

$PIC$

По построению треугольники $ABC$ и $AB1C1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$ Отметим точку $T1$ в треугольнике $AB1C1,$ соответсвующую точке $T$ в треугольнике $ABC.$ Тогда $BT = B1T1, CT = C1T1, и AT = AT1 = TT1.$ Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник $AT T1$ получается равносторонним, поскольку точки $T$ и $T1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$

Осталось отметить, что точки $B, T, T1, C1$ лежат на одной прямой, поскольку $∠ATB = ∠AT1C1 = 120∘ и ∠ATT1 =∠AT1T = 60∘.$ В итоге получаем, что

a+ b+ c= AT + BT +CT = BT +T T1 +T1C1 = BC1,

а $BC1$ может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника $BAC1 :$

BC2 = AB2 +AC2 +AB ⋅AC = 1+ 4+1 ⋅2 =7. 1 1

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим $(a− c)(a+c)+ b(a− c)=− 2,$ т.е.

-−2- a +b+ c= a− c

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

−2 −1 3 a+ b+ c= a−-c = b−-a = c−-b

Если обозначить $s=a +b+ c,$ то можно переписать предыдущее соотношения как

a− c=− 2s−1, b− a= −s−1, c− b= 3s−1

Теперь сложим все исходные равенства:

2a2+ 2b2+ 2c2 +ab+ bc +ca= 8

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

2 1 2 2 2 (a+ b+c) + 2((a− c)+ (b− a) + (c− b))= 8

что означает

2 1 −2 −2 −2 s + 2(4s + s + 9s )= 8

Домножением на $s2$ получаем биквадратное уравнение

s4 − 8s2+ 7=0

корнями которого являются $2 2 s = 1 и s =7.$ Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством $(1):$

2 2 2 2 2 1 1 1 s = (a+b +c) >a + b + c+ 2ab+ 2bc+ 2ca =4.

Значит, остается $s2 = 7,$ т.е. $√ - a+ b+c = 7.$

Ответ:

$√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89253Максимум баллов за задание: 7

Петя и Вася участвовали в выборах на должность президента шахматного клуба. К полудню у Пети было $25%$ голосов, а у Васи — $45%$ . После полудня на голосование приходили только друзья Пети (и, соответственно, голосовали только за него). В итоге у Васи осталось только $27%$ голосов. Сколько процентов голосов набрал Петя?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, что же делать с такой текстовой задачей? Постараться составить уравнение! Обозначим за x количество проголосовавших до полудня, а за y — количество проголосовавших после полудня. Далее надо составить уравнение, воспользовавшись условием задачи.

Подсказка 2

Найдем тогда отношение x : y. Получилось, что 2x = 3y. Теперь мы можем без проблем посчитать отношение, которое нас просят найти.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество проголосовавших до полудня, а $y$ —– количество проголосовавших после. Тогда за Васю проголосовало $0,45x$ человек, что составляет $27%$ от $x+ y$ . Таким образом, получаем равенство $0,45x =0,27(x+ y)$ , откуда $2x= 3y$ . Согласно условию, Петя набрал голосов $0,25x+ y$ , вычислим, какую долю от $x+ y$ составляет это количество:

0,25x+ y 0,25+ y -x-+y--= -1+-yx-= x

= 14 +-23= 11 =55% 1+ 23 20

Ответ:

$55%$

Предыдущая подтема

Следующая подтема